1579:
1432:
1445:
220:
535:
738:
1728:
1150:
1017:
1240:
338:
1082:
1231:
914:
825:
1574:{\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\geq 3\tan {\frac {\alpha +\beta +\gamma }{6}}=3\tan {\frac {\pi }{6}}={\sqrt {3}}}
70:
411:
549:
1588:
1091:
1427:{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4A(\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}})}
923:
263:
344:
Hadwiger–Finsler inequality is actually equivalent to
Weitzenböck's inequality. Applying (W) to the circummidarc triangle gives (HF)
1863:
1826:
1436:β and γ being the other angles of the triangle. Now since the halves of the triangle’s angles are less than π/2 the function tan is
1026:
1159:
1909:
232:
1765:
1753:
834:
756:
1770:
356:
215:{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4{\sqrt {3}}T\quad {\mbox{(HF)}}.}
1843:
530:{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 4T+{\frac {{\sqrt {3}}-1}{\sqrt {3}}}\sum {(a-b)^{2}}}
348:
1859:
1807:
1867:
1835:
733:{\displaystyle \sum {(a-b)^{2}}=(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(a-d)^{2}+(b-c)^{2}+(b-d)^{2}+(c-d)^{2}}
17:
1879:
1437:
44:
748:
352:
1903:
1847:
1821:
1745:
376:
1817:
1741:
1723:{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4{\sqrt {3}}\,A}
1145:{\displaystyle \sin \alpha =2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}}
239:
of the
Hadwiger–Finsler inequality: if a triangle in the plane has side lengths
28:
1889:
1893:
1883:
236:
1012:{\displaystyle a^{2}=(b-c)^{2}+4A{\frac {(1-\cos \alpha )}{\sin \alpha }}}
40:
36:
1806:, International Journal of Geometry, Vol. 7 (2018), No. 1, pp. 81 - 86,
1839:
1804:
An inequality related to the lengths and area of a convex quadrilateral
333:{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}T\quad {\mbox{(W)}}.}
539:
829:α being the angle between b and c. This can be transformed into:
1793:, Math. Gaz. 104 (July 2020) pp. 335-338. doi:10.1017/mag.2020.63
1756:
on a square derived from two other squares that share a vertex.
1235:
Doing this for all sides of the triangle and adding up we get:
1791:
The circummidarc triangle and the
Finsler-Hadwiger inequality
1077:{\displaystyle 1-\cos \alpha =2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}
47:. It states that if a triangle in the plane has side lengths
1226:{\displaystyle a^{2}=(b-c)^{2}+4A\tan {\frac {\alpha }{2}}}
351:, by which route it can be seen that equality holds in (W)
1802:
Leonard Mihai
Giugiuc, Dao Thanh Oai and Kadir Altintas,
321:
203:
1591:
1448:
1243:
1162:
1094:
1029:
926:
837:
759:
552:
414:
266:
73:
909:{\displaystyle a^{2}=(b-c)^{2}+2bc(1-\cos \alpha )}
1722:
1573:
1426:
1225:
1144:
1076:
1011:
908:
819:
732:
529:
347:Weitzenböck's inequality can also be proved using
332:
214:
1856:When Less is More: Visualizing Basic Inequalities
820:{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha }
1749:
1740:The Hadwiger–Finsler inequality is named after
8:
1752:), who also published in the same paper the
383:be a convex quadrilateral with the lengths
1732:This is the Hadwiger-Finsler inequality.
1716:
1709:
1697:
1672:
1647:
1622:
1609:
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179:
154:
129:
104:
91:
78:
72:
1824:(1937). "Einige Relationen im Dreieck".
1782:
7:
1880:Proof of Hadwiger-Finsler inequality
25:
1827:Commentarii Mathematici Helvetici
1854:Claudi Alsina, Roger B. Nelsen:
319:
201:
1694:
1681:
1669:
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1644:
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126:
113:
1:
1766:List of triangle inequalities
918:Since A=1/2bcsinα we have:
33:Hadwiger–Finsler inequality
18:Hadwiger-Finsler inequality
1926:
538:with equality only for a
1771:Isoperimetric inequality
1754:Finsler–Hadwiger theorem
233:Weitzenböck's inequality
1890:Weizenbock's inequality
1724:
1575:
1428:
1227:
1146:
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1013:
910:
821:
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531:
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216:
1910:Triangle inequalities
1725:
1576:
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1228:
1147:
1079:
1014:
911:
822:
735:
532:
335:
235:is a straightforward
217:
1589:
1583:Using this we get:
1446:
1241:
1160:
1154:Using this we get:
1092:
1027:
924:
835:
757:
550:
412:
357:equilateral triangle
264:
227:Related inequalities
71:
1789:Martin Lukarevski,
1021:Now remember that
355:the triangle is an
35:is a result on the
1840:10.1007/BF01214300
1720:
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1223:
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