645:
are of any significance. Nevertheless, because these polynomials can be defined in terms of orthogonality with respect to a nonnegative weight function, the entire theory of orthogonal polynomials is applicable. In particular, the polynomials are complete in the sense that
2143:
2596:
405:
932:
761:
524:
1355:
1857:
1985:
1542:
1444:
1990:
283:
249:
1633:
1122:
2462:
768:
1672:
The discrete
Chebyshev polynomials have surprising connections to various algebraic properties of spin: spin transition probabilities, the probabilities for observations of the spin in
1731:
2643:
2242:
987:
649:
643:
412:
169:
2457:
2186:
2286:
278:
1240:
2327:
1891:
1662:
1577:
1475:
1059:
567:
105:
1751:
2416:
1149:
2376:
1013:
2396:
2347:
1033:
587:
1756:
1484:
1896:
1681:
1376:
174:
1590:
2800:
N. D. Mermin; G. M. Schwarz (1982). "Joint distributions and local realism in the higher-spin
Einstein-Podolsky-Rosen experiment".
2883:
2736:
43:
1232:
2888:
1064:
2188:
are scaled and shifted versions of the
Chebyshev polynomials. They are shifted so as to have support on the points
1687:
Specifically, the polynomials turn out to be the eigenvectors of the absolute square of the rotation matrix (the
2138:{\displaystyle \sum _{m'=-j}^{j}F_{mm'}(\theta )\,f_{\ell }^{j}(m')=P_{\ell }(\cos \theta )f_{\ell }^{j}(m).}
1694:
400:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }t_{n}^{N}(x)t_{m}^{N}(x)w(x)\,dx=0\quad {\text{ if }}\quad n\neq m.}
171:, constructed such that two polynomials of unequal degree are orthogonal with respect to the weight function
2459:
can be scaled so as to obey other normalization conditions. For example, one could demand that they satisfy
55:
2601:
2662:
2591:{\displaystyle {\frac {1}{2j+1}}\sum _{m=-j}^{j}f_{\ell }^{j}(m)f_{\ell '}^{j}(m)=\delta _{\ell \ell '},}
2191:
939:
927:{\displaystyle \sum _{r=0}^{N-1}t_{n}^{N}(r)t_{n}^{N}(r)={\frac {N}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}(N^{2}-k^{2}).}
592:
118:
28:
2421:
2150:
2852:
2809:
2774:
2247:
254:
47:
992:
If the independent variable is linearly scaled and shifted so that the end points assume the values
1580:
1370:
58:. They were later found to be applicable to various algebraic properties of spin angular momentum.
2843:
Anupam Garg (2022). "The discrete
Chebyshev–Meckler–Mermin–Schwarz polynomials and spin algebra".
2291:
1862:
1640:
1555:
1453:
1038:
531:
69:
2825:
2713:
2686:"Ueber die Entwickelung reeller Functionen in Reihen mittelst der Methode der kleinsten Quadrate"
51:
2685:
1736:
2860:
2817:
2782:
2745:
2705:
2697:
756:{\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}t_{n}^{N}(r)t_{n}^{N}(s)=0\quad {\text{ if }}\quad r\neq s.}
519:{\displaystyle \sum _{r=0}^{N-1}t_{n}^{N}(r)t_{m}^{N}(r)=0\quad {\text{ if }}\quad n\neq m.}
2401:
1127:
2709:
2352:
1688:
1170:
1166:
2856:
2813:
2778:
995:
2381:
2332:
1478:
1018:
572:
409:
The integral on the left is actually a sum because of the delta function, and we have,
1350:{\displaystyle \left(g,h\right)_{d}:={\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}{g(x_{k})h(x_{k})},}
2877:
2829:
2717:
1235:
1677:
1584:
17:
1673:
1220:
2786:
2701:
1447:
2750:
2731:
2730:
R.W. Barnard; G. Dahlquist; K. Pearce; L. Reichel; K.C. Richards (1998).
