3124:
1959:
503:
3119:{\displaystyle {\begin{aligned}\omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}}&={\frac {d}{dt}}\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}}{{\mathcal {Re}}}}\right)\\&={\frac {1}{1+\left({\frac {{\mathcal {Im}}}{{\mathcal {Re}}}}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {{\mathcal {Im}}}{{\mathcal {Re}}}}\right)\\&={\frac {{\mathcal {Re}}{\frac {d{\mathcal {Im}}}{dt}}-{\mathcal {Im}}{\frac {d{\mathcal {Re}}}{dt}}}{({\mathcal {Re}})^{2}+({\mathcal {Im}})^{2}}}\\&={\frac {1}{|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}}}\left({\mathcal {Re}}{\frac {d{\mathcal {Im}}}{dt}}-{\mathcal {Im}}{\frac {d{\mathcal {Re}}}{dt}}\right)\\&={\frac {1}{(s(t))^{2}+\left({\hat {s}}(t)\right)^{2}}}\left(s(t){\frac {d{\hat {s}}(t)}{dt}}-{\hat {s}}(t){\frac {ds(t)}{dt}}\right)\end{aligned}}}
494:
1555:
3442:
1905:
1287:
36:
3135:
1593:
1009:
1550:{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\int _{-\infty }^{t}\omega (\tau )\,d\tau =2\pi \int _{-\infty }^{t}f(\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{0}\omega (\tau )\,d\tau +\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau \\&=\varphi (0)+\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau .\end{aligned}}}
716:
369:
3882:
3437:{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=\varphi +\omega \\&=\varphi +\underbrace {\arg\{s_{\mathrm {a} }\}-\arg\{s_{\mathrm {a} }\}} _{\Delta \varphi }\\&=\varphi +\arg \left\{{\frac {s_{\mathrm {a} }}{s_{\mathrm {a} }}}\right\}\\\end{aligned}}}
1900:{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\&=\operatorname {atan2} ({\mathcal {Im}},{\mathcal {Re}})+2m_{1}\pi \\&=\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}}{{\mathcal {Re}}}}\right)+m_{2}\pi \end{aligned}}}
1233:
506:
Instantaneous phase of a frequency-modulated waveform: MSK (minimum shift keying). A 360° "wrapped" plot is simply replicated vertically two more times, creating the illusion of an unwrapped plot, but using only 3x360° of the vertical
871:
856:
3602:
1964:
3709:
497:
Instantaneous phase vs time. The function has two true discontinuities of 180° at times 21 and 59, indicative of amplitude zero-crossings. The 360° "discontinuities" at times 19, 37, and 91 are artifacts of phase
1598:
1292:
596:
238:
1117:
233:
3140:
876:
601:
3725:
581:
176:
3719:
In some applications, such as averaging the values of phase at several moments of time, it may be useful to convert each value to a complex number, or vector representation:
3607:
where the asterisk denotes complex conjugate. The discrete-time instantaneous frequency (in units of radians per sample) is simply the advancement of phase for that sample
410:
54:
1132:
1004:{\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&=Ae^{j\left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)},\\\varphi (t)&=\omega t-{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}
502:
764:
3485:
745:
is not. In the next example, we also see that the phase offset of a real-valued sinusoid is ambiguous unless a reference (sin or cos) is specified.
3949:
Sejdic, E.; Djurovic, I.; Stankovic, L. (August 2008). "Quantitative
Performance Analysis of Scalogram as Instantaneous Frequency Estimator".
3613:
4099:
4094:
3891:
in the phase, but similar to the unwrapped phase representation since it is continuous. A vector-average phase can be obtained as the
711:{\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&=Ae^{j(\omega t+\theta )},\\\varphi (t)&=\omega t+\theta .\end{aligned}}}
72:
4109:
3475:
to accumulate without limit and produces an unwrapped instantaneous phase. An equivalent formulation that replaces the modulo 2
364:{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\&=\arg\{s(t)+j{\hat {s}}(t)\},\end{aligned}}}
4009:
1058:
3877:{\displaystyle e^{i\varphi (t)}={\frac {s_{\mathrm {a} }(t)}{|s_{\mathrm {a} }(t)|}}=\cos(\varphi (t))+i\sin(\varphi (t)).}
3887:
This representation is similar to the wrapped phase representation in that it does not distinguish between multiples of 2
3892:
1584:
186:
4114:
4089:
524:
4104:
122:
3924:
194:
493:
4002:
Digital Signal
Processing: Mathematical and Computational Methods, Software Development and Applications
3958:
3914:
3904:
377:
3982:
3929:
4005:
3974:
1228:{\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\omega (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}}
413:
89:
4038:
3966:
92:
that occur in the context of the representation and analysis of time-varying functions. The
3909:
436:
213:
3962:
1569:
4083:
3986:
851:{\displaystyle s(t)=A\sin(\omega t)=A\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right),}
17:
3597:{\displaystyle \varphi =\varphi +\arg\{s_{\mathrm {a} }\,s_{\mathrm {a} }^{*}\},}
4027:"An Improved Quality Guided Phase Unwrapping Method and Its Applications to MRI"
3919:
1267:
3978:
3970:
4043:
4026:
3704:{\displaystyle \omega =\arg\{s_{\mathrm {a} }\,s_{\mathrm {a} }^{*}\}.}
490:. Unless otherwise indicated, the continuous form should be inferred.
