5528:
1951:
5277:
165:. If a family of solutions of a single first-order partial differential equation can be found, then additional solutions may be obtained by forming envelopes of solutions in that family. In a related procedure, general solutions may be obtained by integrating families of ordinary differential equations.
1740:
4196:
If a complete integral is not available, solutions may still be obtained by solving a system of ordinary equations. To obtain this system, first note that the PDE determines a cone (analogous to the light cone) at each point: if the PDE is linear in the derivatives of
7104:
5523:{\displaystyle (*)\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}\sum \limits _{ij}^{}{a_{ij}^{(1)}{\dfrac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{1}}=0\\\vdots \\\sum \limits _{ij}^{}{a_{ij}^{(n)}{\dfrac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{n}}=0\end{array}}\right.}
6754:
177:
to the first order partial differential equation is a solution which contains an arbitrary function. But, the solution to the first order partial differential equations with as many arbitrary constants as the number of independent variables is called the
5779:
6100:
388:
The solutions are described in relatively simple manner in two or three dimensions with which the key concepts are trivially extended to higher dimensions. A general first-order partial differential equation in three dimensions has the form
5138:
6550:
898:. Note that the elimination of constants leading to the partial differential equation need not be unique, i.e., two different equations can result in the same complete integral, for example, elimination of constants from the relation
1583:
1461:
1339:
2695:
4054:
6961:
6656:
6286:
302:
144:
4191:
6421:
1729:
3393:
2476:
2381:
2286:
1946:{\displaystyle J={\frac {\partial (a,b,c)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{aligned}{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}
3786:
4879:
4779:
4666:
3719:
3652:
370:
2553:
1177:
3486:
Usually, most integrals fall into three categories defined above, but it may happen that a solution does not fit into any of three types of integrals mentioned above. These solutions are called
1810:
982:
2866:
4303:
2803:
6999:
7169:
4390:
544:
2191:
6856:
6667:
5894:
4460:
4534:
805:
755:
705:
615:
465:
5972:
5200:
3920:
6142:
5658:
3541:
1064:
Once a complete integral is found, a general solution can be constructed from it. The general integral is obtained by making the constants functions of the coordinates, i.e.,
5977:
896:
2095:
1028:
5626:
3129:
4932:
6805:
5835:
3219:
3184:
3088:
3021:
5231:
6322:
3853:
3827:
3583:
3472:
3434:
3317:
3291:
3253:
2973:
2947:
2048:
1624:
1215:
834:
653:
5653:
5585:
5558:
4089:
3053:
2130:
1644:
4940:
2010:
1984:
1054:
6432:
2576:
5921:
5802:
5255:
3940:
3149:
2909:
2889:
2738:
2718:
4671:
This direction corresponds to the light rays for the wave equation. To integrate differential equations along these directions, we require increments for
1467:
1345:
1223:
2584:
3948:
6864:
150:
7372:
6561:
6181:
188:
836:, the above three relations can be used to eliminate three constants and obtain an equation (original partial differential equation) relating
38:
4097:
1217:
are unaltered so that the elimination process from complete integral can be utilized. Differentiation of the complete integral now provides
5271:
An equivalent description is given. Two definitions of linear dependence are given for first-order linear partial differential equations.
6334:
1652:
3325:
2386:
2291:
2196:
7340:
7321:
7302:
7270:
2050:
because whenever a determinant is zero, the columns (or rows) are not linearly independent. Take this functional relation to be
3725:
4785:
4685:
4562:
3658:
3591:
310:
2481:
1067:
25:
901:
7099:{\displaystyle {\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|\quad {\hbox{is stationary for}}\quad {\vec {x_{0}}}\in S.\,}
2809:
4215:
2746:
1588:
in which we require the right-hand side terms of all the three equations to vanish identically so that elimination of
7112:
4314:
6749:{\displaystyle |{\vec {p}}\,|={\frac {1}{c}},\quad {\text{and}}\quad {\vec {x_{0}}}\quad {\text{is arbitrary}}.\,}
5266:
Courant, R. & Hilbert, D. (1962), Methods of
Mathematical Physics: Partial Differential Equations, II, p.15-18
473:
162:
2135:
6810:
4395:
The envelope of these planes is a cone, or a line if the PDE is quasi-linear. The condition for an envelope is
4401:
1646:
results in the partial differential equation. This requirement can be written more compactly by writing it as
5840:
4468:
6156:
761:
711:
661:
549:
6163:(with gauge conditions) are well-determined in definition II, whereas are over-determined in definition I.
395:
6152:
5774:{\textstyle {Z_{k}}\equiv \sum _{ij}^{}{a_{ij}^{(k)}{\frac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{k}}}
154:
6770:
are held fixed, the envelope of these solutions is obtained by finding a point on the sphere of radius 1/
6095:{\textstyle \sum _{k}{{c_{k}}{Z_{k}}}+\sum _{kl}{{d_{kl}}{\frac {\partial }{\partial {x_{l}}}}{Z_{k}}=0}}
5926:
5146:
3866:
6109:
3493:
6160:
839:
2056:
987:
5590:
3093:
4887:
6781:
5807:
3189:
3154:
3058:
2982:
7336:
7317:
7298:
7290:
7266:
7225:
6148:
5213:
6294:
5133:{\displaystyle dx:dy:du:dp:dq=F_{p}:F_{q}:(pF_{p}+qF_{q}):(-F_{x}-F_{u}p):(-F_{y}-F_{u}q).\,}
4201:(it is quasi-linear), then the cone degenerates into a line. In the general case, the pairs (
3832:
3794:
3550:
3439:
3401:
3296:
3258:
3232:
2952:
2914:
2015:
1591:
1182:
813:
620:
6545:{\displaystyle {\vec {x}}=(x,y,z)\quad {\hbox{and}}\quad {\vec {p}}=(u_{x},u_{y},u_{z}).\,}
5631:
5563:
5536:
4062:
3026:
2103:
1629:
7252:
1989:
1963:
1033:
6985:=0. The solution is obtained by taking the envelope of all the spheres with centers on
2558:
5906:
5787:
5240:
3925:
3134:
2894:
2874:
2723:
2703:
377:
7366:
7256:
6172:
5257:
equations are independent, i.e., that none of them can be deduced from the other by
5202:. General solutions of the PDE can then be obtained from envelopes of such conoids.
1578:{\displaystyle \phi _{z}+r\phi _{u}=-(a_{z}\phi _{a}+b_{z}\phi _{b}+c_{z}\phi _{c})}
1456:{\displaystyle \phi _{y}+q\phi _{u}=-(a_{y}\phi _{a}+b_{y}\phi _{b}+c_{y}\phi _{c})}
1334:{\displaystyle \phi _{x}+p\phi _{u}=-(a_{x}\phi _{a}+b_{x}\phi _{b}+c_{x}\phi _{c})}
6973:
The initial value problem for this equation consists in specifying a level surface
2690:{\displaystyle (\phi _{a}+\phi _{c}\psi _{a})da+(\phi _{b}+\phi _{c}\psi _{b})db=0}
6966:
These solutions correspond to spheres whose radius grows or shrinks with velocity
7260:
158:
17:
4049:{\displaystyle \phi (x,y,z,a,\psi (a))=0,\quad \phi _{a}+\psi _{a}\phi _{b}=0.}
7333:
Handbook of Linear
Partial Differential Equations for Engineers and Scientists
6956:{\displaystyle u({\vec {x}})=\pm {\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|.}
7351:
6651:{\displaystyle u({\vec {x}})={\vec {p}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}),\,}
6281:{\displaystyle u_{t}^{2}=c^{2}\left(u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}\right).\,}
161:
problems, and in simple models for gas dynamics whose solution involves the
4209:) that satisfy the equation determine a family of planes at a given point:
372:. The below discussions on the type of integrals are based on the textbook
7229:
297:{\displaystyle \phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},u,a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}
1957:
149:
Such equations arise in the construction of characteristic surfaces for
139:{\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{n},u,u_{x_{1}},\ldots u_{x_{n}})=0.\,}
5143:
The integration of these equations leads to a ray conoid at each point
4186:{\displaystyle \phi (x,y,z,a,b)=0,\quad \phi _{a}=0,\quad \phi _{b}=0.}
7352:"The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws"
6416:{\displaystyle u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}={\frac {1}{c^{2}}}.\,}
4059:
The singular integral if it exists can be obtained by eliminating
2132:
is found, the problem is solved. From the above relation, we have
1724:{\displaystyle J\phi _{a}=0,\quad J\phi _{b}=0,\quad J\phi _{c}=0}
6555:
A family of solutions with planes as level surfaces is given by
3863:
The complete integral in two-dimensional space can be written as
3855:
will turn out to be one of the three integrals described before.
617:
be the complete integral that contains three arbitrary constants
4679:
along the ray. This can be obtained by differentiating the PDE:
3388:{\displaystyle \phi _{a}=0,\quad \phi _{b}=0,\quad \phi _{c}=0.}
2471:{\displaystyle (a_{z}\phi _{a}+b_{z}\phi _{b}+c_{z}\phi _{c})=0}
2376:{\displaystyle (a_{y}\phi _{a}+b_{y}\phi _{b}+c_{y}\phi _{c})=0}
2281:{\displaystyle (a_{x}\phi _{a}+b_{x}\phi _{b}+c_{x}\phi _{c})=0}
28:
that involves only first derivatives of the unknown function of
7262:
Methods of
Mathematical Physics: Partial Differential Equations
3543:
that satisfies the partial differential equation is said to a
655:. From this we can obtain three relations by differentiation
4556:=0. Hence the generator of the cone is a line with direction
7242:
Forsyth, A. R. (1928). A treatise on differential equations.
3398:
The three equations can be used to solve the three unknowns
5517:
7199:
is the envelope of these spherical waves. The normals to
5206:
Definitions of linear dependence for differential systems
7175:. Thus the envelope corresponds to motion with velocity
3781:{\displaystyle \phi _{z}\chi _{u}-\chi _{z}\phi _{u}=0.}
7312:
Polyanin, A. D.; Zaitsev, V. F.; Moussiaux, A. (2002).
4874:{\displaystyle F_{y}+F_{u}q+F_{p}q_{x}+F_{q}q_{y}=0,\,}
4774:{\displaystyle F_{x}+F_{u}p+F_{p}p_{x}+F_{q}p_{y}=0,\,}
4661:{\displaystyle dx:dy:du=F_{p}:F_{q}:(pF_{p}+qF_{q}).\,}
3714:{\displaystyle \phi _{y}\chi _{u}-\chi _{y}\phi _{u}=0}
3647:{\displaystyle \phi _{x}\chi _{u}-\chi _{x}\phi _{u}=0}
2979:. Thus a general integral describes a relation between
7314:
Handbook of First Order
Partial Differential Equations
7060:
6474:
5980:
5843:
5661:
5295:
1818:
365:{\displaystyle {\text{det}}|\phi _{x_{i}a_{j}}|\neq 0}
7115:
7002:
6867:
6813:
6784:
6670:
6564:
6435:
6337:
6297:
6184:
6144:, this definition degenerates into the definition I.