1201:
2821:
2864:
936:
This fixes the polynomials completely along with the sign convention,
1852:{\displaystyle d_{mm'}=\langle j,m|e^{-i\theta J_{y}}|j,m'\rangle ,}
1537:{\displaystyle \left(\varphi _{k},\varphi _{i}\right)_{d}=0}
1980:{\displaystyle F_{mm'}(\theta )=|d_{mm'}(\theta )|^{2},}
1893:
are the usual angular momentum or spin eigenstates, and
1691:). The associated eigenvalue is the Legendre polynomial
2604:
2465:
2424:
2404:
2384:
2355:
2335:
2294:
2250:
2194:
2153:
1993:
1899:
1865:
1759:
1739:
1697:
1664:
are called discrete
Chebyshev (or Gram) polynomials.
1643:
1593:
1558:
1487:
1456:
1439:{\displaystyle \left\|g\right\|_{d}:=(g,g)_{d}^{1/2}}
1379:
1243:
1130:
1067:
1041:
1021:
998:
942:
771:
652:
595:
575:
534:
415:
286:
257:
177:
121:
72:
1173:, whose values are known explicitly only at points
244:{\displaystyle w(x)=\sum _{r=0}^{N-1}\delta (x-r),}
2637:
2590:
2451:
2410:
2390:
2370:
2341:
2321:
2280:
2236:
2180:
2137:
1979:
1885:
1851:
1745:
1725:
1656:
1628:{\displaystyle \left\|\varphi _{k}\right\|_{d}=1.}
1627:
1571:
1536:
1469:
1438:
1349:
1143:
1117:{\displaystyle t_{n}^{N}(\cdot )\to P_{n}(\cdot )}
1116:
1053:
1027:
1007:
981:
926:
755:
637:
581:
561:
518:
399:
272:
243:
163:
99:
2690:Journal für die reine und angewandte Mathematik
589:, only its values at a discrete set of points,
8:
1880:
1843:
1781:
2732:"Gram Polynomials and the Kummer Function"
1753:is the rotation angle. In other words, if
765:Chebyshev chose the normalization so that
2749:
2614:
2609:
2603:
2571:
2549:
2539:
2520:
2515:
2505:
2491:
2466:
2464:
2434:
2429:
2423:
2403:
2383:
2354:
2334:
2304:
2299:
2293:
2249:
2193:
2163:
2158:
2152:
2117:
2112:
2087:
2060:
2055:
2050:
2027:
2017:
1998:
1992:
1968:
1963:
1939:
1930:
1904:
1898:
1866:
1864:
1824:
1816:
1802:
1793:
1764:
1758:
1738:
1702:
1696:
1648:
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1613:
1603:
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1563:
1557:
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594:
574:
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533:
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471:
452:
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431:
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414:
379:
365:
338:
333:
314:
309:
299:
291:
285:
280:being the Dirac delta function. That is,
256:
208:
197:
176:
120:
82:
77:
71:
1481:of polynomials orthogonal to each other
2765:A. Meckler (1958). "Majorana formula".
2653:
1726:{\displaystyle P_{\ell }(\cos \theta )}
2638:{\displaystyle f_{\ell }^{j}(j)>0}
7:
2237:{\displaystyle m=-j,-j+1,\ldots ,j}
982:{\displaystyle t_{n}^{N}(N-1)>0}
638:{\displaystyle x=0,1,2,\ldots ,N-1}
164:{\displaystyle n=0,1,2,\ldots ,N-1}
1048:
300:
295:
66:The discrete Chebyshev polynomial
25:
2452:{\displaystyle f_{\ell }^{j}(m)}
2181:{\displaystyle f_{\ell }^{j}(m)}
2845:Journal of Mathematical Physics
2737:Journal of Approximation Theory
2281:{\displaystyle r=0,1,\ldots ,N}
740:
734:
503:
497:
384:
378:
273:{\displaystyle \delta (\cdot )}
44:discrete orthogonal polynomials
2626:
2620:
2561:
2555:
2532:
2526:
2446:
2440:
2316:
2310:
2175:
2169:
2129:
2123:
2105:
2093:
2077:
2066:
2047:
2041:
1964:
1959:
1953:
1931:
1924:
1918:
1867:
1825:
1794:
1720:
1708:
1609:
1596:
1414:
1401:
1388:
1382:
1340:
1327:
1321:
1308:
1111:
1105:
1092:
1089:
1083:
1045:
970:
958:
918:
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838:
820:
814:
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719:
701:
695:
556:
550:
488:
482:
464:
458:
362:
356:
350:
344:
326:
320:
267:
261:
235:
223:
187:
181:
94:
88:
36:discrete Chebyshev polynomials
1:
1552:. Assume all the polynomials
1215:. The task is to approximate
2322:{\displaystyle t_{n}^{N}(r)}
1886:{\displaystyle |j,m\rangle }
1668:Connection with Spin Algebra
1657:{\displaystyle \varphi _{k}}
1572:{\displaystyle \varphi _{k}}
1470:{\displaystyle \varphi _{k}}
1151:is the Legendre polynomial.
