31:
42:
1771:
4448:
4225:
474:
3321:
3447:
1999:
1411:
4307:
3180:
837:
3096:
2897:
4100:
2376:
282:
3893:
3736:
3191:
5699:
2659:
3329:
3600:
2122:
4996:
1158:
1766:{\displaystyle {\begin{aligned}F_{n}(x)-F(x)&\leq F_{n}(x_{j})-F(x_{j-1})=F_{n}(x_{j})-F(x_{j})+{\frac {1}{m}},\\F_{n}(x)-F(x)&\geq F_{n}(x_{j-1})-F(x_{j})=F_{n}(x_{j-1})-F(x_{j-1})-{\frac {1}{m}}.\end{aligned}}}
1782:
5195:
5584:
2433:
5843:
1021:
4802:
4541:
The weak and strong versions of the various
Glivenko-Cantelli properties often coincide under certain regularity conditions. The following definition commonly appears in such regularity conditions:
4630:
1416:
1235:
5284:
There exist a variety of consistency conditions for the equivalence of uniform
Glivenko-Cantelli and Vapnik-Chervonenkis classes. In particular, either of the following conditions for a class
4443:{\displaystyle \ \sup _{\mathbb {P} \in \mathbb {P} ({\mathcal {S}},A)}\Pr \left(\sup _{m\geq n}{\bigl \|}\mathbb {P} _{m}-\mathbb {P} {\bigr \|}_{\mathcal {C}}>\varepsilon \right)\to 0\ }
5988:
4722:
3107:
167:
74:
3494:
721:
3532:
3039:
2764:
2545:
5448:
1345:
5479:
5394:
5273:
5057:
4063:
3996:
3807:
3640:
2990:
274:
164:
4296:
4220:{\displaystyle \ \sup _{\mathbb {P} \in \mathbb {P} ({\mathcal {S}},A)}\Pr \left({\bigl \|}\mathbb {P} _{n}-\mathbb {P} {\bigr \|}_{\mathcal {C}}>\varepsilon \right)\to 0\ }
4089:
1301:
4831:
4692:
4483:
4260:
3928:
3771:
3031:
2196:
6012:
5934:
5764:
5723:
5517:
5418:
5359:
5333:
5306:
5219:
5127:
5085:
5026:
4904:
4751:
4567:
4536:
4512:
2952:
2928:
2508:
4926:
4027:
3960:
2480:
1273:
607:
190:
5885:
2142:
893:
680:
2698:
2247:
933:
4594:
2242:
566:
2752:
1403:
709:
537:
504:
636:
469:{\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}I_{[X_{i},\infty )}(x)={\frac {1}{n}}\ {\bigl |}\left\{\ i\ \mid X_{i}\leq x,\ 1\leq i\leq n\right\}{\bigr |}}
222:
6037:
3316:{\displaystyle {\bigl \|}\mathbb {P} _{n}-\mathbb {P} {\bigr \|}_{\mathcal {C}}=\sup _{C\in {\mathcal {C}}}{\bigl |}\mathbb {P} _{n}(C)-\mathbb {P} (C){\bigr |}}
4855:
2722:
1065:
3826:
3669:
5597:
3442:{\displaystyle {\bigl \|}\mathbb {P} _{n}-\mathbb {P} {\bigr \|}_{\mathcal {F}}=\sup _{f\in {\mathcal {F}}}{\bigl |}\mathbb {P} _{n}f-\mathbb {P} f{\bigr |}}
2216:
2162:
2552:
3540:
2007:
1994:{\displaystyle \|F_{n}-F\|_{\infty }=\sup _{x\in \mathbb {R} }|F_{n}(x)-F(x)|\leq \max _{j\in \{1,\dots ,m\}}|F_{n}(x_{j})-F(x_{j})|+{\frac {1}{m}}.}
4931:
1070:
6463:
6147:
6115:
5132:
4867:
The following two theorems give sufficient conditions for the weak and strong versions of the
Glivenko-Cantelli property to be equivalent.
5522:
4490:
Glivenko–Cantelli classes of functions (as well as their uniform and universal forms) are defined similarly, replacing all instances of
2381:
5773:
6414:
6392:
6366:
6347:
1030:
An even stronger uniform convergence result for the empirical distribution function is available in the form of an extended type of
938:
4756:
193:
6473:
1035:
638:
226:
70:
97:
6468:
5276:
1031:
4599:
1163:
6298:
Pestov, Vladimir (2011). "PAC learnability versus VC dimension: A footnote to a basic result of statistical learning".
3175:{\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\bigl \{}f:{\mathcal {S}}\to \mathbb {R} ,f{\mbox{ is measurable}}\ {\bigr \}}}
34:
The left diagram illustrates
Glivenko–Cantelli theorem for uniform distributions. The right diagram illustrates the
6458:
5939:
4697:
844:
62:
30:
6182:
848:
832:{\displaystyle \|F_{n}-F\|_{\infty }=\sup _{x\in \mathbb {R} }{\bigl |}F_{n}(x)-F(x){\bigr |}\longrightarrow 0}
66:
41:
3455:
3091:{\displaystyle {\mathcal {C}}\subset {\bigl \{}C:C{\text{ is measurable subset of }}{\mathcal {S}}{\bigr \}}}
2892:{\displaystyle f\mapsto P_{n}f=\int _{S}f\,dP_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(X_{i}),f\in {\mathcal {F}}.}
5587:
5586:. The classical Glivenko–Cantelli theorem implies that this class is a universal GC class. Furthermore, by
3499:
2517:
5423:
1306:
5735:
5453:
5368:
5248:
5221:
is a weak uniform
Glivenko-Cantelli class if and only if it is a strong uniform Glivenko-Cantelli class.
5031:
4032:
3965:
3782:
3615:
2965:
233:
123:
50:
4275:
4068:
1278:
4807:
4635:
4453:
4230:
3898:
3741:
3005:
6032:
2903:
2167:
642:
35:
5993:
5890:
5745:
5704:
5494:
5399:
5340:
5314:
5287:
5200:
5108:
5066:
5007:
4885:
4732:
4548:
4517:
4493:
2933:
2909:
2489:
6268:
6107:
5237:
3000:
646:
78:
4909:
4010:
3943:
2450:
2371:{\textstyle \max _{j\in \{1,\dots ,m\}}|F_{n}(x_{j})-F(x_{j})|\leq \varepsilon -1/m{\text{ a.s.}}}
1240:
570:
173:
6303:
6080:
4834:
2701:
507:
5848:
6271:(1971). "On the Uniform Convergence of Relative Frequencies of Events to Their Probabilities".
865:
652:
6436:
6424:
6410:
6402:
6388:
6362:
6343:
6335:
6234:
6143:
6111:
5097:
2667:
2511:
2127:
902:
89:
4579:
2221:
6313:
6280:
6246:
6216:
6204:
6135:
6099:
6070:
4874:
542:
101:
2730:
1350:
685:
513:
482:
6264:
5362:
5233:
896:
612:
198:
6136:
6100:
5226:
The following theorem is central to statistical learning of binary classification tasks.
3888:{\displaystyle \ {\bigl \|}\mathbb {P} _{n}-\mathbb {P} {\bigr \|}_{\mathcal {C}}\to 0\ }
3731:{\displaystyle \ {\bigl \|}\mathbb {P} _{n}-\mathbb {P} {\bigr \|}_{\mathcal {C}}\to 0\ }
17:
6380:
5694:{\displaystyle \sup _{P\in {\mathcal {P}}(S,A)}\|P_{n}-P\|_{\mathcal {C}}\sim n^{-1/2}}
4840:
2707:
1050:
6237:; Giné, Eva; Zinn, Joel C. (1991). "Uniform and universal Glivenko-Cantelli classes".
2654:{\displaystyle P_{n}(C)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}I_{C}(X_{i}),C\in {\mathcal {C}}}
6452:
6376:
82:
1023:
The
Glivenko–Cantelli theorem gives a stronger mode of convergence than this in the
6040:– strengthens the Glivenko–Cantelli theorem by quantifying the rate of convergence.
4574:
2201:
2147:
105:
3595:{\displaystyle \ \mathbb {P} f=\int _{\mathcal {S}}f\ \mathrm {d} \mathbb {P} \ ,}
2117:{\textstyle \max _{j\in \{1,\dots ,m\}}|F_{n}(x_{j})-F(x_{j})|\to 0{\text{ a.s.}}}
6441:
Preservation
Theorems for Glivenko–Cantelli and Uniform Glivenko–Cantelli Classes
6163:
Glivenko, V. (1933). "Sulla determinazione empirica delle leggi di probabilità".
109:
6317:
6075:
6058:
4991:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}=\{f-\mathbb {P} f\mid f\in {\mathcal {F}}\}}
1153:{\displaystyle -\infty =x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{m-1}<x_{m}=\infty }
6220:
5245:
Under certain consistency conditions, a universally measurable class of sets
2993:
2902:
Then it becomes an important property of these classes whether the strong
6250:
6084:
5190:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}=\{f-\inf f\mid f\in {\mathcal {F}}\}}
2124:
by strong law of large numbers, we can guarantee that for any positive
77:
observations grows. Specifically, the empirical distribution function
6284:
6185:(1933). "Sulla determinazione empirica delle leggi di probabilità".
