2746:
1911:
142:
289:
1555:
2446:
1805:
926:
1427:
1014:
2387:
516:
964:
459:
2521:
1118:
634:
562:
1816:
340:
177:
1678:
1461:
1748:
1713:
1586:
1308:
2343:
2030:
1254:
1157:
852:
1339:
73:
2787:
1215:
2173:
2651:
1969:
equidimensional. In general, if two closed subschemes of some scheme, neither containing the other, have unequal dimensions, then their union is not equidimensional.
2127:
1054:
734:
596:
2295:
2233:
2213:
2193:
2101:
2081:
2061:
1368:
1274:
1177:
1034:
814:
794:
774:
754:
701:
681:
661:
220:
1466:
2392:
40:
2780:
2698:
2663:
1753:
1716:
864:
2806:
2598:
32:
2773:
2690:
1373:
969:
2348:
179:
is an affine scheme, then such chains correspond to chains of prime ideals (inclusion reversed) and so the dimension of
468:
2811:
931:
385:
2451:
1059:
1906:{\displaystyle \operatorname {codim} ({\mathfrak {p}}_{1},X)=1,\,\operatorname {codim} ({\mathfrak {p}}_{2},X)=2,}
2685:
2249:
601:
529:
313:
150:
2587:
Dundas, Bjorn Ian; Jahren, Björn; Levine, Marc; Østvær, P.A.; Röndigs, Oliver; Voevodsky, Vladimir (2007),
1591:
1432:
1722:
1687:
1560:
1282:
1943:
1276:. Thus, the dimension of the closure of an open subset can be strictly bigger than that of the open set.
299:
2309:
2003:
1220:
1123:
2254:
2244:
2041:
1939:
704:
137:{\displaystyle \emptyset \neq V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{\ell }\subset X.}
2134:
819:
48:
2753:
2037:
1947:
1317:
1182:
2139:
2694:
2659:
2594:
2588:
1977:
2757:
2680:
2106:
2708:
2673:
1039:
2704:
2669:
2655:
710:
184:
2590:
Motivic
Homotopy Theory: Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway, August 2002
575:
2280:
2218:
2198:
2178:
2086:
2066:
2046:
1344:
1259:
1162:
1019:
799:
779:
759:
739:
686:
666:
646:
284:{\displaystyle Y=V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{\ell }\subset X.}
17:
2800:
1973:
36:
371:
over a field is viewed as a scheme over the field, then the dimension of the scheme
2615:
1962:
1550:{\displaystyle R\to R/{\mathfrak {m}}_{R},f\mapsto f(0){\bmod {\mathfrak {m}}}_{R}}
663:
be an algebraic pre-variety; i.e., an integral scheme of finite type over a field
63:
is the dimension of the underlying topological space: the supremum of the lengths
2745:
1992:
component (which is then in fact an irreducible component), is equidimensional.
2441:{\displaystyle \eta =\operatorname {Spec} (k(\eta ))\to \operatorname {Spec} R}
2732:
2723:
2130:
2033:
2620:
465:
a field. Then it has dimension 2 (since it contains the hyperplane
1800:{\displaystyle {\mathfrak {m}}_{R}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{2}}
2175:. If all the nonempty fibers are purely of the same dimension
921:{\displaystyle X=\mathbb {A} _{R}^{1}=\operatorname {Spec} (R)}
2273:
The Spec of the symmetric algebra of the dual vector space of
1530:
2654:. 3. Folge., vol. 2 (2nd ed.), Berlin, New York:
1950:(implicitly assuming the dimensions are all well-defined).
2761:
1370:
has height-two and height-one maximal ideals; namely,
2454:
2395:
2351:
2312:
2283:
2221:
2201:
2181:
2142:
2109:
2089:
2069:
2049:
2006:
1965:, the union of a line and a point not on the line is
1819:
1756:
1725:
1690:
1594:
1563:
1469:
1435:
1376:
1347:
1320:
1285:
1262:
1223:
1185:
1165:
1126:
1062:
1042:
1022:
972:
934:
867:
822:
802:
782:
762:
742:
713:
689:
669:
649:
604:
578:
532:
471:
388:
316:
223:
153:
76:
1422:{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}=(\omega _{R}t-1)}
1009:{\displaystyle \operatorname {Spec} (R)=\{s,\eta \}}
350:
is precisely the height of the prime ideal defining
2515:
2440:
2382:{\displaystyle \pi :X\to \operatorname {Spec} (R)}
2381:
2337:
2289:
2227:
2207:
2187:
2167:
2121:
2095:
2075:
2055:
2024:
1905:
1799:
1742:
1707:
1672:
1580:
1549:
1455:
1421:
1362:
1333:
1302:
1268:
1248:
1209:
1171:
1151:
1112:
1048:
1036:corresponding to the maximal ideal and closed and
1028:
1008:
958:
920:
846:
808:
788:
768:
748:
728:
695:
675:
655:
628:
590:
556:
510:
453:
334:
283:
171:
136:
511:{\displaystyle H=\{x=0\}\subset \mathbb {A} ^{3}}
2652:Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete
1120:are closed and open, respectively. We note that
959:{\displaystyle \pi :X\to \operatorname {Spec} R}
454:{\displaystyle X=\operatorname {Spec} k/(xy,xz)}
2516:{\displaystyle R\otimes _{R}k(\eta )=k(\eta )}
2781:
2733:"29.29 Morphisms of given relative dimension"
1958:All irreducible schemes are equidimensional.
