128:
230:
66:
25:
2499:
1660:
1480:
2608:
883:
2124:
1210:
567:
1139:
1384:
439:
797:
2371:
2346:
1969:
2733:
2168:
2669:
1915:
1881:
490:
1824:
718:
1089:
1850:
634:
2027:
1557:
1034:
1752:
1697:
1532:
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660:
1775:
935:
912:
590:
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2628:
2366:
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2270:
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2210:
2190:
1989:
1795:
1717:
1552:
1503:
1273:
1246:
1054:
985:
957:
510:
414:
are equivalent etc. These properties may not, however, hold so easily if the distance function is taken in an arbitrary ordered field, instead of in
254:
of the topic and provide significant coverage of it beyond a mere trivial mention. If notability cannot be shown, the article is likely to be
1389:
145:
38:
2506:
806:
343:
325:
211:
109:
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251:
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1216:
1004:
964:
395:
255:
667:
2126:
We would show that with respect to this mu operator, the space is monotonically normal. Note that
1059:
2749:
2494:{\displaystyle \exists a\in A(x,G)\colon d(x,z)<a;\;\;\exists b\in A(y,H)\colon d(z,y)<b.}
1655:{\displaystyle A(x,G):=\{a\in F:{\text{ for all }}n\in \mathbb {N} ,B(x,n\cdot a)\subseteq G\}.}
299:
185:
1829:
2803:
2774:
1249:
598:
1994:
1010:
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2255:
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2755:
988:
380:
387:
372:
403:
376:
364:
127:
402:. These metric spaces have some nice properties like: in a metric space
1215:
The matter of wonder is that, even without choice, general metrics are
1475:{\displaystyle n(x,G):=\min\{n\in \mathbb {N} :B(x,1/n)\subseteq G\},}
94:. Statements consisting only of original research should be removed.
246:
Please help to demonstrate the notability of the topic by citing
2603:{\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)<2\cdot \max\{a,b\},}
878:{\displaystyle B(x,\delta )\;:=\{y\in M\;:d(x,y)<\delta \}}
223:
121:
59:
18:
2758: – Topological space with a notion of uniform properties
885:
form a basis for a suitable topology, the latter called the
2119:{\displaystyle \mu (x,G)=\bigcup \{B(x,a):a\in A(x,G)\}.}
2610:
which is impossible since this would imply that either
83:
2752: – Generalization of metric spaces in mathematics
421:
2697:
2677:
2636:
2616:
2509:
2374:
2354:
2298:
2278:
2258:
2238:
2218:
2198:
2178:
2132:
2037:
1997:
1977:
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1858:
1832:
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1725:
1705:
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1540:
1514:
1491:
1392:
1307:
1281:
1261:
1234:
1147:
1097:
1062:
1042:
1013:
973:
945:
920:
897:
809:
728:
670:
642:
601:
575:
518:
498:
454:
420:
1205:{\displaystyle \mu (x,G)=B\left(x,\delta /2\right).}
390:the distance function is taken to be a real-valued
152:. Unsourced material may be challenged and removed.
2727:
2683:
2663:
2622:
2602:
2493:
2360:
2340:
2284:
2264:
2244:
2224:
2204:
2184:
2162:
2118:
2021:
1983:
1963:
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1769:
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1546:
1526:
1497:
1474:
1378:
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1267:
1240:
1204:
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1083:
1048:
1028:
979:
951:
929:
906:
877:
803:It is not difficult to verify that the open balls
791:
712:
654:
628:
584:
561:
504:
484:
433:
394:. The real numbers form an ordered field which is
2579:
1414:
1212:Verify the conditions for Monotone Normality.
562:{\displaystyle d:M\times M\to F^{+}\cup \{0\}}
1134:{\displaystyle x\in B(x,\delta )\subseteq G.}
8:
2594:
2582:
2110:
2062:
1646:
1582:
1466:
1417:
872:
832:
556:
550:
53:Learn how and when to remove these messages
2433:
2432:
1826:is not bounded above, hence there is some
1379:{\displaystyle \mu (x,G):=B(x,1/2n(x,G)),}
844:
828:
434:{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} .}
2696:
2676:
2635:
2615:
2508:
2373:
2353:
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2277:
2257:
2237:
2217:
2197:
2177:
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1976:
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574:
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517:
497:
453:
423:
422:
419:
344:Learn how and when to remove this message
326:Learn how and when to remove this message
212:Learn how and when to remove this message
110:Learn how and when to remove this message
792:{\displaystyle d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)}
2341:{\displaystyle \mu (x,G)\cap \mu (y,H)}
1964:{\displaystyle a=k\cdot (2\xi )^{-1},}
1482:and the trick is done without choice.
2728:{\displaystyle \mu (y,H)\subseteq H.}
2163:{\displaystyle \mu (x,G)\subseteq G.}
7:
2664:{\displaystyle \mu (x,G)\subseteq G}
150:adding citations to reliable sources
492:be an arbitrary ordered field, and
2434:
2375:
1910:{\displaystyle n\cdot 1\leq \xi .}
1876:{\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}
592:if the following conditions hold:
14:
485:{\displaystyle (F,+,\cdot ,<)}
375:, in which the distance is not a
371:is a generalisation of that of a
34:This article has multiple issues.
