2819:
2171:
2317:
1744:
2814:{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{j=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }2^{-j}\left(|a_{j,k}|^{2}+|{\tilde {a}}_{j,k}|^{2}\right)\\&{}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(|a_{k}|^{2}+|{\tilde {a}}_{k}|^{2}\right)+\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }2^{-j}\left(|a_{j,k}|^{2}+|{\tilde {a}}_{j,k}|^{2}\right)\\&{}=\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx.\end{aligned}}}
2166:{\displaystyle {\begin{aligned}a_{j,k}&{}=2^{j}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot w^{*}(2^{j}t-k)\,dt\\{\tilde {a}}_{j,k}&{}=2^{j}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot w(2^{j}t-k)\,dt\\a_{k}&{}=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot \varphi ^{*}(t-k)\,dt\\{\tilde {a}}_{k}&{}=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot \varphi (t-k)\,dt.\end{aligned}}}
405:
1733:
957:
2824:
Rather than computing the expansion coefficients directly from the orthogonality relationships, however, it is possible to do so using a sequence of
Fourier transforms. This is much more efficient in the discrete analogue of this transform (discrete
833:
1167:
523:
1050:
1410:
215:
698:
230:
2322:
1749:
2248:
2302:
1429:
839:
615:
116:
1056:
721:
550:
1199:
563:
increases, these wavelets become more localized in
Fourier space (frequency) and in higher frequency bands, and conversely become less localized in time (
1215:
963:
411:
571:
for expanding an arbitrary function, they represent behaviors of the function on different timescales (and at different time offsets for different
2945:
124:
2926:
2903:
623:
2845:
400:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w^{*}(2^{j}t-k)\cdot w(2^{j'}t-k')\,dt={\frac {1}{2^{j}}}\delta _{j,j'}\delta _{k,k'}}
37:
45:
41:
2187:
2253:
1728:{\displaystyle f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left+\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left.}
2895:
2830:
568:
53:
29:
952:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w^{*}(2^{j}t-k)\cdot \varphi (t-k')\,dt=0{\text{ for }}j\geq 0}
2308:
1738:
The expansion coefficients can then, in principle, be computed using the orthogonality relationships:
2854:
1162:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w(2^{j}t-k)\cdot \varphi (t-k')\,dt=0{\text{ for }}j\geq 0.}
553:
2950:
585:
529:
75:
828:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi ^{*}(t-k)\cdot \varphi (t-k')\,dt=\delta _{k,k'}}
2878:
2870:
2955:
2922:
2899:
49:
21:
535:
2862:
1172:
In the harmonic wavelet transform, therefore, an arbitrary real- or complex-valued function
1175:
221:
2858:
224:(constant in a certain octave band and zero elsewhere). In particular, they satisfy:
2939:
2882:
1405:{\displaystyle f(t)=\sum _{j=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left,}
1045:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t-k)\cdot \varphi (t-k')\,dt=0}
17:
518:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w(2^{j}t-k)\cdot w(2^{j'}t-k')\,dt=0}
2866:
64:
The transform uses a family of "harmonic" wavelets indexed by two integers
220:
These functions are orthogonal, and their
Fourier transforms are a square
2918:
2304:
so one can cut the number of independent expansion coefficients in half.
1202:
2915:
Time
Frequency Signal Analysis and Processing: A Comprehensive Reference
33:
1205:) is expanded in the basis of the harmonic wavelets (for all integers
2874:
2843:
Newland, David E. (8 October 1993). "Harmonic wavelet analysis".
711:
and is also orthogonal to the wavelet functions for non-negative
210:{\displaystyle w(t)={\frac {e^{i4\pi t}-e^{i2\pi t}}{i2\pi t}}.}
52:, and its discrete analogue can be computed efficiently using a
1415:
or alternatively in the basis of the wavelets for non-negative
578:
However, it is possible to combine all of the negative orders (
693:{\displaystyle \varphi (t)={\frac {e^{i2\pi t}-1}{i2\pi t}}.}
582:< 0) together into a single family of "scaling" functions
36:-based linear transformation of a given function into a
2320:
2256:
2190:
1747:
1432:
1218:
1178:
1059:
966:
842:
724:
626:
588:
538:
414:
233:
127:
78:
2890:Silverman, B. W.; Vassilicos, J. C., eds. (2000).
2813:
2296:
2242:
2165:
1727:
1404:
1193:
1161:
1044:
951:
827:
692:
609:
544:
517:
399:
209:
110:
107:
2892:Wavelets: The Key to Intermittent Information?