3895:
of the sum of the complex numbers without concern about wrap-around.
3129:
For discrete-time functions, this can be written as a recursion:
29:
2866:
2863:
2823:
2820:
2772:
2769:
2729:
2726:
2617:
2614:
2564:
2561:
2511:
2508:
2468:
2465:
2417:
2414:
2374:
2371:
2317:
2314:
2278:
2275:
2203:
2200:
2164:
2161:
2090:
2087:
2051:
2048:
1838:
1835:
1799:
1796:
1717:
1714:
1677:
1674:
1934:
necessary to add to unwrap the phase. At values of time,
1041:. This has applications in the field of computer vision.
1281:
The inverse operation, which always unwraps phase, is:
50:
1112:{\displaystyle \omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}},}
3728:
3616:
3488:
3138:
1962:
1596:
1290:
1135:
1061:
874:
767:
599:
527:
380:
236:
125:
45:
may be too technical for most readers to understand
3876:
3703:
3596:
3436:
3118:
1899:
1549:
1227:
1111:
1003:
850:
710:
575:
404:
363:
170:
4004:(2 ed.). Woodhead Publishing. p. 134.
721:In this simple sinusoidal example, the constant
3447:Discontinuities can then be removed by adding 2
576:{\displaystyle s(t)=A\cos(\omega t+\theta ),}
471:, which is a continuous function of argument
8:
3695:
3638:
3588:
3531:
3479:operation with a complex multiplication is:
3302:
3272:
3260:
3236:
1650:
1626:
351:
309:
290:
266:
162:
147:
4042:
3806:
3790:
3789:
3780:
3762:
3761:
3754:
3733:
3727:
3674:
3668:
3667:
3662:
3646:
3645:
3615:
3567:
3561:
3560:
3555:
3539:
3538:
3487:
3401:
3400:
3378:
3377:
3370:
3311:
3280:
3279:
3244:
3243:
3227:
3139:
3137:
3078:
3058:
3057:
3023:
3022:
3016:
2990:
2965:
2964:
2949:
2924:
2879:
2878:
2862:
2861:
2855:
2836:
2835:
2819:
2818:
2785:
2784:
2768:
2767:
2761:
2742:
2741:
2725:
2724:
2710:
2705:
2688:
2687:
2678:
2672:
2653:
2630:
2629:
2613:
2612:
2600:
2577:
2576:
2560:
2559:
2524:
2523:
2507:
2506:
2500:
2481:
2480:
2464:
2463:
2430:
2429:
2413:
2412:
2406:
2387:
2386:
2370:
2369:
2366:
2330:
2329:
2313:
2312:
2291:
2290:
2274:
2273:
2270:
2251:
2242:
2216:
2215:
2199:
2198:
2177:
2176:
2160:
2159:
2156:
2139:
2103:
2102:
2086:
2085:
2064:
2063:
2047:
2046:
2043:
2018:
1982:
1963:
1961:
1884:
1851:
1850:
1834:
1833:
1812:
1811:
1795:
1794:
1791:
1762:
1730:
1729:
1713:
1712:
1690:
1689:
1673:
1672:
1634:
1633:
1597:
1595:
1533:
1515:
1510:
1474:
1456:
1451:
1437:
1419:
1411:
1390:
1372:
1364:
1344:
1326:
1318:
1291:
1289:
1196:
1181:
1151:
1134:
1077:
1060:
984:
932:
914:
884:
883:
875:
873:
830:
766:
639:
609:
608:
600:
598:
526:
382:
381:
379:
331:
330:
274:
273:
237:
235:
171:{\displaystyle \varphi (t)=\arg\{s(t)\},}
124:
73:Learn how and when to remove this message
57:, without removing the technical details.
501:
492:
212:), it is determined from the function's
3941:
3951:IEEE Transactions on Signal Processing
1938:, where there is no change to integer
4073:Signal Processing for Computer Vision
4031:Progress in Electromagnetics Research
1587:without concern of phase unwrapping.
1014:In both examples the local maxima of
55:make it understandable to non-experts
7:
1568:), can be derived directly from the
3791:
3763:
3669:
3647:
3562:
3540:
3402:
3379:
3312:
3281:
3245:
2880:
2837:
2786:
2743:
2689:
2631:
2578:
2525:
2482:
2431:
2388:
2331:
2292:
2217:
2178:
2104:
2065:
1852:
1813:
1731:
1691:
1635:
1415:
1368:
1322:
1124:instantaneous (ordinary) frequency
885:
610:
275:
25:
1258:) is wrapped, discontinuities in
86:Instantaneous phase and frequency
4000:Blackledge, Jonathan M. (2006).
