1112:
797:
1107:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{\frac {k}{n}}\right\rfloor &=\sum _{k=0}^{k'-1}\lfloor x\rfloor +\sum _{k=k'}^{n-1}(\lfloor x\rfloor +1)=n\,\lfloor x\rfloor +n-k'\\&=n\,\lfloor x\rfloor +\lfloor n\,\{x\}\rfloor =\left\lfloor n\,\lfloor x\rfloor +n\,\{x\}\right\rfloor =\lfloor nx\rfloor .\end{aligned}}}
1480:
416:
1251:
574:
1317:
153:
1128:
295:
665:
453:
802:
1475:{\displaystyle f\left(x+{\frac {1}{n}}\right)=\left\lfloor x+{\frac {1}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {2}{n}}\right\rfloor +\ldots +\left\lfloor x+1\right\rfloor -\lfloor nx+1\rfloor =f(x)}
1533:
761:
287:
238:
445:
1682:
789:
70:
1636:
1289:
1601:
1722:
1702:
1573:
1553:
1309:
688:
186:
1246:{\displaystyle f(x)=\lfloor x\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{n}}\right\rfloor +\ldots +\left\lfloor x+{\frac {n-1}{n}}\right\rfloor -\lfloor nx\rfloor }
411:{\displaystyle \lfloor x\rfloor =\left\lfloor x+{\frac {k'-1}{n}}\right\rfloor \leq x<\left\lfloor x+{\frac {k'}{n}}\right\rfloor =\lfloor x\rfloor +1.}
585:
1746:
569:{\displaystyle 0=\left\lfloor \{x\}+{\frac {k'-1}{n}}\right\rfloor \leq \{x\}<\left\lfloor \{x\}+{\frac {k'}{n}}\right\rfloor =1.}
1772:
1754:
1821:
20:
1488:
696:
199:
243:
61:
447:
from inside the floor operations on the left and right sides of this inequality, it may be rewritten as
424:
1641:
1789:
148:{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{\frac {k}{n}}\right\rfloor =\lfloor nx\rfloor .}
1750:
1781:
1606:
1259:
1801:
1797:
193:
35:
1578:
769:
1707:
1687:
1558:
1538:
1294:
673:
171:
43:
1815:
189:
47:
27:
1770:
Matsuoka, Yoshio (1964), "Classroom Notes: On a Proof of
Hermite's Identity",
766:
Now if the summation from
Hermite's identity is split into two parts at index
39:
1704:
is equal to 0. We deduce that the function is indeed 0 for all real inputs
1793:
54:
1741:
Savchev, Svetoslav; Andreescu, Titu (2003), "12 Hermite's
Identity",
1785:
660:{\displaystyle 1-{\frac {k'}{n}}\leq \{x\}<1-{\frac {k'-1}{n}},}
16:
Gives the value of a summation involving the floor function
1684:. But in this case, the integral part of each summand in
1256:
Then the identity is clearly equivalent to the statement
1528:{\displaystyle \lfloor x+p\rfloor =\lfloor x\rfloor +p}
1710:
1690:
1644:
1609:
1581:
1561:
1541:
1491:
1320:
1297:
1262:
1131:
800:
772:
699:
676:
588:
456:
427:
298:
246:
202:
174:
73:
1716:
1696:
1676:
1630:
1595:
1567:
1547:
1527:
1474:
1303:
1283:
1245:
1106:
783:
755:
682:
659:
568:
439:
410:
281:
232:
180:
147:
1485:Where in the last equality we use the fact that
8:
1516:
1510:
1504:
1492:
1454:
1439:
1240:
1231:
1153:
1147:
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1085:
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1058:
1052:
1037:
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1021:
1015:
1009:
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969:
950:
944:
903:
897:
756:{\displaystyle n-k'\leq n\,\{x\}<n-k'+1.}
727:
721:
619:
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517:
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276:
258:
227:
221:
215:
209:
139:
130:
1745:, New Mathematical Library, vol. 43,
1709:
1689:
1663:
1643:
1608:
1585:
1580:
1560:
1540:
1490:
1393:
1364:
1335:
1319:
1296:
1261:
1205:
1170:
1130:
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1051:
1027:
1008:
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913:
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801:
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587:
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480:
455:
426:
370:
322:
297:
245:
233:{\displaystyle x=\lfloor x\rfloor +\{x\}}
201:
173:
112:
89:
78:
72:
1733:
282:{\displaystyle k'\in \{1,\ldots ,n\}}
7:
1747:Mathematical Association of America
14:
1773:The American Mathematical Monthly
1603:. It then suffices to prove that
440:{\displaystyle \lfloor x\rfloor }
421:By subtracting the same integer
164:Proof by algebraic manipulation
1671:
1651:
1619:
1613:
1469:
1463:
1272:
1266:
1141:
1135:
959:
941:
670:and multiplying both sides by
1:
1677:{\displaystyle x\in [0,1/n)}
21:Hermite's cotangent identity
46:. It states that for every
1838:
18:
19:Not to be confused with
1822:Mathematical identities
1743:Mathematical Miniatures
1122:Consider the function
240:. There is exactly one
53:and for every positive
38:, gives the value of a
1718:
1698:
1678:
1632:
1631:{\displaystyle f(x)=0}
1597:
1569:
1549:
1529:
1476:
1305:
1285:
1284:{\displaystyle f(x)=0}
1247:
1108:
940:
896:
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1719:
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1570:
1550:
1530:
1477:
1306:
1286:
1248:
1118:Proof using functions
1109:
909:
865:
805:
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758:
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1642:
1607:
1579:
1559:
1539:
1489:
1318:
1311:. But then we find,
1295:
1260:
1129:
798:
770:
697:
674:
586:
454:
425:
296:
244:
200:
172:
71:
1596:{\displaystyle 1/n}
1749:, pp. 41–44,
1714:
1694:
1674:
1628:
1593:
1565:
1545:
1525:
1472:
1301:
1281:
1243:
1104:
1102:
784:{\displaystyle k'}
781:
753:
680:
657:
566:
437:
408:
279:
230:
178:
145:
32:Hermite's identity
1717:{\displaystyle x}
1697:{\displaystyle f}
1568:{\displaystyle f}
1548:{\displaystyle p}
1535:for all integers
1401:
1372:
1343:
1304:{\displaystyle x}
1221:
1178:
851:
683:{\displaystyle n}
652:
608:
553:
501:
383:
343:
181:{\displaystyle x}
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1829:
1806:
1804:
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1605:
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1556:
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1536:
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1486:
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1100:
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197:
194:fractional part
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36:Charles Hermite
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1833:
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1656:
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719:
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702:
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656:
651:
647:
644:
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637:
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