1113:{\displaystyle \pi ^{-1}(s),\pi ^{-1}(\eta )}
375:is the same as the vector-space dimension of
8:
1003:
991:
490:
478:
198:is an irreducible closed subset of a scheme
2693:, vol. 52, New York: Springer-Verlag,
629:{\displaystyle \operatorname {codim} (x,X)}
557:{\displaystyle \operatorname {codim} (x,X)}
2788:
2774:
2724:"28 Properties of Schemes/28.10 Dimension"
2574:
2562:
2550:
2538:
2471:
2453:
2394:
2350:
2317:
2311:
2282:
2220:
2200:
2180:
2147:
2141:
2108:
2088:
2068:
2048:
2005:
1879:
1873:
1872:
1861:
1837:
1831:
1830:
1818:
1791:
1785:
1784:
1765:
1759:
1758:
1755:
1734:
1728:
1727:
1724:
1699:
1693:
1692:
1689:
1655:
1650:
1619:
1607:
1593:
1572:
1566:
1565:
1562:
1541:
1534:
1533:
1529:
1501:
1495:
1494:
1488:
1468:
1444:
1438:
1437:
1434:
1401:
1385:
1379:
1378:
1375:
1346:
1325:
1319:
1294:
1288:
1287:
1284:
1261:
1228:
1222:
1184:
1164:
1131:
1125:
1092:
1067:
1061:
1056:the zero ideal and open. Then the fibers
1041:
1021:
971:
933:
885:
880:
876:
875:
866:
821:
801:
781:
761:
741:
712:
688:
668:
648:
603:
577:
531:
502:
498:
497:
470:
425:
387:
315:
266:
247:
234:
222:
214:of chains of irreducible closed subsets:
152:
119:
100:
87:
75:
67:of chains of irreducible closed subsets:
59:By definition, the dimension of a scheme
335:{\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}
306:if and only if the codimension of it in
172:{\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}
2531:
2266:
1673:{\displaystyle R/(\omega _{R}t-1)=R=}
367:If a finite-dimensional vector space
7:
2742:
2740:
1456:{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{2}=}
2553:, Ch. II, just after Example 3.2.6.
1874:
1832:
1786:
1760:
1743:{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{2}}
1729:
1708:{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}}
1694:
1581:{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}}
1567:
1535:
1496:
1439:
1380:
1303:{\displaystyle {\mathfrak {m}}_{R}}
1289:
342:is affine, then the codimension of
2760:. You can help Knowledge (XXG) by
2541:, Ch. I, just after Corollary 1.6.
77:
25:
1279:Continuing the same example, let
861:be a discrete valuation ring and
518:as an irreducible component). If
33:dimension of an algebraic variety
2744:
2614:Adeel, Ahmed Kahn (March 2013).
2338:{\displaystyle \pi ^{-1}(\eta )}
2025:{\displaystyle f:X\rightarrow Y}
1249:{\displaystyle \pi ^{-1}(\eta )}
1152:{\displaystyle \pi ^{-1}(\eta )}
2616:"Relative Dimension in Ncatlab"
1717:Krull's principal ideal theorem
210:is the supremum of the lengths
2510:
2504:
2501:
2495:
2486:
2480:
2464:
2458:
2426:
2423:
2420:
2414:
2408:
2376:
2370:
2361:
2332:
2326:
2162:
2156:
2016:
1891:
1868:
1849:
1826:
1777:
1771:
1664:
1643:
1634:
1612:
1604:
1598:
1525:
1519:
1513:
1482:
1479:
1473:
1416:
1394:
1357:
1351:
1243:
1237:
1146:
1140:
1107:
1101:
1082:
1076:
985:
979:
944:
915:
912:
906:
900:
723:
717:
623:
611:
551:
539:
448:
430:
422:
404:
1:
2691:Graduate Texts in Mathematics
928:the affine line over it. Let
847:{\displaystyle \dim U=\dim X}
796:is a nonempty open subset of
2731:The Stacks Project authors.