5579:{\displaystyle {\mathcal {C}}=\{(-\infty ,t]:t\in {\mathbb {R} }\}}
6308:
4007:
if the convergence occurs uniformly over all probability measures
40:
29:
2428:{\textstyle \|F_{n}-F\|_{\infty }\leq \varepsilon {\text{ a.s.}}}
5838:{\displaystyle A_{n}=\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}\in {\mathcal {C}}}
4407:
4379:
4184:
4156:
3863:
3835:
3706:
3678:
3363:
3335:
3225:
3197:
1047:
For simplicity, consider a case of continuous random variable
1024:
1016:{\displaystyle \ F(x)=\operatorname {\mathbb {E} } {\bigl }~.}
96:
of functions or sets. The
Glivenko–Cantelli classes arise in
5999:
5968:
5830:
5751:
5710:
5661:
5614:
5528:
5460:
5435:
5405:
5379:
5375:
5346:
5320:
5293:
5275:
is a uniform
Glivenko-Cantelli class if and only if it is a
5257:
5206:
5179:
5139:
5114:
5072:
5038:
5013:
4980:
4938:
4891:
4797:{\displaystyle \{\mathbf {1} _{C}\mid C\in {\mathcal {C}}\}}
4786:
4738:
4703:
4617:
4554:
4523:
4499:
4414:
4337:
4191:
4130:
4041:
3974:
3940:
if it is a GC class with respect to any probability measure
3870:
3791:
3713:
3624:
3564:
3392:
3370:
3254:
3232:
3136:
3113:
3076:
3045:
2974:
2939:
2915:
2881:
2646:
2529:
2495:
2378:. Combined with the above result, this further implies that
1036:
asymptotic properties of the empirical distribution function
645:. Glivenko and Cantelli strengthened this result by proving
6357:
6300:
The 2011 International Joint Conference on Neural Networks
168:
independent and identically distributed random variables
4272:
if it satisfies the stronger condition that for every
3156:
2435:, which is the definition of almost sure convergence.
2384:
2250:
2204:
2170:
2150:
2130:
2010:
5996:
5942:
5893:
5851:
5776:
5748:
5707:
5600:
5525:
5497:
5456:
5426:
5402:
5371:
5343:
5317:
5290:
5251:
5203:
5135:
5111:
5069:
5034:
5010:
4934:
4912:
4888:
4843:
4810:
4759:
4753:
is image-admissible Suslin if the class of functions
4735:
4700:
4638:
4602:
4582:
4551:
4520:
4496:
4456:
4310:
4278:
4233:
4103:
4071:
4035:
4013:
3968:
3946:
3901:
3829:
3785:
3744:
3672:
3618:
3543:
3502:
3458:
3332:
3194:
3110:
3042:
3008:
2968:
2936:
2912:
2767:
2733:
2710:
2670:
2555:
2520:
2492:
2453:
2224:
1785:
1414:
1353:
1309:
1281:
1243:
1166:
1073:
1053:
941:
905:
868:
724:
688:
655:
615:
573:
545:
516:
485:
285:
236:
201:
176:
126:
609:
is a sequence of random variables which converge to
6385:
Empirical Processes with Applications to Statistics
6059:"A Generalization of the Glivenko–Cantelli Theorem"
4625:{\displaystyle T:\Omega \rightarrow {\mathcal {F}}}
6006:
5982:
5928:
5879:
5837:
5758:
5717:
5693:
5578:
5511:
5473:
5442:
5412:
5388:
5353:
5327:
5300:
5267:
5213:
5189:
5121:
5079:
5051:
5020:
4990:
4920:
4898:
4849:
4825:
4796:
4745:
4716:
4686:
4624:
4588:
4561:
4530:
4506:
4477:
4442:
4290:
4254:
4219:
4083:
4057:
4021:
3990:
3954:
3922:
3887:
3801:
3765:
3730:
3634:
3594:
3526:
3488:
3441:
3315:
3174:
3090:
3025:
2984:
2946:
2922:
2891:
2746:
2716:
2692:
2653:
2539:
2502:
2474:
2427:
2370:
2236:
2210:
2190:
2156:
2136:
2116:
1993:
1765:
1397:
1339:
1295:
1267:
1230:{\displaystyle F(x_{j})-F(x_{j-1})={\frac {1}{m}}}
1229:
1152:
1059:
1015:
927:
887:
831:
703:
674:
630:
601:
560:
531:
498:
468:
268:
216:
184:
158:
5450:can be written as the pointwise limit of sets in
5602:
5162:
4362:
4353:
4315:
4146:
4108:
3380:
3242:
2252:
2012:
1884:
1819:
758:
6361:. London, UK: Chapman and Hall. p. 79–97.
6129:
6127:
3434:
3401:
3308:
3263:
3167:
3123:
3083:
3055:
2727:Further generalization is the map induced by
1002:
972:
818:
777:
461:
395:
69:, describes the asymptotic behaviour of the
8:
6273:Theory of Probability & Its Applications
5983:{\displaystyle \|P_{n}-P\|_{\mathcal {C}}=1}
5963:
5943:
5822:
5790:
5656:
5636:
5573:
5536:
5184:
5153:
4985:
4952:
4791:
4760:
4717:{\displaystyle {\mathcal {X}}\times \Omega }
3817:if it instead satisfies the weaker condition
2405:
2385:
2280:
2262:
2040:
2022:
1912:
1894:
1806:
1786:
1334:
1316:
745:
725:
6359:Some Basic Theory for Statistical Inference
4906:be a class of functions that is integrable
6307:
6207:(1987). "The Glivenko-Cantelli Problem".
6074:
5998:
5997:
5995:
5967:
5966:
5950:
5941:
5911:
5898:
5892:
5862:
5850:
5829:
5828:
5816:
5797:
5781:
5775:
5750:
5749:
5747:
5709:
5708:
5706:
5681:
5674:
5660:
5659:
5643:
5613:
5612:
5605:
5599:
5568:
5567:
5566:
5527:
5526:
5524:
5505:
5504:
5496:
5465:
5459:
5458:
5455:
5434:
5433:
5425:
5404:
5403:
5401:
5378:
5373:
5372:
5370:
5345:
5344:
5342:
5319:
5318:
5316:
5292:
5291:
5289:
5256:
5255:
5250:
5205:
5204:
5202:
5178:
5177:
5144:
5138:
5137:
5134:
5113:
5112:
5110:
5071:
5070:
5068:
5043:
5037:
5036:
5033:
5012:
5011:
5009:
4979:
4978:
4962:
4961:
4943:
4937:
4936:
4933:
4914:
4913:
4911:
4890:
4889:
4887:
4842:
4817:
4812:
4809:
4785:
4784:
4769:
4764:
4758:
4737:
4736:
4734:
4702:
4701:
4699:
4637:
4616:
4615:
4601:
4581:
4553:
4552:
4550:
4522:
4521:
4519:
4498:
4497:
4495:
4455:
4413:
4412:
4406:
4405:
4400:
4399:
4390:
4386:
4385:
4378:
4377:
4365:
4336:
4335:
4328:
4327:
4320:
4319:
4318:
4309:
4277:
4232:
4190:
4189:
4183:
4182:
4177:
4176:
4167:
4163:
4162:
4155:
4154:
4129:
4128:
4121:
4120:
4113:
4112:
4111:
4102:
4070:
4040:
4039:
4034:
4015:
4014:
4012:
3973:
3972:
3967:
3948:
3947:
3945:
3900:
3869:
3868:
3862:
3861:
3856:
3855:
3846:
3842:
3841:
3834:
3833:
3828:
3790:
3789:
3784:
3743:
3712:
3711:
3705:
3704:
3699:
3698:
3689:
3685:
3684:
3677:
3676:
3671:
3623:
3622:
3617:
3582:
3581:
3576:
3563:
3562:
3548:
3547:
3542:
3512:
3508:
3507:
3501:
3468:
3464:
3463:
3457:
3433:
3432:
3425:
3424:
3412:
3408:
3407:
3400:
3399:
3391:
3390:
3383:
3369:
3368:
3362:
3361:
3356:
3355:
3346:
3342:
3341:
3334:
3333:
3331:
3307:
3306:
3293:
3292:
3274:
3270:
3269:
3262:
3261:
3253:
3252:
3245:
3231:
3230:
3224:
3223:
3218:
3217:
3208:
3204:
3203:
3196:
3195:
3193:
3166:
3165:
3155:
3145:
3144:
3135:
3134:
3122:
3121:
3112:
3111:
3109:
3082:
3081:
3075:
3074:
3069:
3054:
3053:
3044:
3043:
3041:
3013:
3012:
3007:
2973:
2972:
2967:
2938:
2937:
2935:
2914:
2913:
2911:
2880:
2879:
2861:
2845:
2834:
2820:
2811:
2803:
2794:
2778:
2766:
2738:
2732:
2709:
2675:
2669:
2645:
2644:
2626:
2613:
2603:
2592:
2578:
2560:
2554:
2528:
2527:
2519:
2494:
2493:
2491:
2452:
2420:
2408:
2392:
2383:
2363:
2355:
2338:
2329:
2307:
2294:
2285:
2255:
2249:
2223:
2203:
2174:
2169:
2149:
2129:
2109:
2098:
2089:
2067:
2054:
2045:
2015:
2009:
1978:
1970:
1961:
1939:
1926:
1917:
1887:
1875:
1845:
1836:
1830:
1829:
1822:
1809:
1793:
1784:
1746:
1728:
1700:
1687:
1671:
1643:
1630:
1589:
1568:
1556:
1534:
1521:
1499:
1477:
1464:
1423:
1415:
1413:
1386:
1367:
1352:
1308:
1289:
1288:
1280:
1242:
1217:
1199:
1177:
1165:
1138:
1119:
1100:
1087:
1072:
1052:
1001:
1000:
986:
981:
971:
970:
962:
961:
960:
940:
910:
904:
876:
867:
817:
816:
786:
776:
775:
769:
768:
761:
748:
732:
723:
687:
663:
654:
614:
581:
572:
544:
515:
490:
484:
460:
459:
421:
394:
393:
380:
351:
343:
333:
322:
308:
290:
284:
260:
241:
235:
200:
178:
177:
175:
144:
131:
125:
88:The uniform convergence of more general
45:The same diagram for normal distributions
6407:Weak Convergence and Empirical Processes
3656:) with respect to a probability measure
6049:
3489:{\displaystyle \ \mathbb {P} _{n}(C)\ }
75:independent and identically distributed
6106:. Cambridge University Press. p.