2307:This expansion has the property, analogous to
2243:{\displaystyle {\tilde {a}}_{j,k}=a_{j,k}^{*}}
8:
48:. It can be expressed in terms of repeated
2846:Proceedings of the Royal Society of London
2297:{\displaystyle {\tilde {a}}_{k}=a_{k}^{*}}
2797:
2791:
2786:
2768:
2762:
2754:
2745:
2727:
2722:
2709:
2698:
2697:
2691:
2682:
2677:
2664:
2655:
2641:
2631:
2617:
2607:
2596:
2578:
2573:
2566:
2555:
2554:
2548:
2539:
2534:
2527:
2518:
2507:
2493:
2484:
2466:
2461:
2448:
2437:
2436:
2430:
2421:
2416:
2403:
2394:
2380:
2370:
2356:
2346:
2332:
2321:
2319:
2288:
2283:
2270:
2259:
2258:
2255:
2234:
2223:
2204:
2193:
2192:
2189:
2149:
2110:
2102:
2093:
2083:
2072:
2071:
2059:
2038:
2013:
2005:
1996:
1986:
1971:
1953:
1922:
1914:
1904:
1895:
1879:
1868:
1867:
1855:
1837:
1824:
1799:
1791:
1781:
1772:
1756:
1748:
1746:
1699:
1686:
1670:
1659:
1658:
1636:
1614:
1599:
1585:
1575:
1564:
1531:
1521:
1510:
1509:
1481:
1466:
1452:
1431:
1376:
1363:
1347:
1336:
1335:
1313:
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1276:
1262:
1252:
1238:
1217:
1177:
1145:
1132:
1088:
1072:
1064:
1058:
1029:
979:
971:
965:
935:
922:
878:
865:
855:
847:
841:
808:
794:
747:
737:
729:
723:
649:
642:
625:
587:
537:
502:
474:
443:
427:
419:
413:
380:
359:
347:
338:
328:
300:
269:
256:
246:
238:
232:
172:
150:
143:
126:
89:
77:
1419:supplemented by the scaling functions
707:is orthogonal to itself for different
7:
567:). Hence, when they are used as a
2763:
2758:
2632:
2627:
2608:
2508:
2503:
2371:
2366:
2347:
2342:
2111:
2106:
2014:
2009:
1923:
1918:
1800:
1795:
1600:
1595:
1576:
1467:
1462:
1277:
1272:
1253:
1248:
1073:
1068:
980:
975:
856:
851:
738:
733:
428:
423:
247:
242:
14:
40:. It combines advantages of the
1209:) and their complex conjugates:
2913:Boashash, Boualem, ed. (2003).
2787:
2782:
2776:
2769:
2723:
2703:
2692:
2678:
2656:
2574:
2560:
2549:
2535:
2519:
2462:
2442:
2431:
2417:
2395:
2264:
2198:
2146:
2134:
2125:
2119:
2077:
2056:
2044:
2028:
2022:
1968:
1946:
1937:
1931:
1873:
1852:
1830:
1814:
1808:
1714:
1692:
1664:
1651:
1629:
1549:
1537:
1515:
1502:
1490:
1442:
1436:
1391:
1369:
1341:
1328:
1306:
1228:
1222:
1188:
1182:
1129:
1112:
1103:
1081:
1026:
1009:
1000:
988:
919:
902:
893:
871:
791:
774:
765:
753:
636:
630:
604:
592:
499:
467:
458:
436:
325:
293:
284:
262:
137:
131:
104:
82:
72:(the "translation"), given by
1:
610:{\displaystyle \varphi (t-k)}
111:{\displaystyle w(2^{j}t-k)\!}
68:(the "level" or "order") and
38:time-frequency representation
46:continuous wavelet transform
42:short-time Fourier transform
2176:For a real-valued function
2972:
26:harmonic wavelet transform
2829:), where it can exploit
2946:Time–frequency analysis
2896:Oxford University Press
545:{\displaystyle \delta }
2867:10.1098/rspa.1993.0140
2831:fast Fourier transform
2815:
2636:
2612:
2512:
2375:
2351:
2298:
2244:
2167:
1729:
1604:
1580:
1471:
1406:
1281:
1257:
1195:
1163:
1046:
953:
829:
694:
611:
546:
519:
401:
211:
112:
54:fast Fourier transform
2816:
2613:
2592:
2489:
2352:
2328:
2299:
2245:
2168:
1730:
1581:
1560:
1448:
1407:
1258:
1234:
1196:
1164:
1047:
954:
830:
695:
612:
547:
520:
402:
212:
113:
2318:
2254:
2188:
1745:
1430:
1216:
1194:{\displaystyle f(t)}
1176:
1057:
964:
840:
722:
624:
586:
536:
412:
231:
125:
76:
30:David Edward Newland
2859:1993RSPSA.443..203N
2767:
2293:
2239:
2115:
2018:
1927:
1804:
1077:
984:
860:
742:
530:complex conjugation
432:
251:
2811:
2809:
2750:
2309:Parseval's theorem
2294:
2279:
2240:
2219:
2163:
2161:
2098:
2001:
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1725:
1402:
1191:
1159:
1060:
1042:
967:
949:
843:
825:
725:
690:
607:
542:
528:where "*" denotes
515:
415:
397:
234:
207:
108:
50:Fourier transforms
2853:(1917): 203–225.
2706:
2563:
2445:
2267:
2201:
2080:
1876:
1667:
1518:
1344:
1148:
938:
685:
554:Kronecker's delta
353:
202:
60:Harmonic wavelets
22:signal processing
2963:
2932:
2909:
2886:
2820:
2818:
2817:
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2795:
2790:
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2733:
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2707:
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2681:
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2674:
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2630:
2611:
2606:
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2583:
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2570:
2565:
2564:
2556:
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2543:
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2087:
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2081:
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2042:
2017:
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1991:
1990:
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1890:
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1877:
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1841:
1829:
1828:
1803:
1798:
1786:
1785:
1773:
1767:
1766:
1734:
1732:
1731:
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1721:
1717:
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1690:
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1640:
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1358:
1357:
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822:
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