2639:
823:
627:
1317:
1987:
1136:
1479:
646:
957:
2119:
443:
1147:
1597:
1696:
1778:
343:
191:
1335:
Be careful, in this application, Garding's
Inequality seems useless here as the final result is a direct consequence of Poincaré's Inequality, or Friedrich Inequality. (See talk on the article).
1831:
980:
1360:
818:{\displaystyle \sum _{|\alpha |,|\beta |=k}\xi ^{\alpha }A_{\alpha \beta }(x)\xi ^{\beta }>\theta |\xi |^{2k}{\mbox{ for all }}x\in \Omega ,\xi \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}.}
382:
424:
227:
133:
2528:
865:
247:
62:
2006:
2191:
267:
157:
90:
622:{\displaystyle (Lu)(x)=\sum _{0\leq |\alpha |,|\beta |\leq k}(-1)^{|\alpha |}\mathrm {D} ^{\alpha }\left(A_{\alpha \beta }(x)\mathrm {D} ^{\beta }u(x)\right),}
1312:{\displaystyle B=\sum _{0\leq |\alpha |,|\beta |\leq k}\int _{\Omega }A_{\alpha \beta }(x)\mathrm {D} ^{\alpha }u(x)\mathrm {D} ^{\beta }v(x)\,\mathrm {d} x}
2354:
1509:
2663:
2481:
2336:
1608:
2673:
2312:
1702:
275:
2204:
2293:
2184:
2159:
2563:
2208:
162:
2133:
2359:
2415:
2642:
2364:
2349:
2177:
2379:
1982:{\displaystyle B\geq C\|u\|_{H^{1}(\Omega )}^{2}-G\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}{\mbox{ for all }}u\in H_{0}^{1}(\Omega ).}
1131:{\displaystyle B+G\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}\geq C\|u\|_{H^{k}(\Omega )}^{2}{\mbox{ for all }}u\in H_{0}^{k}(\Omega ),}
2624:
2384:
1817:(Ω). The hypotheses of Gårding's inequality are easy to verify for the Laplace operator Δ, so there exist constants
2578:
2502:
2619:
1474:{\displaystyle {\begin{cases}-\Delta u(x)=f(x),&x\in \Omega ;\\u(x)=0,&x\in \partial \Omega ;\end{cases}}}
2435:
2369:
2471:
2272:
2344:
2678:
2568:
270:
2599:
2543:
2507:
1993:
348:
1784:
387:
2668:
2582:
1369:
952:{\displaystyle A_{\alpha \beta }\in L^{\infty }(\Omega ){\mbox{ for all }}|\alpha |,|\beta |\leq k.}
196:
102:
2548:
2486:
2200:
840:
2573:
2440:
844:
2553:
2155:
29:
2154:. Texts in Applied Mathematics 13 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. p. 356.
232:
47:
2558:
2476:
2445:
2425:
2410:
2405:
2400:
2237:
1485:
1352:
1340:
836:
2114:{\displaystyle B\geq K\|u\|_{H^{1}(\Omega )}^{2}{\mbox{ for all }}u\in H_{0}^{1}(\Omega ),}
2420:
2374:
2322:
2317:
2288:
2169:
96:
2247:
33:
2609:
2461:
2262:
252:
142:
75:
2657:
2614:
2538:
2267:
2252:
2242:
136:
25:
1996:
allows the two terms on the right-hand side to be combined, yielding a new constant
2604:
2257:
2227:
2533:
2523:
2430:
2232:
65:
17:
1592:{\displaystyle B=\langle f,v\rangle {\mbox{ for all }}v\in H_{0}^{1}(\Omega ),}
2466:
2306:
2302:
2298:
1691:{\displaystyle B=\int _{\Omega }\nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,\mathrm {d} x,}
93:
1773:{\displaystyle \langle f,v\rangle =\int _{\Omega }f(x)v(x)\,\mathrm {d} x.}
338:{\displaystyle E\colon H^{k}(\Omega )\rightarrow H^{k}(\mathbb {R} ^{n})}
69:
2173:
1343:Δ. More specifically, suppose that one wishes to solve, for
1791:
is both continuous and elliptic with respect to the norm on
1467:
1492:. The corresponding weak form of the problem is to find
1330:
Application: the
Laplace operator and the Poisson problem
2136:
and the fact that the
Sobolev norm is controlled by the
433:
be a linear partial differential operator of even order
186:{\displaystyle u\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }
2072:
1940:
1550:
1089:
905:
764:
2009:
1834:
1705:
1611:
1512:
1363:
1150:
983:
868:
649:
636:
is uniformly elliptic, i.e., there exists a constant
446:
390:
351:
278:
255:
235:
199:
165:
145:
105:
78:
50:
2592:
2516:
2495:
2454:
2393:
2335:
2281:
2216:
2529:Spectral theory of ordinary differential equations
2113:
1981:
1772:
1690:
1591:
1473:
1311:
1130:
951:
817:
621:
418:
376:
337:
261:
241:
221:
185:
151:
127:
84:
56:
2152:An introduction to partial differential equations
1322:is the bilinear form associated to the operator
269:-extension property, i.e., that there exists a
2185:
30:linear elliptic partial differential operator
24:is a result that gives a lower bound for the
8:
2150:Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004).