5129:is bounded. Also suppose that the set
5059:is dominated by an integrable function
5028:is a weak Glivenko-Cantelli class and
6063:The Annals of Mathematical Statistics
6038:Dvoretzky–Kiefer–Wolfowitz inequality
5725:is uniformly Glivenko–Cantelli class.
3527:{\displaystyle \ \mathbb {P} _{n}f\ }
92:becomes an important property of the
7:
5766:be a class of all finite subsets in
4998:. Then the following are equivalent:
4005:weak uniform Glivenko–Cantelli class
2754:on measurable real-valued functions
2540:{\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}
36:Donsker–Skorokhod–Kolmogorov theorem
5443:{\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}
3071: is measurable subset of
1340:{\displaystyle j\in \{1,\dots ,m\}}
6239:Journal of Theoretical Probability
5545:
5474:{\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}}
5389:{\displaystyle {\mathcal {C_{0}}}}
5365:: There exists a countable subset
5268:{\displaystyle \ {\mathcal {C}}\ }
5052:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}
4804:is image-admissible Suslin, where
4711:
4609:
4583:
4466:
4243:
4058:{\displaystyle ({\mathcal {S}},A)}
3991:{\displaystyle ({\mathcal {S}},A)}
3911:
3802:{\displaystyle \ {\mathcal {C}}\ }
3754:
3635:{\displaystyle \ {\mathcal {C}}\ }
3577:
2985:{\displaystyle \ {\mathcal {S}}\ }
2460:
2409:
1810:
1147:
1077:
749:
360:
269:{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}
159:{\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }
81:to the true distribution function
25:
5197:is image-admissible Suslin. Then
4291:{\displaystyle \varepsilon >0}
4084:{\displaystyle \varepsilon >0}
3938:universal Glivenko–Cantelli class
1296:{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
59:Fundamental Theorem of Statistics
4826:{\displaystyle \mathbf {1} _{C}}
4813:
4765:
4687:{\displaystyle (x,y)\mapsto (x)}
4478:{\displaystyle \ n\to \infty ~.}
4255:{\displaystyle \ n\to \infty ~.}
3923:{\displaystyle \ n\to \infty ~.}
3766:{\displaystyle \ n\to \infty ~.}
3026:{\displaystyle \ \mathbb {P} ~.}
2191:{\textstyle 1/m<\varepsilon }
194:cumulative distribution function
4270:uniform Glivenko-Cantelli class
2445:empirical distribution function
227:empirical distribution function
104:. Applications can be found in
71:empirical distribution function
6464:Asymptotic theory (statistics)
6342:. Cambridge University Press.
6340:Uniform Central Limit Theorems
6142:. Cambridge University Press.
6007:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
5929:{\displaystyle P_{n}(A_{n})=1}
5917:
5904:
5868:
5855:
5759:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
5718:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
5631:
5619:
5554:
5539:
5512:{\displaystyle S=\mathbb {R} }
5413:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
5354:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
5328:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
5301:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
5214:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
5122:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
5105:Suppose that a function class
5080:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
5021:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
4899:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
4746:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
4681:
4675:
4672:
4669:
4663:
4657:
4654:
4651:
4639:
4612:
4562:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
4531:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
4507:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
4463:
4431:
4348:
4332:
4240:
4208:
4141:
4125:
4052:
4036:
3985:
3969:
3908:
3876:
3751:
3719:
3534:is the corresponding map, and
3480:
3474:
3303:
3297:
3286:
3280:
3141:
2947:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
2923:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
2867:
2854:
2771:
2687:
2681:
2632:
2619:
2572:
2566:
2503:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
2469:
2454:
2339:
2335:
2322:
2313:
2300:
2286:
2103:
2099:
2095:
2082:
2073:
2060:
2046:
1971:
1967:
1954:
1945:
1932:
1918:
1876:
1872:
1866:
1857:
1851:
1837:
1740:
1721:
1712:
1693:
1677:
1664:
1655:
1636:
1616:
1610:
1601:
1595:
1562:
1549:
1540:
1527:
1511:
1492:
1483:
1470:
1450:
1444:
1435:
1429:
1392:
1360:
1211:
1192:
1183:
1170:
954:
948:
922:
916:
823:
813:
807:
798:
792:
625:
619:
593:
587:
374:
368:
363:
344:
302:
296:
211:
205:
57:(sometimes referred to as the
1:
6098:van der Vaart, A. W. (1998).
1038:for this and related results.
1032:law of the iterated logarithm
843:This theorem originates with
6134:van der Vaart, A.W. (1998).
5087:is a Glivenko-Cantelli class
4921:{\displaystyle \mathbb {P} }
4022:{\displaystyle \mathbb {P} }
3955:{\displaystyle \mathbb {P} }
3811:weak Glivenko-Cantelli class
2475:{\displaystyle (-\infty ,x]}
1268:{\displaystyle j=1,\dots ,m}
602:{\displaystyle \ F_{n}(x)\ }
185:{\displaystyle \mathbb {R} }
6018:a GC class with respect to
5335:is image-admissible Suslin.
4729:A class of measurable sets
935:converges almost surely to
6490:
6439:; Wellner, Jon A. (2000).
6429:Glivenko-Cantelli Theorems
6427:; Wellner, Jon A. (1996).
6318:10.1109/IJCNN.2011.6033352
5880:{\displaystyle P(A_{n})=0}
3496:is the empirical measure,
98:Vapnik–Chervonenkis theory
6187:Giorn. Ist. Ital. Attuari
6165:Giorn. Ist. Ital. Attuari
5277:Vapnik–Chervonenkis class
3101:and a class of functions
2137:{\textstyle \varepsilon }
888:{\displaystyle \ X_{n}\ }
675:{\displaystyle \ F_{n}\ }
94:Glivenko–Cantelli classes
63:Valery Ivanovich Glivenko
55:Glivenko–Cantelli theorem
18:Glivenko-Cantelli theorem
6405:; Wellner, J.A. (1996).
6057:Howard G.Tucker (1959).
5100:, Giné, and Zinn, 1991)
3602:assuming that it exists.
3185:define random variables
3033:For a class of subsets,
2992:with a sigma algebra of
2693:{\displaystyle I_{C}(x)}
928:{\displaystyle F_{n}(x)}
67:Francesco Paolo Cantelli
6076:10.1214/aoms/1177706212
5738:probability measure on
4589:{\displaystyle \Omega }
4571:image-admissible Suslin
3645:Glivenko–Cantelli class
2958:Glivenko–Cantelli class
2443:One can generalize the
2237:{\displaystyle n\geq N}
100:, with applications to
6474:Theorems in statistics
6302:. pp. 1141–1145.
6221:10.1214/AOP/1176992069
6008:
5984:
5930:
5881:
5839:
5760:
5719:
5695:
5580:
5513:
5475:
5444:
5414:
5390:
5355:
5329:
5302:
5269:
5215:
5191:
5123:
5081:
5053:
5022:
4992:
4922:
4900:
4851:
4827:
4798:
4747:
4718:
4688:
4626:
4590:
4563:
4532:
4508:
4479:
4444:
4292:
4268:A class is a (strong)
4256:
4221:
4085:
4059:
4023:
3992:
3956:
3924:
3889:
3803:
3767:
3732:
3636:
3596:
3528:
3490:
3443:
3317:
3176:
3092:
3027:
2986:
2948:
2924:
2893:
2850:
2748:
2718:
2694:
2655:
2608:
2541:
2504:
2476:
2429:
2372:
2238:
2212:
2192:
2158:
2138:
2118:
1995:
1767:
1399:
1341:
1297:
1269:
1231:
1154:
1061:
1017:
929:
889:
833:
705:
676:
632:
603:
562:
561:{\displaystyle \ x\ ,}
533:
500:
470:
338:
270:
218:
186:
160:
46:
38:
6437:van der Vaart, Aad W.
6425:van der Vaart, Aad W.
6209:Annals of Probability
6138:Asymptotic Statistics
6102:Asymptotic Statistics
6009:
5985:
5931:
5882:
5840:
5761:
5720:
5696:
5581:
5514:
5476:
5445:
5415:
5391:
5356:
5330:
5303:
5270:
5216:
5192:
5124:
5082:
5054:
5023:
4993:
4923:
4901:
4852:
4828:
4799:
4748:
4719:
4689:
4627:
4591:
4564:
4545:A class of functions
4533:
4509:
4480:
4445:
4293:
4257:
4222:
4086:
4060:
4024:
3993:
3957:
3925:
3890:
3804:
3768:
3733:
3637:
3597:
3529:
3491:
3444:
3318:
3177:
3093:
3028:
2987:
2949:
2925:
2894:
2830:
2749:
2747:{\displaystyle P_{n}}
2719:
2695:
2656:
2588:
2542:
2505:
2486:from a class of sets
2477:
2447:by replacing the set
2430:
2373:
2239:
2213:
2193:
2159:
2139:
2119:
1996:
1768:
1400:
1398:{\displaystyle x\in }
1342:
1298:
1270:
1232:
1155:
1062:
1018:
930:
890:
834:
706:
704:{\displaystyle \ F~.}
677:
633:
604:
563:
534:
532:{\displaystyle \ C~.}
501:
499:{\displaystyle I_{C}}
471:
318:
271:
219:
187:
161:
51:theory of probability
44:
33:
27:Theory of probability
6469:Probability theorems
5994:
5940:
5891:
5849:
5774:
5746:
5705:
5598:
5588:Kolmogorov's theorem
5523:
5495:
5454:
5424:
5400:
5369:
5341:
5315:
5288:
5249:
5201:
5133:
5109:
5067:
5032:
5008:
4932:
4910:
4886:
4841:
4808:
4757:
4733:
4698:
4636:
4600:
4580:
4549:
4518:
4494:
4454:
4308:
4276:
4231:
4101:
4069:
4033:
4011:
3966:
3944:
3936:A class is called a
3899:
3827:
3783:
3742:
3670:
3616:
3541:
3500:
3456:
3330:
3192:
3108:
3040:
3006:
2966:
2934:
2910:
2904:law of large numbers
2765:
2758:, which is given by
2731:
2708:
2668:
2553:
2518:
2490:
2482:by an arbitrary set
2451:
2382:
2248:
2222:
2202:
2168:
2148:
2128:
2008:
1783:
1412:
1351:
1307:
1279:
1241:
1164:
1071:
1051:
939:
903:
866:
722:
686:
653:
643:law of large numbers
631:{\displaystyle F(x)}
613:
571:
543:
514:
483:
283:
234:
217:{\displaystyle F(x)}
199:
174:
124:
6403:van der Vaart, A.W.
