628:
33:
276:
1776:
623:{\displaystyle {\begin{aligned}f''(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}\\&=\lim _{h_{1}\to 0}{\frac {\lim \limits _{h_{2}\to 0}{\dfrac {f(x+h_{1}+h_{2})-f(x+h_{1})}{h_{2}}}-\lim \limits _{h_{2}\to 0}{\dfrac {f(x+h_{2})-f(x)}{h_{2}}}}{h_{1}}}\end{aligned}}}
1123:
1954:
937:
1584:
1278:
1390:
750:
265:
1599:
952:
1795:
281:
769:
1406:
50:
1137:
1400:
In the preceding section, the general first principles equation for integer order derivatives was derived. It can be shown that the equation may also be written as
1289:
97:
69:
76:
83:
643:
65:
2017:
116:
1771:{\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {(-1)^{q}}{h^{q}}}\sum _{0\leq m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+mh).}
270:
for the derivative can be applied recursively to get higher-order derivatives. For example, the second-order derivative would be:
175:
1118:{\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{q}}}\sum _{0\leq m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+(q-m)h).}
54:
1949:{\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{q}}}\sum _{0\leq m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x-mh).}
2032:
932:{\displaystyle f^{(n)}(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\sum \limits _{0\leq m\leq n}(-1)^{m}{n \choose m}f(x+(n-m)h)}{h^{n}}}}
90:
1579:{\displaystyle f^{(n)}(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {(-1)^{n}}{h^{n}}}\sum _{0\leq m\leq n}(-1)^{m}{n \choose m}f(x+mh).}
43:
146:
1974:
760:
142:
756:
17:
1273:{\displaystyle \Delta _{h}^{q}f(x)=\sum _{0\leq m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+(q-m)h).}
2013:
154:
1993:
145:
that allows one to take the derivative a non-integer number of times. It was introduced by
1989:
2012:, by Oldham, K.; and Spanier, J. Hardcover: 234 pages. Publisher: Academic Press, 1974.
1385:{\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\Delta _{h}^{q}f(x)}{h^{q}}}.}
1781:
This equation is called the reverse Grünwald–Letnikov derivative. If the substitution
2026:
1789:
is made, the resulting equation is called the direct Grünwald–Letnikov derivative:
130:
32:
138:
158:
150:
745:{\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}}
1283:
So the Grünwald–Letnikov derivative may be succinctly written as:
26:
260:{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}
1798:
1602:
1409:
1292:
1140:
955:
772:
646:
546:
436:
279:
178:
1973:Ortigueira, Manuel Duarte; Coito, Fernando (2004),
946:be a positive integer, it is reasonable to define:
57:. Unsourced material may be challenged and removed.
1948:
1770:
1578:
1384:
1272:
1117:
931:
744:
622:
259:
1916:
1903:
1738:
1725:
1546:
1533:
1228:
1215:
1073:
1060:
1827:
1631:
1439:
1321:
984:
802:
651:
387:
309:
200:
1128:This defines the Grünwald–Letnikov derivative.
637:'s converge synchronously, this simplifies to:
877:
864:
165:Constructing the Grünwald–Letnikov derivative
8:
1982:Fractional Calculus & Applied Analysis
1915:
1902:
1900:
1894:
1863:
1851:
1842:
1830:
1805:
1801:
1800:
1797:
1737:
1724:
1722:
1716:
1685:
1673:
1662:
1646:
1634:
1609:
1605:
1604:
1601:
1545:
1532:
1530:
1524:
1493:
1481:
1470:
1454:
1442:
1414:
1408:
1371:
1348:
1343:
1336:
1324:
1299:
1295:
1294:
1291:
1227:
1214:
1212:
1206:
1175:
1150:
1145:
1139:
1072:
1059:
1057:
1051:
1020:
1008:
999:
987:
962:
958:
957:
954:
921:
876:
863:
861:
855:
824:
817:
805:
777:
771:
755:which can be justified rigorously by the
734:
666:
654:
645:
608:
594:
565:
545:
531:
526:
510:
496:
468:
455:
435:
421:
416:
409:
395:
390:
324:
312:
280:
278:
215:
203:
177:
117:Learn how and when to remove this message
1965:
7:
55:adding citations to reliable sources
821:
1907:
1876:
1729:
1698:
1537:
1340:
1219:
1188:
1142:
1064:
1033:
868:
25:
1975:"From differences to derivatives"
1589:or removing the restriction that
31:
18:Grunwald–Letnikov differintegral
42:needs additional citations for
1940:
1925:
1891:
1881:
1834:
1820:
1814:
1762:
1747:
1713:
1703:
1659:
1649:
1638:
1624:
1618:
1570:
1555:
1521:
1511:
1467:
1457:
1446:
1432:
1426:
1421:
1415:
1363:
1357:
1328:
1314:
1308:
1264:
1258:
1246:
1237:
1203:
1193:
1165:
1159:
1131:To simplify notation, we set:
1109:
1103:
1091:
1082:
1048:
1038:
991:
977:
971:
942:Removing the restriction that
913:
907:
895:
886:
852:
842:
809:
795:
789:
784:
778:
726:
720:
711:
699:
687:
672:
658:
586:
580:
571:
552:
537:
502:
483:
474:
442:
427:
401:
367:
361:
347:
335:
316:
298:
292:
248:
242:
233:
221:
207:
193:
187:
66:"Grünwald–Letnikov derivative"
1:
1593:must be a positive integer:
155:Aleksey Vasilievich Letnikov
137:is a basic extension of the
135:Grünwald–Letnikov derivative
759:. In general, we have (see
523:
413:
2049:
1396:An alternative definition
2010:The Fractional Calculus
1950:
1772:
1580:
1386:
1274:
1119:
933:
746:
624:
261:
1951:
1773:
1581:
1387:
1275:
1120:
934:
747:
625:
262:
1796:
1600:
1407:
1290:
1138:
953:
770:
761:binomial coefficient
644:
277:
176:
51:improve this article
2033:Fractional calculus
1353:
1155:
147:Anton Karl Grünwald
143:fractional calculus
1946:
1880:
1841:
1768:
1702:
1645:
1576:
1510:
1453:
1382:
1339:
1335:
1270:
1192:
1141:
1115:
1037:
998:
929:
841:
816:
757:mean value theorem
742:
665:
633:Assuming that the
620:
618:
601:
544:
517:
434:
408:
323:
257:
214:
153:, in 1867, and by
1914:
1859:
1857:
1826:
1736:
1681:
1679:
1630:
1544:
1489:
1487:
1438:
1377:
1320:
1226:
1171:
1071:
1016:
1014:
983:
927:
875:
820:
801:
740:
650:
614:
600:
522:
516:
412:
386:
374:
308:
255:
199:
149:(1838–1920) from
127:
126:
119:
101:
16:(Redirected from
2040:
1997:
1996:
1979:
1970:
1955:
1953:
1952:
1947:
1921:
1920:
1919:
1906:
1899:
1898:
1879:
1858:
1856:
1855:
1843:
1840:
1810:
1809:
1804:
1777:
1775:
1774:
1769:
1743:
1742:
1741:
1728:
1721:
1720:
1701:
1680:
1678:
1677:
1668:
1667:
1666:
1647:
1644:
1614:
1613:
1608:
1585:
1583:
1582:
1577:
1551:
1550:
1549:
1536:
1529:
1528:
1509:
1488:
1486:
1485:
1476:
1475:
1474:
1455:
1452:
1425:
1424:
1391:
1389:
1388:
1383:
1378:
1376:
1375:
1366:
1352:
1347:
1337:
1334:
1304:
1303:
1298:
1279:
1277:
1276:
1271:
1233:
1232:
1231:
1218:
1211:
1210:
1191:
1154:
1149:
1124:
1122:
1121:
1116:
1078:
1077:
1076:
1063:
1056:
1055:
1036:
1015:
1013:
1012:
1000:
997:
967:
966:
961:
938:
936:
935:
930:
928:
926:
925:
916:
882:
881:
880:
867:
860:
859:
840:
818:
815:
788:
787:
751:
749:
748:
743:
741:
739:
738:
729:
667:
664:
629:
627:
626:
621:
619:
615:
613:
612:
603:
602:
599:
598:
589:
570:
569:
547:
543:
536:
535:
518:
515:
514:
505:
501:
500:
473:
472:
460:
459:
437:
433:
426:
425:
410:
407:
400:
399:
379:
375:
370:
360:
334:
325:
322:
291:
266:
264:
263:
258:
256:
251:
216:
213:
186:
122:
115:
111:
108:
102:
100:
59:
35:
27:
21:
2048:
2047:
2043:
2042:
2041:
2039:
2038:
2037:
2023:
2022:
2006:
2004:Further reading
2001:
2000:
1977:
1972:
1971:
1967:
1962:
1901:
1890:
1847:
1799:
1794:
1793:
1723:
1712:
1669:
1658:
1648:
1603:
1598:
1597:
1531:
1520:
1477:
1466:
1456:
1410:
1405:
1404:
1398:
1367:
1338:
1293:
1288:
1287:
1213:
1202:
1136:
1135:
1058:
1047:
1004:
956:
951:
950:
917:
862:
851:
819:
773:
768:
767:
730:
668:
642:
641:
617:
616:
604:
590:
561:
548:
527:
506:
492:
464:
451:
438:
417:
411:
391:
377:
376:
353:
327:
326:
301:
284:
275:
274:
217:
179:
174:
173:
167:
157:(1837–1888) in
123:
112:
106:
103:
60:
58:
48:
36:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
2046:
2044:
2036:
2035:
2025:
2024:
2021:
2020:
2005:
2002:
1999:
1998:
1988:(4): 459–471,
1964:
1963:
1961:
1958:
1957:
1956:
1945:
1942:
1939:
1936:
1933:
1930:
1927:
1924:
1918:
1913:
1910:
1905:
1897:
1893:
1889:
1886:
1883:
1878:
1875:
1872:
1869:
1866:
1862:
1854:
1850:
1846:
1839:
1836:
1833:
1829:
1825:
1822:
1819:
1816:
1813:
1808:
1803:
1779:
1778:
1767:
1764:
1761:
1758:
1755:
1752:
1749:
1746:
1740:
1735:
1732:
1727:
1719:
1715:
1711:
1708:
1705:
1700:
1697:
1694:
1691:
1688:
1684:
1676:
1672:
1665:
1661:
1657:
1654:
1651:
1643:
1640:
1637:
1633:
1629:
1626:
1623:
1620:
1617:
1612:
1607:
1587:
1586:
1575:
1572:
1569:
1566:
1563:
1560:
1557:
1554:
1548:
1543:
1540:
1535:
1527:
1523:
1519:
1516:
1513:
1508:
1505:
1502:
1499:
1496:
1492:
1484:
1480:
1473:
1469:
1465:
1462:
1459:
1451:
1448:
1445:
1441:
1437:
1434:
1431:
1428:
1423:
1420:
1417:
1413:
1397:
1394:
1393:
1392:
1381:
1374:
1370:
1365:
1362:
1359:
1356:
1351:
1346:
1342:
1333:
1330:
1327:
1323:
1319:
1316:
1313:
1310:
1307:
1302:
1297:
1281:
1280:
1269:
1266:
1263:
1260:
1257:
1254:
1251:
1248:
1245:
1242:
1239:
1236:
1230:
1225:
1222:
1217:
1209:
1205:
1201:
1198:
1195:
1190:
1187:
1184:
1181:
1178:
1174:
1170:
1167:
1164:
1161:
1158:
1153:
1148:
1144:
1126:
1125:
1114:
1111:
1108:
1105:
1102:
1099:
1096:
1093:
1090:
1087:
1084:
1081:
1075:
1070:
1067:
1062:
1054:
1050:
1046:
1043:
1040:
1035:
1032:
1029:
1026:
1023:
1019:
1011:
1007:
1003:
996:
993:
990:
986:
982:
979:
976:
973:
970:
965:
960:
940:
939:
924:
920:
915:
912:
909:
906:
903:
900:
897:
894:
891:
888:
885:
879:
874:
871:
866:
858:
854:
850:
847:
844:
839:
836:
833:
830:
827:
823:
814:
811:
808:
804:
800:
797:
794:
791:
786:
783:
780:
776:
753:
752:
737:
733:
728:
725:
722:
719:
716:
713:
710:
707:
704:
701:
698:
695:
692:
689:
686:
683:
680:
677:
674:
671:
663:
660:
657:
653:
649:
631:
630:
611:
607:
597:
593:
588:
585:
582:
579:
576:
573:
568:
564:
560:
557:
554:
551:
542:
539:
534:
530:
525:
521:
513:
509:
504:
499:
495:
491:
488:
485:
482:
479:
476:
471:
467:
463:
458:
454:
450:
447:
444:
441:
432:
429:
424:
420:
415:
406:
403:
398:
394:
389:
385:
382:
380:
378:
373:
369:
366:
363:
359:
356:
352:
349:
346:
343:
340:
337:
333:
330:
321:
318:
315:
311:
307:
304:
302:
300:
297:
294:
290:
287:
283:
282:
268:
267:
254:
250:
247:
244:
241:
238:
235:
232:
229:
226:
223:
220:
212:
209:
206:
202:
198:
195:
192:
189:
185:
182:
166:
163:
125:
124:
39:
37:
30:
24:
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
2045:
2034:
2031:
2030:
2028:
2019:
2018:0-12-525550-0
2015:
2011:
2008:
2007:
2003:
1995:
1991:
1987:
1983:
1976:
1969:
1966:
1959:
1943:
1937:
1934:
1931:
1928:
1922:
1911:
1908:
1895:
1887:
1884:
1873:
1870:
1867:
1864:
1860:
1852:
1848:
1844:
1837:
1831:
1823:
1817:
1811:
1806:
1792:
1791:
1790:
1788:
1784:
1765:
1759:
1756:
1753:
1750:
1744:
1733:
1730:
1717:
1709:
1706:
1695:
1692:
1689:
1686:
1682:
1674:
1670:
1663:
1655:
1652:
1641:
1635:
1627:
1621:
1615:
1610:
1596:
1595:
1594:
1592:
1573:
1567:
1564:
1561:
1558:
1552:
1541:
1538:
1525:
1517:
1514:
1506:
1503:
1500:
1497:
1494:
1490:
1482:
1478:
1471:
1463:
1460:
1449:
1443:
1435:
1429:
1418:
1411:
1403:
1402:
1401:
1395:
1379:
1372:
1368:
1360:
1354:
1349:
1344:
1331:
1325:
1317:
1311:
1305:
1300:
1286:
1285:
1284:
1267:
1261:
1255:
1252:
1249:
1243:
1240:
1234:
1223:
1220:
1207:
1199:
1196:
1185:
1182:
1179:
1176:
1172:
1168:
1162:
1156:
1151:
1146:
1134:
1133:
1132:
1129:
1112:
1106:
1100:
1097:
1094:
1088:
1085:
1079:
1068:
1065:
1052:
1044:
1041:
1030:
1027:
1024:
1021:
1017:
1009:
1005:
1001:
994:
988:
980:
974:
968:
963:
949:
948:
947:
945:
922:
918:
910:
904:
901:
898:
892:
889:
883:
872:
869:
856:
848:
845:
837:
834:
831:
828:
825:
812:
806:
798:
792:
781:
774:
766:
765:
764:
762:
758:
735:
731:
723:
717:
714:
708:
705:
702:
696:
693:
690:
684:
681:
678:
675:
669:
661:
655:
647:
640:
639:
638:
636:
609:
605:
595:
591:
583:
577:
574:
566:
562:
558:
555:
549:
540:
532:
528:
519:
511:
507:
497:
493:
489:
486:
480:
477:
469:
465:
461:
456:
452:
448:
445:
439:
430:
422:
418:
404:
396:
392:
383:
381:
371:
364:
357:
354:
350:
344:
341:
338:
331:
328:
319:
313:
305:
303:
295:
288:
285:
273:
272:
271:
252:
245:
239:
236:
230:
227:
224:
218:
210:
204:
196:
190:
183:
180:
172:
171:
170:
169:The formula
164:
162:
160:
156:
152:
148:
144:
140:
136:
132:
121:
118:
110:
99:
96:
92:
89:
85:
82:
78:
75:
71:
68: –
67:
63:
62:Find sources:
56:
52:
46:
45:
40:This article
38:
34:
29:
28:
19:
2009:
1985:
1981:
1968:
1786:
1782:
1780:
1590:
1588:
1399:
1282:
1130:
1127:
943:
941:
754:
634:
632:
269:
168:
134:
128:
113:
104:
94:
87:
80:
73:
61:
49:Please help
44:verification
41:
131:mathematics
1960:References
139:derivative
77:newspapers
1932:−
1885:−
1877:∞
1868:≤
1861:∑
1835:→
1707:−
1699:∞
1690:≤
1683:∑
1653:−
1639:→
1515:−
1504:≤
1498:≤
1491:∑
1461:−
1447:→
1341:Δ
1329:→
1253:−
1197:−
1189:∞
1180:≤
1173:∑
1143:Δ
1098:−
1042:−
1034:∞
1025:≤
1018:∑
992:→
902:−
846:−
835:≤
829:≤
822:∑
810:→
691:−
659:→
575:−
538:→
520:−
478:−
428:→
402:→
351:−
317:→
237:−
208:→
161:in 1868.
