100:) is a rooted tree, and a move consists of cutting off one of its "heads" (a branch of the tree), to which the hydra responds by growing a finite number of new heads according to certain rules. Kirby and Paris proved that the Hydra will eventually be killed, regardless of the strategy that Hercules uses to chop off its heads, though this may take a very long time. Just like for Goodstein sequences, Kirby and Paris showed that it cannot be proven in Peano arithmetic alone.
9582:, returns the length of the sequence. Because every Goodstein sequence eventually terminates, this function is total. But because Peano arithmetic does not prove that every Goodstein sequence terminates, Peano arithmetic does not prove that this Turing machine computes a total function.
4647:
7336:
3097:
3899:
3266:
3730:
6235:
is not formalizable in Peano arithmetic (PA), since such an arbitrary infinite sequence cannot be represented in PA. This seems to be what kept
Goodstein from claiming back in 1944 that the extended Goodstein's theorem is unprovable in PA due to
5970:
5560:
9447:
4080:
3447:
4456:
9156:
7152:
6943:
3986:
3353:
6321:
6115:
243:
9529:
5197:
1477:
7081:
4154:
3521:
2917:
3734:
3101:
464:
8429:
1867:
7143:
5078:
4200:
3567:
1723:
1272:
8207:
4821:
6739:
9221:
5402:
2908:
674:
8879:
8725:
2830:
2746:
8650:
8019:
5457:
1991:
364:
6223:
6189:
593:
7828:
3576:
2662:
2404:
2242:
2194:
2123:
2073:
5276:
4966:
6632:
2445:
2357:
9874:
8488:
8266:
6119:
The extended version is in fact the one considered in
Goodstein's original paper, where Goodstein proved that it is equivalent to the restricted ordinal theorem (i.e. the claim that
6031:
1332:
9323:
6259:, it can be shown that every primitive recursive strictly decreasing infinite sequence of ordinals can be "slowed down" so that it can be transformed to a Goodstein sequence where
1386:
6695:
5616:
506:
notation (with the same limitation on the coefficients), and continue in this way until every number appearing in the expression (except the bases themselves) is written in base-
8928:
7652:
6986:
9377:
9081:
8554:
7887:
7381:
6666:
6548:
6514:
6354:
8062:
7484:
1644:
1531:
9933:
925:
6572:
6480:
6386:
9022:
5327:
4867:
2519:
6823:
2025:
8817:
8367:
8321:
8111:
7744:
6599:
6444:
6413:
5838:
2789:
2705:
2625:
2565:
7695:
7527:
8594:
8151:
7963:
7603:
2867:
1186:
976:
4429:
9257:
8970:
8771:
7778:
4244:
4223:
2307:
2286:
2265:
1935:
1914:
1893:
1791:
1770:
1749:
1599:
1578:
1557:
861:
7923:
7563:
7414:
1108:
1064:
1020:
7441:
5633:, an infinite strictly decreasing sequence cannot exist, or equivalently, every strictly decreasing sequence of ordinals terminates (and cannot be infinite). But
6843:
6779:
6759:
6255:
to primitive recursive sequences would have allowed
Goodstein to prove an unprovability result. Furthermore, with the relatively elementary technique of the
5684:
The above proof still works if the definition of the
Goodstein sequence is changed so that the base-changing operation replaces each occurrence of the base
6237:
4251:
In spite of this rapid growth, Goodstein's theorem states that every
Goodstein sequence eventually terminates at 0, no matter what the starting value is.
