979:
658:
8850:
1276:
5705:
2792:
1838:
343:
3749:
2489:
4339:
5218:
3380:
8648:
6787:
2168:
5440:
4784:
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6137:
4562:
1541:
5917:
7815:
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6553:
8221:
4021:
6999:
6335:
7600:
664:
8414:
4974:
7401:
2495:
985:
349:
3386:
8006:
48:, section 5.7.1). B. C. Carlson revealed a problem with the Horn function classification scheme. The total 34 Horn functions can be further categorised into 14 complete hypergeometric functions and 20 confluent hypergeometric functions. The complete functions, with their domain of convergence, are:
5446:
2174:
4027:
54:
3081:
4980:
1547:
8420:
6559:
2798:
1844:
5224:
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5711:
4568:
7606:
7005:
6341:
8012:
3755:
6793:
5923:
1282:
974:{\displaystyle F_{3}(\alpha ,\alpha ';\beta ,\beta ';\gamma ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m}(\alpha ')_{n}(\beta )_{m}(\beta ')_{n}}{(\gamma )_{m+n}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;|z|<1\land |w|<1}
7407:
8227:
4790:
7217:
2787:{\displaystyle H_{2}(\alpha ;\beta ;\gamma ;\delta ;\epsilon ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m-n}(\beta )_{m}(\gamma )_{n}(\delta )_{n}}{(\delta )_{m}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;1/|w|-|z|<1}
1271:{\displaystyle F_{4}(\alpha ;\beta ;\gamma ,\gamma ';z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}(\beta )_{m+n}}{(\gamma )_{m}(\gamma ')_{n}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;{\sqrt {|z|}}+{\sqrt {|w|}}<1}
653:{\displaystyle F_{2}(\alpha ;\beta ,\beta ';\gamma ,\gamma ';z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}(\beta )_{m}(\beta ')_{n}}{(\gamma )_{m}(\gamma ')_{n}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;|z|+|w|<1}
6143:
3744:{\displaystyle H_{5}(\alpha ;\beta ;\gamma ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{2m+n}(\beta )_{n-m}}{(\gamma )_{n}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;16|z|^{2}-36|z||w|\pm (8|z|-|w|+27|z||w|^{2})<-1}
7821:
5700:{\displaystyle \Xi _{1}\left(\alpha ,\alpha ';\beta ;\gamma ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m}(\alpha ')_{n}(\beta )_{m}}{(\gamma )_{m+n}(\gamma ')_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
2484:{\displaystyle H_{1}(\alpha ;\beta ;\gamma ;\delta ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m-n}(\beta )_{m+n}(\gamma )_{n}}{(\delta )_{m}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;4|z||w|+2|w|-|w|^{2}<1}
4334:{\displaystyle H_{7}(\alpha ;\beta ;\gamma ;\delta ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{2m-n}(\beta )_{n}(\gamma )_{n}}{(\delta )_{m}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;4|z|+2/|s|-1/|s|^{2}<1}
338:{\displaystyle F_{1}(\alpha ;\beta ,\beta ';\gamma ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}(\beta )_{m}(\beta ')_{n}}{(\gamma )_{m+n}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;|z|<1\land |w|<1}
3375:{\displaystyle H_{4}(\alpha ;\beta ;\gamma ;\delta ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{2m+n}(\beta )_{n}}{(\gamma )_{m}(\delta )_{n}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;4|z|+2|w|-|w|^{2}<1}
5213:{\displaystyle \Psi _{1}\left(\alpha ;\beta ;\gamma ,\gamma ';x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}(\beta )_{m}}{(\gamma )_{m}(\gamma ')_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
1833:{\displaystyle G_{2}(\alpha ,\alpha ';\beta ,\beta ';z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }(\alpha )_{m}(\alpha ')_{n}(\beta )_{n-m}(\beta ')_{m-n}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;|z|<1\land |w|<1}
8643:{\displaystyle H_{11}\left(\alpha ;\beta ;\gamma ;\delta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m-n}(\beta )_{n}(\gamma )_{n}}{(\delta )_{m}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
6782:{\displaystyle H_{2}\left(\alpha ;\beta ;\gamma ;\delta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m-n}(\beta )_{m}(\gamma )_{n}}{(\delta )_{m}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
3070:{\displaystyle H_{3}(\alpha ;\beta ;\gamma ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{2m+n}(\beta )_{n}}{(\gamma )_{m+n}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;|z|+|w|^{2}-|w|<0}
2163:{\displaystyle G_{3}(\alpha ,\alpha ';z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }(\alpha )_{2n-m}(\alpha ')_{2m-n}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;27|z|^{2}|w|^{2}+18|z||w|\pm 4(|z|-|w|)<1}
5435:{\displaystyle \Psi _{2}\left(\alpha ;\gamma ,\gamma ';x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}}{(\gamma )_{m}(\gamma ')_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