2041:
2034:
1909:
1902:
1866:
1859:
1718:
1706:
1546:
1534:
1058:
1051:
1015:
1008:
809:
803:
359:
2220:
2192:
2178:
2170:
2132:is even easier to see: simply apply the
2093:
2088:
2071:
2065:
2049:
2044:
2008:
1961:
1956:
1939:
1933:
1917:
1912:
1890:
1874:
1869:
1833:
1759:
1758:
1728:
1704:
1677:
1676:
1637:
1610:
1571:
1566:
1549:
1511:
1364:
1362:
1301:
1300:
1282:
1277:
1258:
1253:
1234:
1224:
1207:
1199:
1191:
1183:
1176:
1149:
1110:
1105:
1088:
1082:
1066:
1061:
1039:
1023:
1018:
982:
935:
927:
919:
911:
904:
889:
873:
867:
794:
790:
789:
763:
754:
749:
740:
728:
706:
696:
679:
671:
663:
655:
654:
648:
593:
588:
569:
554:
549:
541:
533:
532:
506:
498:
490:
482:
475:
445:
401:
389:
362:
350:
326:
322:
321:
311:
289:
277:
254:
234:
204:
198:
179:
178:
164:
144:
110:
104:
77:
49:
2482:Group algebra of a locally compact group
828:Finally, suppose that the coefficients
800:
159:-times weakly differentiable functions
2124:which is precisely the statement that
7:
377:{\displaystyle Eu\vert _{\Omega }=u}
419:{\displaystyle u\in H^{k}(\Omega )}
2102:
2058:
1970:
1926:
1883:
1787:ensures that if the bilinear form
1760:
1729:
1678:
1661:
1643:
1638:
1580:
1458:
1455:
1416:
1375:
1339:As a simple example, consider the
1302:
1278:
1254:
1225:
1119:
1075:
1032:
898:
890:
776:
589:
550:
410:
363:
298:
236:
213:
172:
119:
51:
14:
2638:
2637:
2564:Topological quantum field theory
2128:is elliptic. The continuity of
32:. The inequality is named after
2664:Theorems in functional analysis
2674:Partial differential equations
2105:
2099:
2061:
2055:
2025:
2013:
1973:
1967:
1929:
1923:
1886:
1880:
1850:
1838:
1755:
1749:
1743:
1737:
1673:
1667:
1655:
1649:
1627:
1615:
1583:
1577:
1528:
1516:
1435:
1429:
1402:
1396:
1387:
1381:
1297:
1291:
1273:
1267:
1249:
1243:
1208:
1200:
1192:
1184:
1166:
1154:
1122:
1116:
1078:
1072:
1035:
1029:
999:
987:
936:
928:
920:
912:
901:
895:
750:
741:
721:
715:
680:
672:
664:
656:
608:
602:
584:
578:
542:
534:
529:
519:
507:
499:
491:
483:
465:
459:
456:
447:
413:
407:
332:
317:
304:
301:
295:
222:{\displaystyle L^{2}(\Omega )}
216:
210:
175:
128:{\displaystyle H^{k}(\Omega )}
122:
116:
1:
2360:Uniform boundedness principle
966:holds: there exist constants
437:, written in divergence form
40:Statement of the inequality
2695:
2503:Invariant subspace problem
2633:
2223:
2134:Cauchy–Schwarz inequality
193:with weak derivatives in
2472:Spectrum of a C*-algebra
2569:Noncommutative geometry
2000: > 0 with
1806:(Ω), a unique solution
271:bounded linear operator
242:{\displaystyle \Omega }
57:{\displaystyle \Omega }
2625:Tomita–Takesaki theory
2600:Approximation property
2544:Calculus of variations
2140:norm of the gradient.