6269:Chervonenkis, A.Ya.
5420:such that each set
3158: is measurable
3001:probability measure
2906:holds uniformly on
647:uniform convergence
79:converges uniformly
6251:10.1007/BF01210321
6235:Dudley, Richard M.
6004:
5980:
5926:
5877:
5835:
5756:
5715:
5691:
5635:
5576:
5509:
5471:
5440:
5410:
5386:
5351:
5325:
5298:
5265:
5211:
5187:
5119:
5077:
5049:
5018:
4988:
4918:
4896:
4847:
4835:indicator function
4823:
4794:
4743:
4714:
4684:
4632:such that the map
4622:
4586:
4573:if there exists a
4559:
4528:
4504:
4475:
4440:
4376:
4352:
4288:
4252:
4217:
4145:
4081:
4055:
4019:
3988:
3952:
3920:
3895:in probability as
3885:
3799:
3763:
3728:
3632:
3592:
3524:
3486:
3439:
3398:
3313:
3260:
3172:
3160:
3088:
3023:
2982:
2944:
2920:
2889:
2744:
2714:
2702:indicator function
2690:
2651:
2537:
2500:
2472:
2439:Empirical measures
2425:
2368:
2284:
2234:
2218:such that for all
2208:
2188:
2154:
2134:
2114:
2044:
1991:
1916:
1835:
1763:
1761:
1395:
1337:
1293:
1265:
1227:
1150:
1057:
1013:
925:
885:
849:Francesco Cantelli
829:
774:
701:
672:
628:
599:
558:
539:For every (fixed)
529:
508:indicator function
496:
466:
266:
214:
182:
156:
90:empirical measures
47:
39:
6459:Empirical process
6149:978-0-521-78450-4
6117:978-0-521-78450-4
6033:Donsker's theorem
5601:
5264:
5254:
4850:{\displaystyle C}
4596:and a surjection
4471:
4459:
4439:
4361:
4314:
4313:
4248:
4236:
4216:
4107:
4106:
3916:
3904:
3884:
3832:
3798:
3788:
3759:
3747:
3738:almost surely as
3727:
3675:
3631:
3621:
3588:
3575:
3546:
3523:
3505:
3485:
3461:
3379:
3241:
3164:
3159:
3072:
3019:
3011:
2981:
2971:
2828:
2717:{\displaystyle C}
2586:
2512:empirical measure
2423:
2366:
2251:
2112:
2011:
1986:
1883:
1818:
1754:
1576:
1225:
1060:{\displaystyle X}
1009:
944:
884:
871:
757:
697:
691:
671:
658:
598:
576:
554:
548:
525:
519:
438:
413:
407:
392:
388:
316:
73:as the number of
16:(Redirected from
6481:
6444:
6432:
6420:
6398:
6372:
6353:
6322:
6321:
6311:
6295:
6289:
6288:
6261:
6255:
6254:
6231:
6225:
6224:
6201:
6195:
6194:
6179:
6173:
6172:
6160:
6154:
6153:
6141:
6131:
6122:
6121:
6105:
6095:
6089:
6088:
6078:
6054:
6013:
6011:
6010:
6005:
6003:
6002:
5989:
5987:
5986:
5981:
5973:
5972:
5971:
5955:
5954:
5935:
5933:
5932:
5927:
5916:
5915:
5903:
5902:
5886:
5884:
5883:
5878:
5867:
5866:
5844:
5842:
5841:
5836:
5834:
5833:
5821:
5820:
5802:
5801:
5786:
5785:
5765:
5763:
5762:
5757:
5755:
5754:
5724:
5722:
5721:
5716:
5714:
5713:
5700:
5698:
5697:
5692:
5690:
5689:
5685:
5666:
5665:
5664:
5648:
5647:
5634:
5618:
5617:
5585:
5583:
5582:
5577:
5572:
5571:
5532:
5531:
5518:
5516:
5515:
5510:
5508:
5480:
5478:
5477:
5472:
5470:
5469:
5464:
5463:
5449:
5447:
5446:
5441:
5439:
5438:
5419:
5417:
5416:
5411:
5409:
5408:
5395:
5393:
5392:
5387:
5385:
5384:
5383:
5382:
5360:
5358:
5357:
5352:
5350:
5349:
5334:
5332:
5331:
5326:
5324:
5323:
5307:
5305:
5304:
5299:
5297:
5296:
5274:
5272:
5271:
5266:
5262:
5261:
5260:
5252:
5220:
5218:
5217:
5212:
5210:
5209:
5196:
5194:
5193:
5188:
5183:
5182:
5149:
5148:
5143:
5142:
5128:
5126:
5125:
5120:
5118:
5117:
5086:
5084:
5083:
5078:
5076:
5075:
5058:
5056:
5055:
5050:
5048:
5047:
5042:
5041:
5027:
5025:
5024:
5019:
5017:
5016:
4997:
4995:
4994:
4989:
4984:
4983:
4965:
4948:
4947:
4942:
4941:
4927:
4925:
4924:
4919:
4917:
4905:
4903:
4902:
4897:
4895:
4894:
4856:
4854:
4853:
4848:
4832:
4830:
4829:
4824:
4822:
4821:
4816:
4803:
4801:
4800:
4795:
4790:
4789:
4774:
4773:
4768:
4752:
4750:
4749:
4744:
4742:
4741:
4723:
4721:
4720:
4715:
4707:
4706:
4693:
4691:
4690:
4685:
4631:
4629:
4628:
4623:
4621:
4620:
4595:
4593:
4592:
4587:
4568:
4566:
4565:
4560:
4558:
4557:
4537:
4535:
4534:
4529:
4527:
4526:
4513:
4511:
4510:
4505:
4503:
4502:
4484:
4482:
4481:
4476:
4469:
4457:
4449:
4447:
4446:
4441:
4437:
4430:
4426:
4419:
4418:
4417:
4411:
4410:
4403:
4395:
4394:
4389:
4383:
4382:
4375:
4351:
4341:
4340:
4331:
4323:
4311:
4297:
4295:
4294:
4289:
4261:
4259:
4258:
4253:
4246:
4234:
4226:
4224:
4223:
4218:
4214:
4207:
4203:
4196:
4195:
4194:
4188:
4187:
4180:
4172:
4171:
4166:
4160:
4159:
4144:
4134:
4133:
4124:
4116:
4104:
4090:
4088:
4087:
4082:
4064:
4062:
4061:
4056:
4045:
4044:
4028:
4026:
4025:
4020:
4018:
3997:
3995:
3994:
3989:
3978:
3977:
3961:
3959:
3958:
3953:
3951:
3929:
3927:
3926:
3921:
3914:
3902:
3894:
3892:
3891:
3886:
3882:
3875:
3874:
3873:
3867:
3866:
3859:
3851:
3850:
3845:
3839:
3838:
3830:
3816:
3813:with respect to
3808:
3806:
3805:
3800:
3796:
3795:
3794:
3786:
3772:
3770:
3769:
3764:
3757:
3745:
3737:
3735:
3734:
3729:
3725:
3718:
3717:
3716:
3710:
3709:
3702:
3694:
3693:
3688:
3682:
3681:
3673:
3659:
3641:
3639:
3638:
3633:
3629:
3628:
3627:
3619:
3601:
3599:
3598:
3593:
3586:
3585:
3580:
3573:
3569:
3568:
3567:
3551:
3544:
3533:
3531:
3530:
3525:
3521:
3517:
3516:
3511:
3503:
3495:
3493:
3492:
3487:
3483:
3473:
3472:
3467:
3459:
3448:
3446:
3445:
3440:
3438:
3437:
3428:
3417:
3416:
3411:
3405:
3404:
3397:
3396:
3395:
3375:
3374:
3373:
3367:
3366:
3359:
3351:
3350:
3345:
3339:
3338:
3322:
3320:
3319:
3314:
3312:
3311:
3296:
3279:
3278:
3273:
3267:
3266:
3259:
3258:
3257:
3237:
3236:
3235:
3229:
3228:
3221:
3213:
3212:
3207:
3201:
3200:
3181:
3179:
3178:
3173:
3171:
3170:
3162:
3161:
3157:
3148:
3140:
3139:
3127:
3126:
3117:
3116:
3097:
3095:
3094:
3089:
3087:
3086:
3080:
3079:
3073:
3070:
3059:
3058:
3049:
3048:
3032:
3030:
3029:
3024:
3017:
3016:
3009:
2998:
2991:
2989:
2988:
2983:
2979:
2978:
2977:
2969:
2953:
2951:
2950:
2945:
2943:
2942:
2929:
2927:
2926:
2921:
2919:
2918:
2898:
2896:
2895:
2890:
2885:
2884:
2866:
2865:
2849:
2844:
2829:
2821:
2816:
2815:
2799:
2798:
2783:
2782:
2753:
2751:
2750:
2745:
2743:
2742:
2723:
2721:
2720:
2715:
2699:
2697:
2696:
2691:
2680:
2679:
2660:
2658:
2657:
2652:
2650:
2649:
2631:
2630:
2618:
2617:
2607:
2602:
2587:
2579:
2565:
2564:
2546:
2544:
2543:
2538:
2533:
2532:
2514:indexed by sets
2509:
2507:
2506:
2501:
2499:
2498:
2481:
2479:
2478:
2473:
2434:
2432:
2431:
2426:
2424:
2421:
2413:
2412:
2397:
2396:
2377:
2375:
2374:
2369:
2367:
2364:
2359:
2342:
2334:
2333:
2312:
2311:
2299:
2298:
2289:
2283:
2243:
2241:
2240:
2235:
2217:
2215:
2214:
2209:
2197:
2195:
2194:
2189:
2178:
2163:
2161:
2160:
2155:
2144:and any integer
2143:
2141:
2140:
2135:
2123:
2121:
2120:
2115:
2113:
2110:
2102:
2094:
2093:
2072:
2071:
2059:
2058:
2049:
2043:
2000:
1998:
1997:
1992:
1987:
1979:
1974:
1966:
1965:
1944:
1943:
1931:
1930:
1921:
1915:
1879:
1850:
1849:
1840:
1834:
1833:
1814:
1813:
1798:
1797:
1772:
1770:
1769:
1764:
1762:
1755:
1747:
1739:
1738:
1711:
1710:
1692:
1691:
1676:
1675:
1654:
1653:
1635:
1634:
1594:
1593:
1577:
1569:
1561:
1560:
1539:
1538:
1526:
1525:
1510:
1509:
1482:
1481:
1469:
1468:
1428:
1427:
1404:
1402:
1401:
1396:
1391:
1390:
1378:
1377:
1346:
1344:
1343:
1338:
1302:
1300:
1299:
1294:
1292:
1274:
1272:
1271:
1266:
1236:
1234:
1233:
1228:
1226:
1218:
1210:
1209:
1182:
1181:
1159:
1157:
1156:
1151:
1143:
1142:
1130:
1129:
1105:
1104:
1092:
1091:
1066:
1064:
1063:
1058:
1022:
1020:
1019:
1014:
1007:
1006:
1005:
999:
998:
991:
990:
976:
975:
966:
965:
942:
934:
932:
931:
926:
915:
914:
895:is a stationary
894:
892:
891:
886:
882:
881:
880:
869:
838:
836:
835:
830:
822:
821:
791:
790:
781:
780:
773:
772:
753:
752:
737:
736:
710:
708:
707:
702:
695:
689:
681:
679:
678:
673:
669:
668:
667:
656:
637:
635:
634:
629:
608:
606:
605:
600:
596:
586:
585:
574:
567:
565:
564:
559:
552:
546:
538:
536:
535:
530:
523:
517:
505:
503:
502:
497:
495:
494:
475:
473:
472:
467:
465:
464:
458:
454:
436:
426:
425:
411:
405:
399:
398:
390:
389:
381:
367:
366:
356:
355:
337:
332:
317:
309:
295:
294:
275:
273:
272:
267:
265:
264:
246:
245:
223:
221:
220:
215:
191:
189:
188:
183:
181:
165:
163:
162:
157:
149:
148:
136:
135:
102:machine learning
21:
6489:
6488:
6484:
6483:
6482:
6480:
6479:
6478:
6449:
6448:
6447:
6435:
6423:
6417:
6401:
6395:
6375:
6369:
6356:
6350:
6334:
6330:
6328:Further reading
6325:
6297:
6296:
6292:
6285:10.1137/1116025
6263:
6262:
6258:
6233:
6232:
6228:
6203:
6202:
6198:
6181:
6180:
6176:
6162:
6161:
6157:
6150:
6133:
6132:
6125:
6118:
6097:
6096:
6092:
6056:
6055:
6051:
6047:
6029:
5992:
5991:
5962:
5946:
5938:
5937:
5936:, we have that
5907:
5894:
5889:
5888:
5858:
5847:
5846:
5812:
5793:
5777:
5772:
5771:
5744:
5743:
5703:
5702:
5670:
5655:
5639:
5596:
5595:
5521:
5520:
5493:
5492:
5488:
5457:
5452:
5451:
5422:
5421:
5398:
5397:
5374:
5367:
5366:
5361:is universally
5339:
5338:
5313:
5312:
5286:
5285:
5247:
5246:
5199:
5198:
5136:
5131:
5130:
5107:
5106:
5092:
5065:
5064:
5035:
5030:
5029:
5006:
5005:
4935:
4930:
4929:
4908:
4907:
4884:
4883:
4861:
4839:
4838:
4811:
4806:
4805:
4763:
4755:
4754:
4731:
4730:
4696:
4695:
4634:
4633:
4598:
4597:
4578:
4577:
4547:
4546:
4516:
4515:
4492:
4491:
4452:
4451:
4404:
4384:
4360:
4356:
4306:
4305:
4274:
4273:
4229:
4228:
4181:
4161:
4153:
4149:
4099:
4098:
4067:
4066:
4031:
4030:
4009:
4008:
3964:
3963:
3942:
3941:
3897:
3896:
3860:
3840:
3825:
3824:
3814:
3781:
3780:
3740:
3739:
3703:
3683:
3668:
3667:
3657:
3654:strong GC class
3652:, or sometimes
3614:
3613:
3558:
3539:
3538:
3506:
3498:
3497:
3462:
3454:
3453:
3406:
3360:
3340:
3328:
3327:
3268:
3222:
3202:
3190:
3189:
3106:
3105:
3038:
3037:
3004:
3003:
2996:
2964:
2963:
2962:Consider a set
2960:
2932:
2931:
2908:
2907:
2857:
2807:
2790:
2774:
2763:
2762:
2734:
2729:
2728:
2706:
2705:
2671:
2666:
2665:
2622:
2609:
2556:
2551:
2550:
2516:
2515:
2488:
2487:
2449:
2448:
2441:
2404:
2388:
2380:
2379:
2325:
2303:
2290:
2246:
2245:
2220:
2219:
2200:
2199:
2166:
2165:
2146:
2145:
2126:
2125:
2085:
2063:
2050:
2006:
2005:
1957:
1935:
1922:
1841:
1805:
1789:
1781:
1780:
1760:
1759:
1724:
1696:
1683:
1667:
1639:
1626:
1619:
1585:
1582:
1581:
1552:
1530:
1517:
1495:
1473:
1460:
1453:
1419:
1410:
1409:
1382:
1363:
1349:
1348:
1305:
1304:
1277:
1276:
1239:
1238:
1195:
1173:
1162:
1161:
1134:
1115:
1096:
1083:
1069:
1068:
1049:
1048:
1045:
982:
977:
937:
936:
906:
901:
900:
897:ergodic process
872:
864:
863:
845:Valery Glivenko
782:
744:
728:
720:
719:
684:
683:
659:
651:
650:
611:
610:
577:
569:
568:
541:
540:
512:
511:
486:
481:
480:
417:
404:
400:
347:
339:
286:
281:
280:
256:
237:
232:
231:
197:
196:
172:
171:
140:
127:
122:
121:
118:
61:), named after
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
6487:
6485:
6477:
6476:
6471:
6466:
6461:
6451:
6450:
6446:
6445:
6433:
6421:
6415:
6399:
6393:
6373:
6367:
6354:
6348:
6331:
6329:
6326:
6324:
6323:
6290:
6279:(2): 264–280.
6256:
6226:
6196:
6183:Cantelli, F.P.
6174:
6167:(in Italian).
6155:
6148:
6123:
6116:
6090:
6069:(3): 828–830.
