3422:
75:
3414:
1118:
1128:
1096:
1064:
1108:
1086:
1076:
1054:
1044:
25:
972:
938:
902:
868:
1145:
835:
is varied from 0.0 to 1.0 in steps of 0.01. The Ikeda dynamical system is simulated for 500 steps, starting from 20000 randomly placed starting points. The last 20 points of each trajectory are plotted to depict the
576:
769:
678:
464:
1151:
1149:
1146:
207:
1150:
1148:
43:
797:
317:
1155:
The Ikeda map is composed by a rotation (by a radius-dependent angle), a rescaling, and a shift. This "stretch and fold" process gives rise to the strange attractor.
998:
964:
928:
894:
251:
343:
3711:
1030:
858:
833:
291:
271:
3541:
471:
293:
are parameters which indicate laser light applied from the outside, and linear phase across the resonator, respectively. In particular the parameter
687:
348:
The original Ikeda map is often used in another modified form in order to take the saturation effect of nonlinear dielectric medium into account:
580:
3421:
3181:
351:
1147:
3374:
108:
3321:
3654:
3696:
3384:
3889:
61:
3571:
3120:
Ikeda, K.; Daido, H.; Akimoto, O. (1980-09-01). "Optical
Turbulence: Chaotic Behavior of Transmitted Light from a Ring Cavity".
3067:
Ikeda, Kensuke (1979). "Multiple-valued stationary state and its instability of the transmitted light by a ring cavity system".
3389:
3379:
3644:
3736:
3509:
3649:
3716:
3174:
3764:
226:
medium) in a more general form. It is reduced to the above simplified "normal" form by Ikeda, Daido and
Akimoto
3468:
3413:
3629:
3394:
3301:
74:
3669:
3281:
3084:
3988:
3819:
3726:
3524:
3351:
3286:
3261:
3167:
3581:
253:
stands for the electric field inside the resonator at the n-th step of rotation in the resonator, and
3829:
3659:
3481:
3326:
3129:
3076:
812:
3089:
3789:
3746:
3731:
3576:
3529:
3514:
3499:
3399:
3331:
3306:
3291:
3276:
212:
3967:
3834:
3664:
3551:
3546:
3438:
3316:
3218:
1677:% hold on; plot(X(1,1), X(1,2), 'bo', 'markerfacecolor', 'g'); hold off
776:
3854:
3839:
3804:
3794:
3691:
3311:
3233:
3145:
3102:
800:
296:
3947:
3859:
3809:
3706:
3634:
3586:
3463:
3448:
3443:
3238:
3137:
3094:
99:
2130:
plot these many last points for 'limit' option. Will plot all points if set to zero
977:
943:
907:
873:
319:
is called dissipation parameter characterizing the loss of resonator, and in the limit of
229:
3879:
3774:
3701:
3534:
3346:
3336:
3869:
3814:
322:
3133:
3080:
3962:
3929:
3924:
3919:
3721:
3611:
3606:
3504:
3453:
3369:
3243:
2136:
plot the last few iterations of random starting points if True. Else Plot trajectories.
1015:
843:
818:
276:
256:
3982:
3957:
3914:
3904:
3899:
3799:
3779:
3639:
3561:
3458:
3266:
3098:
3909:
3874:
3784:
3741:
3596:
3591:
3190:
3556:
1036:
while the inset on the right shows a zoomed in view of the main trajectory plot.
3894:
3884:
3769:
3519:
3341:
3248:
103:
91:
3141:
1117:
3952:
3849:
3296:
1127:
1095:
1063:
223:
216:
3149:
3106:
1012:
The plots below show trajectories of 200 random points for various values of
3864:
3824:
3228:
3213:
1107:
1085:
1075:
1053:
1043:
1033:
837:
220:
1173:% 'limit' - plot the last few iterations of random starting points
3601:
3271:
3223:
1534:% Plot the last n points of the curve - to see end point or limit cycle
215:
as a model of light going around across a nonlinear optical resonator (
87:
971:
937:
901:
867:
3844:
2868:
Plot the last n points of the curve - to see end point or limit cycle
1170:% 'trajectory' - plot trajectory of random starting points
1143:
1126:
1116:
1106:
1094:
1084:
1074:
1062:
1052:
1042:
970:
936:
900:
866:
73:
3163:
3159:
1159:
The Octave/MATLAB code to generate these plots is given below:
815:
shows how the attractor of the system changes as the parameter
571:{\displaystyle x_{n+1}=1+u(x_{n}\cos t_{n}-y_{n}\sin t_{n}),\,}
18:
764:{\displaystyle t_{n}=0.4-{\frac {6}{1+x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}.}
78:
The trajectories of 2000 random points in an Ikeda map with
673:{\displaystyle y_{n+1}=u(x_{n}\sin t_{n}+y_{n}\cos t_{n}),}
2142:
display the name of the plot if the value is affirmative
1231:% plot these many last points for 'limit' option
459:{\displaystyle z_{n+1}=A+Bz_{n}e^{iK/(|z_{n}|^{2}+1)+C}}
39:
1032:. The inset plot on the left shows an estimate of the
1018:
980:
946:
910:
876:
846:
821:
779:
690:
583:
474:
354:
325:
299:
279:
259:
232:
111:
202:{\displaystyle z_{n+1}=A+Bz_{n}e^{i(|z_{n}|^{2}+C)}}
3938:
3755:
3682:
3620:
3490:
3477:
3429:
3360:
3204:
3197:
34:
may be too technical for most readers to understand
1024:
992:
958:
922:
888:
852:
827:
791:
763:
672:
570:
458:
337:
311:
285:
265:
245:
201:
3128:(9). American Physical Society (APS): 709–712.
840:. Note the bifurcation of attractor points as
3175:
2511:"""Calculate a full trajectory
8:
1384:% plot the trajectories of a bunch of points
3487:
3201:
3182:
3168:
3160:
2955:trajectory of an associated starting-point
2877:trajectory of an associated starting-point
345:the Ikeda map becomes a conservative map.