5462:
1127:
70:). This was the third example of a true statement about natural numbers that is unprovable in Peano arithmetic, after the examples provided by
4642:{\displaystyle f(100,3)=f(3^{3^{1}+1}+2\cdot 3^{2}+1,3)=\omega ^{\omega ^{1}+1}+\omega ^{2}\cdot 2+1=\omega ^{\omega +1}+\omega ^{2}\cdot 2+1}
9383:
3990:
3357:
5672:, which shows that Goodstein's theorem is not a theorem of Peano arithmetic, is technical and considerably more difficult. It makes use of
71:
7331:{\displaystyle {\mathcal {G}}(n)=f_{R_{2}^{\omega }(m_{1})}(f_{R_{2}^{\omega }(m_{2})}(\cdots (f_{R_{2}^{\omega }(m_{k})}(3))\cdots ))-2}
9087:
6857:
55:
3903:
3270:
9591:
6286:
5673:
6036:
4259:
Goodstein's theorem can be proved (using techniques outside Peano arithmetic, see below) as follows: Given a
Goodstein sequence
148:
3092:{\displaystyle 8^{8^{8}}-1=7\cdot 8^{7\cdot 8^{7}+7\cdot 8^{6}+7\cdot 8^{5}+7\cdot 8^{4}+7\cdot 8^{3}+7\cdot 8^{2}+7\cdot 8+7}}
9453:
3894:{\displaystyle {}+7\cdot 9^{7\cdot 9^{7}+7\cdot 9^{6}+7\cdot 9^{5}+7\cdot 9^{4}+7\cdot 9^{3}+7\cdot 9^{2}+7\cdot 9+6}+\cdots }
3261:{\displaystyle {}+7\cdot 8^{7\cdot 8^{7}+7\cdot 8^{6}+7\cdot 8^{5}+7\cdot 8^{4}+7\cdot 8^{3}+7\cdot 8^{2}+7\cdot 8+6}+\cdots }
1400:
7000:
4084:
3451:
383:
9923:
8373:
6124:
1802:
79:
9870:
Some elements of a proof that
Goodstein's theorem is not a theorem of PA, from an undergraduate thesis by Justin T Miller
9606:
9601:
7086:
5087:
4161:
3528:
1658:
1200:
86:
8157:
4716:
9562:
that Peano arithmetic cannot prove to be total. The
Goodstein sequence of a number can be effectively enumerated by a
9792:
Cichon, E. (1983), "A Short Proof of Two
Recently Discovered Independence Results Using Recursive Theoretic Methods",
6702:
67:
9574:
to terminate is computable by a particular Turing machine. This machine merely enumerates the
Goodstein sequence of
9162:
6388:
can be calibrated by relating it to various standard ordinal-indexed hierarchies of functions, such as the functions
5332:
2873:
608:
8823:
8656:
4974:
2795:
9943:
9904:
9694:
3725:{\displaystyle 7\cdot 9^{7\cdot 9^{7}+7\cdot 9^{6}+7\cdot 9^{5}+7\cdot 9^{4}+7\cdot 9^{3}+7\cdot 9^{2}+7\cdot 9+7}}
2711:
51:
8600:
7969:
5407:
1943:
289:
9895:
9755:
9611:
6992:
in hereditary base-2 notation and then replacing all 2s with ω (as was done in the proof of Goodstein's theorem).
6194:
6137:
523:
7784:
2631:
2362:
2200:
2129:
2081:
2031:
9948:
6604:
2409:
2321:
8435:
8213:
5975:
1286:
723:
in hereditary base-2 notation, change all the 2s to 3s, and then subtract 1 from the result. In general, the
63:
9268:
1346:
96:
with behavior similar to that of Goodstein sequences: the "Hydra" (named for the mythological multi-headed
9938:
9713:
9596:
9547:
6447:
5202:
4892:
473:
notation. For example, the expressions above include 2 and 3, and 5 > 2, 4 > 3.
374:
6671:
5588:
8885:
7609:
6950:
6256:
6120:
4283:
which is strictly decreasing and terminates. A common misunderstanding of this proof is to believe that
9329:
9028:
8506:
7834:
7353:
6637:
6519:
6485:
6326:
8025:
7447:
6244:-induction. However, inspection of Gentzen's proof shows that it only needs the fact that there is no
1610:
1491:
5812:
An simple modification of the above proof shows that this sequence still terminates. For example, if
878:
9718:
6553:
6461:
6367:
5965:{\displaystyle f(3\cdot 4^{4^{4}}+4,4)=3\omega ^{\omega ^{\omega }}+\omega =f(3\cdot 9^{9^{9}}+9,9)}
9928:
9559:
8981:
6245:
5281:
2478:
120:
9869:
6784:
1997:
9824:
9811:
9780:
9772:
9736:
9539:
8777:
8327:
8286:
8271:
8076:
7709:
6577:
6422:
6391:
4280:
2754:
2670:
2590:
2530:
31:
9543:
9233:
7658:
7490:
8560:
8117:
7929:
7569:
2838:
1157:
942:
9852:
4829:
4393:
9242:
8955:
8743:
7750:
4229:
4208:
2292:
2271:
2250:
1920:
1899:
1878:
1776:
1755:
1734:
1584:
1563:
1542:
833:
9801:
9764:
9750:
9723:
4376:
43:
7901:
7541:
7392:
4885:
operation in generating the next element of the Goodstein sequence, but before the second
1081:
1037:
993:
9908:
6416:
793:
Subtract one. (Note that the next term depends both on the previous term and on the index
75:
7420:
9880:
9855:
9698:
9563:
6828:
6764:
6744:
6361:
4450:
4276:
97:
39:
9917:
280:
9885:
5630:
4710:. Addition, multiplication and exponentiation of ordinal numbers are well defined.
123:, but the usual notation does not suffice for the purposes of Goodstein's theorem.