2115:
1983:
1774:
1692:
1593:
1475:
1313:
1132:
970: > 0 and
953:
819:
623:
420:
378:
339:
263:
243:
223:
187:
153:
129:
86:
58:
2620:Banach–Mazur distance
2583:Generalized functions
2116:
1984:
1775:
1693:
1594:
1496:in the Sobolev space
1484:where Ω is a bounded
1476:
1314:
1133:
954:
820:
624:
421:
379:
340:
264:
244:
224:
188:
154:
130:
87:
59:
2365:Kakutani fixed-point
2350:Riesz representation
2007:
1832:
1798:(Ω), then, for each
1703:
1609:
1510:
1361:
1148:
981:
964:Gårding's inequality
866:
841:continuous functions
647:
444:
388:
349:
276:
253:
233:
197:
163:
143:
103:
76:
48:
22:Gårding's inequality
2549:Functional calculus
2508:Mahler's conjecture
2487:Von Neumann algebra
2201:Functional analysis
2098:
2074: for all
2070:
1994:Poincaré inequality
1966:
1942: for all
1938:
1895:
1576:
1552: for all
1115:
1091: for all
1087:
1044:
907: for all
766: for all
2574:Riemann hypothesis
2273:Topological vector
2111:
2084:
2076:
2040:
1979:
1952:
1944:
1908:
1865:
1770:
1688:
1589:
1562:
1554:
1471:
1466:
1309:
1219:
1128:
1101:
1093:
1057:
1014:
949:
909:
815:
768:
691:
619:
518:
416:
374:
335:
259:
239:
219:
183:
149:
125:
82:
54:
28:induced by a real
2651:
2650:
2554:Integral operator
2331:
2330:
2075:
1943:
1785:Lax–Milgram lemma
1553:
1172:
1092:
908:
767:
650:
640:> 0 such that
632:and suppose that
471:
262:{\displaystyle k}
152:{\displaystyle k}
85:{\displaystyle n}
2686:
2641:
2640:
2559:Jones polynomial
2477:Operator algebra
2221:
2194:
2187:
2180:
2171:
2165:
2120:
2118:
2117:
2112:
2097:
2092:
2077:
2073:
2069:
2064:
2054:
2053:
1988:
1986:
1985:
1980:
1965:
1960:
1945:
1941:
1937:
1932:
1922:
1921:
1894:
1889:
1879:
1878:
1779:
1777:
1776:
1771:
1763:
1733:
1732:
1697:
1695:
1694:
1689:
1681:
1642:
1641:
1598:
1596:
1595:
1590:
1575:
1570:
1555:
1551:
1486:Lipschitz domain
1480:
1478:
1477:
1472:
1470:
1469:
1353:Poisson equation
1341:Laplace operator
1318:
1316:
1315:
1310:
1305:
1287:
1286:
1281:
1263:
1262:
1257:
1242:
1241:
1229:
1228:
1218:
1211:
1203:
1195:
1187:
1137:
1135:
1134:
1129:
1114:
1109:
1094:
1090:
1086:
1081:
1071:
1070:
1043:
1038:
1028:
1027:
958:
956:
955:
950:
939:
931:
923:
915:
910:
906:
894:
893:
881:
880:
824:
822:
821:
816:
799:
798:
793:
769:
765:
762:
761:
753:
744:
733:
732:
714:
713:
701:
700:
690:
683:
675:
667:
659:
628:
626:
625:
620:
615:
611:
598:
597:
592:
577:
576:
559:
558:
553:
547:
546:
545:
537:
517:
510:
502:
494:
486:
425:
423:
422:
417:
406:
405:
383:
381:
380:
375:
367:
366:
344:
342:
341:
336:
331:
330:
325:
316:
315:
294:
293:
268:
266:
265:
260:
248:
246:
245:
240:
228:
226:
225:
220:
209:
208:
192:
190:
189:
184:
182:
158:
156:
155:
150:
134:
132:
131:
126:
115:
114:
91:
89:
88:
83:
63:
61:
60:
55:
2694:
2693:
2689:
2688:
2687:
2685:
2684:
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