107:June 2009
2027:Category
358:′
332:′
289:″
184:′
1994:2251527
91:scholar
2016:
1992:
159:Moscow
151:Prague
133:, the
93:
86:
79:
72:
64:
1978:(PDF)
98:JSTOR
84:books
2014:ISBN
1874:<
1696:<
1186:<
1031:<
70:news
1828:lim
1785:→ −
1632:lim
1440:lim
1322:lim
985:lim
803:lim
763:):
652:lim
524:lim
414:lim
388:lim
310:lim
201:lim
141:in
129:In
53:by
2029::
1990:MR
1984:,
1980:,
1986:7
1944:.
1941:)
1938:h
1935:m
1929:x
1926:(
1923:f
1917:)
1912:m
1909:q
1904:(
1896:m
1892:)
1888:1
1882:(
1871:m
1865:0
1853:q
1849:h
1845:1
1838:0
1832:h
1824:=
1821:)
1818:x
1815:(
1812:f
1807:q
1802:D
1787:h
1783:h
1766:.
1763:)
1760:h
1757:m
1754:+
1751:x
1748:(
1745:f
1739:)
1734:m
1731:q
1726:(
1718:m
1714:)
1710:1
1704:(
1693:m
1687:0
1675:q
1671:h
1664:q
1660:)
1656:1
1650:(
1642:0
1636:h
1628:=
1625:)
1622:x
1619:(
1616:f
1611:q
1606:D
1591:n
1574:.
1571:)
1568:h
1565:m
1562:+
1559:x
1556:(
1553:f
1547:)
1542:m
1539:n
1534:(
1526:m
1522:)
1518:1
1512:(
1507:n
1501:m
1495:0
1483:n
1479:h
1472:n
1468:)
1464:1
1458:(
1450:0
1444:h
1436:=
1433:)
1430:x
1427:(
1422:)
1419:n
1416:(
1412:f
1380:.
1373:q
1369:h
1364:)
1361:x
1358:(
1355:f
1350:q
1345:h
1332:0
1326:h
1318:=
1315:)
1312:x
1309:(
1306:f
1301:q
1296:D
1268:.
1265:)
1262:h
1259:)
1256:m
1250:q
1247:(
1244:+
1241:x
1238:(
1235:f
1229:)
1224:m
1221:q
1216:(
1208:m
1204:)
1200:1
1194:(
1183:m
1177:0
1169:=
1166:)
1163:x
1160:(
1157:f
1152:q
1147:h
1113:.
1110:)
1107:h
1104:)
1101:m
1095:q
1092:(
1089:+
1086:x
1083:(
1080:f
1074:)
1069:m
1066:q
1061:(
1053:m
1049:)
1045:1
1039:(
1028:m
1022:0
1010:q
1006:h
1002:1
995:0
989:h
981:=
978:)
975:x
972:(
969:f
964:q
959:D
944:n
923:n
919:h
914:)
911:h
908:)
905:m
899:n
896:(
893:+
890:x
887:(
884:f
878:)
873:m
870:n
865:(
857:m
853:)
849:1
843:(
838:n
832:m
826:0
813:0
807:h
799:=
796:)
793:x
790:(
785:)
782:n
779:(
775:f
736:2
732:h
727:)
724:x
721:(
718:f
715:+
712:)
709:h
706:+
703:x
700:(
697:f
694:2
688:)
685:h
682:2
679:+
676:x
673:(
670:f
662:0
656:h
648:=
635:h
610:1
606:h
596:2
592:h
587:)
584:x
581:(
578:f
572:)
567:2
563:h
559:+
556:x
553:(
550:f
541:0
533:2
529:h
512:2
508:h
503:)
498:1
494:h
490:+
487:x
484:(
481:f
475:)
470:2
466:h
462:+
457:1
453:h
449:+
446:x
443:(
440:f
431:0
423:2
419:h
405:0
397:1
393:h
384:=
372:h
368:)
365:x
362:(
355:f
348:)
345:h
342:+
339:x
336:(
329:f
320:0
314:h
306:=
299:)
296:x
293:(
286:f
253:h
249:)
246:x
243:(
240:f
234:)
231:h
228:+
225:x
222:(
219:f
211:0
205:h
197:=
194:)
191:x
188:(
181:f
120:)
114:(
109:)
105:(
95:·
88:·
81:·
74:·
47:.
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