4557:{\displaystyle \Phi _{1}\left(\alpha ;\beta ;\gamma ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}(\beta )_{m}}{(\gamma )_{m+n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
5912:{\displaystyle \Xi _{2}\left(\alpha ;\beta ;\gamma ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m}(\alpha )_{m}}{(\gamma )_{m+n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
4779:{\displaystyle \Phi _{2}\left(\beta ,\beta ';\gamma ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\beta )_{m}(\beta ')_{n}}{(\gamma )_{m+n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
7810:{\displaystyle H_{7}\left(\alpha ;\gamma ;\delta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{2m+n}}{(\gamma )_{m}(\delta )_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
7206:{\displaystyle H_{4}\left(\alpha ;\gamma ;\delta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m-n}(\gamma )_{n}}{(\delta )_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
6548:{\displaystyle H_{1}\left(\alpha ;\beta ;\delta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m-n}(\beta )_{m+n}}{(\delta )_{m}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
8216:{\displaystyle H_{9}\left(\alpha ;\beta ;\delta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{2m-n}(\beta )_{n}}{(\delta )_{m}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
4016:{\displaystyle H_{6}(\alpha ;\beta ;\gamma ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }(\alpha )_{2m-n}(\beta )_{n-m}(\gamma )_{n}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;|z||w|^{2}+|w|<1}
6994:{\displaystyle H_{3}\left(\alpha ;\beta ;\delta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m-n}(\beta )_{m}}{(\delta )_{m}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
6132:{\displaystyle \Gamma _{1}\left(\alpha ;\beta ,\beta ';x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }(\alpha )_{m}(\beta )_{n-m}(\beta ')_{m-n}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
1536:{\displaystyle G_{1}(\alpha ;\beta ,\beta ';z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }(\alpha )_{m+n}(\beta )_{n-m}(\beta ')_{m-n}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;|z|+|w|<1}
7595:{\displaystyle H_{6}\left(\alpha ;\gamma ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{2m+n}}{(\gamma )_{m+n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
8409:{\displaystyle H_{10}\left(\alpha ;\delta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{2m-n}}{(\delta )_{m}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
4969:{\displaystyle \Phi _{3}\left(\beta ;\gamma ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\beta )_{m}}{(\gamma )_{m+n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
7396:{\displaystyle H_{5}\left(\alpha ;\delta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m-n}}{(\delta )_{m}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
6330:{\displaystyle \Gamma _{2}\left(\beta ,\beta ';x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }(\beta )_{n-m}(\beta ')_{m-n}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
8001:{\displaystyle H_{8}\left(\alpha ;\beta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }(\alpha )_{2m-n}(\beta )_{n-m}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}
8891:
8824:
8915:
8910:
8884:
8739:
8877:
8857:
33:
8794:
8820:
8805:
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8786:
8698:
17:
8834:
8752:
8712:
8830:
8819:, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd.,
8748:
8708:
8861:
8735:
8703:
8686:
8904:
8798:
8653:
Notice that some of the complete and confluent functions share the same notation.
21:
29:
8849:
8669:
8756:
8790:
36:
of order two (i.e. having two independent variables), enumerated by
8687:"The need for a new classification of double hypergeometric series"
45:
8747:, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London,
8865:
8738:; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1953),
8727:Über hypergeometrische funkionen zweier Veränderlichen
8423:
8230:
8015:
7824:
7609:
7410:
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1847:
1550:
1285:
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667:
352:
57:
8775:"Hypergeometrische Funktionen zweier Veränderlichen"
8642:
8408:
8215:
8000:
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1832:
1535:
1270:
973:
652:
337:
8674:. National Institute of Standards and Technology.
8885:
8:
8815:Srivastava, H. M.; Karlsson, Per W. (1985),
8892:
8878:
41:
8702:
8672:Digital Library of Mathematical Functions
8617:
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