2722:The Stacks Project authors.
2577:, Ch. II, Exercise 3.20. (e)
2565:, Ch. II, Exercise 3.20. (b)
2083:. The relative dimension of
2277:is the scheme structure on
1334:{\displaystyle \omega _{R}}
27:In algebraic geometry, the
2828:
2739:
1680:the field of fractions of
1341:a generator. We note that
1210:{\displaystyle 2=1+\dim R}
202:, then the codimension of
2593:, Springer, p. 101,
2448:and so it is the Spec of
2250:Glossary of scheme theory
2215:is of relative dimension
2168:{\displaystyle f^{-1}(y)}
1159:has dimension one, while
294:An irreducible subset of
31:is a generalization of a
2807:Algebraic geometry stubs
2646:William Fulton. (1998),
2345:is the fiber product of
2306:In fact, by definition,
1310:be the maximal ideal of
683:. Then the dimension of
1936:pure dimensional scheme
2756:–related article is a
2517:
2442:
2383:
2339:
2291:
2229:
2209:
2189:
2169:
2123:
2122:{\displaystyle y\in Y}
2097:
2077:
2057:
2026:
1944:irreducible components
1932:equidimensional scheme
1926:Equidimensional scheme
1907:
1801:
1744:
1709:
1674:
1582:
1551:
1457:
1423:
1364:
1335:
1304:
1270:
1250:
1211:
1173:
1153:
1114:
1050:
1030:
1016:consists of 2 points,
1010:
960:
922:
848:
810:
790:
770:
750:
730:
707:of the function field
697:
677:
657:
630:
592:
558:
512:
455:
336:
285:
173:
138:
43:and, accordingly, the
41:relative point of view
18:Equidimensional scheme
2518:
2443:
2384:
2340:
2292:
2230:
2210:
2195:, then one says that
2190:
2170:
2124:
2098:
2078:
2058:
2027:
1908:
1802:
1750:has height two since
1745:
1710:
1675:
1583:
1552:
1458:
1424:
1365:
1336:
1305:
1271:
1251:
1212:
1174:
1154:
1115:
1051:
1049:{\displaystyle \eta }
1031:
1011:
961:
923:
849:
811:
791:
771:
751:
731:
698:
678:
658:
631:
593:
572:and is 1 if it is in
559:
522:is a closed point of
513:
456:
337:
300:irreducible component
286:
174:
139:
29:dimension of a scheme
2452:
2393:
2349:
2310:
2281:
2255:Equidimensional ring
2219:
2199:
2179:
2140:
2107:
2087:
2067:
2047:
2004:
1984:for some field
1817:
1754:
1723:
1688:
1592:
1561:
1467:
1433:
1374:
1345:
1318:
1283:
1260:
1221:
1183:
1163:
1124:
1060:
1040:
1020:
970:
932:
865:
820:
800:
780:
760:
740:
729:{\displaystyle k(X)}
711:
705:transcendence degree
687:
667:
647:
602:
576:
530:
469:
386:
314:
221:
151:
74:
2648:Intersection theory
1663:
966:be the projection.
890:
591:{\displaystyle X-H}
51:is also important.
49:morphism of schemes
2812:Algebraic geometry
2754:algebraic geometry
2686:Algebraic Geometry
2513:
2438:
2379:
2335:
2287:
2225:
2205:
2185:
2165:
2119:
2093:
2073:
2053:
2022:
1996:Relative dimension
1903:
1797:
1740:
1715:has height one by
1705:
1670:
1646:
1578:
1557:. The first ideal
1547:
1453:
1419:
1360:
1331:
1300:
1266:
1246:
1207:
1169:
1149:
1110:
1046:
1026:
1006:
956:
918:
874:
844:
806:
786:
766:
746:
726:
693:
673:
653:
636:for closed points
626:
588:
554:
508:
451:
332:
281:
169:
147:In particular, if
134:
45:relative dimension
2769:
2768:
2700:978-0-387-90244-9
2681:Hartshorne, Robin
2665:978-3-540-62046-4
2290:{\displaystyle V}
2245:Kleiman's theorem
2228:{\displaystyle n}
2208:{\displaystyle f}
2188:{\displaystyle n}
2096:{\displaystyle f}
2076:{\displaystyle Y}
2056:{\displaystyle X}
1980:) over Spec
1588:is maximal since
1363:{\displaystyle R}
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