6048:
6046:
6043:
6042:
6041:
6035:
6028:
6025:
6024:
6023:
6001:
5979:
5976:
5970:
5965:
5961:
5958:
5953:
5949:
5945:
5925:
5922:
5919:
5914:
5910:
5906:
5901:
5897:
5876:
5873:
5870:
5865:
5861:
5857:
5854:
5832:
5827:
5824:
5819:
5815:
5811:
5808:
5805:
5800:
5796:
5792:
5789:
5784:
5780:
5753:
5727:
5726:
5712:
5688:
5684:
5680:
5677:
5673:
5669:
5663:
5658:
5654:
5651:
5646:
5642:
5638:
5633:
5630:
5627:
5624:
5621:
5616:
5611:
5608:
5604:
5592:
5591:
5575:
5570:
5565:
5562:
5559:
5556:
5553:
5550:
5547:
5544:
5541:
5538:
5535:
5530:
5507:
5503:
5500:
5487:
5484:
5483:
5482:
5468:
5462:
5437:
5432:
5429:
5407:
5381:
5377:
5348:
5336:
5322:
5295:
5282:
5281:
5259:
5224:
5223:
5208:
5186:
5181:
5176:
5173:
5170:
5167:
5164:
5161:
5158:
5155:
5152:
5147:
5141:
5116:
5090:
5089:
5074:
5061:
5046:
5040:
5015:
5001:
5000:
4987:
4982:
4977:
4974:
4971:
4968:
4964:
4960:
4957:
4954:
4951:
4946:
4940:
4916:
4893:
4859:
4858:
4846:
4820:
4815:
4793:
4788:
4783:
4780:
4777:
4772:
4767:
4762:
4740:
4726:
4725:
4713:
4710:
4705:
4694:is measurable
4683:
4680:
4677:
4674:
4671:
4668:
4665:
4662:
4659:
4656:
4653:
4650:
4647:
4644:
4641:
4619:
4614:
4611:
4608:
4605:
4585:
4556:
4525:
4501:
4488:
4487:
4486:
4485:
4474:
4468:
4465:
4462:
4436:
4433:
4429:
4425:
4422:
4416:
4409:
4402:
4398:
4393:
4388:
4381:
4374:
4371:
4368:
4364:
4359:
4355:
4350:
4347:
4344:
4339:
4334:
4330:
4326:
4322:
4317:
4300:
4299:
4287:
4284:
4281:
4265:
4264:
4263:
4262:
4251:
4245:
4242:
4239:
4213:
4210:
4206:
4202:
4199:
4193:
4186:
4179:
4175:
4170:
4165:
4158:
4152:
4148:
4143:
4140:
4137:
4132:
4127:
4123:
4119:
4115:
4110:
4093:
4092:
4080:
4077:
4074:
4054:
4051:
4048:
4043:
4038:
4017:
4000:
3999:
3987:
3984:
3981:
3976:
3971:
3950:
3933:
3932:
3931:
3930:
3919:
3913:
3910:
3907:
3881:
3878:
3872:
3865:
3858:
3854:
3849:
3844:
3837:
3819:
3818:
3793:
3776:
3775:
3774:
3773:
3762:
3756:
3753:
3750:
3724:
3721:
3715:
3708:
3701:
3697:
3692:
3687:
3680:
3662:
3661:
3626:
3604:
3603:
3591:
3584:
3579:
3572:
3566:
3561:
3557:
3554:
3550:
3520:
3515:
3510:
3482:
3479:
3476:
3471:
3466:
3450:
3449:
3436:
3431:
3427:
3423:
3420:
3415:
3410:
3403:
3394:
3389:
3386:
3382:
3378:
3372:
3365:
3358:
3354:
3349:
3344:
3337:
3324:
3323:
3310:
3305:
3302:
3299:
3295:
3291:
3288:
3285:
3282:
3277:
3272:
3265:
3256:
3251:
3248:
3244:
3240:
3234:
3227:
3220:
3216:
3211:
3206:
3199:
3183:
3182:
3169:
3154:
3151:
3147:
3143:
3138:
3133:
3130:
3125:
3120:
3115:
3099:
3098:
3085:
3078:
3068:
3065:
3062:
3057:
3052:
3047:
3022:
3015:
2976:
2959:
2956:
2941:
2917:
2900:
2899:
2888:
2883:
2878:
2875:
2872:
2869:
2864:
2860:
2856:
2853:
2848:
2843:
2840:
2837:
2833:
2827:
2824:
2819:
2814:
2810:
2806:
2802:
2797:
2793:
2789:
2786:
2781:
2777:
2773:
2770:
2741:
2737:
2713:
2689:
2686:
2683:
2678:
2674:
2662:
2661:
2648:
2643:
2640:
2637:
2634:
2629:
2625:
2621:
2616:
2612:
2606:
2601:
2598:
2595:
2591:
2585:
2582:
2577:
2574:
2571:
2568:
2563:
2559:
2536:
2531:
2526:
2523:
2497:
2471:
2468:
2465:
2462:
2459:
2456:
2440:
2437:
2419:
2416:
2411:
2407:
2403:
2400:
2395:
2391:
2387:
2362:
2358:
2354:
2351:
2348:
2345:
2341:
2337:
2332:
2328:
2324:
2321:
2318:
2315:
2310:
2306:
2302:
2297:
2293:
2288:
2282:
2279:
2276:
2273:
2270:
2267:
2264:
2261:
2258:
2254:
2233:
2230:
2227:
2211:{\textstyle N}
2207:
2198:, we can find
2187:
2184:
2181:
2177:
2173:
2157:{\textstyle m}
2153:
2133:
2108:
2105:
2101:
2097:
2092:
2088:
2084:
2081:
2078:
2075:
2070:
2066:
2062:
2057:
2053:
2048:
2042:
2039:
2036:
2033:
2030:
2027:
2024:
2021:
2018:
2014:
2002:
2001:
1990:
1985:
1982:
1977:
1973:
1969:
1964:
1960:
1956:
1953:
1950:
1947:
1942:
1938:
1934:
1929:
1925:
1920:
1914:
1911:
1908:
1905:
1902:
1899:
1896:
1893:
1890:
1886:
1882:
1878:
1874:
1871:
1868:
1865:
1862:
1859:
1856:
1853:
1848:
1844:
1839:
1832:
1828:
1825:
1821:
1817:
1812:
1808:
1804:
1801:
1796:
1792:
1788:
1774:
1773:
1758:
1753:
1750:
1745:
1742:
1737:
1734:
1731:
1727:
1723:
1720:
1717:
1714:
1709:
1706:
1703:
1699:
1695:
1690:
1686:
1682:
1679:
1674:
1670:
1666:
1663:
1660:
1657:
1652:
1649:
1646:
1642:
1638:
1633:
1629:
1625:
1622:
1620:
1618:
1615:
1612:
1609:
1606:
1603:
1600:
1597:
1592:
1588:
1584:
1583:
1580:
1575:
1572:
1567:
1564:
1559:
1555:
1551:
1548:
1545:
1542:
1537:
1533:
1529:
1524:
1520:
1516:
1513:
1508:
1505:
1502:
1498:
1494:
1491:
1488:
1485:
1480:
1476:
1472:
1467:
1463:
1459:
1456:
1454:
1452:
1449:
1446:
1443:
1440:
1437:
1434:
1431:
1426:
1422:
1418:
1417:
1394:
1389:
1385:
1381:
1376:
1373:
1370:
1366:
1362:
1359:
1356:
1336:
1333:
1330:
1327:
1324:
1321:
1318:
1315:
1312:
1291:
1287:
1284:
1275:. Now for all
1264:
1261:
1258:
1255:
1252:
1249:
1246:
1224:
1221:
1216:
1213:
1208:
1205:
1202:
1198:
1194:
1191:
1188:
1185:
1180:
1176:
1172:
1169:
1149:
1146:
1141:
1137:
1133:
1128:
1125:
1122:
1118:
1114:
1111:
1108:
1103:
1099:
1095:
1090:
1086:
1082:
1079:
1076:
1056:
1044:
1041:
1040:
1039:
1028:
1012:
1004:
997:
994:
989:
985:
980:
974:
969:
964:
959:
956:
953:
950:
947:
924:
921:
918:
913:
909:
879:
875:
859:
858:
856:
841:
840:
839:almost surely.
828:
825:
820:
815:
812:
809:
806:
803:
800:
797:
794:
789:
785:
779:
771:
767:
764:
760:
756:
751:
747:
743:
740:
735:
731:
727:
700:
694:
666:
662:
641:by the strong
627:
624:
621:
618:
595:
592:
589:
584:
580:
557:
551:
528:
522:
493:
489:
477:
476:
463:
457:
453:
450:
447:
444:
441:
435:
432:
429:
424:
420:
416:
410:
403:
397:
387:
384:
379:
376:
373:
370:
365:
362:
359:
354:
350:
346:
342:
336:
331:
328:
325:
321:
315:
312:
307:
304:
301:
298:
293:
289:
276:is defined by
263:
259:
255:
252:
249:
244:
240:
213:
210:
207:
204:
180:
155:
152:
147:
143:
139:
134:
130:
117:
114:
108:making use of
26:
24:
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
6486:
6475:
6472:
6470:
6467:
6465:
6462:
6460:
6457:
6456:
6454:
6442:
6438:
6434:
6430:
6426:
6422:
6418:
6416:0-387-94640-3
6412:
6408:
6404:
6400:
6396:
6394:0-471-86725-X
6390:
6386:
6382:
6381:Wellner, J.A.
6378:
6377:Shorack, G.R.
6374:
6370:
6368:0-470-26554-X
6364:
6360:
6355:
6351:
6349:0-521-46102-2
6345:
6341:
6337:
6333:
6332:
6327:
6319:
6315:
6310:
6305:
6301:
6294:
6291:
6286:
6282:
6278:
6274:
6270:
6266:
6260:
6257:
6252:
6248:
6244:
6240:
6236:
6230:
6227:
6222:
6218:
6214:
6210:
6206:
6205:Talagrand, M.