3088:
2883:number of "last" points to plot
1140:Octave/MATLAB code for point trajectories
1017:
979:
945:
909:
875:
845:
820:
778:
749:
744:
731:
726:
710:
695:
689:
658:
642:
629:
613:
588:
582:
567:
555:
539:
526:
510:
479:
473:
433:
428:
421:
412:
404:
397:
387:
359:
353:
324:
298:
278:
258:
237:
231:
182:
177:
170:
161:
154:
144:
116:
110:
62:Learn how and when to remove this message
46:, without removing the technical details.
2520:x, y - coordinates of the starting point
468:A 2D real example of the above form is:
3059:
211:The original map was proposed first by
44:make it understandable to non-experts
7:
3322:Measure-preserving dynamical system
1986:Python code for point trajectories
16:Concept in mathematics and physics
14:
3890:Oleksandr Mykolayovych Sharkovsky
3420:
3412:
23:
1689:% N is the number of iterations
3655:Rabinovich–Fabrikant equations
664:
606:
561:
503:
445:
429:
413:
409:
194:
178:
162:
158:
1:
3099:10.1016/0030-4018(79)90090-7
2523:N - the number of iterations
1267:% the random starting points
3390:Poincaré recurrence theorem
3075:(2). Elsevier BV: 257–261.
1686:% x,y is the starting point
1625:% Plot the whole trajectory
4005:
3385:Poincaré–Bendixson theorem
3142:10.1103/physrevlett.45.709
2517:u - is the ikeda parameter
1683:% u is the ikeda parameter
1201:% how many starting points
3737:Swinging Atwood's machine
3410:
3380:Krylov–Bogolyubov theorem
3257:
2946:Plot the whole trajectory
2118:number of starting points
1450:'Not implemented'
792:{\displaystyle u\geq 0.6}
3645:Lotka–Volterra equations
3469:Synchronization of chaos
3272:axiom A dynamical system
2457:compute_ikeda_trajectory
2259:compute_ikeda_trajectory
1989:
1698:compute_ikeda_trajectory
1330:compute_ikeda_trajectory
1161:
3630:Double scroll attractor
3395:Stable manifold theorem
3302:False nearest neighbors
3122:Physical Review Letters
1167:% option = what to plot
312:{\displaystyle B\leq 1}
3670:Van der Pol oscillator
3650:Mackey–Glass equations
3282:Box-counting dimension
1156:
1132:
1122:
1112:
1100:
1090:
1080:
1068:
1058:
1048:
1026:
1000:
994:
966:
960:
930:
924:
896:
890:
854:
829:
793:
765:
674:
572:
460:
339:
313:
287:
267:
247:
203:
83:
3820:Svetlana Jitomirskaya
3727:Multiscroll attractor
3572:Interval exchange map
3525:Dyadic transformation
3510:Complex quadratic map
3352:Topological conjugacy
3287:Correlation dimension
3262:Anosov diffeomorphism
3069:Optics Communications
2922:plot_ikeda_trajectory
2346:plot_ikeda_trajectory
1631:plot_ikeda_trajectory
1387:plot_ikeda_trajectory
1216:% how many iterations
1164:% u = ikeda parameter
1154:
1130:
1120:
1110:
1098:
1088:
1078:
1066:
1056:
1046:
1027:
995:
993:{\displaystyle u=0.9}
974:
961:
959:{\displaystyle u=0.7}
940:
925:
923:{\displaystyle u=0.5}
904:
891:
889:{\displaystyle u=0.3}
870:
855:
830:
794:
766:
675:
573:
461:
340:
314:
288:
268:
248:
246:{\displaystyle z_{n}}
204:
77:
3830:Edward Norton Lorenz
3000:"__main__"
2124:number of iterations
1381:'trajectory'
1016:
978:
944:
908:
874:
844:
819:
799:, this system has a
777:
688:
581:
472:
352:
323:
297:
277:
257:
230:
109:
3790:Mitchell Feigenbaum
3732:Population dynamics
3717:Hénon–Heiles system
3577:Irrational rotation
3530:Dynamical billiards
3515:Coupled map lattice
3375:Liouville's theorem
3307:Hausdorff dimension
3292:Conservative system
3277:Bifurcation diagram
3134:1980PhRvL..45..709I
3081:1979OptCo..30..257I
754:
736:
684:is a parameter and
338:{\displaystyle B=1}
98:is a discrete-time
3968:Santa Fe Institute
3835:Aleksandr Lyapunov
3665:Three-body problem
3552:Gingerbreadman map
3439:Bifurcation theory
3317:Lyapunov stability
2958:"""
2943:"""
2886:"""
2865:"""
2532:"""
2145:"""
2103:"""
1157:
1133:
1123:
1113:
1101:
1091:
1081:
1069:
1059:
1049:
1022:
1008:Point trajectories
1001:
990:
967:
956:
931:
920:
897:
886:
850:
825:
789:
761:
740:
722:
670:
568:
456:
335:
309:
283:
263:
243:
199:
84:
3976:
3975:
3840:Benoît Mandelbrot
3805:Martin Gutzwiller
3795:Peter Grassberger
3678:
3677:
3660:Rössler attractor
3408:
3407:
3312:Invariant measure
3234:Lyapunov exponent
2400:"Ikeda Map (
2001:matplotlib.pyplot
1152:
1137:
1136:
1025:{\displaystyle u}
1005:
1004:
853:{\displaystyle u}
828:{\displaystyle u}
801:chaotic attractor
756:
286:{\displaystyle C}
266:{\displaystyle A}
72:
71:
64:
3996:
3948:Butterfly effect
3860:Itamar Procaccia
3810:Brosl Hasslacher
3707:Elastic pendulum
3635:Duffing equation
3582:Kaplan–Yorke map
3500:Arnold's cat map
3488:
3464:Stability theory
3449:Dynamical system
3444:Control of chaos
3424:
3416:
3400:Takens's theorem
3332:Poincaré section
3202:
3184:
3177:
3170:
3161:
3154:
3153:
3117:
3111:
3110:
3092:
3064:
3049:
3046:
3043:
3040:
3037:
3034:
3031:
3028:
3025:
3022:
3019:
3016:
3013:
3010:
3007:
3004:
3001:
2998:
2995:
2992:
2989:
2986:
2983:
2980:
2977:
2974:
2971:
2968:
2965:
2962:
2959:
2956:
2953:
2950:
2947:
2944:
2941:
2938:
2935:
2932:
2929:
2926:
2923:
2920:
2917:
2914:
2911:
2908:
2905:
2902:
2899:
2896:
2893:
2890:
2887:
2884:
2881:
2878:
2875:
2872:
2869:
2866:
2863:
2860:
2857:
2854:
2851:
2848:
2845:
2842:
2839:
2836:
2833:
2830:
2827:
2824:
2821:
2818:
2815:
2812:
2809:
2806:
2803:
2800:
2797:
2794:
2791:
2788:
2785:
2782:
2779:
2776:
2773:
2770:
2767:
2764:
2761:
2758:
2755:
2752:
2749:
2746:
2743:
2740:
2737:
2734:
2731:
2728:
2725:
2722:
2719:
2716:
2713:
2710:
2707:
2704:
2701:
2698:
2695:
2692:
2689:
2686:
2683:
2680:
2677:
2674:
2671:
2668:
2665:
2662:
2659:
2656:
2653:
2650:
2647:
2644:
2641:
2638:
2635:
2632:
2629:
2626:
2623:
2620:
2617:
2614:
2611:
2608:
2605:
2602:
2599:
2596:
2593:
2590:
2587:
2584:
2581:
2578:
2575:
2572:
2569:
2566:
2563:
2560:
2557:
2554:
2551:
2548:
2545:
2542:
2539:
2536:
2533:
2530:
2527:
2524:
2521:
2518:
2515:
2512:
2509:
2506:
2503:
2500:
2497:
2494:
2491:
2488:
2485:
2482:
2479:
2476:
2473:
2470:
2467:
2464:
2461:
2458:
2455:
2452:
2449:
2446:
2443:
2440:
2437:
2434:
2431:
2428:
2425:
2422:
2419:
2416:
2413:
2410:
2407:
2404:
2401:
2398:
2395:
2392:
2389:
2386:
2383:
2380:
2377:
2374:
2371:
2368:
2365:
2362:
2359:
2356:
2353:
2350:
2347:
2344:
2341:
2338:
2335:
2332:
2329:
2326:
2323:
2320:
2317:
2314:
2311:
2308:
2305:
2302:
2299:
2296:
2293:
2290:
2287:
2284:
2281:
2278:
2275:
2272:
2269:
2266:
2263:
2260:
2257:
2254:
2251:
2248:
2245:
2242:
2239:
2236:
2233:
2230:
2227:
2224:
2221:
2218:
2215:
2212:
2209:
2206:
2203:
2200:
2197:
2194:
2191:
2188:
2185:
2182:
2179:
2176:
2173:
2170:
2167:
2164:
2161:
2158:
2155:
2152:
2149:
2146:
2143:
2140:
2137:
2134:
2131:
2128:
2125:
2122:
2119:
2116:
2113:
2110:
2107:
2104:
2101:
2098:
2095:
2092:
2089:
2086:
2083:
2080:
2077:
2074:
2071:
2068:
2065:
2062:
2059:
2056:
2053:
2050:
2047:
2044:
2041:
2038:
2035:
2032:
2029:
2026:
2023:
2020:
2017:
2014:
2011:
2008:
2005:
2002:
1999:
1996:
1993:
1981:
1978:
1975:
1972:
1969:
1966:
1963:
1960:
1957:
1954:
1951:
1948:
1945:
1942:
1939:
1936:
1933:
1930:
1927:
1924:
1921:
1918:
1915:
1912:
1909:
1906:
1903:
1900:
1897:
1894:
1891:
1888:
1885:
1882:
1879:
1876:
1873:
1870:
1867:
1864:
1861:
1858:
1855:
1852:
1849:
1846:
1843:
1840:
1837:
1834:
1831:
1828:
1825:
1822:
1819:
1816:
1813:
1809:
1806:
1803:
1799:
1796:
1793:
1790:
1787:
1784:
1781:
1778:
1775:
1772:
1769:
1766:
1763:
1760:
1757:
1754:
1751:
1748:
1745:
1742:
1739:
1736:
1733:
1730:
1727:
1724:
1721:
1718:
1715:
1712:
1709:
1706:
1702:
1699:
1696:
1693:
1690:
1687:
1684:
1681:
1678:
1675:
1672:
1669:
1666:
1663:
1660:
1657:
1654:
1651:
1648:
1645:
1642:
1639:
1635:
1632:
1629:
1626:
1623:
1620:
1617:
1614:
1611:
1608:
1605:
1602:
1599:
1596:
1593:
1590:
1587:
1584:
1581:
1578:
1575:
1572:
1569:
1566:
1563:
1560:
1557:
1554:
1551:
1548:
1544:
1541:
1538:
1535:
1532:
1529:
1526:
1523:
1520:
1517:
1514:
1511:
1508:
1505:
1502:
1499:
1496:
1493:
1490:
1487:
1484:
1481:
1478:
1475:
1472:
1469:
1466:
1463:
1460:
1457:
1454:
1451:
1448:
1445:
1442:
1439:
1436:
1433:
1430:
1427:
1424:
1421:
1418:
1415:
1412:
1409:
1406:
1403:
1400:
1397:
1394:
1391:
1388:
1385:
1382:
1379:
1376:
1373:
1370:
1367:
1364:
1361:
1358:
1355:
1352:
1349:
1346:
1343:
1340:
1337:
1334:
1331:
1328:
1325:
1322:
1319:
1316:
1313:
1310:
1307:
1304:
1301:
1298:
1295:
1292:
1289:
1286:
1283:
1280:
1277:
1274:
1271:
1268:
1265:
1262:
1259:
1256:
1253:
1250:
1247:
1244:
1241:
1238:
1235:
1232:
1229:
1226:
1223:
1220:
1217:
1214:
1211:
1208:
1205:
1202:
1199:
1196:
1193:
1190:
1187:
1183:
1180:
1177:
1174:
1171:
1168:
1165:
1153:
1039:
1038:
1031:
1029:
1028:
1023:
999:
997:
996:
991:
965:
963:
962:
957:
929:
927:
926:
921:
895:
893:
892:
887:
863:
862:
859:
857:
856:
851:
834:
832:
831:
826:
798:
796:
795:
790:
770:
768:
767:
762:
757:
755:
753:
748:
735:
730:
711:
700:
699:
679:
677:
676:
671:
663:
662:
647:
646:
634:
633:
618:
617:
599:
598:
577:
575:
574:
569:
560:
559:
544:
543:
531:
530:
515:
514:
490:
489:
465:
463:
462:
457:
455:
454:
438:
437:
432:
426:
425:
416:
408:
392:
391:
370:
369:
344:
342:
341:
336:
318:
316:
315:
310:
292:
290:
289:
284:
272:
270:
269:
264:
252:
250:
249:
244:
242:
241:
208:
206:
205:
200:
198:
197:
187:
186:
181:
175:
174:
165:
149:
148:
127:
126:
100:dynamical system
67:
60:
56:
53:
47:
27:
26:
19:
4004:
4003:
3999:
3998:
3997:
3995:
3994:
3993:
3979:
3978:
3977:
3972:
3940:
3934:
3880:Caroline Series
3775:Mary Cartwright
3757:
3751:
3702:Double pendulum
3684:
3674:
3623:
3616:
3542:Exponential map
3493:
3479:
3473:
3431:
3425:
3418:
3404:
3370:Ergodic theorem
3363:
3356:
3347:Stable manifold
3337:Recurrence plot
3253:
3207:
3193:
3188:
3158:
3157:
3119:
3118:
3114:
3090:10.1.1.158.7964
3066:
3065:
3061:
3056:
3051:
3050:
3047:
3044:
3041:
3038:
3035:
3032:
3029:
3026:
3023:
3020:
3017:
3014:
3011:
3008:
3005:
3002:
2999:
2996:
2993:
2990:
2987:
2984:
2981:
2978:
2975:
2972:
2969:
2966:
2963:
2960:
2957:
2954:
2951:
2948:
2945:
2942:
2939:
2936:
2933:
2930:
2927:
2924:
2921:
2918:
2915:
2912:
2909:
2906:
2903:
2900:
2897:
2894:
2891:
2888:
2885:
2882:
2879:
2876:
2873:
2870:
2867:
2864:
2861:
2858:
2855:
2852:
2849:
2846:
2843:
2840:
2837:
2834:
2831:
2828:
2825:
2822:
2819:
2816:
2813:
2810:
2807:
2804:
2801:
2798:
2795:
2792:
2789:
2786:
2783:
2780:
2777:
2774:
2771:
2768:
2765:
2762:
2759:
2756:
2753:
2750:
2747:
2744:
2741:
2738:
2735:
2732:
2729:
2726:
2723:
2720:
2717:
2714:
2711:
2708:
2705:
2702:
2699:
2696:
2693:
2690:
2687:
2684:
2681:
2678:
2675:
2672:
2669:
2666:
2663:
2660:
2657:
2654:
2651:
2648:
2645:
2642:
2639:
2636:
2633:
2630:
2627:
2624:
2621:
2618:
2615:
2612:
2609:
2606:
2603:
2600:
2597:
2594:
2591:
2588:
2585:
2582:
2579:
2576:
2573:
2570:
2567:
2564:
2561:
2558:
2555:
2552:
2549:
2546:
2543:
2540:
2537:
2534:
2531:
2528:
2525:
2522:
2519:
2516:
2513:
2510:
2507:
2504:
2501:
2498:
2495:
2492:
2489:
2486:
2483:
2480:
2477:
2474:
2471:
2468:
2465:
2462:
2459:
2456:
2453:
2450:
2447:
2444:
2441:
2438:
2435:
2432:
2429:
2426:
2423:
2420:
2417:
2414:
2411:
2408:
2405:
2402:
2399:
2396:
2393:
2390:
2387:
2384:
2381:
2378:
2375:
2372:
2369:
2366:
2363:
2360:
2357:
2354:
2351:
2348:
2345:
2342:
2339:
2336:
2333:
2330:
2327:
2324:
2321:
2318:
2315:
2312:
2309:
2306:
2303:
2300:
2297:
2294:
2291:
2288:
2285:
2282:
2279:
2276:
2273:
2270:
2267:
2264:
2261:
2258:
2255:
2252:
2249:
2246:
2243:
2240:
2237:
2234:
2231:
2228:
2225:
2222:
2219:
2216:
2213:
2210:
2207:
2204:
2201:
2198:
2195:
2192:
2189:
2186:
2183:
2180:
2177:
2174:
2171:
2168:
2165:
2162:
2159:
2156:
2153:
2150:
2147:
2144:
2141:
2138:
2135:
2132:
2129:
2126:
2123:
2120:
2117:
2114:
2112:ikeda parameter
2111:
2108:
2105:
2102:
2099:
2096:
2093:
2090:
2087:
2084:
2081:
2078:
2075:
2072:
2069:
2066:
2063:
2060:
2057:
2054:
2051:
2048:
2045:
2042:
2039:
2036:
2033:
2030:
2027:
2024:
2021:
2018:
2015:
2012:
2009:
2006:
2003:
2000:
1997:
1994:
1991:
1988:
1983:
1982:
1979:
1976:
1973:
1970:
1967:
1964:
1961:
1958:
1955:
1952:
1949:
1946:
1943:
1940:
1937:
1934:
1931:
1928:
1925:
1922:
1919:
1916:
1913:
1910:
1907:
1904:
1901:
1898:
1895:
1892:
1889:
1886:
1883:
1880:
1877:
1874:
1871:
1868:
1865:
1862:
1859:
1856:
1853:
1850:
1847:
1844:
1841:
1838:
1835:
1832:
1829:
1826:
1823:
1820:
1817:
1814:
1811:
1807:
1804:
1801:
1797:
1794:
1791:
1788:
1785:
1782:
1779:
1776:
1773:
1770:
1767:
1764:
1761:
1758:
1755:
1752:
1749:
1746:
1743:
1740:
1737:
1734:
1731:
1728:
1725:
1722:
1719:
1716:
1713:
1710:
1707:
1704:
1700:
1697:
1694:
1691:
1688:
1685:
1682:
1679:
1676:
1673:
1670:
1667:
1664:
1661:
1658:
1655:
1652:
1649:
1646:
1643:
1640:
1637:
1633:
1630:
1627:
1624:
1621:
1618:
1615:
1612:
1609:
1606:
1603:
1600:
1597:
1594:
1591:
1588:
1585:
1582:
1579:
1576:
1573:
1570:
1567:
1564:
1561:
1558:
1555:
1552:
1549:
1546:
1542:
1539:
1536:
1533:
1530:
1527:
1524:
1521:
1518:
1515:
1512:
1509:
1506:
1503:
1500:
1497:
1494:
1491:
1488:
1485:
1482:
1479:
1476:
1473:
1470:
1467:
1464:
1461:
1458:
1455:
1452:
1449:
1446:
1443:
1440:
1437:
1434:
1431:
1428:
1425:
1422:
1419:
1416:
1413:
1411:'limit'
1410:
1407:
1404:
1401:
1398:
1395:
1392:
1389:
1386:
1383:
1380:
1377:
1374:
1371:
1368:
1365:
1362:
1359:
1356:
1353:
1350:
1347:
1344:
1341:
1338:
1335:
1332:
1329:
1326:
1323:
1320:
1317:
1314:
1311:
1308:
1305:
1302:
1299:
1296:
1293:
1290:
1287:
1284:
1281:
1278:
1275:
1272:
1269:
1266:
1263:
1260:
1257:
1254:
1251:
1248:
1245:
1242:
1239:
1236:
1233:
1230:
1227:
1224:
1221:
1218:
1215:
1212:
1209:
1206:
1203:
1200:
1197:
1194:
1191:
1188:
1185:
1181:
1178:
1175:
1172:
1169:
1166:
1163:
1144:
1142:
1014:
1013:
1010:
976:
975:
942:
941:
906:
905:
872:
871:
842:
841:
817:
816:
809:
775:
774:
715:
691:
686:
685:
654:
638:
625:
609:
584:
579:
578:
551:
535:
522:
506:
475:
470:
469:
427:
417:
393:
383:
355:
350:
349:
321:
320:
295:
294:
275:
274:
255:
254:
233:
228:
227:
176:
166:
150:
140:
112:
107:
106:
68:
57:
51:
48:
40:help improve it
37:
28:
24:
17:
12:
11:
5:
4002:
4000:
3992:
3991:
3981:
3980:
3974:
3973:
3971:
3970:
3965:
3963:Predictability
3960:
3955:
3950:
3944:
3942:
3936:
3935:
3933:
3932:
3930:Lai-Sang Young
3927:
3925:James A. Yorke
3922:
3920:Amie Wilkinson
3917:
3912:
3907:
3902:
3897:
3892:
3887:
3882:
3877:
3872:
3867:
3862:
3857:
3855:Henri Poincaré
3852:
3847:
3842:
3837:
3832:
3827:
3822:
3817:
3812:
3807:
3802:
3797:
3792:
3787:
3782:
3777:
3772:
3767:
3761:
3759:
3753:
3752:
3750:
3749:
3744:
3739:
3734:
3729:
3724:
3722:Kicked rotator
3719:
3714:
3709:
3704:
3699:
3694:
3692:Chua's circuit
3688:
3686:
3680:
3679:
3676:
3675:
3673:
3672:
3667:
3662:
3657:
3652:
3647:
3642:
3637:
3632:
3626:
3624:
3621:
3618:
3617:
3615:
3614:
3612:Zaslavskii map
3609:
3607:Tinkerbell map
3604:
3599:
3594:
3589:
3584:
3579:
3574:
3569:
3564:
3559:
3554:
3549:
3544:
3539:
3538:
3537:
3527:
3522:
3517:
3512:
3507:
3502:
3496:
3494:
3491:
3485:
3475:
3474:
3472:
3471:
3466:
3461:
3456:
3454:Ergodic theory
3451:
3446:
3441:
3435:
3433:
3427:
3426:
3411:
3409:
3406:
3405:
3403:
3402:
3397:
3392:
3387:
3382:
3377:
3372:
3366:
3364:
3361:
3358:
3357:
3355:
3354:
3349:
3344:
3339:
3334:
3329:
3324:
3319:
3314:
3309:
3304:
3299:
3294:
3289:
3284:
3279:
3274:
3269:
3264:
3258:
3255:
3254:
3252:
3251:
3246:
3244:Periodic point
3241:
3236:
3231:
3226:
3221:
3216:
3210:
3208:
3205:
3199:
3195:
3194:
3189:
3187:
3186:
3179:
3172:
3164:
3156:
3155:
3112:
3058:
3057:
3055:
3052:
2121:iterations:int
1990:
1987:
1984:
1162:
1141:
1138:
1135:
1134:
1124:
1114:
1103:
1102:
1092:
1082:
1071:
1070:
1060:
1050:
1021:
1009:
1006:
1003:
1002:
989:
986:
983:
968:
955:
952:
949:
933:
932:
919:
916:
913:
898:
885:
882:
879:
860:is increased.