725:is also commonly referred to as
116:), is the real-valued function:
34:
1050:Instantaneous angular frequency
3868:
3865:
3859:
3853:
3838:
3835:
3829:
3823:
3807:
3803:
3797:
3781:
3775:
3769:
3746:
3740:
3692:
3680:
3659:
3653:
3626:
3620:
3585:
3573:
3552:
3546:
3519:
3507:
3498:
3492:
3420:
3408:
3391:
3385:
3354:
3342:
3324:
3318:
3299:
3287:
3257:
3251:
3220:
3208:
3192:
3186:
3177:
3165:
3152:
3146:
3093:
3087:
3075:
3069:
3063:
3040:
3034:
3028:
3013:
3007:
2982:
2976:
2970:
2946:
2942:
2936:
2930:
2895:
2892:
2886:
2871:
2852:
2849:
2843:
2828:
2801:
2798:
2792:
2777:
2758:
2755:
2749:
2734:
2706:
2701:
2695:
2679:
2650:
2646:
2643:
2637:
2622:
2609:
2597:
2593:
2590:
2584:
2569:
2556:
2540:
2537:
2531:
2516:
2497:
2494:
2488:
2473:
2446:
2443:
2437:
2422:
2403:
2400:
2394:
2379:
2346:
2343:
2337:
2322:
2307:
2304:
2298:
2283:
2232:
2229:
2223:
2208:
2193:
2190:
2184:
2169:
2119:
2116:
2110:
2095:
2080:
2077:
2071:
2056:
1997:
1991:
1976:
1970:
1867:
1864:
1858:
1843:
1828:
1825:
1819:
1804:
1749:
1746:
1743:
1737:
1722:
1706:
1703:
1697:
1682:
1669:
1647:
1641:
1610:
1604:
1560:This instantaneous frequency,
1530:
1524:
1500:
1494:
1471:
1465:
1434:
1428:
1387:
1381:
1341:
1335:
1304:
1298:
1211:
1205:
1175:
1169:
1145:
1139:
1092:
1086:
1071:
1065:
965:
959:
897:
891:
801:
792:
777:
771:
679:
673:
658:
643:
622:
616:
567:
552:
537:
531:
486:) is a continuous function of
399:
393:
387:
348:
342:
336:
321:
315:
287:
281:
250:
244:
159:
153:
135:
129:
27:Electrical engineering concept
1:
4075:. Kluwer Academic Publishers.
1930:are the integer multiples of
405:{\displaystyle {\hat {s}}(t)}
753:) is unambiguously defined.
197:of the instantaneous phase.
4071:Granlund; Knutsson (1995).
1037:for integer values of
4131:
88:are important concepts in
4095:Digital signal processing
741:) is a function of time;
465:. Otherwise it is called
187:complex argument function
1570:real and imaginary parts
435:) is constrained to its
4100:Time–frequency analysis
4064:Time-Frequency Analysis
3971:10.1109/TSP.2008.924856
3925:Instantaneous amplitude
214:analytic representation
195:temporal rate of change
191:instantaneous frequency
4110:Electrical engineering
3878:
3715:Complex representation
3705:
3598:
3438:
3120:
1901:
1551:
1229:
1113:
1005:
852:
712:
577:
508:
499:
439:, either the interval
406:
365:
172:
3879:
3706:
3599:
3439:
3121:
1902:
1552:
1230:
1114:
1006:
853:
713:
578:
505:
496:
407:
366:
173:
4062:Cohen, Leon (1995).
4044:10.2528/PIER14021005
3915:Frequency modulation
3905:Angular displacement
3726:
3614:
3486:
3136:
1960:
1945:, the derivative of
1594:
1288:
1133:
1059:
872:
765:
597:
525:
378:
234:
123:
3963:2008ITSP...56.3837S
3679:
3572:
3459:, and subtracting 2
1520:
1461:
1424:
1377:
1331:
94:instantaneous phase
18:Instantaneous phase
3930:Negative frequency
3874:
3701:
3663:
3594:
3556:
3434:
3432:
3328:
3309:
3116:
3114:
1897:
1895:
1583:), instead of the
1547:
1545:
1506:
1447:
1407:
1360:
1314:
1225:
1109:
1001:
999:
848:
708:
706:
573:
509:
500:
402:
361:
359:
168:
4115:Audio engineering
4090:Signal processing
4025:Wang, S. (2014).
3812:
3424:
3228:
3226:
3105:
3066:
3052:
3031:
2997:
2973:
2907:
2813:
2717:
2660:
2552:
2458:
2350:
2264:
2249:
2236:
2123:
2031:
2009:
1871:
1266:) will result in
1223:
1194:
1164:
1104:
992:
940:
838:
414:Hilbert transform
390:
339:
90:signal processing
83:
82:
75:
16:(Redirected from
4122:
4105:Fourier analysis
4076:
4067:
4066:. Prentice Hall.
4049:
4048:
4046:
4022:
4016:
4015:
3997:
3991:
3990:
3957:(8): 3837–3845.
