759:
229:
754:{\displaystyle L(X,{\mathcal {F}},t)=\prod _{i=0}^{2n}\det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{i}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))^{(-1)^{i+1}}={\frac {\det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{1}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))\cdots \det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{2n-1}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))}{\det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{0}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))\cdots \det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{2n}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))}}}
1035:
828:
47:. There are several generalizations: the Frobenius endomorphism can be replaced by a more general endomorphism, in which case the points over a finite field are replaced by its fixed points, and there is also a more general version for a
1136:
1030:{\displaystyle \sum _{x\in X(E)}\operatorname {tr} (F_{E}\,\,|\,\,{\mathcal {F}}_{x})=\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}\operatorname {tr} (F_{E}\,\,|\,\,H_{c}^{i}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))}
1067:
184:
801:
221:
153:
1072:
1271:
1245:
1184:
769:
1218:
1202:
1168:
55:
66:
73:
of a sheaf, as a sum over traces of
Frobenius on cohomology groups. This is one of the steps used in the proof of the
80:
1194:
804:
40:
36:
1199:
Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1965-66 - Cohomologie l-adique et
Fonctions L - (SGA 5)
51:
over the variety, where the cohomology groups are replaced by cohomology with coefficients in the sheaf.
1043:
160:
782:
202:
134:
808:
156:
48:
59:
20:
1241:
1214:
1180:
28:
1206:
1172:
773:
74:
44:
1255:
1251:
1237:
1229:
812:
84:
1236:, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) , vol. 13, Berlin, New York:
1160:
1265:
120:
108:
32:
1131:{\displaystyle (\varprojlim \mathbb {Z} /l^{n}\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {Q} }
1165:
Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - Cohomologie étale - (SGA 4½)
193:
70:
1201:. Lecture Notes in Mathematics (in French). Vol. 589. Berlin; New York:
1167:. Lecture Notes in Mathematics (in French). Vol. 569. Berlin; New York:
54:
The
Grothendieck trace formula is an analogue in algebraic geometry of the
1210:
1176:
65:
One application of the
Grothendieck trace formula is to express the
1142:-adic sheaf) the left hand side of this formula is the number of
16:
Expresses the number of points of a variety over a finite field
1016:
888:
788:
737:
650:
567:
474:
358:
247:
208:
140:
69:
of a variety over a finite field, or more generally the
811:
produces a statement on sums of traces for each finite
192:. Then the following cohomological expression for the
1075:
1046:
831:
785:
232:
205:
163:
137:
1130:
1061:
1029:
795:
753:
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8:
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1123:
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1106:
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206:
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170:
166:
165:
162:
139:
138:
136:
1234:Étale cohomology and the Weil conjecture
7:
27:expresses the number of points of a
779:with compact supports of the sheaf
14:
1062:{\displaystyle \mathbb {Q} _{l}}
179:{\displaystyle \mathbb {Q} _{l}}
1272:Theorems in algebraic geometry
1117:
1076:
1024:
1021:
1004:
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970:
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638:
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542:
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479:
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371:
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363:
346:
333:
312:
291:
258:
236:
216:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
148:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
1:
56:Lefschetz fixed-point theorem
83:generalizes the formula to
1288:
25:Grothendieck trace formula
1195:Grothendieck, Alexander
805:logarithmic derivatives
81:Behrend's trace formula
1132:
1063:
1031:
928:
797:
755:
287:
217:
180:
149:
41:Frobenius endomorphism
1133:
1064:
1040:For a constant sheaf
1032:
905:
798:
756:
264:
218:
181:
150:
91:Formal statement for
1073:
1044:
829:
783:
230:
203:
161:
135:
1228:Freitag, Eberhard;
990:
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770:geometric Frobenius
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624:
541:
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103:be a finite field,
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1177:10.1007/BFb0091516
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1169:Springer-Verlag
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