59:
9875:
A Classification of non standard models of Peano Arithmetic by Goodstein's theorem
9784:
1121:
Later Goodstein sequences increase for a very large number of steps. For example,
17:
9890:
5555:{\displaystyle f(2\cdot 3^{2}+2\cdot 3+2,3)=\omega ^{2}\cdot 2+\omega \cdot 2+2}
9898:- good exposition with illustrations of Goodstein Sequences and the hydra game.
6364:
since every Goodstein sequence terminates.) The extremely high growth rate of
6271:, thus giving an alternative proof to the same result Kirby and Paris proved.
112:
Goodstein sequences are defined in terms of a concept called "hereditary base-
93:
9860:
9727:
800:
Continue until the result is zero, at which point the sequence terminates.
6228:
The extended Goodstein's theorem without any restriction on the sequence
6131:
9901:
9815:
9776:
9442:{\displaystyle H_{\omega ^{\omega ^{\omega }}+\omega ^{\omega }}(1)-1}
4075:{\displaystyle {}+7\cdot 9^{7}+7\cdot 9^{6}+7\cdot 9^{5}+7\cdot 9^{4}}
3442:{\displaystyle {}+7\cdot 8^{7}+7\cdot 8^{6}+7\cdot 8^{5}+7\cdot 8^{4}}
983:
Switch the 3 to a 4, then subtract 1. Now there are no more 4's left
9881:
Definition of Goodstein sequences in Haskell and the lambda calculus
9806:
9768:
5629:) is strictly decreasing. As the standard order < on ordinals is
699:
is a sequence of natural numbers. The first element in the sequence
484:
notation, first rewrite all of the exponents as a sum of powers of
9741:
50:(as defined below) eventually terminates at 0. Laurence Kirby and
9151:{\displaystyle H_{\omega ^{\omega +1}+\omega ^{\omega }+1}(1)-1}
6938:{\displaystyle {\mathcal {G}}(n)=H_{R_{2}^{\omega }(n+1)}(1)-1,}
476:
To convert a base-n notation (which is a step in achieving base-
134:
is a natural number greater than 1, an arbitrary natural number
6248:
strictly decreasing infinite sequence of ordinals, so limiting
9570:
to the number of steps required for the Goodstein sequence of
4343:) exists (parallelism), and comparison between two members of
9877:- Thesis by Dan Kaplan, Franklan and Marshall College Library
5562:, which is strictly smaller. Note that in order to calculate
3981:{\displaystyle {}+7\cdot 9^{9+2}+7\cdot 9^{9+1}+7\cdot 9^{9}}
3348:{\displaystyle {}+7\cdot 8^{8+2}+7\cdot 8^{8+1}+7\cdot 8^{8}}
9548:
fast-growing hierarchy#Functions in fast-growing hierarchies
7359:
7158:
6863:
6677:
6559:
6467:
6373:
6332:
6292:
5668:
While this proof of Goodstein's theorem is fairly easy, the
369:
Thus the base-2 representation of 35 is 100011, which means
6316:{\displaystyle {\mathcal {G}}:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }
2458:
quickly the elements of a Goodstein sequence can increase.
1131:
469:
Note that the exponents themselves are not written in base-
6110:{\displaystyle f{\big (}(3\cdot 9^{9^{9}}+9)-1,9{\big )}.}
804:
Early Goodstein sequences terminate quickly. For example,
502:). Then rewrite any exponent inside the exponents in base-
238:{\displaystyle m=a_{k}n^{k}+a_{k-1}n^{k-1}+\cdots +a_{0},}
6356:
is the length of the Goodstein sequence that starts with
9891:
Javascript implementation of a variant of the Hydra game
9631:
9629:
9627:
9524:{\displaystyle f_{\omega ^{\omega }}(f_{1}(f_{0}(3)))-2}
5665:) must terminate as well, meaning that it must reach 0.