6112:
5929:
5909:
5810:
5790:
5634:
5593:
5566:
5539:
5452:
5339:
5280:
5243:
5216:
5149:
4943:
4890:
4788:
4688:
4565:
4471:
4404:
4317:
4218:
4100:
4065:
3951:
3928:
3869:
3835:
3797:
3728:
3661:
3594:
3553:
3496:
3442:
3404:
3328:
3299:
3261:
3235:
3192:
3157:
3137:
3096:
3061:
3029:
2985:
2955:
2917:
2897:
2877:
2812:
2749:
2726:
2706:
2587:
2561:
2548:{\displaystyle \phi _{a}da+\phi _{b}db+\phi _{c}dc=0}
2484:
2389:
2294:
2199:
2138:
2106:
2059:
2018:
1992:
1966:
1743:
1655:
1632:
1594:
1470:
1348:
1226:
1185:
1070:
1036:
990:
904:
842:
816:
764:
714:
664:
623:
552:
476:
398:
313:
191:
41:
1179:. These functions are chosen such that the forms of
1172:{\displaystyle a=a(x,y,z),\,b=b(x,y,z),\,c=c(x,y,z)}
3151:zero, but this is not always needed. The relations
977:{\displaystyle u={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}+z-c}
7356:Journal of Online Mathematics and Its Applications
7163:
7098:
6955:
6850:
6799:
6748:
6650:
6544:
6415:
6316:
6280:
6136:
6094:
5966:
5915:
5888:
5829:
5796:
5773:
5647:
5620:
5579:
5552:
5522:
5249:
5225:
5194:
5132:
4926:
4873:
4773:
4660:
4528:
4454:
4384:
4297:
4185:
4083:
4048:
3934:
3922:. The general integral is obtained by eliminating
3914:
3847:
3821:
3780:
3713:
3646:
3577:
3535:
3466:
3428:
3387:
3311:
3285:
3247:
3213:
3178:
3143:
3123:
3082:
3047:
3015:
2967:
2941:
2903:
2883:
2860:
2797:
2732:
2712:
2689:
2570:
2547:
2470:
2375:
2280:
2185:
2124:
2089:
2042:
2012:, then there exists a functional relation between
2004:
1978:
1945:
1723:
1638:
1618:
1577:
1455:
1333:
1209:
1171:
1048:
1022:
976:
890:
828:
799:
749:
699:
647:
609:
538:
459:
364:
296:
138:
6175:are level surfaces for solutions of the equation
2861:{\displaystyle (\phi _{b}+\phi _{c}\psi _{b})=0.}
4298:{\displaystyle u-u_{0}=p(x-x_{0})+q(y-y_{0}),\,}
2798:{\displaystyle (\phi _{a}+\phi _{c}\psi _{a})=0}
182:. The following n-parameter family of solutions
5235:
7265:. Vol. II. New York: Wiley-Interscience.
6993:. This envelope is obtained by requiring that
7297:. Providence: American Mathematical Society.
7164:{\displaystyle |{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|}
6291:There is little loss of generality if we set
6167:Characteristic surfaces for the wave equation
4385:{\displaystyle F(x_{0},y_{0},u_{0},p,q)=0.\,}
2871:The above two equations can be used to solve
8:
7335:. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press.
539:{\displaystyle p=u_{x},\,q=u_{y},\,r=u_{z}.}
2578:from the two equations derived, we obtain
2186:{\displaystyle dc=\psi _{a}da+\psi _{b}db}
7156:
7155:
7143:
7137:
7136:
7122:
7121:
7116:
7114:
7095:
7074:
7068:
7067:
7059:
7053:
7052:
7040:
7034:
7033:
7019:
7018:
7013:
7003:
7001:
6945:
6944:
6932:
6926:
6925:
6911:
6910:
6905:
6895:
6875:
6874:
6866:
6851:{\displaystyle {\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}}
6836:
6830:
6829:
6815:
6814:
6812:
6786:
6785:
6783:
6745:
6737:
6724:
6718:
6717:
6711:
6697:
6689:
6688:
6677:
6676:
6671:
6669:
6647:
6629:
6623:
6622:
6608:
6607:
6590:
6589:
6572:
6571:
6563:
6541:
6529:
6516:
6503:
6482:
6481:
6473:
6437:
6436:
6434:
6412:
6401:
6392:
6383:
6378:
6365:
6360:
6347:
6342:
6336:
6302:
6296:
6277:
6263:
6258:
6245:
6240:
6227:
6222:
6207:
6194:
6189:
6183:
6118:
6113:
6111:
6078:
6073:
6063:
6058:
6049:
6039:
6034:
6033:
6024:
6009:
6004:
5997:
5992:
5991:
5985:
5979:
5949:
5935:
5930:
5928:
5908:
5872:
5867:
5860:
5855:
5854:
5848:
5842:
5815:
5809:
5789:
5764:
5759:
5745:
5740:
5728:
5723:
5717:
5705:
5697:
5692:
5689:
5681:
5667:
5662:
5660:
5639:
5633:
5606:
5598:
5592:
5571:
5565:
5544:
5538:
5500:
5495:
5480:
5475:
5463:
5458:
5451:
5439:
5431:
5426:
5423:
5415:
5387:
5382:
5367:
5362:
5350:
5345:
5338:
5326:
5318:
5313:
5310:
5302:
5294:
5279:
5242:
5215:
5183:
5170:
5157:
5148:
5129:
5114:
5101:
5076:
5063:
5041:
5025:
5006:
4993:
4942:
4889:
4870:
4855:
4845:
4832:
4822:
4806:
4793:
4787:
4770:
4755:
4745:
4732:
4722:
4706:
4693:
4687:
4657:
4645:
4629:
4610:
4597:
4564:
4505:
4492:
4479:
4470:
4451:
4435:
4429:
4415:
4409:
4403:
4381:
4354:
4341:
4328:
4316:
4294:
4282:
4254:
4229:
4217:
4171:
4151:
4099:
4064:
4034:
4024:
4011:
3950:
3927:
3868:
3834:
3796:
3766:
3756:
3743:
3733:
3727:
3699:
3689:
3676:
3666:
3660:
3632:
3622:
3609:
3599:
3593:
3552:
3495:
3441:
3403:
3373:
3353:
3333:
3327:
3298:
3260:
3234:
3191:
3156:
3136:
3095:
3060:
3028:
2984:
2954:
2916:
2896:
2876:
2843:
2833:
2820:
2811:
2780:
2770:
2757:
2748:
2725:
2705:
2666:
2656:
2643:
2618:
2608:
2595:
2586:
2560:
2527:
2508:
2489:
2483:
2453:
2443:
2430:
2420:
2407:
2397:
2388:
2358:
2348:
2335:
2325:
2312:
2302:
2293:
2263:
2253:
2240:
2230:
2217:
2207:
2198:
2171:
2152:
2137:
2105:
2058:
2017:
1991:
1965:
1925:
1913:
1901:
1887:
1875:
1863:
1849:
1837:
1825:
1813:
1809:
1750:
1742:
1709:
1686:
1663:
1654:
1631:
1593:
1566:
1556:
1543:
1533:
1520:
1510:
1491:
1475:
1469:
1444:
1434:
1421:
1411:
1398:
1388:
1369:
1353:
1347:
1322:
1312:
1299:
1289:
1276:
1266:
1247:
1231:
1225:
1184:
1138:
1104:
1069:
1035:
1008:
995:
989:
954:
929:
911:
903:
841:
815:
785:
769:
763:
735:
719:
713:
685:
669:
663:
622:
551:
527:
516:
507:
496:
487:
475:
456:
397:
351:
343:
333:
328:
319:
314:
312:
285:
266:
253:
234:
215:
202:
190:
151:hyperbolic partial differential equations
135:
118:
113:
95:
90:
71:
52:
40:
22:first-order partial differential equation
5889:{\textstyle \sum _{k}{{c_{k}}{Z_{k}}=0}}
4455:{\displaystyle F_{p}\,dp+F_{q}\,dq=0,\,}
1986:leads to the general solution. Whenever
7212:
7195:=0, and the wave front at a later time
6970:. These are light cones in space-time.
4529:{\displaystyle (x_{0},y_{0},u_{0},p,q)}
32:variables. The equation takes the form
6159:(with four harmonic coordinates) and
3829:from the above set of equations, then
3436:. Solution obtained by elimination of
3221:suffice to make the determinant zero.
800:{\displaystyle \phi _{z}+r\phi _{u}=0}
750:{\displaystyle \phi _{y}+q\phi _{u}=0}
700:{\displaystyle \phi _{x}+p\phi _{u}=0}
610:{\displaystyle \phi (x,y,z,u,a,b,c)=0}
169:General solution and complete integral
460:{\displaystyle F(x,y,z,u,p,q,r)=0,\,}
7:
7185:Huygens' construction of wave fronts
7109:This condition will be satisfied if
5896:; the Eqs.(*) are linear dependent.
5784:Definition I: Given a number field
2193:. By summing the original equations
374:A Treatise on Differential Equations
5967:{\displaystyle {c_{k}},d_{kl}\in P}
5412:
5299:
5195:{\displaystyle (x_{0},y_{0},u_{0})}
3229:Singular integral is obtained when
6858:. Hence the envelope has equation
6055:
6051:
5737:
5720:
5472:
5455:
5359:
5342:
5217:
3915:{\displaystyle \phi (x,y,u,a,b)=0}
3474:this way leads to what are called
3023:, two known independent functions
1779:
1753:
376:(Chaper IX, 6th edition, 1928) by
14:
6989:, whose radii grow with velocity
5655:are non-homogeneous items. Let
810:Along with the complete integral
7316:. London: Taylor & Francis.