849:
824:
808:
805:
788:
785:
782:
760:
752:
747:
743:
739:
734:
729:
725:
721:
718:
714:
709:
706:
703:
698:
694:
669:
666:
661:
657:
653:
650:
645:
641:
637:
632:
628:
624:
621:
616:
612:
608:
605:
602:
597:
594:
591:
587:
566:
563:
558:
554:
550:
547:
542:
538:
534:
529:
525:
521:
518:
513:
509:
505:
502:
499:
496:
493:
488:
485:
482:
478:
453:
450:
447:
444:
441:
436:
431:
424:
420:
415:
411:
407:
403:
400:
396:
390:
386:
382:
379:
376:
373:
368:
365:
362:
358:
334:
331:
328:
308:
305:
302:
282:
262:
240:
236:
196:
193:
190:
185:
180:
173:
169:
164:
160:
157:
153:
147:
143:
139:
136:
133:
130:
125:
122:
119:
115:
70:
69:
31:
29:
22:
15:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
4001:
3990:
3987:
3986:
3984:
3969:
3966:
3964:
3961:
3959:
3958:Edge of chaos
3956:
3954:
3951:
3949:
3946:
3945:
3943:
3937:
3931:
3928:
3926:
3923:
3921:
3918:
3916:
3915:Marcelo Viana
3913:
3911:
3908:
3906:
3905:Audrey Terras
3903:
3901:
3900:Floris Takens
3898:
3896:
3893:
3891:
3888:
3886:
3883:
3881:
3878:
3876:
3873:
3871:
3868:
3866:
3863:
3861:
3858:
3856:
3853:
3851:
3848:
3846:
3843:
3841:
3838:
3836:
3833:
3831:
3828:
3826:
3823:
3821:
3818:
3816:
3813:
3811:
3808:
3806:
3803:
3801:
3800:Celso Grebogi
3798:
3796:
3793:
3791:
3788:
3786:
3783:
3781:
3780:Chen Guanrong
3778:
3776:
3773:
3771:
3768:
3766:
3765:Michael Berry
3763:
3762:
3760:
3754:
3748:
3745:
3743:
3740:
3738:
3735:
3733:
3730:
3728:
3725:
3723:
3720:
3718:
3715:
3713:
3710:
3708:
3705:
3703:
3700:
3698:
3695:
3693:
3690:
3689:
3687:
3681:
3671:
3668:
3666:
3663:
3661:
3658:
3656:
3653:
3651:
3648:
3646:
3643:
3641:
3640:Lorenz system
3638:
3636:
3633:
3631:
3628:
3627:
3625:
3619:
3613:
3610:
3608:
3605:
3603:
3600:
3598:
3595:
3593:
3590:
3588:
3587:Langton's ant
3585:
3583:
3580:
3578:
3575:
3573:
3570:
3568:
3565:
3563:
3562:Horseshoe map
3560:
3558:
3555:
3553:
3550:
3548:
3545:
3543:
3540:
3536:
3533:
3532:
3531:
3528:
3526:
3523:
3521:
3518:
3516:
3513:
3511:
3508:
3506:
3503:
3501:
3498:
3497:
3495:
3489:
3486:
3483:
3476:
3470:
3467:
3465:
3462:
3460:
3459:Quantum chaos
3457:
3455:
3452:
3450:
3447:
3445:
3442:
3440:
3437:
3436:
3434:
3428:
3423:
3419:
3415:
3401:
3398:
3396:
3393:
3391:
3388:
3386:
3383:
3381:
3378:
3376:
3373:
3371:
3368:
3367:
3365:
3359:
3353:
3350:
3348:
3345:
3343:
3340:
3338:
3335:
3333:
3330:
3328:
3325:
3323:
3320:
3318:
3315:
3313:
3310:
3308:
3305:
3303:
3300:
3298:
3295:
3293:
3290:
3288:
3285:
3283:
3280:
3278:
3275:
3273:
3270:
3268:
3267:Arnold tongue
3265:
3263:
3260:
3259:
3256:
3250:
3247:
3245:
3242:
3240:
3237:
3235:
3232:
3230:
3227:
3225:
3222:
3220:
3217:
3215:
3212:
3211:
3209:
3203:
3200:
3196:
3192:
3185:
3180:
3178:
3173:
3171:
3166:
3165:
3162:
3151:
3147:
3143:
3139:
3135:
3131:
3127:
3123:
3116:
3113:
3108:
3104:
3100:
3096:
3091:
3086:
3082:
3078:
3074:
3070:
3063:
3060:
3053:
2985:"k"
1985:
1160:
1139:
1129:
1125:
1119:
1115:
1109:
1105:
1104:
1097:
1093:
1087:
1083:
1077:
1073:
1072:
1065:
1061:
1055:
1051:
1045:
1041:
1040:
1037:
1035:
1019:
1007:
987:
984:
981:
973:
969:
953:
950:
947:
939:
935:
934:
917:
914:
911:
903:
899:
883:
880:
877:
869:
865:
864:
861:
847:
839:
822:
814:
806:
804:
802:
786:
783:
780:
771:
758:
750:
745:
741:
737:
732:
727:
723:
719:
716:
712:
707:
704:
701:
696:
692:
683:
667:
659:
655:
651:
648:
643:
639:
635:
630:
626:
622:
619:
614:
610:
603:
600:
595:
592:
589:
585:
564:
556:
552:
548:
545:
540:
536:
532:
527:
523:
519:
516:
511:
507:
500:
497:
494:
491:
486:
483:
480:
476:
466:
451:
448:
442:
439:
434:
422:
418:
405:
401:
398:
394:
388:
384:
380:
377:
374:
371:
366:
363:
360:
356:
346:
332:
329:
326:
306:
303:
300:
280:
260:
238:
234:
225:
222:
219:containing a
218:
214:
213:Kensuke Ikeda
209:
191:
188:
183:
171:
167:
155:
151:
145:
141:
137:
134:
131:
128:
123:
120:
117:
113:
105:
102:given by the
101:
97:
93:
89:
81:
76:
66:
63:
55:
45:
41:
35:
32:This article
30:
21:
20:
3989:Chaotic maps
3910:Mary Tsingou
3875:David Ruelle
3870:Otto Rössler
3815:Michel HĂ©non
3785:Leon O. Chua
3742:Tilt-A-Whirl
3712:FPUT problem
3597:Standard map
3592:Logistic map
3566:
3417:
3191:Chaos theory
3125:
3121:
3115:
3072:
3068:
3062:
2913:'ko'
1616:'ko'
1158:
1011:
810:
772:
681:
467:
347:
210:
95:
85:
79:
58:
49:
33:
3895:Nina Snaith
3885:Yakov Sinai
3770:Rufus Bowen
3520:Duffing map
3505:Baker's map
3430:Theoretical
3342:SRB measure
3249:Phase space
3219:Bifurcation
2952:X: np.array
2874:X: np.array
1671:'k'
217:ring cavity
104:complex map
92:mathematics
3953:Complexity
3850:Edward Ott
3697:Convection
3622:Continuous
3297:Ergodicity
3054:References
2832:plot_limit
2424:iterations
2298:plot_limit
2283:iterations
2133:limit:bool
2115:points:int
2055:iterations
1703:u, x, y, N
1540:plot_limit
1414:plot_limit
224:dielectric
3865:Mary Rees
3825:Bryna Kra
3758:theorists
3567:Ikeda map
3557:HĂ©non map
3547:Gauss map
3229:Limit set
3214:Attractor
3150:0031-9007
3107:0030-4018
3085:CiteSeerX
2529:An array.
1441:otherwise
1184:u, option
1121:u = 0.908
1034:attractor
838:attractor
813:animation
807:Attractor
784:≥
708:−
652:
623:
549:
533:−
520:
304:≤
221:nonlinear
96:Ikeda map
52:June 2016
3983:Category
3941:articles
3683:Physical
3602:Tent map
3492:Discrete
3432:branches
3362:Theorems
3198:Concepts
2994:__name__
2526:Returns:
2127:nlim:int
1692:function
1628:function
1537:function
1176:function
1131:u = 0.92
1099:u = 0.85
1067:u = 0.65
82:= 0.918.
3939:Related
3747:Weather
3685:systems
3478:Chaotic
3224:Fractal
3130:Bibcode
3077:Bibcode
2430:)"
2109:u:float
1111:u = 0.9
1089:u = 0.8
1079:u = 0.7
1057:u = 0.5
1047:u = 0.1
88:physics
38:Please
3845:Hee Oh
3480:maps (
3327:Mixing
3148:
3105:
3087:
2880:n: int
2823:return
2448:return
2247:points
2220:points
2208:random
2178:points
2166:random
2139:title:
2043:points
2010:import
1998:import
1992:import
1426:Nlimit
1375:option
1372:switch
1219:Nlimit
680:where
94:, the
3756:Chaos
3535:outer
3239:Orbit
3018:limit
2949:Args:
2934:->
2871:Args:
2856:->
2598:array
2574:range
2547:zeros
2514:Args:
2493:float
2481:float
2469:float
2439:title
2391:title
2292:limit
2241:range
2214:randn
2172:randn
2106:Args:
2091:title
2085:False
2079:limit
2037:float
2013:numpy
1714:zeros
1474:equal
1465:tight
1276:randn
1240:randn
1179:ikeda
811:This
3482:list
3206:Core
3146:ISSN
3103:ISSN
3045:show
3030:nlim
3024:True
3006:main
2967:plot
2937:None
2895:plot
2859:None
2787:math
2760:math
2721:math
2694:math
2445:None
2442:else
2340:else
2310:nlim
2097:True
2067:nlim
2061:1000
2025:main
1995:math
1641:plot
1550:plot
1545:X, n
1504:text
1477:text
1471:axis
1462:axis
1444:disp
1432:hold
1408:case
1399:hold
1378:case
1210:1000
773:For
273:and
90:and
3138:doi
3095:doi
3012:0.9
2961:plt
2919:def
2889:plt
2850:int
2829:def
2793:cos
2766:sin
2727:sin
2700:cos
2622:0.4
2565:for
2505:int
2454:def
2451:plt
2412:.2g
2385:plt
2337:1.8
2328:2.5
2232:for
2049:200
2022:def
2007:plt
1980:end
1977:end
1929:));
1920:cos
1899:sin
1875:));
1866:sin
1845:cos
1777:0.4
1753:for
1680:end
1662:(:,
1650:(:,
1622:end
1604:end
1592:end
1574:end
1562:end
1531:end
1459:end
1456:end
1303:for
1195:200
988:0.9
954:0.7
918:0.5
884:0.3
787:0.6
705:0.4
649:cos
620:sin
546:sin
517:cos
86:In
42:to
3985::
3144:.
3136:.
3126:45
3124:.
3101:.
3093:.
3083:.
3073:30
3071:.
3048:()
2997:==
2991:if
2820:y1
2811:x1
2802:))
2739:y1
2736:))
2667:x1
2658:**
2646:**
2613:))
2601:((
2592:np
2583:):
2571:in
2562:))
2550:((
2541:np
2508:):
2436:if
2427:=}
2418:,
2409:=:
2382:26
2373:30
2364:ty
2358:tx
2322:ty
2316:tx
2289:if
2250:):
2238:in
2202:np
2196:10
2160:np
2154:10
2100:):
2073:20
2019:np
2016:as
2004:as
1968::)
1950:y1
1938:x1
1878:y1
1818:x1
1815:);
1744::)
1729:);
1674:);
1668:),
1656:),
1619:);
1613:),
1583:),
1528:);
1522:18
1513:25
1501:);
1495:15
1486:25
1453:);
1435:on
1429:);
1402:on
1396:);
1369:);
1363:),
1351:),
1297:10
1261:10
1225:20
803:.