1054:{\displaystyle N\to \infty }
562:{\displaystyle t_{n}^{N}(x)}
100:{\displaystyle t_{n}^{N}(x)}
2905:
2673:, Oeuvres Vol 1 p. 539–560
107:is a polynomial of degree
26:
1684:for various spin states.
2787:10.1103/PhysRev.111.1447
1124:times a constant, where
27:Not to be confused with
2702:10.1515/crll.1883.94.41
1746:{\displaystyle \theta }
1678:Einstein-Podolsky-Rosen
2884:Orthogonal polynomials
2802:Foundations of Physics
2751:10.1006/jath.1998.3181
2661:Chebyshev, P. (1864),
2639:
2592:
2510:
2453:
2412:
2392:
2372:
2343:
2323:
2282:
2238:
2182:
2139:
2022:
1981:
1887:
1853:
1747:
1727:
1676:spin-s version of the
1658:
1629:
1573:
1538:
1471:
1440:
1351:
1303:
1233:positive semi-definite
1145:
1118:
1055:
1029:
1009:
983:
928:
891:
798:
757:
679:
639:
583:
563:
520:
442:
401:
274:
245:
219:
165:
101:
2667:Zapiski Akademii Nauk
2663:"Sur l'interpolation"
2640:
2593:
2487:
2454:
2413:
2411:{\displaystyle \ell }
2393:
2373:
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2324:
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1982:
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1854:
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1728:
1659:
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1539:
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1441:
1352:
1283:
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1144:{\displaystyle P_{n}}
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1056:
1030:
1010:
984:
929:
871:
772:
758:
653:
640:
584:
564:
521:
416:
402:
275:
246:
193:
166:
102:
62:Elementary Definition
29:Chebyshev polynomials
2889:Approximation theory
2684:Gram, J. P. (1883),
2602:
2463:
2422:
2402:
2382:
2371:{\displaystyle 2j+1}
2353:
2333:
2292:
2248:
2192:
2151:
1991:
1897:
1863:
1757:
1737:
1695:
1641:
1591:
1556:
1485:
1454:
1377:
1241:
1128:
1065:
1039:
1019:
996:
940:
769:
650:
593:
573:
532:
413:
284:
255:
175:
119:
70:
54:and rediscovered by
48:approximation theory
2857:2022JMP....63g2101G
2814:1982FoPh...12..101M
2779:1958PhRv..111.1447M
2619:
2554:
2525:
2439:
2418:. In addition, the
2309:
2168:
2122:
2065:
1587:in such a way that
1581:leading coefficient
1435:
1155:Advanced Definition
1082:
957:
837:
813:
718:
694:
569:is a polynomial in
549:
481:
457:
343:
319:
304:
87:
2822:10.1007/BF00736844
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2605:
2588:
2535:
2511:
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2319:
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2135:
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1977:
1883:
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1743:
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1654:
1625:
1569:
1534:
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1347:
1141:
1114:
1068:
1051:
1025:
1008:{\displaystyle -1}
1005:
979:
943:
924:
823:
799:
753:
704:
680:
635:
579:
559:
535:
528:Thus, even though
516:
467:
443:
397:
329:
305:
287:
270:
241:
161:
97:
73:
2865:10.1063/5.0094575
2485:
2398:corresponding to
2391:{\displaystyle n}
2349:corresponding to
2342:{\displaystyle N}
2147:The eigenvectors
1281:
1028:{\displaystyle 1}
869:
738:
582:{\displaystyle x}
501:
382:
52:Pafnuty Chebyshev
16:(Redirected from
2896:
2869:
2868:
2840:
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2833:
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2458:
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2450:
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