6171:Characteristic surfaces for the
6137:{\displaystyle {d_{kl}}\equiv 0}
5804:, when there are coefficients (
3536:{\displaystyle \chi (x,y,z,u)=0}
7191:emits a spherical wave at time
7066:
7058:
6778:is stationary. This is true if
6736:
6716:
6710:
6480:
6472:
5923:, when there are coefficients (
4884:Therefore the ray direction in
4166:
4146:
4006:
3368:
3348:
3255:. In this case, elimination of
1701:
1678:
891:{\displaystyle (x,y,z,u,p,q,r)}
7373:Partial differential equations
7295:Partial Differential Equations
7222:Partial Differential Equations
7157:
7149:
7127:
7117:
7080:
7054:
7046:
7024:
7014:
6946:
6938:
6916:
6906:
6886:
6880:
6871:
6842:
6820:
6791:
6730:
6690:
6682:
6672:
6641:
6635:
6613:
6604:
6595:
6583:
6577:
6568:
6535:
6496:
6487:
6469:
6451:
6442:
5901:differential linear dependence
5712:
5706:
5628:are linear coefficients; and
5613:
5607:
5446:
5440:
5333:
5327:
5287:
5281:
5189:
5150:
5123:
5091:
5085:
5053:
5047:
5015:
4921:
4891:
4651:
4619:
4523:
4472:
4372:
4321:
4288:
4269:
4260:
4241:
4134:
4104:
4078:
4066:
3994:
3991:
3985:
3955:
3903:
3873:
3816:
3798:
3572:
3554:
3547:if we are unable to determine
3524:
3500:
3461:
3443:
3423:
3405:
3280:
3262:
3208:
3202:
3173:
3167:
3118:
3106:
3077:
3065:
3042:
3030:
3010:
2986:
2936:
2918:
2849:
2813:
2786:
2750:
2672:
2636:
2624:
2588:
2459:
2390:
2364:
2295:
2269:
2200:
2119:
2107:
2081:
2069:
2037:
2019:
1800:
1782:
1774:
1756:
1613:
1595:
1572:
1503:
1450:
1381:
1328:
1259:
1204:
1186:
1166:
1148:
1132:
1114:
1098:
1080:
951:
938:
926:
913:
885:
843:
642:
624:
598:
556:
444:
402:
352:
320:
291:
195:
126:
45:
1:
6102:, the Eqs.(*) are thought as
5210:This part can be referred to
4091:from the following equations
3942:from the following equations
3585:from the following equations
2090:{\displaystyle c=\psi (a,b).}
1023:{\displaystyle p^{2}+q^{2}=1}
26:partial differential equation
5974:), not all zero, such that
5837:), not all zero, such that
5621:{\displaystyle a_{ij}^{(k)}}
3124:{\displaystyle c=\psi (a,b)}
3090:. Note that we have assumed
2740:are independent, we require
5903:): Given a number field
5560:are independent variables;
4927:{\displaystyle (x,y,u,p,q)}
1960:determinant. The condition
7389:
7220:Garabedian, P. R. (1964).
6800:{\displaystyle {\vec {p}}}
5830:{\displaystyle c_{k}\in P}
3214:{\displaystyle c=\psi (b)}
3179:{\displaystyle c=\psi (a)}
3083:{\displaystyle \psi (a,b)}
3055:and an arbitrary function
307:is a complete integral if
5587:are dependent unknowns;
3016:{\displaystyle (x,y,z,u)}
163:method of characteristics
7331:Polyanin, A. D. (2002).
6426:In vector notation, let
5226:{\displaystyle \S 1.2.3}
4465:where F is evaluated at
3791:If we able to determine
3131:to make the determinant
6317:{\displaystyle u_{t}=1}
3848:{\displaystyle \chi =0}
3822:{\displaystyle (a,b,c)}
3578:{\displaystyle (a,b,c)}
3467:{\displaystyle (a,b,c)}
3429:{\displaystyle (a,b,c)}
3312:{\displaystyle \phi =0}
3286:{\displaystyle (a,b,c)}
3248:{\displaystyle J\neq 0}
2968:{\displaystyle \phi =0}
2942:{\displaystyle (a,b,c)}
2043:{\displaystyle (a,b,c)}
1619:{\displaystyle (a,b,c)}
1210:{\displaystyle (p,q,r)}
829:{\displaystyle \phi =0}
648:{\displaystyle (a,b,c)}
7165:
7100:
6957:
6852:
6801:
6750:
6652:
6546:
6417:
6318:
6282:
6138:
6106:linear dependent. If
6096:
5968:
5917:
5890:
5831:
5798:
5775:
5691:
5649:
5622:
5581:
5554:
5524:
5425:
5312:
5269:
5251:
5227:
5196:
5134:
4928:
4875:
4775:
4662:
4530:
4456:
4386:
4299:
4187:
4085:
4050:
3936:
3916:
3849:
3823:
3782:
3715:
3648:
3579:
3537:
3468:
3430:
3389:
3313:
3287:
3249:
3215:
3180:
3145:
3125:
3084:
3049:
3017:
2969:
2943:
2905:
2885:
2862:
2799:
2734:
2714:
2691:
2572:
2549:
2472:
2377:
2282:
2187:
2126:
2091:
2044:
2006:
1980:
1947:
1725:
1640:
1620:
1579:
1457:
1335:
1211:
1173:
1050:
1024:
978:
892:
830:
801:
751:
701:
649:
611:
540:
461:
366:
298:
155:calculus of variations
140:
7350:Sarra, Scott (2003).
7179:along each normal to
7166:
7101:
6958:
6853:
6802:
6751:
6653:
6547:
6418:
6319:
6283:
6139:
6097:
5969:
5918:
5891:
5832:
5799:
5776:
5677:
5650:
5648:{\displaystyle f_{k}}
5623:
5582:
5580:{\displaystyle y_{j}}
5555:
5553:{\displaystyle x_{i}}
5525:
5411:
5298:
5252:
5237:We assume that these
5228:
5197:
5135:
4929:
4876:
4776:
4663:
4531:
4457:
4387:
4300:
4188:
4086:
4084:{\displaystyle (a,b)}
4051:
3937:
3917:
3850:
3824:
3783:
3716:
3649:
3580:
3538:
3469:
3431:
3390:
3314:
3288:
3250:
3216:
3181:
3146:
3126:
3085:
3050:
3048:{\displaystyle (a,b)}
3018:
2970:
2944:
2906:
2886:
2863:
2800:
2735:
2715:
2692:
2573:
2550:
2473:
2378:
2283:
2188:
2127:
2125:{\displaystyle (a,b)}
2092:
2045:
2007:
1981:
1948:
1726:
1641:
1639:{\displaystyle \phi }
1621:
1580:
1458:
1336:
1212:
1174:
1051:
1025:
979:
893:
831:
802:
752:
702:
650:
612:
541:
462:
367:
299:
141:
7203:are the light rays.
7113:
7000:
6865:
6811:
6782:
6668:
6562:
6433:
6335:
6295:
6182:
6161:Yang-Mills equations
6157:Einstein's equations
6110:
5978:
5927:
5907:
5841:
5808:
5788:
5659:
5632:
5591:
5564:
5537:
5278:
5241:
5233:of Courant's book.
5214:
5147:
4941:
4888:
4786:
4686:
4563:
4469:
4402:
4315:
4216:
4098:
4063:
3949:
3926:
3867:
3859:Two dimensional case
3833:
3795:
3726:
3659:
3592:
3551:
3494:
3440:
3402:
3326:
3297:
3259:
3233:
3190:
3155:
3135:
3094:
3059:
3027:
2983:
2953:
2915:
2895:
2875:
2810:
2747:
2724:
2704:
2585:
2559:
2482:
2387:
2292:
2197:
2136:
2104:
2057:
2016:
1990:
1964:
1741:
1653:
1630:
1592:
1468:
1346:
1224:
1183:
1068:
1034:
988:
902:
840:
814:
762:
712:
662:
621:
550:
474:
396:
311:
189:
39:
7224:. New York: Wiley.
6774:where the value of
6388:
6370:
6352:
6268:
6250:
6232:
6199:
6153:Maxwell's equations
5716:
5617:
5450:
5337:
2005:{\displaystyle J=0}
1979:{\displaystyle J=0}
1049:{\displaystyle r=1}
7161:
7096:
7064:
6953:
6848:
6797:
6746:
6648:
6542:
6478:
6413:
6374:
6356:
6338:
6314:
6278:
6254:
6236:
6218:
6185:
6134:
6092:
6032:
5990:
5964:
5913:
5886:
5853:
5827:
5794:
5771:
5693:
5645:
5618:
5594:
5577:
5550:
5520:
5515:
5489:
5427:
5376:
5314:
5247:
5223:
5192:
5130:
4924:
4871:
4771:
4658:
4544:are increments of
4526:
4452:
4382:
4295:
4183:
4081:
4046:
3932:
3912:
3845:
3819:
3778:
3711:
3644:
3575:
3533:
3476:singular integrals
3464:
3426:
3385:
3309:
3283:
3245:
3211:
3176:
3141:
3121:
3080:
3045:
3013:
2965:
2939:
2901:
2881:
2858:
2795:
2730:
2710:
2687:
2571:{\displaystyle dc}
2568:
2555:. Now eliminating
2545:
2468:
2373:
2278:
2183:
2122:
2087:
2040:
2002:
1976:
1943:
1941:
1933:
1721:
1636:
1616:
1575:
1453:
1331:
1207:
1169:
1046:
1020:
974:
888:
826:
797:
747:
697:
645:
607:
536:
457:
362:
294:
136:
7152:
7130:
7083:
7063:
7062:is stationary for
7049:
7027:
7011:
6941:
6919:
6903:
6883:
6845:
6823:
6794:
6740:
6733:
6714:
6705:
6685:
6638:
6616:
6598:
6580:
6490:
6477:
6445:
6407:
6071:
6020:
5981:
5916:{\displaystyle P}
5844:
5797:{\displaystyle P}
5753:
5488:
5375:
5261:and elimination.