6200:
6197:
6192:
6188:
6184:
6178:
6175:
6170:
6166:
6159:
6156:
6151:
6145:
6140:
6139:
6130:
6128:
6124:
6119:
6113:
6109:
6104:
6103:
6094:
6091:
6086:
6082:
6077:
6072:
6068:
6064:
6060:
6053:
6050:
6044:
6039:
6036:
6034:
6031:
6030:
6026:
6021:
6017:
5977:
5974:
5959:
5956:
5951:
5947:
5923:
5920:
5912:
5908:
5899:
5895:
5874:
5871:
5863:
5859:
5852:
5825:
5817:
5813:
5809:
5806:
5803:
5798:
5794:
5787:
5782:
5778:
5769:
5741:
5737:
5733:
5729:
5728:
5686:
5682:
5678:
5675:
5671:
5667:
5652:
5649:
5644:
5640:
5628:
5625:
5622:
5609:
5606:
5594:
5593:
5589:
5563:
5560:
5557:
5551:
5548:
5542:
5533:
5501:
5498:
5490:
5489:
5485:
5466:
5430:
5427:
5364:
5337:
5311:
5310:
5309:
5280:
5278:
5243:
5242:
5241:
5239:
5235:
5231:
5227:
5222:
5174:
5171:
5168:
5165:
5159:
5156:
5150:
5145:
5103:
5102:
5101:
5099:
5095:
5088:
5062:
5060:
5044:
5003:
5002:
4999:
4975:
4972:
4969:
4966:
4958:
4955:
4949:
4944:
4928:, and define
4880:
4879:
4878:
4876:
4872:
4868:
4865:
4864:
4844:
4836:
4818:
4781:
4778:
4775:
4770:
4728:
4727:
4708:
4678:
4666:
4660:
4648:
4645:
4642:
4606:
4603:
4576:
4572:
4544:
4543:
4542:
4539:
4472:
4460:
4434:
4427:
4423:
4420:
4396:
4391:
4372:
4369:
4366:
4357:
4345:
4342:
4324:
4304:
4303:
4302:
4301:
4285:
4282:
4279:
4271:
4267:
4266:
4249:
4237:
4211:
4204:
4200:
4197:
4173:
4168:
4150:
4138:
4135:
4117:
4097:
4096:
4095:
4094:
4078:
4075:
4072:
4049:
4046:
4006:
4003:A class is a
4002:
4001:
3982:
3979:
3939:
3935:
3934:
3917:
3905:
3879:
3852:
3847:
3823:
3822:
3821:
3820:
3812:
3778:
3777:
3760:
3748:
3722:
3695:
3690:
3666:
3665:
3664:
3663:
3655:
3651:
3647:
3646:
3611:
3610:
3609:
3608:
3589:
3570:
3559:
3555:
3552:
3537:
3536:
3535:
3518:
3513:
3477:
3469:
3429:
3421:
3418:
3413:
3387:
3384:
3376:
3352:
3347:
3326:
3325:
3300:
3289:
3283:
3275:
3249:
3246:
3238:
3214:
3209:
3188:
3187:
3186:
3152:
3149:
3131:
3128:
3118:
3104:
3103:
3102:
3066:
3063:
3060:
3050:
3036:
3035:
3034:
3020:
3002:
2995:
2994:Borel subsets
2957:
2955:
2905:
2886:
2876:
2873:
2870:
2862:
2858:
2851:
2846:
2841:
2838:
2835:
2831:
2825:
2822:
2817:
2812:
2808:
2804:
2800:
2795:
2791:
2787:
2784:
2779:
2775:
2768:
2761:
2760:
2759:
2757:
2739:
2735:
2725:
2711:
2703:
2684:
2676:
2672:
2641:
2638:
2635:
2627:
2623:
2614:
2610:
2604:
2599:
2596:
2593:
2589:
2583:
2580:
2575:
2569:
2561:
2557:
2549:
2548:
2547:
2534:
2524:
2521:
2513:
2510:to obtain an
2485:
2466:
2463:
2457:
2446:
2438:
2436:
2417:
2414:
2401:
2398:
2393:
2389:
2360:
2356:
2352:
2349:
2346:
2343:
2330:
2326:
2319:
2316:
2308:
2304:
2295:
2291:
2277:
2274:
2271:
2268:
2265:
2259:
2256:
2231:
2228:
2225:
2205:
2185:
2182:
2179:
2175:
2171:
2151:
2131:
2106:
2090:
2086:
2079:
2076:
2068:
2064:
2055:
2051:
2037:
2034:
2031:
2028:
2025:
2019:
2016:
1988:
1983:
1980:
1975:
1962:
1958:
1951:
1948:
1940:
1936:
1927:
1923:
1909:
1906:
1903:
1900:
1897:
1891:
1888:
1880:
1869:
1863:
1860:
1854:
1846:
1842:
1826:
1823:
1815:
1802:
1799:
1794:
1790:
1779:
1778:
1777:
1756:
1751:
1748:
1743:
1735:
1732:
1729:
1725:
1718:
1715:
1707:
1704:
1701:
1697:
1688:
1684:
1680:
1672:
1668:
1661:
1658:
1650:
1647:
1644:
1640:
1631:
1627:
1623:
1621:
1613:
1607:
1604:
1598:
1590:
1586:
1578:
1573:
1570:
1565:
1557:
1553:
1546:
1543:
1535:
1531:
1522:
1518:
1514:
1506:
1503:
1500:
1496:
1489:
1486:
1478:
1474:
1465:
1461:
1457:
1455:
1447:
1441:
1438:
1432:
1424:
1420:
1408:
1407:
1406:
1387:
1383:
1379:
1374:
1371:
1368:
1364:
1357:
1354:
1331:
1328:
1325:
1322:
1319:
1313:
1310:
1303:there exists
1285:
1282:
1262:
1259:
1256:
1253:
1250:
1247:
1244:
1222:
1219:
1214:
1206:
1203:
1200:
1196:
1189:
1186:
1178:
1174:
1167:
1144:
1139:
1135:
1131:
1126:
1123:
1120:
1116:
1112:
1109:
1106:
1101:
1097:
1093:
1088:
1084:
1080:
1074:
1054:
1042:
1037:
1033:
1029:
1026:
1010:
995:
992:
987:
983:
978:
967:
957:
951:
945:
919:
911:
907:
898:
877:
873:
861:
860:
857:
854:
853:
852:
850:
846:
826:
810:
804:
801:
795:
787:
783:
765:
762:
754:
741:
738:
733:
729:
718:
717:
716:
715:
711:
698:
692:
664:
660:
648:
644:
640:
639:almost surely
622:
616:
590:
582:
578:
555:
549:
526:
520:
509:
491:
487:
455:
451:
448:
445:
442:
439:
433:
430:
427:
422:
418:
414:
408:
401:
385:
382:
377:
371:
357:
352:
348:
340:
334:
329:
326:
323:
319:
313:
310:
305:
299:
291:
287:
279:
278:
277:
261:
257:
253:
250:
247:
242:
238:
229:
228:
208:
202:
195:
169:
153:
150:
145:
141:
137:
132:
128:
120:Assume that
115:
113:
111:
107:
103:
99:
95:
91:
86:
84:
83:almost surely
80:
76:
72:
68:
64:
60:
56:
52:
43:
37:
32:
19:
6440:
6428:
6409:. Springer.
6406:
6384:
6358:
6339:
6336:Dudley, R.M.
6299:
6293:
6276:
6272:
6265:Vapnik, V.N.
6259:
6242:
6238:
6229:
6212:
6208:
6199:
6190:
6186:
6177:
6168:
6164:
6158:
6137:
6101:
6093:
6066:
6062:
6052:
6019:
6015:
5767:
5739:
5731:
5283:
5244:
5238:Chervonenkis
5229:
5228:
5225:
5104:
5093:
5091:
5063:
5004:
4881:
4870:
4869:
4866:
4862:
4860:
4837:for the set
4833:denotes the
4575:Suslin space
4570:
4540:
4489:
4269:
4065:: For every
4004:
3937:
3810:
3653:
3649:
3644:
3643:
3642:is called a
3606:
3605:
3451:
3184:
3100:
2961:
2901:
2755:
2726:
2704:of each set
2663:
2483:
2444:
2442:
2003:
1775:
1046:
842:
713:
712:
478:
225:
192:with common
119:
110:M-estimators
106:econometrics
93:
87:
58:
54:
48:
6443:. Springer.
6431:. Springer.
6245:: 485–510.
6215:: 837–870.
3779:A class is
3607:Definitions
1776:Therefore,
851:, in 1933.
510:of the set
6453:Categories
6193:: 421–424.
6045:References
5770:. Because
5701:, that is
2422: a.s.
2365: a.s.
2244:, we have
2164:such that
2111: a.s.
1347:such that
1160:such that
6387:. Wiley.
6309:1104.2097
5964:‖
5957:−
5944:‖
5826:∈
5807:…
5736:nonatomic
5676:−
5668:∼
5657:‖
5650:−
5637:‖
5610:∈
5564:∈
5546:∞
5543:−
5431:∈
5363:separable
5308:suffice:
5175:∈
5169:∣
5160:−
4976:∈
4970:∣
4959:−
4875:Talagrand
4782:∈
4776:∣
4712:Ω
4709:×
4655:↦
4613:→
4610:Ω
4584:Ω
4467:∞
4464:→
4432:→
4424:ε
4397:−
4370:≥
4325:∈
4280:ε
4244:∞
4241:→
4209:→
4201:ε
4174:−
4118:∈
4073:ε
3912:∞
3909:→
3877:→
3853:−
3755:∞
3752:→
3720:→
3696:−
3560:∫
3422:−
3388:∈
3353:−
3290:−
3250:∈
3215:−
3142:→
3119:⊂
3051:⊂
2877:∈
2832:∑
2792:∫
2772:↦
2642:∈
2590:∑
2525:∈
2461:∞
2458:−
2418:ε
2415:≤
2410:∞
2406:‖
2399:−
2386:‖
2350:−
2347:ε
2344:≤
2317:−
2272:…
2260:∈
2229:≥
2186:ε
2132:ε
2104:→
2077:−
2032:…
2020:∈
1949:−
1904:…
1892:∈
1881:≤
1861:−
1827:∈
1811:∞
1807:‖
1800:−
1787:‖
1744:−
1733:−
1716:−
1705:−
1659:−
1648:−
1624:≥
1605:−
1544:−
1504:−
1487:−
1458:≤
1439:−
1372:−
1358:∈
1326:…
1314:∈
1286:∈
1257:…
1204:−
1187:−
1148:∞
1124:−
1110:⋯
1078:∞
1075:−
993:≤
968:
824:⟶
802:−
766:∈
750:∞
746:‖
739:−
726:‖
449:≤
443:≤
428:≤
415:∣
361:∞
320:∑
251:…
154:…
116:Statement
6383:(1986).
6338:(1999).
6171:: 92–99.
6027:See also
5486:Examples
5240:, 1968)
4877:, 1987)
4863:Theorems
4408:‖
4380:‖
4185:‖
4157:‖
3864:‖
3836:‖
3707:‖
3679:‖
3650:GC class
3612:A class
3364:‖
3336:‖
3226:‖
3198:‖
6085:2237422
5990:and so
5230:Theorem
5094:Theorem
4871:Theorem
2700:is the
899:, then
855:Remarks
714:Theorem
506:is the
49:In the
6413:
6391:
6365:
6346:
6146:
6114:
6083:
5263:
5253:
5234:Vapnik
5098:Dudley
4470:
4458:
4438:
4312:
4247:
4235:
4215:
4105:
3915:
3903:
3883:
3831:
3797:
3787:
3758:
3746:
3726:
3674:
3630:
3620:
3587:
3574:
3545:
3522:
3504:
3484:
3460:
3452:where
3163:
3018:
3010:
2999:and a
2980:
2970:
2664:Where
2004:Since
1067:. Fix
1034:. See
1008:
943:
883:
870:
696:
690:
670:
657:
597:
575:
553:
547:
524:
518:
479:where
437:
412:
406:
391:
224:. The
53:, the
6304:arXiv
6081:JSTOR
5734:be a
4514:with
3809:is a
1043:Proof
1027:case.