2462:(19) increases much more rapidly and starts as follows:
1472:{\displaystyle 2\cdot 6^{2}+2\cdot 6-1=2\cdot 6^{2}+6+5}
9896:
Goodstein Sequences: The Power of a Detour via Infinity
7076:{\displaystyle n=2^{m_{1}}+2^{m_{2}}+\cdots +2^{m_{k}}}
4351:) is preserved when comparing corresponding entries of
4149:{\displaystyle {}+7\cdot 9^{3}+7\cdot 9^{2}+7\cdot 9+6}
3516:{\displaystyle {}+7\cdot 8^{3}+7\cdot 8^{2}+7\cdot 8+7}
116:
notation". This notation is very similar to usual base-
9699:"Accessible Independence Results for Peano Arithmetic"
5723:, ... be any non-decreasing sequence of integers with
9672:
9670:
9668:
9558:
Goodstein's theorem can be used to construct a total
9456:
9386:
9332:
9271:
9245:
9165:
9090:
9031:
8984:
8958:
8888:
8826:
8780:
8746:
8659:
8603:
8563:
8509:
8438:
8376:
8330:
8289:
8216:
8160:
8120:
8079:
8028:
7972:
7932:
7904:
7837:
7787:
7753:
7712:
7661:
7612:
7572:
7544:
7493:
7450:
7423:
7395:
7356:
7155:
7089:
7003:
6953:
6860:
6831:
6787:
6767:
6747:
6705:
6674:
6640:
6607:
6580:
6556:
6522:
6488:
6464:
6425:
6394:
6370:
6329:
6289:
6197:
6140:
6039:
5978:
5841:
5591:
5465:
5410:
5335:
5284:
5205:
5090:
4977:
4895:
4832:
4719:
4459:
4396:
4232:
4211:
4164:
4087:
3993:
3906:
3737:
3579:
3531:
3454:
3360:
3273:
3104:
2920:
2876:
2841:
2798:
2757:
2714:
2673:
2634:
2593:
2533:
2481:
2412:
2365:
2324:
2295:
2274:
2253:
2203:
2132:
2084:
2034:
2000:
1946:
1923:
1902:
1881:
1805:
1779:
1758:
1737:
1661:
1613:
1587:
1566:
1545:
1494:
1403:
1349:
1289:
1203:
1160:
1084:
1040:
996:
945:
881:
836:
611:
526:
513:
For example, while 35 in ordinary base-2 notation is
459:{\displaystyle 100=81+18+1=3^{4}+2\cdot 3^{2}+3^{0}.}
386:
292:
151:
8424:{\displaystyle H_{\omega ^{\omega }+\omega +1}(1)-1}
6240:
and Gentzen's proof of the consistency of PA using ε
1862:{\displaystyle 2\cdot 24^{2}-1=24^{2}+23\cdot 24+23}
7344:
7138:{\displaystyle m_{1}>m_{2}>\cdots >m_{k},}
6275:
Sequence length as a function of the starting value
5192:{\displaystyle f(G'(m)(n),n+2)>f(G(m)(n+1),n+2)}
4195:{\displaystyle \approx 5.6\times 10^{35\,942\,384}}
3562:{\displaystyle \approx 6.0\times 10^{15\,151\,335}}
2464:
1718:{\displaystyle 2\cdot 12^{2}+12-1=2\cdot 12^{2}+11}
1267:{\displaystyle 3^{3^{1}}-1=2\cdot 3^{2}+2\cdot 3+2}
1137:
810:
62:(but it can be proven in stronger systems, such as
9523:
9441:
9371:
9317:
9251:
9215:
9150:
9075:
9016:
8964:
8922:
8873:
8811:
8765:
8719:
8644:
8588:
8548:
8482:
8423:
8361:
8315:
8260:
8202:{\displaystyle H_{\omega ^{\omega }+\omega }(1)-1}
8201:
8145:
8105:
8056:
8013:
7957:
7917:
7881:
7822:
7772:
7738:
7689:
7646:
7597:
7557:
7521:
7478:
7435:
7408:
7375:
7330:
7137:
7075:
6980:
6937:
6837:
6817:
6773:
6753:
6733:
6689:
6660:
6626:
6593:
6566:
6542:
6508:
6474:
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6407:
6380:
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6315:
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6183:
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5610:
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5396:
5321:
5270:
5191:
5072:
4960:
4861:
4816:{\displaystyle f(G(m)(n),n+1)>f(G(m)(n+1),n+2)}
4815:
4641:
4423:
4238:
4217:
4194:
4148:
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3515:
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3091:
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2656:
2619:
2559:
2513:
2439:
2398:
2351:
2318:(4) continue to increase for a while, but at base
2301:
2280:
2259:
2236:
2188:
2117:
2067:
2019:
1985:
1929:
1908:
1887:
1861:
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1717:
1638:
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1572:
1551:
1525:
1471:
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1326:
1266:
1180:
1102:
1058:
1014:
970:
919:
855:
668:
587:
458:
358:
237:
6683:
517:, it is written in hereditary base-2 notation as
9794:Proceedings of the American Mathematical Society
9735:Rathjen, Michael (2014). "Goodstein revisited".