5250:{\displaystyle h}
3935:{\displaystyle a}
3488:special integrals
3225:Singular integral
3144:{\displaystyle J}
2904:{\displaystyle b}
2884:{\displaystyle a}
2733:{\displaystyle b}
2713:{\displaystyle a}
1804:
960:
384:Complete integral
317:
180:complete integral
7380:
7359:
7346:
7327:
7308:
7277:
7276:
7249:
7243:
7240:
7234:
7233:
7217:
7187:: each point on
7170:
7168:
7167:
7162:
7160:
7154:
7153:
7148:
7147:
7138:
7132:
7131:
7123:
7120:
7105:
7103:
7102:
7097:
7085:
7084:
7079:
7078:
7069:
7065:
7061:
7057:
7051:
7050:
7045:
7044:
7035:
7029:
7028:
7020:
7017:
7012:
7004:
6962:
6960:
6959:
6954:
6949:
6943:
6942:
6937:
6936:
6927:
6921:
6920:
6912:
6909:
6904:
6896:
6885:
6884:
6876:
6857:
6855:
6854:
6849:
6847:
6846:
6841:
6840:
6831:
6825:
6824:
6816:
6806:
6804:
6803:
6798:
6796:
6795:
6787:
6755:
6753:
6752:
6747:
6741:
6738:
6735:
6734:
6729:
6728:
6719:
6715:
6712:
6706:
6698:
6693:
6687:
6686:
6678:
6675:
6657:
6655:
6654:
6649:
6640:
6639:
6634:
6633:
6624:
6618:
6617:
6609:
6600:
6599:
6591:
6582:
6581:
6573:
6551:
6549:
6548:
6543:
6534:
6533:
6521:
6520:
6508:
6507:
6492:
6491:
6483:
6479:
6475:
6447:
6446:
6438:
6422:
6420:
6419:
6414:
6408:
6406:
6405:
6393:
6387:
6382:
6369:
6364:
6351:
6346:
6323:
6321:
6320:
6315:
6307:
6306:
6287:
6285:
6284:
6279:
6273:
6269:
6267:
6262:
6249:
6244:
6231:
6226:
6212:
6211:
6198:
6193:
6143:
6141:
6140:
6135:
6127:
6126:
6125:
6101:
6099:
6098:
6093:
6091:
6084:
6083:
6082:
6072:
6070:
6069:
6068:
6067:
6050:
6048:
6047:
6046:
6031:
6016:
6015:
6014:
6013:
6003:
6002:
6001:
5989:
5973:
5971:
5970:
5965:
5957:
5956:
5941:
5940:
5939:
5922:
5920:
5919:
5914:
5895:
5893:
5892:
5887:
5885:
5878:
5877:
5876:
5866:
5865:
5864:
5852:
5836:
5834:
5833:
5828:
5820:
5819:
5803:
5801:
5800:
5795:
5780:
5778:
5777:
5772:
5770:
5769:
5768:
5755:
5754:
5752:
5751:
5750:
5749:
5735:
5734:
5733:
5732:
5718:
5715:
5704:
5690:
5688:
5673:
5672:
5671:
5654:
5652:
5651:
5646:
5644:
5643:
5627:
5625:
5624:
5619:
5616:
5605:
5586:
5584:
5583:
5578:
5576:
5575:
5559:
5557:
5556:
5551:
5549:
5548:
5529:
5527:
5526:
5521:
5519:
5516:
5506:
5505:
5504:
5491:
5490:
5487:
5486:
5485:
5484:
5470:
5469:
5468:
5467:
5453:
5449:
5438:
5424:
5422:
5393:
5392:
5391:
5378:
5377:
5374:
5373:
5372:
5371:
5357:
5356:
5355:
5354:
5340:
5336:
5325:
5311:
5309:
5267:
5256:
5254:
5253:
5248:
5232:
5230:
5229:
5224:
5201:
5199:
5198:
5193:
5188:
5187:
5175:
5174:
5162:
5161:
5139:
5137:
5136:
5131:
5119:
5118:
5106:
5105:
5081:
5080:
5068:
5067:
5046:
5045:
5030:
5029:
5011:
5010:
4998:
4997:
4933:
4931:
4930:
4925:
4880:
4878:
4877:
4872:
4860:
4859:
4850:
4849:
4837:
4836:
4827:
4826:
4811:
4810:
4798:
4797:
4780:
4778:
4777:
4772:
4760:
4759:
4750:
4749:
4737:
4736:
4727:
4726:
4711:
4710:
4698:
4697:
4667:
4665:
4664:
4659:
4650:
4649:
4634:
4633:
4615:
4614:
4602:
4601:
4535:
4533:
4532:
4527:
4510:
4509:
4497:
4496:
4484:
4483:
4461:
4459:
4458:
4453:
4434:
4433:
4414:
4413:
4391:
4389:
4388:
4383:
4359:
4358:
4346:
4345:
4333:
4332:
4304:
4302:
4301:
4296:
4287:
4286:
4259:
4258:
4234:
4233:
4192:
4190:
4189:
4184:
4176:
4175:
4156:
4155:
4090:
4088:
4087:
4082:
4055:
4053:
4052:
4047:
4039:
4038:
4029:
4028:
4016:
4015:
3941:
3939:
3938:
3933:
3921:
3919:
3918:
3913:
3854:
3852:
3851:
3846:
3828:
3826:
3825:
3820:
3787:
3785:
3784:
3779:
3771:
3770:
3761:
3760:
3748:
3747:
3738:
3737:
3720:
3718:
3717:
3712:
3704:
3703:
3694:
3693:
3681:
3680:
3671:
3670:
3653:
3651:
3650:
3645:
3637:
3636:
3627:
3626:
3614:
3613:
3604:
3603:
3584:
3582:
3581:
3576:
3545:special integral
3542:
3540:
3539:
3534:
3482:Special integral
3473:
3471:
3470:
3465:
3435:
3433:
3432:
3427:
3394:
3392:
3391:
3386:
3378:
3377:
3358:
3357:
3338:
3337:
3318:
3316:
3315:
3310:
3292:
3290:
3289:
3284:
3254:
3252:
3251:
3246:
3220:
3218:
3217:
3212:
3185:
3183:
3182:
3177:
3150:
3148:
3147:
3142:
3130:
3128:
3127:
3122:
3089:
3087:
3086:
3081:
3054:
3052:
3051:
3046:
3022:
3020:
3019:
3014:
2977:general integral
2975:, we obtain the
2974:
2972:
2971:
2966:
2948:
2946:
2945:
2940:
2910:
2908:
2907:
2902:
2890:
2888:
2887:
2882:
2867:
2865:
2864:
2859:
2848:
2847:
2838:
2837:
2825:
2824:
2804:
2802:
2801:
2796:
2785:
2784:
2775:
2774:
2762:
2761:
2739:
2737:
2736:
2731:
2719:
2717:
2716:
2711:
2696:
2694:
2693:
2688:
2671:
2670:
2661:
2660:
2648:
2647:
2623:
2622:
2613:
2612:
2600:
2599:
2577:
2575:
2574:
2569:
2554:
2552:
2551:
2546:
2532:
2531:
2513:
2512:
2494:
2493:
2477:
2475:
2474:
2469:
2458:
2457:
2448:
2447:
2435:
2434:
2425:
2424:
2412:
2411:
2402:
2401:
2382:
2380:
2379:
2374:
2363:
2362:
2353:
2352:
2340:
2339:
2330:
2329:
2317:
2316:
2307:
2306:
2287:
2285:
2284:
2279:
2268:
2267:
2258:
2257:
2245:
2244:
2235:
2234:
2222:
2221:
2212:
2211:
2192:
2190:
2189:
2184:
2176:
2175:
2157:
2156:
2131:
2129:
2128:
2123:
2096:
2094:
2093:
2088:
2049:
2047:
2046:
2041:
2011:
2009:
2008:
2003:
1985:
1983:
1982:
1977:
1952:
1950:
1949:
1944:
1942:
1938:
1937:
1930:
1929:
1918:
1917:
1906:
1905:
1892:
1891:
1880:
1879:
1868:
1867:
1854:
1853:
1842:
1841:
1830:
1829:
1805:
1803:
1777:
1751:
1730:
1728:
1727:
1722:
1714:
1713:
1691:
1690:
1668:
1667:
1645:
1643:
1642:
1637:
1625:
1623:
1622:
1617:
1584:
1582:
1581:
1576:
1571:
1570:
1561:
1560:
1548:
1547:
1538:
1537:
1525:
1524:
1515:
1514:
1496:
1495:
1480:
1479:
1462:
1460:
1459:
1454:
1449:
1448:
1439:
1438:
1426:
1425:
1416:
1415:
1403:
1402:
1393:
1392:
1374:
1373:
1358:
1357:
1340:
1338:
1337:
1332:
1327:
1326:
1317:
1316:
1304:
1303:
1294:
1293:
1281:
1280:
1271:
1270:
1252:
1251:
1236:
1235:
1216:
1214:
1213:
1208:
1178:
1176:
1175:
1170:
1060:General integral
1055:
1053:
1052:
1047:
1029:
1027:
1026:
1021:
1013:
1012:
1000:
999:
983:
981:
980:
975:
961:
959:
958:
934:
933:
912:
897:
895:
894:
889:
835:
833:
832:
827:
806:
804:
803:
798:
790:
789:
774:
773:
756:
754:
753:
748:
740:
739:
724:
723:
706:
704:
703:
698:
690:
689:
674:
673:
654:
652:
651:
646:
616:
614:
613:
608:
545:
543:
542:
537:
532:
531:
512:
511:
492:
491:
466:
464:
463:
458:
371:
369:
368:
363:
355:
350:
349:
348:
347:
338:
337:
323:
318:
315:
303:
301:
300:
295:
290:
289:
271:
270:
258:
257:
239:
238:
220:
219:
207:
206:
175:general solution
145:
143:
142:
137:
125:
124:
123:
122:
102:
101:
100:
99:
76:
75:
57:
56:
7388:
7387:
7383:
7382:
7381:
7379:
7378:
7377:
7363:
7362:
7349:
7343:
7330:
7324:
7311:
7305:
7289:
7286:
7284:Further reading
7281:
7280:
7273:
7251:
7250:
7246:
7241:
7237:
7219:
7218:
7214:
7209:
7139:
7111:
7110:
7070:
7036:
6998:
6997:
6928:
6863:
6862:
6832:
6809:
6808:
6807:is parallel to
6780:
6779:
6769:
6720:
6666:
6665:
6625:
6560:
6559:
6525:
6512:
6499:
6431:
6430:
6397:
6333:
6332:
6324:: in that case
6298:
6293:
6292:
6217:
6213:
6203:
6180:
6179:
6169:
6114:
6108:
6107:
6074:
6059:
6054:
6035:
6005:
5993:
5976:
5975:
5945:
5931:
5925:
5924:
5905:
5904:
5899:Definition II (
5868:
5856:
5839:
5838:
5811:
5806:
5805:
5786:
5785:
5760:
5741:
5736:
5724:
5719:
5663:
5657:
5656:
5635:
5630:
5629:
5589:
5588:
5567:
5562:
5561:
5540:
5535:
5534:
5514:
5513:
5496:
5476:
5471:
5459:
5454:
5408:
5407:
5401:
5400:
5383:
5363:
5358:
5346:
5341:
5290:
5276:
5275:
5268:
5265:
5259:differentiation
5239:
5238:
5212:
5211:
5208:
5179:
5166:
5153:
5145:
5144:
5110:
5097:
5072:
5059:
5037:
5021:
5002:
4989:
4939:
4938:
4886:
4885:
4851:
4841:
4828:
4818:
4802:
4789:
4784:
4783:
4751:
4741:
4728:
4718:
4702:
4689:
4684:
4683:
4641:
4625:
4606:
4593:
4561:
4560:
4501:
4488:
4475:
4467:
4466:
4425:
4405:
4400:
4399:
4350:
4337:
4324:
4313:
4312:
4278:
4250:
4225:
4214:
4213:
4167:
4147:
4096:
4095:
4061:
4060:
4030:
4020:
4007:
3947:
3946:
3924:
3923:
3865:
3864:
3861:
3831:
3830:
3793:
3792:
3762:
3752:
3739:
3729:
3724:
3723:
3695:
3685:
3672:
3662:
3657:
3656:
3628:
3618:
3605:
3595:
3590:
3589:
3549:
3548:
3492:
3491:
3484:
3438:
3437:
3400:
3399:
3369:
3349:
3329:
3324:
3323:
3295:
3294:
3257:
3256:
3231:
3230:
3227:
3188:
3187:
3153:
3152:
3133:
3132:
3092:
3091:
3057:
3056:
3025:
3024:
2981:
2980:
2951:
2950:
2913:
2912:
2911:. Substituting
2893:
2892:
2873:
2872:
2839:
2829:
2816:
2808:
2807:
2776:
2766:
2753:
2745:
2744:
2722:
2721:
2702:
2701:
2662:
2652:
2639:
2614:
2604:
2591:
2583:
2582:
2557:
2556:
2523:
2504:
2485:
2480:
2479:
2449:
2439:
2426:
2416:
2403:
2393:
2385:
2384:
2354:
2344:
2331:
2321:
2308:
2298:
2290:
2289:
2259:
2249:
2236:
2226:
2213:
2203:
2195:
2194:
2167:
2148:
2134:
2133:
2102:
2101:
2055:
2054:
2014:
2013:
1988:
1987:
1962:
1961:
1940:
1939:
1932:
1931:
1921:
1919:
1909:
1907:
1897:
1894:
1893:
1883:
1881:
1871:
1869:
1859:
1856:
1855:
1845:
1843:
1833:
1831:
1821:
1814:
1778:
1752:
1739:
1738:
1705:
1682:
1659:
1651:
1650:
1628:
1627:
1590:
1589:
1562:
1552:
1539:
1529:
1516:
1506:
1487:
1471:
1466:
1465:
1440:
1430:
1417:
1407:
1394:
1384:
1365:
1349:
1344:
1343:
1318:
1308:
1295:
1285:
1272:
1262:
1243:
1227:
1222:
1221:
1181:
1180:
1066:
1065:
1062:
1032:
1031:
1004:
991:
986:
985:
950:
925:
900:
899:
838:
837:
812:
811:
781:
765:
760:
759:
731:
715:
710:
709:
681:
665:
660:
659:
619:
618:
548:
547:
523:
503:
483:
472:
471:
394:
393:
386:
339:
329:
324:
309:
308:
281:
262:
249:
230:
211:
198:
187:
186:
171:
114:
109:
91:
86:
67:
48:
37:
36:
12:
11:
5:
7386:
7384:
7376:
7375:
7365:
7364:
7361:
7360:
7347:
7341:
7328:
7322:
7309:
7303:
7285:
7282:
7279:
7278:
7271:
7244:
7235:
7211:
7210:
7208:
7205:
7183:. This is the
7159:
7151:
7146:
7142:
7135:
7129:
7126:
7119:
7107:
7106:
7094:
7091:
7088:
7082:
7077:
7073:
7056:
7048:
7043:
7039:
7032:
7026:
7023:
7016:
7010:
7007:
6964:
6963:
6952:
6948:
6940:
6935:
6931:
6924:
6918:
6915:
6908:
6902:
6899:
6894:
6891:
6888:
6882:
6879:
6873:
6870:
6844:
6839:
6835:
6828:
6822:
6819:
6793:
6790:
6767:
6757:
6756:
6744:
6732:
6727:
6723:
6709:
6704:
6701:
6696:
6692:
6684:
6681:
6674:
6659:
6658:
6646:
6643:
6637:
6632:
6628:
6621:
6615:
6612:
6606:
6603:
6597:
6594:
6588:
6585:
6579:
6576:
6570:
6567:
6553:
6552:
6540:
6537:
6532:
6528:
6524:
6519:
6515:
6511:
6506:
6502:
6498:
6495:
6489:
6486:
6471:
6468:
6465:
6462:
6459:
6456:
6453:
6450:
6444:
6441:
6424:
6423:
6411:
6404:
6400:
6396:
6391:
6386:
6381:
6377:
6373:
6368:
6363:
6359:
6355:
6350:
6345:
6341:
6313:
6310:
6305:
6301:
6289:
6288:
6276:
6272:
6266:
6261:
6257:
6253:
6248:
6243:
6239:
6235:
6230:
6225:
6221:
6216:
6210:
6206:
6202:
6197:
6192:
6188:
6168:
6165:
6133:
6130:
6124:
6121:
6117:
6090:
6087:
6081:
6077:
6066:
6062:
6057:
6053:
6045:
6042:
6038:
6030:
6027:
6023:
6019:
6012:
6008:
6000:
5996:
5988:
5984:
5963:
5960:
5955:
5952:
5948:
5944:
5938:
5934:
5912:
5884:
5881:
5875:
5871:
5863:
5859:
5851:
5847:
5826:
5823:
5818:
5814:
5793:
5767:
5763:
5758:
5748:
5744:
5739:
5731:
5727:
5722:
5714:
5711:
5708:
5703:
5700:
5696:
5687:
5684:
5680:
5676:
5670:
5666:
5642:
5638:
5615:
5612:
5609:
5604:
5601:
5597:
5574:
5570:
5547:
5543:
5531:
5530:
5518:
5512:
5509:
5503:
5499:
5494:
5483:
5479:
5474:
5466:
5462:
5457:
5448:
5445:
5442:
5437:
5434:
5430:
5421:
5418:
5414:
5410:
5409:
5406:
5403:
5402:
5399:
5396:
5390:
5386:
5381:
5370:
5366:
5361:
5353:
5349:
5344:
5335:
5332:
5329:
5324:
5321:
5317:
5308:
5305:
5301:
5297:
5296:
5293:
5289:
5286:
5283:
5263:
5246:
5222:
5219:
5207:
5204:
5191:
5186:
5182:
5178:
5173:
5169:
5165:
5160:
5156:
5152:
5141:
5140:
5128:
5125:
5122:
5117:
5113:
5109:
5104:
5100:
5096:
5093:
5090:
5087:
5084:
5079:
5075:
5071:
5066:
5062:
5058:
5055:
5052:
5049:
5044:
5040:
5036:
5033:
5028:
5024:
5020:
5017:
5014:
5009:
5005:
5001:
4996:
4992:
4988:
4985:
4982:
4979:
4976:
4973:
4970:
4967:
4964:
4961:
4958:
4955:
4952:
4949:
4946:
4923:
4920:
4917:
4914:
4911:
4908:
4905:
4902:
4899:
4896:
4893:
4882:
4881:
4869:
4866:
4863:
4858:
4854:
4848:
4844:
4840:
4835:
4831:
4825:
4821:
4817:
4814:
4809:
4805:
4801:
4796:
4792:
4781:
4769:
4766:
4763:
4758:
4754:
4748:
4744:
4740:
4735:
4731:
4725:
4721:
4717:
4714:
4709:
4705:
4701:
4696:
4692:
4669:
4668:
4656:
4653:
4648:
4644:
4640:
4637:
4632:
4628:
4624:
4621:
4618:
4613:
4609:
4605:
4600:
4596:
4592:
4589:
4586:
4583:
4580:
4577:
4574:
4571:
4568:
4525:
4522:
4519:
4516:
4513:
4508:
4504:
4500:
4495:
4491:
4487:
4482:
4478:
4474:
4463:
4462:
4450:
4447:
4444:
4441:
4438:
4432:
4428:
4424:
4421:
4418:
4412:
4408:
4393:
4392:
4380:
4377:
4374:
4371:
4368:
4365:
4362:
4357:
4353:
4349:
4344:
4340:
4336:
4331:
4327:
4323:
4320:
4306:
4305:
4293:
4290:
4285:
4281:
4277:
4274:
4271:
4268:
4265:
4262:
4257:
4253:
4249:
4246:
4243:
4240:
4237:
4232:
4228:
4224:
4221:
4194:
4193:
4182:
4179:
4174:
4170:
4165:
4162:
4159:
4154:
4150:
4145:
4142:
4139:
4136:
4133:
4130:
4127:
4124:
4121:
4118:
4115:
4112:
4109:
4106:
4103:
4080:
4077:
4074:
4071:
4068:
4057:
4056:
4045:
4042:
4037:
4033:
4027:
4023:
4019:
4014:
4010:
4005:
4002:
3999:
3996:
3993:
3990:
3987:
3984:
3981:
3978:
3975:
3972:
3969:
3966:
3963:
3960:
3957:
3954:
3931:
3911:
3908:
3905:
3902:
3899:
3896:
3893:
3890:
3887:
3884:
3881:
3878:
3875:
3872:
3860:
3857:
3844:
3841:
3838:
3818:
3815:
3812:
3809:
3806:
3803:
3800:
3789:
3788:
3777:
3774:
3769:
3765:
3759:
3755:
3751:
3746:
3742:
3736:
3732:
3721:
3710:
3707:
3702:
3698:
3692:
3688:
3684:
3679:
3675:
3669:
3665:
3654:
3643:
3640:
3635:
3631:
3625:
3621:
3617:
3612:
3608:
3602:
3598:
3574:
3571:
3568:
3565:
3562:
3559:
3556:
3532:
3529:
3526:
3523:
3520:
3517:
3514:
3511:
3508:
3505:
3502:
3499:
3483:
3480:
3463:
3460:
3457:
3454:
3451:
3448:
3445:
3425:
3422:
3419:
3416:
3413:
3410:
3407:
3396:
3395:
3384:
3381:
3376:
3372:
3367:
3364:
3361:
3356:
3352:
3347:
3344:
3341:
3336:
3332:
3308:
3305:
3302:
3282:
3279:
3276:
3273:
3270:
3267:
3264:
3244:
3241:
3238:
3226:
3223:
3210:
3207:
3204:
3201:
3198:
3195:
3175:
3172:
3169:
3166:
3163:
3160:
3140:
3120:
3117:
3114:
3111:
3108:
3105:
3102:
3099:
3079:
3076:
3073:
3070:
3067:
3064:
3044:
3041:
3038:
3035:
3032:
3012:
3009:
3006:
3003:
3000:
2997:
2994:
2991:
2988:
2964:
2961:
2958:
2938:
2935:
2932:
2929:
2926:
2923:
2920:
2900:
2880:
2869:
2868:
2857:
2854:
2851:
2846:
2842:
2836:
2832:
2828:
2823:
2819:
2815:
2805:
2794:
2791:
2788:
2783:
2779:
2773:
2769:
2765:
2760:
2756:
2752:
2729:
2709:
2698:
2697:
2686:
2683:
2680:
2677:
2674:
2669:
2665:
2659:
2655:
2651:
2646:
2642:
2638:
2635:
2632:
2629:
2626:
2621:
2617:
2611:
2607:
2603:
2598:
2594:
2590:
2567:
2564:
2544:
2541:
2538:
2535:
2530:
2526:
2522:
2519:
2516:
2511:
2507:
2503:
2500:
2497:
2492:
2488:
2467:
2464:
2461:
2456:
2452:
2446:
2442:
2438:
2433:
2429:
2423:
2419:
2415:
2410:
2406:
2400:
2396:
2392:
2372:
2369:
2366:
2361:
2357:
2351:
2347:
2343:
2338:
2334:
2328:
2324:
2320:
2315:
2311:
2305:
2301:
2297:
2277:
2274:
2271:
2266:
2262:
2256:
2252:
2248:
2243:
2239:
2233:
2229:
2225:
2220:
2216:
2210:
2206:
2202:
2182:
2179:
2174:
2170:
2166:
2163:
2160:
2155:
2151:
2147:
2144:
2141:
2121:
2118:
2115:
2112:
2109:
2098:
2097:
2086:
2083:
2080:
2077:
2074:
2071:
2068:
2065:
2062:
2039:
2036:
2033:
2030:
2027:
2024:
2021:
2001:
1998:
1995:
1975:
1972:
1969:
1954:
1953:
1936:
1928:
1924:
1920:
1916:
1912:
1908:
1904:
1900:
1896:
1895:
1890:
1886:
1882:
1878:
1874:
1870:
1866:
1862:
1858:
1857:
1852:
1848:
1844:
1840:
1836:
1832:
1828:
1824:
1820:
1819:
1817:
1812:
1811:
1808:
1802:
1799:
1796:
1793:
1790:
1787:
1784:
1781:
1776:
1773:
1770:
1767:
1764:
1761:
1758:
1755:
1749:
1746:
1732:
1731:
1720:
1717:
1712:
1708:
1704:
1700:
1697:
1694:
1689:
1685:
1681:
1677:
1674:
1671:
1666:
1662:
1658:
1635:
1615:
1612:
1609:
1606:
1603:
1600:
1597:
1586:
1585:
1574:
1569:
1565:
1559:
1555:
1551:
1546:
1542:
1536:
1532:
1528:
1523:
1519:
1513:
1509:
1505:
1502:
1499:
1494:
1490:
1486:
1483:
1478:
1474:
1463:
1452:
1447:
1443:
1437:
1433:
1429:
1424:
1420:
1414:
1410:
1406:
1401:
1397:
1391:
1387:
1383:
1380:
1377:
1372:
1368:
1364:
1361:
1356:
1352:
1341:
1330:
1325:
1321:
1315:
1311:
1307:
1302:
1298:
1292:
1288:
1284:
1279:
1275:
1269:
1265:
1261:
1258:
1255:
1250:
1246:
1242:
1239:
1234:
1230:
1206:
1203:
1200:
1197:
1194:
1191:
1188:
1168:
1165:
1162:
1159:
1156:
1153:
1150:
1147:
1144:
1141:
1137:
1134:
1131:
1128:
1125:
1122:
1119:
1116:
1113:
1110:
1107:
1103:
1100:
1097:
1094:
1091:
1088:
1085:
1082:
1079:
1076:
1073:
1061:
1058:
1045:
1042:
1039:
1019:
1016:
1011:
1007:
1003:
998:
994:
973:
970:
967:
964:
957:
953:
949:
946:
943:
940:
937:
932:
928:
924:
921:
918:
915:
910:
907:
887:
884:
881:
878:
875:
872:
869:
866:
863:
860:
857:
854:
851:
848:
845:
825:
822:
819:
808:
807:
796:
793:
788:
784:
780:
777:
772:
768:
757:
746:
743:
738:
734:
730:
727:
722:
718:
707:
696:
693:
688:
684:
680:
677:
672:
668:
644:
641:
638:
635:
632:
629:
626:
606:
603:
600:
597:
594:
591:
588:
585:
582:
579:
576:
573:
570:
567:
564:
561:
558:
555:
535:
530:
526:
522:
519:
515:
510:
506:
502:
499:
495:
490:
486:
482:
479:
468:
467:
455:
452:
449:
446:
443:
440:
437:
434:
431:
428:
425:
422:
419:
416:
413:
410:
407:
404:
401:
385:
382:
378:Andrew Forsyth
361:
358:
354:
346:
342:
336:
332:
327:
322:
305:
304:
293:
288:
284:
280:
277:
274:
269:
265:
261:
256:
252:
248:
245:
242:
237:
233:
229:
226:
223:
218:
214:
210:
205:
201:
197:
194:
170:
167:
147:
146:
134:
131:
128:
121:
117:
112:
108:
105:
98:
94:
89:
85:
82:
79:
74:
70:
66:
63:
60:
55:
51:
47:
44:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
7385:
7374:
7371:
7370:
7368:
7357:
7353:
7348:
7344:
7342:1-58488-299-9
7338:
7334:
7329:
7325:
7323:0-415-27267-X
7319:
7315:
7310:
7306:
7304:0-8218-0772-2
7300:
7296:
7292:
7288:
7287:
7283:
7274:
7272:9783527617241
7268:
7264:
7263:
7258:
7254:
7248:
7245:
7239:
7236:
7231:
7227:
7223:
7216:
7213:
7206:
7204:
7202:
7198:
7194:
7190:
7186:
7182:
7178:
7174:
7171:is normal to
7144:
7140:
7133:
7124:
7092:
7089:
7086:
7075:
7071:
7041:
7037:
7030:
7021:
7008:
7005:
6996:
6995:
6994:
6992:
6988:
6984:
6980:
6976:
6971:
6969:
6950:
6933:
6929:
6922:
6913:
6900:
6897:
6892:
6889:
6877:
6868:
6861:
6860:
6859:
6837:
6833:
6826:
6817:
6788:
6777:
6773:
6766:
6762:
6742:
6725:
6721:
6707:
6702:
6699:
6694:
6679:
6664:
6663:
6662:
6644:
6630:
6626:
6619:
6610:
6601:
6592:
6586:
6574:
6565:
6558:
6557:
6556:
6538:
6530:
6526:
6522:
6517:
6513:
6509:
6504:
6500:
6493:
6484:
6466:
6463:
6460:
6457:
6454:
6448:
6439:
6429:
6428:
6427:
6409:
6402:
6398:
6394:
6389:
6384:
6379:
6375:
6371:
6366:
6361:
6357:
6353:
6348:
6343:
6339:
6331:
6330:
6329:
6327:
6311:
6308:
6303:
6299:
6274:
6270:
6264:
6259:
6255:
6251:
6246:
6241:
6237:
6233:
6228:
6223:
6219:
6214:
6208:
6204:
6200:
6195:
6190:
6186:
6178:
6177:
6176:
6174:
6173:wave equation
6166:
6164:
6162:
6158:
6154:
6150:
6145:
6131:
6128:
6122:
6119:
6115:
6105:
6088:
6085:
6079:
6075:
6064:
6060:
6043:
6040:
6036:
6028:
6025:
6021:
6017:
6010:
6006:
5998:
5994:
5986:
5982:
5961:
5958:
5953:
5950:
5946:
5942:
5936:
5932:
5910:
5902:
5897:
5882:
5879:
5873:
5869:
5861:
5857:
5849:
5845:
5824:
5821:
5816:
5812:
5791:
5782:
5765:
5761:
5756:
5746:
5742:
5729:
5725:
5709:
5701:
5698:
5694:
5685:
5682:
5678:
5674:
5668:
5664:
5640:
5636:
5610:
5602:
5599:
5595:
5572:
5568:
5545:
5541:
5510:
5507:
5501:
5497:
5492:
5481:
5477:
5464:
5460:
5443:
5435:
5432:
5428:
5419:
5416:
5404:
5397:
5394:
5388:
5384:
5379:
5368:
5364:
5351:
5347:
5330:
5322:
5319:
5315:
5306:
5303:
5291:
5284:
5274:
5273:
5272:
5262:
5260:
5244:
5234:
5220:
5205:
5203:
5184:
5180:
5176:
5171:
5167:
5163:
5158:
5154:
5126:
5120:
5115:
5111:
5107:
5102:
5098:
5094:
5088:
5082:
5077:
5073:
5069:
5064:
5060:
5056:
5050:
5042:
5038:
5034:
5031:
5026:
5022:
5018:
5012:
5007:
5003:
4999:
4994:
4990:
4986:
4983:
4980:
4977:
4974:
4971:
4968:
4965:
4962:
4959:
4956:
4953:
4950:
4947:
4944:
4937:
4936:
4935:
4918:
4915:
4912:
4909:
4906:
4903:
4900:
4897:
4894:
4867:
4864:
4861:
4856:
4852:
4846:
4842:
4838:
4833:
4829:
4823:
4819:
4815:
4812:
4807:
4803:
4799:
4794:
4790:
4782:
4767:
4764:
4761:
4756:
4752:
4746:
4742:
4738:
4733:
4729:
4723:
4719:
4715:
4712:
4707:
4703:
4699:
4694:
4690:
4682:
4681:
4680:
4678:
4674:
4654:
4646:
4642:
4638:
4635:
4630:
4626:
4622:
4616:
4611:
4607:
4603:
4598:
4594:
4590:
4587:
4584:
4581:
4578:
4575:
4572:
4569:
4566:
4559:
4558:
4557:
4555:
4552:that satisfy
4551:
4547:
4543:
4539:
4520:
4517:
4514:
4511:
4506:
4502:
4498:
4493:
4489:
4485:
4480:
4476:
4448:
4445:
4442:
4439:
4436:
4430:
4426:
4422:
4419:
4416:
4410:
4406:
4398:
4397:
4396:
4378:
4375:
4369:
4366:
4363:
4360:
4355:
4351:
4347:
4342:
4338:
4334:
4329:
4325:
4318:
4311:
4310:
4309:
4291:
4283:
4279:
4275:
4272:
4266:
4263:
4255:
4251:
4247:
4244:
4238:
4235:
4230:
4226:
4222:
4219:
4212:
4211:
4210:
4208:
4204:
4200:
4180:
4177:
4172:
4168:
4163:
4160:
4157:
4152:
4148:
4143:
4140:
4137:
4131:
4128:
4125:
4122:
4119:
4116:
4113:
4110:
4107:
4101:
4094:
4093:
4092:
4075:
4072:
4069:
4043:
4040:
4035:
4031:
4025:
4021:
4017:
4012:
4008:
4003:
4000:
3997:
3988:
3982:
3979:
3976:
3973:
3970:
3967:
3964:
3961:
3958:
3952:
3945:
3944:
3943:
3929:
3909:
3906:
3900:
3897:
3894:
3891:
3888:
3885:
3882:
3879:
3876:
3870:
3858:
3856:
3842:
3839:
3836:
3813:
3810:
3807:
3804:
3801:
3775:
3772:
3767:
3763:
3757:
3753:
3749:
3744:
3740:
3734:
3730:
3722:
3708:
3705:
3700:
3696:
3690:
3686:
3682:
3677:
3673:
3667:
3663:
3655:
3641:
3638:
3633:
3629:
3623:
3619:
3615:
3610:
3606:
3600:
3596:
3588:
3587:
3586:
3569:
3566:
3563:
3560:
3557:
3546:
3530:
3527:
3521:
3518:
3515:
3512:
3509:
3506:
3503:
3497:
3490:. A relation
3489:
3481:
3479:
3477:
3458:
3455:
3452:
3449:
3446:
3420:
3417:
3414:
3411:
3408:
3382:
3379:
3374:
3370:
3365:
3362:
3359:
3354:
3350:
3345:
3342:
3339:
3334:
3330:
3322:
3321:
3320:
3306:
3303:
3300:
3277:
3274:
3271:
3268:
3265:
3242:
3239:
3236:
3224:
3222:
3205:
3199:
3196:
3193:
3170:
3164:
3161:
3158:
3138:
3115:
3112:
3109:
3103:
3100:
3097:
3074:
3071:
3068:
3062:
3039:
3036:
3033:
3007:
3004:
3001:
2998:
2995:
2992:
2989:
2978:
2962:
2959:
2956:
2933:
2930:
2927:
2924:
2921:
2898:
2878:
2855:
2852:
2844:
2840:
2834:
2830:
2826:
2821:
2817:
2806:
2792:
2789:
2781:
2777:
2771:
2767:
2763:
2758:
2754:
2743:
2742:
2741:
2727:
2707:
2684:
2681:
2678:
2675:
2667:
2663:
2657:
2653:
2649:
2644:
2640:
2633:
2630:
2627:
2619:
2615:
2609:
2605:
2601:
2596:
2592:
2581:
2580:
2579:
2565:
2562:
2542:
2539:
2536:
2533:
2528:
2524:
2520:
2517:
2514:
2509:
2505:
2501:
2498:
2495:
2490:
2486:
2465:
2462:
2454:
2450:
2444:
2440:
2436:
2431:
2427:
2421:
2417:
2413:
2408:
2404:
2398:
2394:
2370:
2367:
2359:
2355:
2349:
2345:
2341:
2336:
2332:
2326:
2322:
2318:
2313:
2309:
2303:
2299:
2275:
2272:
2264:
2260:
2254:
2250:
2246:
2241:
2237:
2231:
2227:
2223:
2218:
2214:
2208:
2204:
2180:
2177:
2172:
2168:
2164:
2161:
2158:
2153:
2149:
2145:
2142:
2139:
2116:
2113:
2110:
2084:
2078:
2075:
2072:
2066:
2063:
2060:
2053:
2052:
2051:
2034:
2031:
2028:
2025:
2022:
1999:
1996:
1993:
1973:
1970:
1967:
1959:
1934:
1926:
1922:
1914:
1910:
1902:
1898:
1888:
1884:
1876:
1872:
1864:
1860:
1850:
1846:
1838:
1834:
1826:
1822:
1815:
1806:
1797:
1794:
1791:
1788:
1785:
1771:
1768:
1765:
1762:
1759:
1747:
1744:
1737:
1736:
1735:
1718:
1715:
1710:
1706:
1702:
1698:
1695:
1692:
1687:
1683:
1679:
1675:
1672:
1669:
1664:
1660:
1656:
1649:
1648:
1647:
1633:
1610:
1607:
1604:
1601:
1598:
1567:
1563:
1557:
1553:
1549:
1544:
1540:
1534:
1530:
1526:
1521:
1517:
1511:
1507:
1500:
1497:
1492:
1488:
1484:
1481:
1476:
1472:
1464:
1445:
1441:
1435:
1431:
1427:
1422:
1418:
1412:
1408:
1404:
1399:
1395:
1389:
1385:
1378:
1375:
1370:
1366:
1362:
1359:
1354:
1350:
1342:
1323:
1319:
1313:
1309:
1305:
1300:
1296:
1290:
1286:
1282:
1277:
1273:
1267:
1263:
1256:
1253:
1248:
1244:
1240:
1237:
1232:
1228:
1220:
1219:
1218:
1201:
1198:
1195:
1192:
1189:
1163:
1160:
1157:
1154:
1151:
1145:
1142:
1139:
1135:
1129:
1126:
1123:
1120:
1117:
1111:
1108:
1105:
1101:
1095:
1092:
1089:
1086:
1083:
1077:
1074:
1071:
1059:
1057:
1043:
1040:
1037:
1017:
1014:
1009:
1005:
1001:
996:
992:
971:
968:
965:
962:
955:
947:
944:
941:
935:
930:
922:
919:
916:
908:
905:
882:
879:
876:
873:
870:
867:
864:
861:
858:
855:
852:
849:
846:
823:
820:
817:
794:
791:
786:
782:
778:
775:
770:
766:
758:
744:
741:
736:
732:
728:
725:
720:
716:
708:
694:
691:
686:
682:
678:
675:
670:
666:
658:
657:
656:
639:
636:
633:
630:
627:
604:
601:
595:
592:
589:
586:
583:
580:
577:
574:
571:
568:
565:
562:
559:
553:
533:
528:
524:
520:
517:
513:
508:
504:
500:
497:
493:
488:
484:
480:
477:
453:
450:
447:
441:
438:
435:
432:
429:
426:
423:
420:
417:
414:
411:
408:
405:
399:
392:
391:
390:
383:
381:
379:
375:
359:
356:
344:
340:
334:
330:
325:
286:
282:
278:
275:
272:
267:
263:
259:
254:
250:
246:
243:
240:
235:
231:
227:
224:
221:
216:
212:
208:
203:
199:
192:
185:
184:
183:
181:
176:
168:
166:
164:
160:
156:
152:
132:
129:
119:
115:
110:
106:
103:
96:
92:
87:
83:
80:
77:
72:
68:
64:
61:
58:
53:
49:
42:
35:
34:
33:
31:
27:
23:
19:
7355:
7332:
7313:
7294:
7291:Evans, L. C.
7261:
7247:
7238:
7221:
7215:
7200:
7196:
7192:
7188:
7184:
7180:
7176:
7172:
7108:
6990:
6986:
6982:
6978:
6974:
6972:
6967:
6965:
6775:
6771:
6764:
6760:
6758:
6739:is arbitrary
6660:
6554:
6425:
6325:
6290:
6170:
6146:
6104:differential
6103:
5900:
5898:
5783:
5532:
5270:
5258:
5236:
5209:
5142:
4883:
4676:
4672:
4670:
4553:
4549:
4545:
4541:
4537:
4464:
4394:
4307:
4206:
4202:
4198:
4195:
4058:
3862:
3790:
3544:
3487:
3485:
3475:
3397:
3228:
2976:
2870:
2699:
2099:
1955:
1733:
1587:
1063:
809:
469:
387:
373:
306:
179:
174:
172:
148:
29:
21:
15:
7257:Hilbert, D.
7253:Courant, R.
159:geometrical
18:mathematics
7207:References
6328:satisfies
157:, in some
7150:→
7134:−
7128:→
7087:∈
7081:→
7047:→
7031:−
7025:→
6939:→
6923:−
6917:→
6893:±
6881:→
6843:→
6827:−
6821:→
6792:→
6731:→
6683:→
6636:→
6620:−
6614:→
6602:⋅
6596:→
6578:→
6488:→
6443:→
6151:systems,
6129:≡
6056:∂
6052:∂
6022:∑
5983:∑
5959:∈
5846:∑
5822:∈
5738:∂
5721:∂
5679:∑
5675:≡
5473:∂
5456:∂
5413:∑
5405:⋮
5360:∂
5343:∂
5300:∑
5285:∗
5218:§
5108:−
5095:−
5070:−
5057:−
4934:space is
4276:−
4248:−
4223:−
4169:ϕ
4149:ϕ
4102:ϕ
4032:ϕ
4022:ψ
4009:ϕ
3983:ψ
3953:ϕ
3871:ϕ
3837:χ
3764:ϕ
3754:χ
3750:−
3741:χ
3731:ϕ
3697:ϕ
3687:χ
3683:−
3674:χ
3664:ϕ
3630:ϕ
3620:χ
3616:−
3607:χ
3597:ϕ
3498:χ
3371:ϕ
3351:ϕ
3331:ϕ
3319:works if
3301:ϕ
3240:≠
3200:ψ
3165:ψ
3104:ψ
3063:ψ
2957:ϕ
2841:ψ
2831:ϕ
2818:ϕ
2778:ψ
2768:ϕ
2755:ϕ
2664:ψ
2654:ϕ
2641:ϕ
2616:ψ
2606:ϕ
2593:ϕ
2525:ϕ
2506:ϕ
2487:ϕ
2451:ϕ
2428:ϕ
2405:ϕ
2356:ϕ
2333:ϕ
2310:ϕ
2261:ϕ
2238:ϕ
2215:ϕ
2169:ψ
2150:ψ
2067:ψ
1780:∂
1754:∂
1707:ϕ
1684:ϕ
1661:ϕ
1634:ϕ
1564:ϕ
1541:ϕ
1518:ϕ
1501:−
1489:ϕ
1473:ϕ
1442:ϕ
1419:ϕ
1396:ϕ
1379:−
1367:ϕ
1351:ϕ
1320:ϕ
1297:ϕ
1274:ϕ
1257:−
1245:ϕ
1229:ϕ
984:leads to
969:−
945:−
920:−
818:ϕ
783:ϕ
767:ϕ
733:ϕ
717:ϕ
683:ϕ
667:ϕ
554:ϕ
357:≠
326:ϕ
276:…
225:…
193:ϕ
153:, in the
107:…
62:…
7367:Category
7293:(1998).
7259:(1962).
6149:div-curl
5264:—
2478:we find
1958:Jacobian
546:Suppose
6981:=0 for
1956:is the
7339:
7320:
7301:
7269:
7255:&
7230:527754
7228:
6977:where
6661:where
5533:Where
4536:, and
4308:where
2700:Since
1734:where
470:where
5221:1.2.3
3293:from
2100:Once
1626:from
24:is a
7337:ISBN
7318:ISBN
7299:ISBN
7267:ISBN
7226:OCLC
6763:and
6147:The
4675:and
4548:and
4540:and
3186:or,
2891:and
2720:and
2383:and
1030:and
173:The
20:, a
6759:If
6713:and
6476:and
2949:in
1056:.
316:det
16:In
7369::
7354:.
6155:,
5781:.
4542:dq
4538:dp
4379:0.
4181:0.
4044:0.
3776:0.
3478:.
3383:0.
2856:0.
2288:,
380:.
133:0.
7358:.
7345:.
7326:.
7307:.
7275:.
7232:.
7201:S
7197:t
7193:t
7189:S
7181:S
7177:c
7173:S
7158:|
7145:0
7141:x
7125:x
7118:|
7093:.
7090:S
7076:0
7072:x
7055:|
7042:0
7038:x
7022:x
7015:|
7009:c
7006:1
6991:c
6987:S
6983:t
6979:u
6975:S
6968:c
6951:.
6947:|
6934:0
6930:x
6914:x
6907:|
6901:c
6898:1
6890:=
6887:)
6878:x
6872:(
6869:u
6838:0
6834:x
6818:x
6789:p
6776:u
6772:c
6768:0
6765:x
6761:x
6743:.
6726:0
6722:x
6708:,
6703:c
6700:1
6695:=
6691:|
6680:p
6673:|
6645:,
6642:)
6631:0
6627:x
6611:x
6605:(
6593:p
6587:=
6584:)
6575:x
6569:(
6566:u
6539:.
6536:)
6531:z
6527:u
6523:,
6518:y
6514:u
6510:,
6505:x
6501:u
6497:(
6494:=
6485:p
6470:)
6467:z
6464:,
6461:y
6458:,
6455:x
6452:(
6449:=
6440:x
6410:.
6403:2
6399:c
6395:1
6390:=
6385:2
6380:z
6376:u
6372:+
6367:2
6362:y
6358:u
6354:+
6349:2
6344:x
6340:u
6326:u
6312:1
6309:=
6304:t
6300:u
6275:.