2745:Ordered topological vector space
1819:{\displaystyle \mathbb {N} _{F}}
228:
126:
64:
23:
1719:is open, there is an open ball
1056:is open, there is an open ball
239:may not meet Knowledge (XXG)'s
137:needs additional citations for
42:or discuss these issues on the
2713:
2701:
2652:
2640:
2567:
2555:
2546:
2534:
2525:
2513:
2479:
2467:
2458:
2446:
2420:
2408:
2399:
2387:
2335:
2323:
2314:
2302:
2148:
2136:
2107:
2095:
2080:
2068:
2053:
2041:
2013:
2001:
1946:
1936:
1741:
1729:
1686:
1674:
1637:
1619:
1576:
1564:
1457:
1437:
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1355:
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1323:
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813:
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732:
707:
695:
686:
674:
617:
605:
534:
479:
455:
1:
2368:is in the intersection. Then
713:{\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}
2503:From the above, we get that
1505:is a non-Archimedean field.
1084:{\displaystyle B(x,\delta )}
379:but taken from an arbitrary
241:general notability guideline
512:a nonempty set; a function
386:In general, when we define
90:the claims made and adding
2820:
2735:This completes the proof.
1554:is open, consider the set
1003:, every general metric is
355:
248:reliable secondary sources
237:The topic of this article
1845:{\displaystyle \xi \in F}
939:In view of the fact that
629:{\displaystyle d(x,y)=0}
358:Generalized metric space
356:Not to be confused with
2292:), then we'd show that
2022:{\displaystyle A(x,G).}
1029:{\displaystyle x\in G,}
2729:
2685:
2665:
2624:
2604:
2495:
2362:
2348:is empty. If not, say
2342:
2286:
2266:
2246:
2226:
2206:
2186:
2164:
2120:
2023:
1985:
1965:
1911:
1877:
1846:
1820:
1791:
1771:
1748:
1747:{\displaystyle B(x,k)}
1713:
1699:is non-empty. For, as
1693:
1692:{\displaystyle A(x,G)}
1656:
1548:
1528:
1527:{\displaystyle x\in G}
1499:
1476:
1380:
1295:
1269:
1242:
1206:
1135:
1085:
1050:
1030:
981:
953:
931:
908:
879:
799:(triangle inequality).
793:
714:
656:
630:
586:
569:is called a metric on
563:
506:
486:
444:Preliminary definition
435:
408:sequential compactness
2730:
2686:
2666:
2625:
2605:
2496:
2363:
2343:
2287:
2272:(open set containing
2267:
2247:
2227:
2212:(open set containing
2207:
2187:
2165:
2121:
2024:
1986:
1966:
1912:
1878:
1847:
1821:
1797:is non-Archimdedean,
1792:
1772:
1749:
1714:
1694:
1657:
1549:
1529:
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1477:
1381:
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1270:
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1207:
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1051:
1031:
982:
954:
932:
909:
880:
794:
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657:
631:
587:
564:
507:
487:
436:
412:countable compactness
2695:
2675:
2634:
2614:
2507:
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2352:
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2256:
2236:
2216:
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2176:
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2035:
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1975:
1921:
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1856:
1830:
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1781:
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1723:
1703:
1668:
1558:
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1512:
1489:
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1305:
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1259:
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1217:monotonically normal
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1095:
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1040:
1011:
1005:monotonically normal
971:
965:monotonically normal
943:
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726:
668:
640:
599:
573:
516:
496:
452:
418:
275:"Generalised metric"
161:"Generalised metric"
146:improve this article
2799:Norms (mathematics)
1599: for all
1294:{\displaystyle G,G}
914:with the metric in
655:{\displaystyle x=y}
367:, the concept of a
2750:Pseudometric space
2725:
2681:
2661:
2620:
2600:
2491:
2358:
2338:
2282:
2262:
2242:
2222:
2202:
2182:
2160:
2116:
2019:
1981:
1961:
1907:
1873:
1852:such that for all
1842:
1816:
1787:
1770:{\displaystyle G.}
1767:
1744:
1709:
1689:
1652:
1544:
1524:
1495:
1472:
1376:
1301:open, we may take
1291:
1265:
1238:
1202:
1131:
1081:
1046:
1026:
995:Further properties
977:
967:, we would expect
949:
930:{\displaystyle F.}
927:
907:{\displaystyle M,}
904:
875:
789:
710:
652:
626:
585:{\displaystyle M,}
582:
559:
502:
482:
431:
430:
369:generalised metric
243:
75:possibly contains
2684:{\displaystyle x}
2623:{\displaystyle y}
2361:{\displaystyle z}
2285:{\displaystyle y}
2265:{\displaystyle H}
2245:{\displaystyle x}
2225:{\displaystyle x}
2205:{\displaystyle G}
2185:{\displaystyle y}
1984:{\displaystyle a}
1790:{\displaystyle F}
1712:{\displaystyle G}
1600:
1547:{\displaystyle G}
1498:{\displaystyle F}
1268:{\displaystyle x}
1250:Archimedean field
1241:{\displaystyle F}
1049:{\displaystyle G}
980:{\displaystyle M}
952:{\displaystyle F}
505:{\displaystyle M}
354:
353:
346:
336:
335:
328:
310:
238:
222:
221:
214:
196:
120:
119:
112:
77:original research
57:
2811:
2780:
2779:, 15 August 2007
2734:
2732:
2731:
2726:
2690:
2688:
2687:
2682:
2670:
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2667:
2662:
2629:
2627:
2626:
2621:
2609:
2607:
2606:
2601:
2500:
2498:
2497:
2492:
2367:
2365:
2364:
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2167:
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