3484:)
3183:e
3176:t
3169:v
3152:.
3140::
3132::
3109:.
3097::
3079::
3042:.
3039:)
3036:0
3033:=
3027:,
3021:=
3015:,
3009:(
3003::
2988:)
2982:,
2979:X
2976:,
2973:X
2970:(
2964:.
2940::
2931:)
2928:X
2925:(
2916:)
2910:,
2907:X
2904:,
2901:X
2898:(
2892:.
2862::
2853:)
2847::
2844:n
2841:,
2838:X
2835:(
2826:X
2817:=
2814:y
2808:=
2805:x
2799:t
2796:(
2790:.
2784:*
2781:y
2778:+
2775:)
2772:t
2769:(
2763:.
2757:*
2754:x
2751:(
2748:*
2745:u
2742:=
2733:t
2730:(
2724:.
2718:*
2715:y
2712:-
2709:)
2706:t
2703:(
2697:.
2691:*
2688:x
2685:(
2682:*
2679:u
2676:+
2673:1
2670:=
2664:)
2661:2
2655:y
2652:+
2649:2
2643:x
2640:+
2637:1
2634:(
2631:/
2628:6
2625:-
2619:=
2616:t
2610:y
2607:,
2604:x
2595:.
2589:=
2586:X
2580:N
2577:(
2568:n
2559:2
2556:,
2553:N
2544:.
2538:=
2535:X
2502::
2499:N
2496:,
2490::
2487:y
2484:,
2478::
2475:x
2472:,
2466::
2463:u
2460:(
2433:)
2421:{
2415:}
2406:u
2403:{
2397:f
2394:(
2388:.
2379:-
2376:,
2370:-
2367:=
2361:,
2355:)
2352:X
2349:(
2343::
2334:-
2331:,
2325:=
2319:,
2313:)
2307:,
2304:X
2301:(
2295::
2286:)
2280:,
2277:y
2274:,
2271:x
2268:,
2265:u
2262:(
2256:=
2253:X
2244:(
2235:n
2229:)
2226:1
2223:,
2217:(
2211:.
2205:.
2199:*
2193:=
2190:y
2187:)
2184:1
2181:,
2175:(
2169:.
2163:.
2157:*
2151:=
2148:x
2094:=
2088:,
2082:=
2076:,
2070:=
2064:,
2058:=
2052:,
2046:=
2040:,
2034::
2031:u
2028:(
1974:;
1971:=
1965:,
1962:n
1959:(
1956:X
1953:;
1947:=
1944:y
1941:;
1935:=
1932:x
1926:t
1923:(
1917:*
1914:y
1911:+
1908:)
1905:t
1902:(
1896:*
1893:x
1890:(
1887:*
1884:u
1881:=
1872:t
1869:(
1863:*
1860:y
1857:-
1854:)
1851:t
1848:(
1842:*
1839:x
1836:(
1833:*
1830:u
1827:+
1824:1
1821:=
1812:2
1810:^
1808:y
1805:+
1802:2
1800:^
1798:x
1795:+
1792:1
1789:(
1786:/
1783:6
1780:-
1774:=
1771:t
1768:N
1765::
1762:2
1759:=
1756:n
1750:;
1747:=
1741:,
1738:1
1735:(
1732:X
1726:2
1723:,
1720:N
1717:(
1711:=
1708:X
1705:)
1701:(
1695:=
1665:2
1659:X
1653:1
1647:X
1644:(
1638:)
1636:X
1634:(
1610:2
1607:,
1601::
1598:n
1595:-
1589:(
1586:X
1580:1
1577:,
1571::
1568:n
1565:-
1559:(
1556:X
1553:(
1547:)
1543:(
1525:,
1519:-
1516:,
1510:-
1507:(
1498:,
1492:-
1489:,
1483:-
1480:(
1468:;
1447:(
1438:;
1423:,
1420:X
1417:(
1405:;
1393:X
1390:(
1366:N
1360:n
1357:(
1354:y
1348:n
1345:(
1342:x
1339:,
1336:u
1333:(
1327:=
1324:X
1321:,
1318:P
1315::
1312:1
1309:=
1306:n
1300:;
1294:*
1291:)
1288:P
1285:,
1282:1
1279:(
1273:=
1270:y
1264:;
1258:*
1255:)
1252:P
1249:,
1246:1
1243:(
1237:=
1234:x
1228:;
1222:=
1213:;
1207:=
1204:N
1198:;
1192:=
1189:P
1186:)
1182:(
1020:u
985:=
982:u
951:=
948:u
915:=
912:u
881:=
878:u
848:u
823:u
781:u
759:.
751:2
746:n
742:y
738:+
733:2
728:n
724:x
720:+
717:1
713:6
702:=
697:n
693:t
682:u
668:,
665:)
660:n
656:t
644:n
640:y
636:+
631:n
627:t
615:n
611:x
607:(
604:u
601:=
596:1
593:+
590:n
586:y
565:,
562:)
557:n
553:t
541:n
537:y
528:n
524:t
512:n
508:x
504:(
501:u
498:+
495:1
492:=
487:1
484:+
481:n
477:x
452:C
449:+
446:)
443:1
440:+
435:2
430:|
423:n
419:z
414:|
410:(
406:/
402:K
399:i
395:e
389:n
385:z
381:B
378:+
375:A
372:=
367:1
364:+
361:n
357:z
333:1
330:=
327:B
307:1
301:B
281:C
261:A
239:n
235:z
195:)
192:C
189:+
184:2
179:|
172:n
168:z
163:|
159:(
156:i
152:e
146:n
142:z
138:B
135:+
132:A
129:=
124:1
121:+
118:n
114:z
80:u
65:)
59:(
54:)
50:(
36:.
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