6734:{\displaystyle f,g:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }
4319:) plays no role at all. The important point is:
602:Similarly, 100 in hereditary base-3 notation is
9216:{\displaystyle f_{\omega +1}(f_{\omega }(3))-2}
5397:{\displaystyle G(4)(2)=2\cdot 3^{2}+2\cdot 3+2}
2903:{\displaystyle \approx 3.8\times 10^{695\,974}}
669:{\displaystyle 100=3^{3^{1}+1}+2\cdot 3^{2}+1.}
8874:{\displaystyle H_{\omega ^{\omega +1}+1}(1)-1}
8720:{\displaystyle f_{\omega }(f_{1}(f_{0}(3)))-2}
5073:{\displaystyle f(G(m)(n),n+1)=f(G'(m)(n),n+2)}
4443:and then replaces each occurrence of the base
4387:) must reach 0, which guarantees termination.
2825:{\displaystyle \approx 2.6\times 10^{36\,305}}
1115:No 6's left to switch to 7's. Just subtract 1
1071:No 5's left to switch to 6's. Just subtract 1
1027:No 4's left to switch to 5's. Just subtract 1
138:is written as a sum of multiples of powers of
9753:(1944), "On the restricted ordinal theorem",
6099:
6045:
2741:{\displaystyle \approx 1.8\times 10^{2\,184}}
92:Kirby and Paris introduced a graph-theoretic
78:'s 1943 direct proof of the unprovability of
8:
8645:{\displaystyle H_{\omega ^{\omega +1}}(1)-1}
8014:{\displaystyle H_{\omega ^{\omega }+1}(1)-1}
5452:{\displaystyle f(2^{2},2)=\omega ^{\omega }}
4889:operation in this generation. Observe that
1986:{\displaystyle B=3\cdot 2^{402\,653\,209}-1}
359:{\displaystyle 35=32+2+1=2^{5}+2^{1}+2^{0}.}
9886:The Hydra game implemented as a Java applet
9706:Bulletin of the London Mathematical Society
6218:{\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega }}}
6191:(equivalent to transfinite induction up to
6184:{\displaystyle m\leq b_{1}^{b_{1}^{b_{1}}}}
588:{\displaystyle 35=2^{2^{2^{1}}+1}+2^{1}+1,}
9934:Theorems in the foundations of mathematics
9635:
7823:{\displaystyle H_{\omega ^{\omega }}(1)-1}
6482:has approximately the same growth-rate as
2657:{\displaystyle \approx 1.3\times 10^{154}}
2399:{\displaystyle 3\cdot 2^{402\,653\,210}-1}
2237:{\displaystyle 3\cdot 2^{402\,653\,210}-1}
2189:{\displaystyle 2\cdot B^{1}-1=B^{1}+(B-1)}
2118:{\displaystyle B=3\cdot 2^{402\,653\,209}}
2068:{\displaystyle 3\cdot 2^{402\,653\,210}-2}
9805:
9740:
9717:
9659:
9494:
9481:
9466:
9461:
9455:
9416:
9401:
9396:
9391:
9385:
9357:
9342:
9337:
9331:
9309:
9296:
9281:
9276:
9270:
9244:
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9170:
9164:
9119:
9100:
9095:
9089:
9055:
9036:
9030:
9008:
8989:
8983:
8957:
8893:
8887:
8836:
8831:
8825:
8785:
8779:
8751:
8745:
8690:
8677:
8664:
8658:
8613:
8608:
8602:
8568:
8562:
8540:
8527:
8514:
8508:
8456:
8443:
8437:
8386:
8381:
8375:
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8329:
8307:
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8288:
8234:
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8215:
8170:
8165:
8159:
8125:
8119:
8097:
8084:
8078:
8033:
8027:
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7977:
7971:
7937:
7931:
7909:
7903:
7855:
7842:
7836:
7797:
7792:
7786:
7758:
7752:
7730:
7717:
7711:
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7660:
7617:
7611:
7577:
7571:
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7543:
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7357:
7355:
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6726:
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6466:
6465:
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6393:
6372:
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6330:
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6301:
6300:
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6290:
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6166:
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6151:
6139:
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6097:
6068:
6063:
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6043:
6038:
6000:
5995:
5977:
5939:
5934:
5901:
5896:
5863:
5858:
5840:
5596:
5590:
5585:notation, as for instance the expression
5522:
5482:
5464:
5443:
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5409:
5370:
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3992:
3972:
3947:
3922:
3907:
3905:
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3840:
3821:
3802:
3783:
3764:
3753:
3738:
3736:
3696:
3677:
3658:
3639:
3620:
3601:
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3578:
3553:
3549:
3545:
3530:
3489:
3470:
3455:
3453:
3433:
3414:
3395:
3376:
3361:
3359:
3339:
3314:
3289:
3274:
3272:
3226:
3207:
3188:
3169:
3150:
3131:
3120:
3105:
3103:
3063:
3044:
3025:
3006:
2987:
2968:
2957:
2930:
2925:
2919:
2894:
2890:
2875:
2851:
2846:
2840:
2816:
2812:
2797:
2767:
2762:
2756:
2732:
2728:
2713:
2683:
2678:
2672:
2648:
2633:
2603:
2598:
2592:
2543:
2538:
2532:
2491:
2486:
2480:
2431:
2427:
2423:
2411:
2384:
2380:
2376:
2364:
2343:
2339:
2335:
2323:
2294:
2273:
2252:
2222:
2218:
2214:
2202:
2162:
2143:
2131:
2109:
2105:
2101:
2083:
2053:
2049:
2045:
2033:
2011:
1999:
1971:
1967:
1963:
1945:
1922:
1901:
1880:
1835:
1816:
1804:
1778:
1757:
1736:
1703:
1672:
1660:
1624:
1612:
1586:
1565:
1544:
1505:
1493:
1451:
1414:
1402:
1360:
1348:
1300:
1288:
1240:
1213:
1208:
1202:
1170:
1165:
1159:
1083:
1039:
995:
950:
944:
911:
886:
880:
841:
835:
654:
627:
622:
610:
570:
547:
542:
537:
525:
488:(with the limitation on the coefficients
447:
434:
415:
385:
347:
334:
321:
291:
226:
201:
185:
172:
162:
150:
9239:
8952:
6627:{\displaystyle \alpha <\epsilon _{0}}
2440:{\displaystyle 3\cdot 2^{402\,653\,209}}
2352:{\displaystyle 3\cdot 2^{402\,653\,209}}
9676:
9647:
9623:
8483:{\displaystyle f_{\omega }(f_{1}(3))-2}
8261:{\displaystyle f_{\omega }(f_{0}(3))-2}
6026:{\displaystyle f(3\cdot 4^{4^{4}}+4,4)}
1327:{\displaystyle 2\cdot 4^{2}+2\cdot 4+1}
5756:of the extended Goodstein sequence of
9318:{\displaystyle 2^{2^{2}}+2^{1}+2^{0}}
6238:Gödel's second incompleteness theorem
6033:is strictly greater than the ordinal
2454:(4) doesn't give a good idea of just
2447:steps, and then begin their descent.
1381:{\displaystyle 2\cdot 5^{2}+2\cdot 5}
932:Switch the 2 to a 3, then subtract 1
480:representation) to a hereditary base-
7:
5786:Replace each occurrence of the base
5271:{\displaystyle G'(m)(n)=G(m)(n+1)+1}
4961:{\displaystyle G(m)(n+1)=G'(m)(n)-1}
4267:), we construct a parallel sequence
776:Replace each occurrence of the base-
85:-induction in Peano arithmetic. The
9554:Application to computable functions
6690:{\displaystyle {\mathcal {G}}\,\!.}
5611:{\displaystyle \omega ^{\omega }-1}
4431:which computes the hereditary base
8923:{\displaystyle f_{\omega +1}(3)-2}
7647:{\displaystyle H_{\omega +1}(1)-1}
6981:{\displaystyle R_{2}^{\omega }(n)}
6454:Kirby and Paris (1982) proved that
25:
9832:Revista Colombiana de Matemáticas
9372:{\displaystyle 2^{2^{2}}+2^{2}-1}
9076:{\displaystyle 2^{2+1}+2^{2}+1-1}
8549:{\displaystyle 2^{2}+2^{1}+2^{0}}
7882:{\displaystyle f_{1}(f_{0}(3))-2}
7376:{\displaystyle {\mathcal {G}}(n)}
6661:{\displaystyle H_{\epsilon _{0}}}
6543:{\displaystyle f_{\epsilon _{0}}}
6509:{\displaystyle H_{\epsilon _{0}}}
6349:{\displaystyle {\mathcal {G}}(n)}
373:. Similarly, 100 represented in
46:in 1944, which states that every
9592:Non-standard model of arithmetic
8057:{\displaystyle f_{\omega }(3)-2}
7479:{\displaystyle H_{\omega }(1)-1}
1639:{\displaystyle 2\cdot 11^{2}+11}
1526:{\displaystyle 2\cdot 7^{2}+7+4}
808:(3) terminates at the 6th step:
9578:and, when the sequence reaches
9566:; thus the function which maps
920:{\displaystyle 3^{1}+1-1=3^{1}}
746:, of the Goodstein sequence of
9512:
9509:
9506:
9500:
9487:
9474:
9430:
9424:
9204:
9201:
9195:
9182:
9139:
9133:
8911:
8905:
8862:
8856:
8708:
8705:
8702:
8696:
8683:
8670:
8633:
8627:
8471:
8468:
8462:
8449:
8412:
8406:
8249:
8246:
8240:
8227:
8190:
8184:
8045:
8039:
8002:
7996:
7870:
7867:
7861:
7848:
7811:
7805:
7678:
7672:
7635:
7629:
7510:
7504:
7467:
7461:
7370:
7364:
7319:
7316:
7310:
7307:
7301:
7296:
7283:
7260:
7254:
7249:
7236:
7213:
7208:
7195:
7169:
7163:
6997:Caicedo (2007) showed that if
6975:
6969:
6923:
6917:
6912:
6900:
6874:
6868:
6812:
6806:
6797:
6791:
6723:
6567:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
6516:(which is the same as that of
6475:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
6381:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
6343:
6337:
6305:
6082:
6050:
6020:
5982:
5959:
5921:
5883:
5845:
5645:) is calculated directly from
5512:
5469:
5433:
5414:
5354:
5348:
5345:
5339:
5303:
5297:
5294:
5288:
5259:
5247:
5244:
5238:
5229:
5223:
5220:
5214:
5186:
5171:
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5156:
5150:
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5135:
5120:
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5111:
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5043:
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5017:
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4810:
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4768:
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4723:
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4463:
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4406:
2183:
2171:
279:. For example, to achieve the
72:Gödel's incompleteness theorem
1:
9017:{\displaystyle 2^{2+1}+2^{2}}
5322:{\displaystyle G(4)(1)=2^{2}}
4881:) after applying the first,
2514:{\displaystyle 2^{2^{2}}+2+1}
126:To achieve the ordinary base-
27:Theorem about natural numbers
6818:{\displaystyle f(n)>g(n)}
5680:Extended Goodstein's theorem
5674:countable nonstandard models
4255:Proof of Goodstein's theorem
4204:
2359:, they reach the maximum of
2246:
2020:{\displaystyle 2\cdot B^{1}}
1874:
1730:
1538:
8812:{\displaystyle 2^{2+1}+1-1}
8362:{\displaystyle 2^{2}+2+1-1}
8316:{\displaystyle 2^{2}+2^{1}}
8106:{\displaystyle 2^{2}+2^{0}}
7739:{\displaystyle 2^{1}+2^{0}}
6825:for all sufficiently large
6594:{\displaystyle H_{\alpha }}
6439:{\displaystyle f_{\alpha }}
6408:{\displaystyle H_{\alpha }}
4303:). Actually, the fact that
2784:{\displaystyle 6^{6^{6}}+1}
2700:{\displaystyle 5^{5^{5}}+2}
2620:{\displaystyle 4^{4^{4}}+3}
2560:{\displaystyle 3^{3^{3}}+3}
868:Write 3 in base-2 notation
711:itself. To get the second,
68:Zermelo-Fraenkel set theory
9965:
7690:{\displaystyle f_{1}(3)-2}
7522:{\displaystyle f_{0}(3)-2}
2406:, stay there for the next
9756:Journal of Symbolic Logic
8589:{\displaystyle 2^{2+1}-1}
8146:{\displaystyle 2^{2}+2-1}
8066:3·2 − 2 ≈ 6.895080803×10
7958:{\displaystyle 2^{2}+1-1}
7598:{\displaystyle 2^{1}+1-1}
7350:
7347:
6988:is the result of putting
6850:Cichon (1983) showed that
6134:proof for the case where
5764:Take the hereditary base
5566:, we first need to write
4708:(2 + 2,2) = ω + ω = ω + 1
2862:{\displaystyle 7^{7^{7}}}
1181:{\displaystyle 2^{2^{1}}}
971:{\displaystyle 4^{1}-1=3}
754:Take the hereditary base-
38:is a statement about the
9607:Kanamori–McAloon theorem
9602:Paris–Harrington theorem
4862:{\displaystyle G'(m)(n)}
4449:with the first infinite
4424:{\displaystyle f=f(u,k)}
4331:) exists if and only if
87:Paris–Harrington theorem
9252:{\displaystyle \vdots }
8965:{\displaystyle \vdots }
8766:{\displaystyle 2^{2+1}}
7773:{\displaystyle 2^{2}-1}
6699:(For any two functions
6323:, is defined such that
5679:
4254:
4239:{\displaystyle \vdots }
4218:{\displaystyle \vdots }
2302:{\displaystyle \vdots }
2281:{\displaystyle \vdots }
2260:{\displaystyle \vdots }
1930:{\displaystyle \vdots }
1909:{\displaystyle \vdots }
1888:{\displaystyle \vdots }
1786:{\displaystyle \vdots }
1765:{\displaystyle \vdots }
1744:{\displaystyle \vdots }
1594:{\displaystyle \vdots }
1573:{\displaystyle \vdots }
1552:{\displaystyle \vdots }
856:{\displaystyle 2^{1}+1}
248:where each coefficient
64:second-order arithmetic
9825:"Goodstein's function"
9636:Kirby & Paris 1982
9612:Kruskal's tree theorem
9597:Fast-growing hierarchy
9525:
9443:
9373:
9319:
9253:
9217:
9152:
9077:
9018:
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8425:
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8317:
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8107:
8058:
8015:
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7648:
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7559:
7523:
7480:
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7410:
7377:
7332:
7139:
7077:
6982:
6939:
6839:
6819:
6775:
6755:
6735:
6691:
6662:
6628:
6595:
6568:
6544:
6510:
6476:
6448:fast-growing hierarchy
6440:
6409:
6382:
6350:
6317:
6219:
6185:
6130:is valid), and gave a
6111:
6027:
5966:
5702:. More generally, let
5657:). Hence the sequence
5612:
5556:
5453:
5398:
5323:
5272:
5193:
5074:
4962:
4863:
4817:
4643:
4425:
4367:) terminates, so does
4240:
4219:
4196:
4150:
4076:
3982:
3895:
3726:
3563:
3517:
3443:
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3093:
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2785:
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2353:
2303:
2282:
2261:
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2190:
2119:
2069:
2021:
1987:
1931:
1910:
1889:
1863:
1787:
1766:
1745:
1719:
1640:
1595:
1574:
1553:
1527:
1473:
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1328:
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1182:
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1016:
972:
921:
857:
670:
589:
460:
360:
239:
89:gave another example.
9728:10.1112/blms/14.4.285
9526:
9444:
9374:
9320:
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7960:
7920:
7918:{\displaystyle 2^{2}}
7884:
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7741:
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7649:
7600:
7560:
7558:{\displaystyle 2^{1}}
7524:
7481:
7438:
7411:
7409:{\displaystyle 2^{0}}
7378:
7333:
7140:
7078:
6983:
6940:
6840:
6820:
6776:
6756:
6736:
6692:
6663:
6629:
6596:
6569:
6545:
6511:
6477:
6441:
6410:
6383:
6351:
6318:
6257:Grzegorczyk hierarchy
6220:
6186:
6121:transfinite induction
6112:
6028:
5967:
5676:of Peano arithmetic.
5613:
5578:) in hereditary base
5557:
5454:
5399:
5324:
5273:
5194:
5075:
4963:
4864:
4818:
4672:) is then defined as
4644:
4426:
4390:We define a function
4241:
4220:
4197:
4151:
4077:
3983:
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2562:
2516:
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2070:
2022:
1988:
1932:
1911:
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1329:
1269:
1183:
1105:
1103:{\displaystyle 1-1=0}
1061:
1059:{\displaystyle 2-1=1}
1017:
1015:{\displaystyle 3-1=2}
973:
922:
858:
671:
590:
461:
361:
240:
9924:Independence results
9902:Goodstein Calculator
9856:"Goodstein Sequence"
9823:Caicedo, A. (2007),
9454:
9384:
9330:
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9243:
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9029:
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8077:
8026:
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7001:
6951:
6858:
6829:
6785:
6765:
6761:is said to dominate
6745:
6703:
6672:
6638:
6605:
6578:
6554:
6520:
6486:
6462:
6423:
6419:, and the functions
6392:
6368:
6327:
6287:
6195:
6138:
6037:
5976:
5972:, hence the ordinal
5839:
5589:
5463:
5408:
5333:
5282:
5203:
5088:
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1735:
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1543:
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1347:
1287:
1201:
1158:
1082:
1038:
994:
943:
879:
834:
609:
598:using the fact that
524:
384:
290:
149:
9560:computable function
7436:{\displaystyle 2-1}
7282:
7235:
7194:
6968:
6899:
6550:); more precisely,
6450:of Löb and Wainer:
6246:primitive recursive
6180:
6178:
5670:Kirby–Paris theorem
5618:is not an ordinal.
5080:. Now we apply the
4295:it is dominated by
2468:Hereditary notation
1144:Hereditary notation
1135:starts as follows:
817:Hereditary notation
680:Goodstein sequences
121:positional notation
36:Goodstein's theorem
9907:2017-02-04 at the
9853:Weisstein, Eric W.
9540:Ackermann function
9521:
9439:
9369:
9315:
9249:
9213:
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9073:
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7073:
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5771:representation of
5621:Thus the sequence
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4664:) of the sequence
4639:
4437:representation of
4421:
4281:Cantor normal form
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853:
761:representation of
686:Goodstein sequence
666:
585:
456:
356:
235:
54:showed that it is
48:Goodstein sequence
32:mathematical logic
18:Goodstein function
9944:Integer sequences
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9535:
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