1436:
1080:
1169:
1540:
1347:
1258:
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869:
780:
183:
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363:
285:
1381:
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1567:
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669:
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814:
1857:
1838:
724:
131:
1876:
365:. Intuitively, these are the sets of natural numbers that we describe only with reference to the functions they index.
290:
330:
1791:, Theory and Applications of Computability, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, pp. 51–78,
1431:{\displaystyle \mathrm {Ext} =\{e\,:\,\varphi _{e}{\text{ is extendible to a total computable function}}\}}
520:
256:
98:
20:
384:
212:
107:
1572:
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1625:
1545:
1441:
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1263:
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648:
603:
574:
526:
1075:{\displaystyle \mathrm {Tot} =\{e\,:\,\varphi _{e}{\text{ is total}}\}=\{e:W_{e}=\mathbb {N} \}}
1853:
1834:
1800:
1726:
1652:
1174:
1085:
963:
785:
694:
511:
Rice's theorem says "any nontrivial property of partial computable functions is undecidable".
374:
1792:
31:; specifically, they give all indices of functions in a certain class, according to a fixed
73:
1595:
373:
Most index sets are non-computable, aside from two trivial exceptions. This is stated in
32:
1679:
1605:
674:
654:
630:
553:
468:
448:
428:
408:
236:
188:
1870:
1164:{\displaystyle \mathrm {Con} =\{e\,:\,\varphi _{e}{\text{ is total and constant}}\}}
1784:
1535:{\displaystyle \mathrm {Cpl} =\{e\,:\,W_{e}\equiv _{\mathrm {T} }\mathrm {HP} \}}
519:
Index sets provide many examples of sets which are complete at some level of the
1796:
1342:{\displaystyle \mathrm {Rec} =\{e\,:\,W_{e}{\text{ is computable}}\}}
70:
be a computable enumeration of all partial computable functions, and
1253:{\displaystyle \mathrm {Cof} =\{e\,:\,W_{e}{\text{ is cofinite}}\}}
953:{\displaystyle \mathrm {Inf} =\{e\,:\,W_{e}{\text{ is infinite}}\}}
864:{\displaystyle \mathrm {Fin} =\{e\,:\,W_{e}{\text{ is finite}}\}}
405:
be a class of partial computable functions with its index set
718:-completeness is defined similarly. Here are some examples:
390:
218:
167:
113:
775:{\displaystyle \mathrm {Emp} =\{e\,:\,W_{e}=\varnothing \}}
178:{\displaystyle A=\{x\,:\,\varphi _{x}\in {\mathcal {A}}\}}
1850:
Theory of
Recursive Functions and Effective Computability
1602:
Empirically, if the "most obvious" definition of a set
1729:
1702:
1682:
1655:
1628:
1608:
1575:
1548:
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1177:
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817:
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1742:
1715:
1688:
1668:
1641:
1614:
1586:
1561:
1534:
1457:
1430:
1422: is extendible to a total computable function
1368:
1341:
1279:
1252:
1190:
1163:
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357:
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279:
245:
225:
197:
177:
120:
89:
62:
128:be a class of partial computable functions. If
320:{\displaystyle \varphi _{x}\simeq \varphi _{y}}
327:(i.e. they index the same function), we have
8:
1529:
1488:
1425:
1399:
1336:
1310:
1247:
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1036:
1010:
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858:
832:
769:
742:
358:{\displaystyle x\in A\leftrightarrow y\in A}
172:
141:
515:Completeness in the arithmetical hierarchy
1734:
1728:
1707:
1701:
1681:
1660:
1654:
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1607:
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1547:
1521:
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1383:
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111:
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54:
48:
1759:
766:
16:Classes of partial recursive functions
7:
1831:Classical Recursion Theory, Volume 1
1769:Classical Recursion Theory, Volume 1
280:{\displaystyle x,y\in \mathbb {N} }
97:be a computable enumeration of all
1731:
1704:
1657:
1630:
1580:
1577:
1550:
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1515:
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1475:
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1386:
1357:
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1300:
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732:
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699:
608:
579:
531:
14:
35:of partial computable functions.
398:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
343:
226:{\displaystyle {\mathcal {A}}}
121:{\displaystyle {\mathcal {A}}}
1:
1587:{\displaystyle \mathrm {HP} }
445:is computable if and only if
369:Index sets and Rice's theorem
253:is an index set if for every
1848:Rogers Jr., Hartley (1987).
1676:], we can usually show that
500:{\displaystyle \mathbb {N} }
63:{\displaystyle \varphi _{e}}
1797:10.1007/978-3-642-31933-4_3
1716:{\displaystyle \Sigma _{n}}
1642:{\displaystyle \Sigma _{n}}
1562:{\displaystyle \Sigma _{4}}
1458:{\displaystyle \Sigma _{3}}
1369:{\displaystyle \Sigma _{3}}
1280:{\displaystyle \Sigma _{3}}
1155: is total and constant
891:{\displaystyle \Sigma _{2}}
620:{\displaystyle \Sigma _{n}}
591:{\displaystyle \Sigma _{n}}
543:{\displaystyle \Sigma _{n}}
1893:
1852:. MIT Press. p. 482.
1833:. Elsevier. p. 668.
1829:Odifreddi, P. G. (1992).
1783:Soare, Robert I. (2016),
1743:{\displaystyle \Pi _{n}}
1669:{\displaystyle \Pi _{n}}
1191:{\displaystyle \Pi _{2}}
1102:{\displaystyle \Pi _{2}}
980:{\displaystyle \Pi _{2}}
802:{\displaystyle \Pi _{1}}
711:{\displaystyle \Pi _{n}}
368:
1744:
1717:
1690:
1670:
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1785:"Turing Reducibility"
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90:{\displaystyle W_{e}}
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1877:Computability theory
1789:Turing Computability
1727:
1700:
1680:
1653:
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1606:
1573:
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29:computable functions
27:describe classes of
21:computability theory
1333: is computable
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1806:978-3-642-31932-7
1767:Odifreddi, P. G.
1723:-complete [resp.
1689:{\displaystyle A}
1615:{\displaystyle A}
1569:-complete, where
1423:
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1244: is cofinite
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944: is infinite
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664:{\displaystyle B}
640:{\displaystyle B}
563:{\displaystyle A}
523:. Here, we say a
478:{\displaystyle C}
458:{\displaystyle C}
438:{\displaystyle C}
418:{\displaystyle C}
246:{\displaystyle A}
198:{\displaystyle A}
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1863:
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1673:
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