770:
240:
765:{\displaystyle L(X,{\mathcal {F}},t)=\prod _{i=0}^{2n}\det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{i}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))^{(-1)^{i+1}}={\frac {\det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{1}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))\cdots \det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{2n-1}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))}{\det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{0}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))\cdots \det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{2n}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))}}}
1046:
839:
58:. There are several generalizations: the Frobenius endomorphism can be replaced by a more general endomorphism, in which case the points over a finite field are replaced by its fixed points, and there is also a more general version for a
1147:
1041:{\displaystyle \sum _{x\in X(E)}\operatorname {tr} (F_{E}\,\,|\,\,{\mathcal {F}}_{x})=\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}\operatorname {tr} (F_{E}\,\,|\,\,H_{c}^{i}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))}
1078:
195:
812:
232:
164:
1083:
1282:
1256:
1195:
780:
1229:
1213:
1179:
66:
77:
84:
of a sheaf, as a sum over traces of
Frobenius on cohomology groups. This is one of the steps used in the proof of the
91:
1205:
815:
51:
47:
1210:
Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1965-66 - Cohomologie l-adique et
Fonctions L - (SGA 5)
62:
over the variety, where the cohomology groups are replaced by cohomology with coefficients in the sheaf.
1054:
171:
793:
213:
145:
17:
819:
167:
59:
70:
31:
1252:
1225:
1191:
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1217:
1183:
784:
85:
55:
1266:
1262:
1248:
1240:
823:
95:
1247:, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) , vol. 13, Berlin, New York:
1171:
1276:
131:
119:
43:
1142:{\displaystyle (\varprojlim \mathbb {Z} /l^{n}\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {Q} }
1176:
Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - Cohomologie étale - (SGA 4½)
204:
81:
1212:. Lecture Notes in Mathematics (in French). Vol. 589. Berlin; New York:
1178:. Lecture Notes in Mathematics (in French). Vol. 569. Berlin; New York:
65:
The
Grothendieck trace formula is an analogue in algebraic geometry of the
1221:
1187:
76:
One application of the
Grothendieck trace formula is to express the
1153:-adic sheaf) the left hand side of this formula is the number of
27:
Expresses the number of points of a variety over a finite field
1027:
899:
799:
748:
661:
578:
485:
369:
258:
219:
151:
80:
of a variety over a finite field, or more generally the
822:
produces a statement on sums of traces for each finite
203:. Then the following cohomological expression for the
1086:
1057:
842:
796:
243:
216:
174:
148:
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176:
173:
150:
149:
147:
1245:Étale cohomology and the Weil conjecture
7:
38:expresses the number of points of a
18:Grothendieck-Lefschetz trace formula
790:with compact supports of the sheaf
25:
1073:{\displaystyle \mathbb {Q} _{l}}
190:{\displaystyle \mathbb {Q} _{l}}
1283:Theorems in algebraic geometry
1128:
1087:
1035:
1032:
1015:
1002:
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323:
302:
269:
247:
227:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
159:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
1:
67:Lefschetz fixed-point theorem
94:generalizes the formula to
1299:
36:Grothendieck trace formula
1206:Grothendieck, Alexander
816:logarithmic derivatives
92:Behrend's trace formula
1143:
1074:
1042:
939:
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766:
298:
228:
191:
160:
52:Frobenius endomorphism
1144:
1075:
1051:For a constant sheaf
1043:
916:
809:
767:
275:
229:
192:
161:
102:Formal statement for
1084:
1055:
840:
794:
241:
214:
172:
146:
1239:Freitag, Eberhard;
1001:
820:formal power series
781:geometric Frobenius
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114:be a finite field,
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