6411:ISBN
6389:ISBN
6363:ISBN
6344:ISBN
6144:ISBN
6112:ISBN
5742:and
5730:Let
5519:and
5491:Let
5236:and
4882:Let
4421:>
4283:>
4198:>
4076:>
3648:(or
2183:<
1237:for
1132:<
1113:<
1107:<
1094:<
847:and
230:for
166:are
65:and
6314:doi
6281:doi
6247:doi
6217:doi
6108:279
6071:doi
6016:not
6014:is
5603:sup
5396:of
5163:inf
4569:is
4450:as
4363:sup
4316:sup
4227:as
4109:sup
4029:on
3962:on
3381:sup
3243:sup
2930:or
2253:max
2013:max
1885:max
1820:sup
1405:.
1025:iid
862:If
759:sup
682:to
649:of
170:in
6455::
6379:;
6312:.
6277:16
6275:.
6267:;
6241:.
6213:15
6211:.
6189:.
6126:^
6110:.
6079:.
6067:30
6065:.
6061:.
5887:,
5845:,
4538:.
4354:Pr
4147:Pr
3660:if
2954:.
2724:.
112:.
85:.
6419:.
6397:.
6371:.
6352:.
6320:.
6316::
6306::
6287:.
6283::
6253:.
6249::
6243:4
6223:.
6219::
6191:4
6169:4
6152:.
6120:.
6087:.
6073::
6022:.
6020:P
6000:C
5978:1
5975:=
5969:C
5960:P
5952:n
5948:P
5924:1
5921:=
5918:)
5913:n
5909:A
5905:(
5900:n
5896:P
5875:0
5872:=
5869:)
5864:n
5860:A
5856:(
5853:P
5831:C
5823:}
5818:n
5814:X
5810:,
5804:,
5799:1
5795:X
5791:{
5788:=
5783:n
5779:A
5768:S
5752:C
5740:S
5732:P
5711:C
5687:2
5683:/
5679:1
5672:n
5662:C
5653:P
5645:n
5641:P
5632:)
5629:A
5626:,
5623:S
5620:(
5615:P
5607:P
5590:,
5574:}
5569:R
5561:t
5558::
5555:]
5552:t
5549:,
5540:(
5537:{
5534:=
5529:C
5506:R
5502:=
5499:S
5481:.
5467:0
5461:C
5436:C
5428:C
5406:C
5380:0
5376:C
5347:C
5321:C
5294:C
5279:.
5258:C
5232:(
5207:F
5185:}
5180:F
5172:f
5166:f
5157:f
5154:{
5151:=
5146:0
5140:F
5115:F
5096:(
5073:F
5045:0
5039:F
5014:F
4986:}
4981:F
4973:f
4967:f
4963:P
4956:f
4953:{
4950:=
4945:0
4939:F
4915:P
4892:F
4873:(
4857:.
4845:C
4819:C
4814:1
4792:}
4787:C
4779:C
4771:C
4766:1
4761:{
4739:C
4724:.
4704:X
4682:)
4679:x
4676:(
4673:]
4670:)
4667:y
4664:(
4661:T
4658:[
4652:)
4649:y
4646:,
4643:x
4640:(
4618:F
4607::
4604:T
4555:F
4524:F
4500:C
4473:.
4461:n
4435:0
4428:)
4415:C
4401:P
4392:m
4387:P
4373:n
4367:m
4358:(
4349:)
4346:A
4343:,
4338:S
4333:(
4329:P
4321:P
4298:,
4286:0
4250:.
4238:n
4212:0
4205:)
4192:C
4178:P
4169:n
4164:P
4151:(
4142:)
4139:A
4136:,
4131:S
4126:(
4122:P
4114:P
4091:,
4079:0
4053:)
4050:A
4047:,
4042:S
4037:(
4016:P
3998:.
3986:)
3983:A
3980:,
3975:S
3970:(
3949:P
3918:.
3906:n
3880:0
3871:C
3857:P
3848:n
3843:P
3815:P
3792:C
3761:.
3749:n
3723:0
3714:C
3700:P
3691:n
3686:P
3658:P
3625:C
3590:,
3583:P
3578:d
3571:f
3565:S
3556:=
3553:f
3549:P
3519:f
3514:n
3509:P
3481:)
3478:C
3475:(
3470:n
3465:P
3435:|
3430:f
3426:P
3419:f
3414:n
3409:P
3402:|
3393:F
3385:f
3377:=
3371:F
3357:P
3348:n
3343:P
3309:|
3304:)
3301:C
3298:(
3294:P
3287:)
3284:C
3281:(
3276:n
3271:P
3264:|
3255:C
3247:C
3239:=
3233:C
3219:P
3210:n
3205:P
3168:}
3153:f
3150:,
3146:R
3137:S
3132::
3129:f
3124:{
3114:F
3084:}
3077:S
3067:C
3064::
3061:C
3056:{
3046:C
3021:.
3014:P
2997:A
2975:S
2940:C
2916:F
2887:.
2882:F
2874:f
2871:,
2868:)
2863:i
2859:X
2855:(
2852:f
2847:n
2842:1
2839:=
2836:i
2826:n
2823:1
2818:=
2813:n
2809:P
2805:d
2801:f
2796:S
2788:=
2785:f
2780:n
2776:P
2769:f
2756:f
2740:n
2736:P
2712:C
2688:)
2685:x
2682:(
2677:C
2673:I
2647:C
2639:C
2636:,
2633:)
2628:i
2624:X
2620:(
2615:C
2611:I
2605:n
2600:1
2597:=
2594:i
2584:n
2581:1
2576:=
2573:)
2570:C
2567:(
2562:n
2558:P
2535:.
2530:C
2522:C
2496:C
2484:C
2470:]
2467:x
2464:,
2455:(
2402:F
2394:n
2390:F
2361:m
2357:/
2353:1
2340:|
2336:)
2331:j
2327:x
2323:(
2320:F
2314:)
2309:j
2305:x
2301:(
2296:n
2292:F
2287:|
2281:}
2278:m
2275:,
2269:,
2266:1
2263:{
2257:j
2232:N
2226:n
2206:N
2180:m
2176:/
2172:1
2152:m
2107:0
2100:|
2096:)
2091:j
2087:x
2083:(
2080:F
2074:)
2069:j
2065:x
2061:(
2056:n
2052:F
2047:|
2041:}
2038:m
2035:,
2029:,
2026:1
2023:{
2017:j
1989:.
1984:m
1981:1
1976:+
1972:|
1968:)
1963:j
1959:x
1955:(
1952:F
1946:)
1941:j
1937:x
1933:(
1928:n
1924:F
1919:|
1913:}
1910:m
1907:,
1901:,
1898:1
1895:{
1889:j
1877:|
1873:)
1870:x
1867:(
1864:F
1858:)
1855:x
1852:(
1847:n
1843:F
1838:|
1831:R
1824:x
1816:=
1803:F
1795:n
1791:F
1757:.
1752:m
1749:1
1741:)
1736:1
1730:j
1726:x
1722:(
1719:F
1713:)
1708:1
1702:j
1698:x
1694:(
1689:n
1685:F
1681:=
1678:)
1673:j
1669:x
1665:(
1662:F
1656:)
1651:1
1645:j
1641:x
1637:(
1632:n
1628:F
1617:)
1614:x
1611:(
1608:F
1602:)
1599:x
1596:(
1591:n
1587:F
1579:,
1574:m
1571:1
1566:+
1563:)
1558:j
1554:x
1550:(
1547:F
1541:)
1536:j
1532:x
1528:(
1523:n
1519:F
1515:=
1512:)
1507:1
1501:j
1497:x
1493:(
1490:F
1484:)
1479:j
1475:x
1471:(
1466:n
1462:F
1451:)
1448:x
1445:(
1442:F
1436:)
1433:x
1430:(
1425:n
1421:F
1393:]
1388:j
1384:x
1380:,
1375:1
1369:j
1365:x
1361:[
1355:x
1335:}
1332:m
1329:,
1323:,
1320:1
1317:{
1311:j
1290:R
1283:x
1263:m
1260:,
1254:,
1251:1
1248:=
1245:j
1223:m
1220:1
1215:=
1212:)
1207:1
1201:j
1197:x
1193:(
1190:F
1184:)
1179:j
1175:x
1171:(
1168:F
1145:=
1140:m
1136:x
1127:1
1121:m
1117:x
1102:1
1098:x
1089:0
1085:x
1081:=
1055:X
1011:.
1003:]
996:x
988:1
984:X
979:1
973:[
963:E
958:=
955:)
952:x
949:(
946:F
923:)
920:x
917:(
912:n
908:F
878:n
874:X
827:0
819:|
814:)
811:x
808:(
805:F
799:)
796:x
793:(
788:n
784:F
778:|
770:R
763:x
755:=
742:F
734:n
730:F
699:.
693:F
665:n
661:F
626:)
623:x
620:(
617:F
594:)
591:x
588:(
583:n
579:F
556:,
550:x
527:.
521:C
492:C
488:I
462:|
456:}
452:n
446:i
440:1
434:,
431:x
423:i
419:X
409:i
402:{
396:|
386:n
383:1
378:=
375:)
372:x
369:(
364:)
358:,
353:i
349:X
345:[
341:I
335:n
330:1
327:=
324:i
314:n
311:1
306:=
303:)
300:x
297:(
292:n
288:F
262:n
258:X
254:,
248:,
243:1
239:X
212:)
209:x
206:(
203:F
179:R
151:,
146:2
142:X
138:,
133:1
129:X
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