6271:)
6265:2
6260:z
6256:u
6252:+
6247:2
6242:y
6238:u
6234:+
6229:2
6224:x
6220:u
6215:(
6209:2
6205:c
6201:=
6196:2
6191:t
6187:u
6132:0
6123:l
6120:k
6116:d
6089:0
6086:=
6080:k
6076:Z
6065:l
6061:x
6044:l
6041:k
6037:d
6029:l
6026:k
6018:+
6011:k
6007:Z
5999:k
5995:c
5987:k
5962:P
5954:l
5951:k
5947:d
5943:,
5937:k
5933:c
5911:P
5883:0
5880:=
5874:k
5870:Z
5862:k
5858:c
5850:k
5825:P
5817:k
5813:c
5792:P
5766:k
5762:f
5757:+
5747:i
5743:x
5730:j
5726:y
5713:)
5710:k
5707:(
5702:j
5699:i
5695:a
5686:j
5683:i
5669:k
5665:Z
5641:k
5637:f
5614:)
5611:k
5608:(
5603:j
5600:i
5596:a
5573:j
5569:y
5546:i
5542:x
5511:0
5508:=
5502:n
5498:f
5493:+
5482:i
5478:x
5465:j
5461:y
5447:)
5444:n
5441:(
5436:j
5433:i
5429:a
5420:j
5417:i
5398:0
5395:=
5389:1
5385:f
5380:+
5369:i
5365:x
5352:j
5348:y
5334:)
5331:1
5328:(
5323:j
5320:i
5316:a
5307:j
5304:i
5292:{
5288:)
5282:(
5245:h
5190:)
5185:0
5181:u
5177:,
5172:0
5168:y
5164:,
5159:0
5155:x
5151:(
5127:.
5124:)
5121:q
5116:u
5112:F
5103:y
5099:F
5092:(
5089::
5086:)
5083:p
5078:u
5074:F
5065:x
5061:F
5054:(
5051::
5048:)
5043:q
5039:F
5035:q
5032:+
5027:p
5023:F
5019:p
5016:(
5013::
5008:q
5004:F
5000::
4995:p
4991:F
4987:=
4984:q
4981:d
4978::
4975:p
4972:d
4969::
4966:u
4963:d
4960::
4957:y
4954:d
4951::
4948:x
4945:d
4922:)
4919:q
4916:,
4913:p
4910:,
4907:u
4904:,
4901:y
4898:,
4895:x
4892:(
4868:,
4865:0
4862:=
4857:y
4853:q
4847:q
4843:F
4839:+
4834:x
4830:q
4824:p
4820:F
4816:+
4813:q
4808:u
4804:F
4800:+
4795:y
4791:F
4768:,
4765:0
4762:=
4757:y
4753:p
4747:q
4743:F
4739:+
4734:x
4730:p
4724:p
4720:F
4716:+
4713:p
4708:u
4704:F
4700:+
4695:x
4691:F
4677:q
4673:p
4655:.
4652:)
4647:q
4643:F
4639:q
4636:+
4631:p
4627:F
4623:p
4620:(
4617::
4612:q
4608:F
4604::
4599:p
4595:F
4591:=
4588:u
4585:d
4582::
4579:y
4576:d
4573::
4570:x
4567:d
4554:F
4550:q
4546:p
4524:)
4521:q
4518:,
4515:p
4512:,
4507:0
4503:u
4499:,
4494:0
4490:y
4486:,
4481:0
4477:x
4473:(
4449:,
4446:0
4443:=
4440:q
4437:d
4431:q
4427:F
4423:+
4420:p
4417:d
4411:p
4407:F
4376:=
4373:)
4370:q
4367:,
4364:p
4361:,
4356:0
4352:u
4348:,
4343:0
4339:y
4335:,
4330:0
4326:x
4322:(
4319:F
4292:,
4289:)
4284:0
4280:y
4273:y
4270:(
4267:q
4264:+
4261:)
4256:0
4252:x
4245:x
4242:(
4239:p
4236:=
4231:0
4227:u
4220:u
4207:q
4205:,
4203:p
4199:u
4178:=
4173:b
4164:,
4161:0
4158:=
4153:a
4144:,
4141:0
4138:=
4135:)
4132:b
4129:,
4126:a
4123:,
4120:z
4117:,
4114:y
4111:,
4108:x
4105:(
4079:)
4076:b
4073:,
4070:a
4067:(
4041:=
4036:b
4026:a
4018:+
4013:a
4004:,
4001:0
3998:=
3995:)
3992:)
3989:a
3986:(
3980:,
3977:a
3974:,
3971:z
3968:,
3965:y
3962:,
3959:x
3956:(
3930:a
3910:0
3907:=
3904:)
3901:b
3898:,
3895:a
3892:,
3889:u
3886:,
3883:y
3880:,
3877:x
3874:(
3843:0
3840:=
3817:)
3814:c
3811:,
3808:b
3805:,
3802:a
3799:(
3773:=
3768:u
3758:z
3745:u
3735:z
3709:0
3706:=
3701:u
3691:y
3678:u
3668:y
3642:0
3639:=
3634:u
3624:x
3611:u
3601:x
3573:)
3570:c
3567:,
3564:b
3561:,
3558:a
3555:(
3531:0
3528:=
3525:)
3522:u
3519:,
3516:z
3513:,
3510:y
3507:,
3504:x
3501:(
3462:)
3459:c
3456:,
3453:b
3450:,
3447:a
3444:(
3424:)
3421:c
3418:,
3415:b
3412:,
3409:a
3406:(
3380:=
3375:c
3366:,
3363:0
3360:=
3355:b
3346:,
3343:0
3340:=
3335:a
3307:0
3304:=
3281:)
3278:c
3275:,
3272:b
3269:,
3266:a
3263:(
3243:0
3237:J
3209:)
3206:b
3203:(
3197:=
3194:c
3174:)
3171:a
3168:(
3162:=
3159:c
3139:J
3119:)
3116:b
3113:,
3110:a
3107:(
3101:=
3098:c
3078:)
3075:b
3072:,
3069:a
3066:(
3043:)
3040:b
3037:,
3034:a
3031:(
3011:)
3008:u
3005:,
3002:z
2999:,
2996:y
2993:,
2990:x
2987:(
2963:0
2960:=
2937:)
2934:c
2931:,
2928:b
2925:,
2922:a
2919:(
2899:b
2879:a
2853:=
2850:)
2845:b
2835:c
2827:+
2822:b
2814:(
2793:0
2790:=
2787:)
2782:a
2772:c
2764:+
2759:a
2751:(
2728:b
2708:a
2685:0
2682:=
2679:b
2676:d
2673:)
2668:b
2658:c
2650:+
2645:b
2637:(
2634:+
2631:a
2628:d
2625:)
2620:a
2610:c
2602:+
2597:a
2589:(
2566:c
2563:d
2543:0
2540:=
2537:c
2534:d
2529:c
2521:+
2518:b
2515:d
2510:b
2502:+
2499:a
2496:d
2491:a
2466:0
2463:=
2460:)
2455:c
2445:z
2441:c
2437:+
2432:b
2422:z
2418:b
2414:+
2409:a
2399:z
2395:a
2391:(
2371:0
2368:=
2365:)
2360:c
2350:y
2346:c
2342:+
2337:b
2327:y
2323:b
2319:+
2314:a
2304:y
2300:a
2296:(
2276:0
2273:=
2270:)
2265:c
2255:x
2251:c
2247:+
2242:b
2232:x
2228:b
2224:+
2219:a
2209:x
2205:a
2201:(
2181:b
2178:d
2173:b
2165:+
2162:a
2159:d
2154:a
2146:=
2143:c
2140:d
2120:)
2117:b
2114:,
2111:a
2108:(
2085:.
2082:)
2079:b
2076:,
2073:a
2070:(
2064:=
2061:c
2038:)
2035:c
2032:,
2029:b
2026:,
2023:a
2020:(
2000:0
1997:=
1994:J
1974:0
1971:=
1968:J
1935:|
1927:z
1923:c
1915:y
1911:c
1903:x
1899:c
1889:z
1885:b
1877:y
1873:b
1865:x
1861:b
1851:z
1847:a
1839:y
1835:a
1827:x
1823:a
1816:|
1807:=
1801:)
1798:z
1795:,
1792:y
1789:,
1786:x
1783:(
1775:)
1772:c
1769:,
1766:b
1763:,
1760:a
1757:(
1748:=
1745:J
1719:0
1716:=
1711:c
1703:J
1699:,
1696:0
1693:=
1688:b
1680:J
1676:,
1673:0
1670:=
1665:a
1657:J
1614:)
1611:c
1608:,
1605:b
1602:,
1599:a
1596:(
1573:)
1568:c
1558:z
1554:c
1550:+
1545:b
1535:z
1531:b
1527:+
1522:a
1512:z
1508:a
1504:(
1498:=
1493:u
1485:r
1482:+
1477:z
1451:)
1446:c
1436:y
1432:c
1428:+
1423:b
1413:y
1409:b
1405:+
1400:a
1390:y
1386:a
1382:(
1376:=
1371:u
1363:q
1360:+
1355:y
1329:)
1324:c
1314:x
1310:c
1306:+
1301:b
1291:x
1287:b
1283:+
1278:a
1268:x
1264:a
1260:(
1254:=
1249:u
1241:p
1238:+
1233:x
1205:)
1202:r
1199:,
1196:q
1193:,
1190:p
1187:(
1167:)
1164:z
1161:,
1158:y
1155:,
1152:x
1149:(
1146:c
1143:=
1140:c
1136:,
1133:)
1130:z
1127:,
1124:y
1121:,
1118:x
1115:(
1112:b
1109:=
1106:b
1102:,
1099:)
1096:z
1093:,
1090:y
1087:,
1084:x
1081:(
1078:a
1075:=
1072:a
1044:1
1041:=
1038:r
1018:1
1015:=
1010:2
1006:q
1002:+
997:2
993:p
972:c
966:z
963:+
956:2
952:)
948:b
942:y
939:(
936:+
931:2
927:)
923:a
917:x
914:(
909:=
906:u
886:)
883:r
880:,
877:q
874:,
871:p
868:,
865:u
862:,
859:z
856:,
853:y
850:,
847:x
844:(
824:0
821:=
795:0
792:=
787:u
779:r
776:+
771:z
745:0
742:=
737:u
729:q
726:+
721:y
695:0
692:=
687:u
679:p
676:+
671:x
643:)
640:c
637:,
634:b
631:,
628:a
625:(
605:0
602:=
599:)
596:c
593:,
590:b
587:,
584:a
581:,
578:u
575:,
572:z
569:,
566:y
563:,
560:x
557:(
534:.
529:z
525:u
521:=
518:r
514:,
509:y
505:u
501:=
498:q
494:,
489:x
485:u
481:=
478:p
454:,
451:0
448:=
445:)
442:r
439:,
436:q
433:,
430:p
427:,
424:u
421:,
418:z
415:,
412:y
409:,
406:x
403:(
400:F
360:0
353:|
345:j
341:a
335:i
331:x
321:|
292:)
287:n
283:a
279:,
273:,
268:2
264:a
260:,
255:1
251:a
247:,
244:u
241:,
236:n
232:x
228:,
222:,
217:2
213:x
209:,
204:1
200:x
196:(
130:=
127:)
120:n
116:x
111:u
104:,
97:1
93:x
88:u
84:,
81:u
78:,
73:n
69:x
65:,
59:,
54:1
50:x
46:(
43:F
30:n
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.