3946:
3890:
3883:
3881:
3880:
3875:
3813:
3811:
3810:
3796:
3795:
3794:
3784:
3778:
3768:
3767:
3766:
3755:
3750:
3749:
3710:
3708:
3707:
3702:
3678:
3673:
3672:
3652:
3651:
3650:
3603:
3601:
3600:
3595:
3571:
3566:
3565:
3545:
3544:
3543:
3478:
3470:
3467: >
3462:
3458:
3450:
3443:
3441:
3440:
3435:
3433:
3429:
3425:
3423:
3407:
3406:
3405:
3394:
3384:
3383:
3382:
3371:
3332:
3327:
3310:
3305:
3286:
3285:
3284:
3250:
3249:
3248:
3198:
3125:
3123:
3122:
3117:
3115:
3111:
3107:
3106:
3104:
3096:
3079:
3068:
3067:
3059:
3053:
3051:
3043:
3033:
3032:
3024:
3017:
2998:
2996:
2995:
2994:
2989:
2985:
2975:
2974:
2966:
2954:
2953:
2925:
2917:
2913:
2909:
2908:
2906:
2898:
2885:
2884:
2883:
2870:
2869:
2856:
2842:
2841:
2840:
2827:
2826:
2814:
2812:
2804:
2791:
2790:
2789:
2776:
2775:
2762:
2748:
2747:
2746:
2733:
2732:
2718:
2716:
2715:
2714:
2709:
2694:
2693:
2692:
2682:
2673:
2665:
2661:
2659:
2658:
2657:
2636:
2635:
2634:
2621:
2620:
2605:
2604:
2583:
2582:
2581:
2568:
2567:
2554:
2553:
2551:
2543:
2530:
2529:
2528:
2515:
2514:
2501:
2487:
2486:
2485:
2472:
2471:
2459:
2457:
2449:
2436:
2435:
2434:
2421:
2420:
2407:
2393:
2392:
2391:
2378:
2377:
2367:
2359:
2355:
2351:
2349:
2336:
2335:
2334:
2321:
2320:
2310:
2297:
2296:
2295:
2282:
2281:
2271:
2265:
2263:
2252:
2250:
2248:
2247:
2246:
2241:
2237:
2235:
2222:
2221:
2220:
2207:
2206:
2196:
2183:
2182:
2181:
2168:
2167:
2157:
2140:
2132:
2128:
2124:
2122:
2109:
2108:
2107:
2094:
2093:
2083:
2070:
2069:
2068:
2055:
2054:
2044:
2032:
2030:
2019:
2010:
2008:
2000:
1983:
1933:
1929:
1919:
1906:
1904:
1903:
1898:
1896:
1889:
1888:
1876:
1872:
1870:
1857:
1856:
1855:
1842:
1841:
1831:
1818:
1817:
1816:
1803:
1802:
1792:
1774:
1767:
1766:
1736:
1735:
1734:
1721:
1720:
1696:
1695:
1694:
1681:
1680:
1656:
1640:
1639:
1638:
1556:
1554:
1553:
1548:
1546:
1519:
1514:
1484:
1460:
1455:
1423:
1418:
1400:
1376:
1371:
1330:
1325:
1250:; otherwise, if
1234:
1232:
1231:
1226:
1224:
1222:
1214:
1197:
1195:
1193:
1182:
1165:
1163:
1152:
1118:
1116:
1115:
1110:
1105:
1103:
1095:
1078:
1033:
1022:) correspond to
1010:
1008:
1007:
1002:
1000:
993:
985:
948:
947:
946:
942:
941:
933:
890:
889:
888:
857:
855:
854:
849:
844:
840:
839:
831:
717:
715:
714:
709:
707:
662:
661:
615:
614:
613:
582:
580:
579:
574:
458:
450:
411:
409:
408:
403:
392:
391:
383:
370:
368:
367:
362:
360:
341:
340:
332:
296:
280:
279:
278:
177:
175:
174:
169:
78:
71:
67:
64:
58:
38:
37:
30:
21:
4130:
4129:
4125:
4124:
4123:
4121:
4120:
4119:
4080:
4079:
4070:
4061:
4058:
4056:Further reading
4053:
4052:
4024:
4023:
4019:
4012:
3999:
3998:
3994:
3948:
3947:
3943:
3938:
3910:Analytic signal
3901:
3888:
3785:
3779:
3757:
3756:
3729:
3724:
3723:
3717:
3641:
3612:
3611:
3534:
3484:
3483:
3476:
3468:
3460:
3456:
3448:
3431:
3430:
3396:
3395:
3373:
3372:
3366:
3330:
3329:
3275:
3239:
3229:
3196:
3195:
3155:
3134:
3133:
3113:
3112:
3097:
3080:
3044:
3018:
3003:
2999:
2963:
2959:
2958:
2945:
2929:
2915:
2914:
2899:
2874:
2857:
2831:
2805:
2780:
2763:
2737:
2723:
2719:
2704:
2683:
2677:
2663:
2662:
2649:
2625:
2596:
2572:
2555:
2544:
2519:
2502:
2476:
2450:
2425:
2408:
2382:
2368:
2357:
2356:
2325:
2311:
2286:
2272:
2266:
2256:
2211:
2197:
2172:
2158:
2152:
2151:
2144:
2130:
2129:
2098:
2084:
2059:
2045:
2039:
2023:
2011:
2001:
1984:
1958:
1957:
1944:
1931:
1927:
1926:
1917:
1916:
1894:
1893:
1880:
1846:
1832:
1807:
1793:
1787:
1772:
1771:
1758:
1725:
1685:
1654:
1653:
1629:
1613:
1592:
1591:
1578:
1544:
1543:
1482:
1481:
1398:
1397:
1307:
1286:
1285:
1248:unwrapped phase
1215:
1198:
1186:
1156:
1131:
1130:
1126:is defined as:
1096:
1079:
1057:
1056:
1052:is defined as:
1047:
1031:
998:
997:
968:
953:
952:
922:
918:
910:
900:
879:
870:
869:
820:
816:
763:
762:
759:
705:
704:
682:
667:
666:
635:
625:
604:
595:
594:
523:
522:
519:
514:
481:
468:unwrapped phase
459:, it is called
452:
440:
437:principal value
412:represents the
376:
375:
358:
357:
294:
293:
269:
253:
232:
231:
222:
121:
120:
96:(also known as
79:
68:
62:
59:
51:help improve it
48:
39:
35:
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
4128:
4126:
4118:
4117:
4112:
4107:
4102:
4097:
4092:
4082:
4081:
4078:
4077:
4068:
4057:
4054:
4051:
4050:
4017:
4010:
3992:
3940:
3939:
3937:
3934:
3933:
3932:
3927:
3922:
3917:
3912:
3907:
3900:
3897:
3885:
3884:
3873:
3870:
3867:
3864:
3861:
3858:
3855:
3852:
3849:
3846:
3843:
3840:
3837:
3834:
3831:
3828:
3825:
3822:
3819:
3816:
3809:
3805:
3802:
3799:
3793:
3788:
3783:
3777:
3774:
3771:
3765:
3760:
3753:
3748:
3745:
3742:
3739:
3736:
3732:
3716:
3713:
3712:
3711:
3700:
3697:
3694:
3691:
3688:
3685:
3682:
3677:
3671:
3666:
3661:
3658:
3655:
3649:
3644:
3640:
3637:
3634:
3631:
3628:
3625:
3622:
3619:
3605:
3604:
3593:
3590:
3587:
3584:
3581:
3578:
3575:
3570:
3564:
3559:
3554:
3551:
3548:
3542:
3537:
3533:
3530:
3527:
3524:
3521:
3518:
3515:
3512:
3509:
3506:
3503:
3500:
3497:
3494:
3491:
3471:. That allows
3445:
3444:
3428:
3422:
3419:
3416:
3413:
3410:
3404:
3399:
3393:
3390:
3387:
3381:
3376:
3369:
3365:
3362:
3359:
3356:
3353:
3350:
3347:
3344:
3341:
3338:
3335:
3333:
3331:
3326:
3323:
3320:
3317:
3314:
3308:
3304:
3301:
3298:
3295:
3292:
3289:
3283:
3278:
3274:
3271:
3268:
3265:
3262:
3259:
3256:
3253:
3247:
3242:
3238:
3235:
3232:
3225:
3222:
3219:
3216:
3213:
3210:
3207:
3204:
3201:
3199:
3197:
3194:
3191:
3188:
3185:
3182:
3179:
3176:
3173:
3170:
3167:
3164:
3161:
3158:
3156:
3154:
3151:
3148:
3145:
3142:
3141:
3127:
3126:
3110:
3103:
3100:
3095:
3092:
3089:
3086:
3083:
3077:
3074:
3071:
3065:
3062:
3056:
3050:
3047:
3042:
3039:
3036:
3030:
3027:
3021:
3015:
3012:
3009:
3006:
3002:
2993:
2988:
2984:
2981:
2978:
2972:
2969:
2962:
2957:
2952:
2948:
2944:
2941:
2938:
2935:
2932:
2928:
2923:
2920:
2918:
2916:
2912:
2905:
2902:
2897:
2894:
2891:
2888:
2882:
2877:
2873:
2868:
2865:
2860:
2854:
2851:
2848:
2845:
2839:
2834:
2830:
2825:
2822:
2817:
2811:
2808:
2803:
2800:
2797:
2794:
2788:
2783:
2779:
2774:
2771:
2766:
2760:
2757:
2754:
2751:
2745:
2740:
2736:
2731:
2728:
2722:
2713:
2708:
2703:
2700:
2697:
2691:
2686:
2681:
2676:
2671:
2668:
2666:
2664:
2656:
2652:
2648:
2645:
2642:
2639:
2633:
2628:
2624:
2619:
2616:
2611:
2608:
2603:
2599:
2595:
2592:
2589:
2586:
2580:
2575:
2571:
2566:
2563:
2558:
2550:
2547:
2542:
2539:
2536:
2533:
2527:
2522:
2518:
2513:
2510:
2505:
2499:
2496:
2493:
2490:
2484:
2479:
2475:
2470:
2467:
2462:
2456:
2453:
2448:
2445:
2442:
2439:
2433:
2428:
2424:
2419:
2416:
2411:
2405:
2402:
2399:
2396:
2390:
2385:
2381:
2376:
2373:
2365:
2362:
2360:
2358:
2354:
2348:
2345:
2342:
2339:
2333:
2328:
2324:
2319:
2316:
2309:
2306:
2303:
2300:
2294:
2289:
2285:
2280:
2277:
2269:
2262:
2259:
2255:
2245:
2240:
2234:
2231:
2228:
2225:
2219:
2214:
2210:
2205:
2202:
2195:
2192:
2189:
2186:
2180:
2175:
2171:
2166:
2163:
2155:
2150:
2147:
2143:
2138:
2135:
2133:
2131:
2127:
2121:
2118:
2115:
2112:
2106:
2101:
2097:
2092:
2089:
2082:
2079:
2076:
2073:
2067:
2062:
2058:
2053:
2050:
2042:
2038:
2035:
2029:
2026:
2022:
2017:
2014:
2012:
2007:
2004:
1999:
1996:
1993:
1990:
1987:
1981:
1978:
1975:
1972:
1969:
1966:
1965:
1942:
1924:
1914:
1908:
1907:
1892:
1887:
1883:
1879:
1875:
1869:
1866:
1863:
1860:
1854:
1849:
1845:
1840:
1837:
1830:
1827:
1824:
1821:
1815:
1810:
1806:
1801:
1798:
1790:
1786:
1783:
1780:
1777:
1775:
1773:
1770:
1765:
1761:
1757:
1754:
1751:
1748:
1745:
1742:
1739:
1733:
1728:
1724:
1719:
1716:
1711:
1708:
1705:
1702:
1699:
1693:
1688:
1684:
1679:
1676:
1671:
1668:
1665:
1662:
1659:
1657:
1655:
1652:
1649:
1646:
1643:
1637:
1632:
1628:
1625:
1622:
1619:
1616:
1614:
1612:
1609:
1606:
1603:
1600:
1599:
1576:
1558:
1557:
1542:
1539:
1536:
1532:
1529:
1526:
1523:
1518:
1513:
1509:
1505:
1502:
1499:
1496:
1493:
1490:
1487:
1485:
1483:
1480:
1477:
1473:
1470:
1467:
1464:
1459:
1454:
1450:
1446:
1443:
1440:
1436:
1433:
1430:
1427:
1422:
1417:
1414:
1410:
1406:
1403:
1401:
1399:
1396:
1393:
1389:
1386:
1383:
1380:
1375:
1370:
1367:
1363:
1359:
1356:
1353:
1350:
1347:
1343:
1340:
1337:
1334:
1329:
1324:
1321:
1317:
1313:
1310:
1308:
1306:
1303:
1300:
1297:
1294:
1293:
1246:) must be the
1236:
1235:
1221:
1218:
1213:
1210:
1207:
1204:
1201:
1192:
1189:
1185:
1180:
1177:
1174:
1171:
1168:
1162:
1159:
1155:
1150:
1147:
1144:
1141:
1138:
1120:
1119:
1108:
1102:
1099:
1094:
1091:
1088:
1085:
1082:
1076:
1073:
1070:
1067:
1064:
1046:
1043:
1012:
1011:
996:
991:
988:
983:
980:
977:
974:
971:
969:
967:
964:
961:
958:
955:
954:
951:
945:
939:
936:
931:
928:
925:
921:
917:
913:
909:
906:
903:
901:
899:
896:
893:
887:
882:
878:
877:
859:
858:
847:
843:
837:
834:
829:
826:
823:
819:
815:
812:
809:
806:
803:
800:
797:
794:
791:
788:
785:
782:
779:
776:
773:
770:
758:
755:
719:
718:
703:
700:
697:
694:
691:
688:
685:
683:
681:
678:
675:
672:
669:
668:
665:
660:
657:
654:
651:
648:
645:
642:
638:
634:
631:
628:
626:
624:
621:
618:
612:
607:
603:
602:
584:
583:
572:
569:
566:
563:
560:
557:
554:
551:
548:
545:
542:
539:
536:
533:
530:
518:
515:
513:
510:
479:
401:
398:
395:
389:
386:
372:
371:
356:
353:
350:
347:
344:
338:
335:
329:
326:
323:
320:
317:
314:
311:
308:
305:
302:
299:
297:
295:
292:
289:
286:
283:
277:
272:
268:
265:
262:
259:
256:
254:
252:
249:
246:
243:
240:
239:
220:
179:
178:
167:
164:
161:
158:
155:
152:
149:
146:
143:
140:
137:
134:
131:
128:
106:complex-valued
81:
80:
42:
40:
33:
26:
24:
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
4127:
4116:
4113:
4111:
4108:
4106:
4103:
4101:
4098:
4096:
4093:
4091:
4088:
4087:
4085:
4074:
4069:
4065:
4060:
4059:
4055:
4045:
4040:
4036:
4032:
4028:
4021:
4018:
4013:
4007:
4003:
3996:
3993:
3988:
3984:
3980:
3976:
3972:
3968:
3964:
3960:
3956:
3952:
3945:
3942:
3935:
3931:
3928:
3926:
3923:
3921:
3918:
3916:
3913:
3911:
3908:
3906:
3903:
3902:
3898:
3896:
3894:
3871:
3862:
3856:
3850:
3847:
3844:
3841:
3832:
3826:
3820:
3817:
3814:
3800:
3786:
3772:
3758:
3751:
3743:
3737:
3734:
3730:
3722:
3721:
3720:
3714:
3698:
3689:
3686:
3683:
3675:
3664:
3656:
3642:
3635:
3632:
3629:
3623:
3617:
3610:
3609:
3608:
3591:
3582:
3579:
3576:
3568:
3557:
3549:
3535:
3528:
3525:
3522:
3516:
3513:
3510:
3504:
3501:
3495:
3489:
3482:
3481:
3480:
3474:
3466:
3454:
3426:
3417:
3414:
3411:
3397:
3388:
3374:
3367:
3363:
3360:
3357:
3351:
3348:
3345:
3339:
3336:
3334:
3321:
3315:
3306:
3296:
3293:
3290:
3276:
3269:
3266:
3263:
3254:
3240:
3233:
3230:
3223:
3217:
3214:
3211:
3205:
3202:
3200:
3189:
3183:
3180:
3174:
3171:
3168:
3162:
3159:
3157:
3149:
3143:
3132:
3131:
3130:
3108:
3101:
3098:
3090:
3084:
3081:
3072:
3060:
3054:
3048:
3045:
3037:
3025:
3019:
3010:
3004:
3000:
2991:
2986:
2979:
2967:
2960:
2955:
2950:
2939:
2933:
2926:
2921:
2919:
2910:
2903:
2900:
2889:
2875:
2858:
2846:
2832:
2815:
2809:
2806:
2795:
2781:
2764:
2752:
2738:
2720:
2711:
2698:
2684:
2674:
2669:
2667:
2654:
2640:
2626:
2606:
2601:
2587:
2573:
2548:
2545:
2534:
2520:
2503:
2491:
2477:
2460:
2454:
2451:
2440:
2426:
2409:
2397:
2383:
2363:
2361:
2352:
2340:
2326:
2301:
2287:
2267:
2260:
2257:
2253:
2243:
2238:
2226:
2212:
2187:
2173:
2153:
2148:
2145:
2141:
2136:
2134:
2125:
2113:
2099:
2074:
2060:
2040:
2036:
2033:
2027:
2024:
2020:
2015:
2013:
2005:
2002:
1994:
1988:
1985:
1979:
1973:
1967:
1956:
1955:
1954:
1952:
1948:
1941:
1937:
1923:
1913:
1890:
1885:
1881:
1877:
1873:
1861:
1847:
1822:
1808:
1788:
1784:
1781:
1778:
1776:
1768:
1763:
1759:
1755:
1752:
1740:
1726:
1709:
1700:
1686:
1666:
1663:
1660:
1658:
1644:
1630:
1623:
1620:
1617:
1615:
1607:
1601:
1590:
1589:
1588:
1586:
1582:
1575:
1571:
1567:
1563:
1540:
1537:
1534:
1527:
1521:
1516:
1511:
1507:
1503:
1497:
1491:
1488:
1486:
1478:
1475:
1468:
1462:
1457:
1452:
1448:
1444:
1441:
1438:
1431:
1425:
1420:
1412:
1408:
1404:
1402:
1394:
1391:
1384:
1378:
1373:
1365:
1361:
1357:
1354:
1351:
1348:
1345:
1338:
1332:
1327:
1319:
1315:
1311:
1309:
1301:
1295:
1284:
1283:
1282:
1279:
1277:
1273:
1269:
1265:
1261:
1257:
1253:
1249:
1245:
1241:
1219:
1216:
1208:
1202:
1199:
1190:
1187:
1183:
1178:
1172:
1166:
1160:
1157:
1153:
1148:
1142:
1136:
1129:
1128:
1127:
1125:
1106:
1100:
1097:
1089:
1083:
1080:
1074:
1068:
1062:
1055:
1054:
1053:
1051:
1044:
1042:
1040:
1036:
1029:
1025:
1021:
1017:
994:
989:
986:
981:
978:
975:
972:
970:
962:
956:
949:
943:
937:
934:
929:
926:
923:
919:
915:
911:
907:
904:
902:
894:
880:
868:
867:
866:
864:
845:
841:
835:
832:
827:
824:
821:
817:
813:
810:
807:
804:
798:
795:
789:
786:
783:
780:
774:
768:
761:
760:
756:
754:
752:
748:
744:
740:
736:
732:
728:
724:
701:
698:
695:
692:
689:
686:
684:
676:
670:
663:
655:
652:
649:
646:
640:
636:
632:
629:
627:
619:
605:
593:
592:
591:
589:
570:
564:
561:
558:
555:
549:
546:
543:
540:
534:
528:
521:
520:
516:
511:
504:
495:
491:
489:
485:
478:
474:
470:
469:
464:
463:
462:wrapped phase
456:
448:
444:
438:
434:
430:
425:
423:
419:
415:
396:
384:
354:
345:
333:
327:
324:
318:
312:
306:
303:
300:
298:
284:
270:
263:
260:
257:
255:
247:
241:
230:
229:
228:
226:
219:
215:
211:
207:
203:
198:
196:
192:
188:
184:
165:
156:
150:
144:
141:
138:
132:
126:
119:
118:
117:
115:
111:
107:
103:
99:
95:
91:
87:
77:
74:
66:
56:
52:
46:
43:This article
41:
32:
31:
19:
4072:
4063:
4034:
4030:
4020:
4001:
3995:
3954:
3950:
3944:
3886:
3718:
3606:
3472:
3464:
3452:
3446:
3128:
1950:
1946:
1939:
1935:
1921:
1911:
1909:
1580:
1573:
1565:
1561:
1559:
1280:
1275:
1271:
1270:impulses in
1263:
1259:
1255:
1251:
1247:
1243:
1239:
1237:
1123:
1121:
1049:
1048:
1045:Formulations
1038:
1034:
1027:
1023:
1019:
1015:
1013:
862:
860:
750:
746:
742:
738:
734:
731:phase offset
730:
726:
722:
720:
587:
585:
487:
483:
476:
472:
467:
466:
461:
460:
454:
446:
442:
432:
428:
426:
421:
417:
373:
224:
217:
209:
205:
201:
199:
190:
182:
180:
113:
109:
105:
101:
97:
93:
85:
84:
69:
60:
44:
4037:: 273–286.
3920:Group delay
1585:complex arg
1268:Dirac delta
475:, assuming
202:real-valued
98:local phase
4084:Categories
4011:1904275265
3936:References
3463:whenever Δ
3451:whenever Δ
1030:) = 2
200:And for a
100:or simply
3979:1053-587X
3857:φ
3851:
3827:φ
3821:
3738:φ
3687:−
3676:∗
3636:
3618:ω
3580:−
3569:∗
3529:
3514:−
3505:φ
3490:φ
3415:−
3364:
3349:−
3340:φ
3316:φ
3313:Δ
3307:⏟
3294:−
3270:
3264:−
3234:
3215:−
3206:φ
3184:ω
3172:−
3163:φ
3144:φ
3064:^
3055:−
3029:^
2971:^
2816:−
2461:−
2037:
1989:φ
1968:ω
1891:π
1785:
1769:π
1667:
1624:
1602:φ
1538:τ
1528:τ
1522:ω
1508:∫
1492:φ
1479:τ
1469:τ
1463:ω
1449:∫
1442:τ
1432:τ
1426:ω
1416:∞
1413:−
1409:∫
1395:τ
1385:τ
1369:∞
1366:−
1362:∫
1358:π
1349:τ
1339:τ
1333:ω
1323:∞
1320:−
1316:∫
1296:φ
1203:φ
1191:π
1167:ω
1161:π
1084:φ
1063:ω
987:π
982:−
976:ω
957:φ
935:π
930:−
924:ω
833:π
828:−
822:ω
814:
796:ω
790:
757:Example 2
699:θ
690:ω
671:φ
656:θ
647:ω
565:θ
556:ω
550:
517:Example 1
498:wrapping.
453:[0, 2
388:^
337:^
307:
264:
242:φ
204:function
145:
127:φ
108:function
63:July 2022
3987:16396084
3899:See also
865:> 0.
590:> 0.
512:Examples
3959:Bibcode
193:is the
185:is the
104:) of a
49:Please
4008:
3985:
3977:
2034:arctan
1782:arctan
1238:where
861:where
586:where
374:where
189:. The
181:where
3983:S2CID
1953:) is
1664:atan2
727:phase
507:axis.
449:]
427:When
102:phase
4006:ISBN
3975:ISSN
1920:and
1122:and
4039:doi
4035:145
3967:doi
3893:arg
3848:sin
3818:cos
3633:arg
3526:arg
3455:≤ −
3361:arg
3267:arg
3231:arg
1621:arg
1572:of
1278:).
811:cos
787:sin
729:or
547:cos
451:or
424:).
416:of
304:arg
261:arg
227:):
183:arg
142:arg
53:to
4086::
4033:.
4029:.
3981:.
3973:.
3965:.
3955:56
3953:.
733:.
445:,
441:(−
216:,
4047:.
4041::
4014:.
3989:.
3969::
3961::
3889:π
3872:.
3869:)
3866:)
3863:t
3860:(
3854:(
3845:i
3842:+
3839:)
3836:)
3833:t
3830:(
3824:(
3815:=
3808:|
3804:)
3801:t
3798:(
3792:a
3787:s
3782:|
3776:)
3773:t
3770:(
3764:a
3759:s
3752:=
3747:)
3744:t
3741:(
3735:i
3731:e
3699:.
3696:}
3693:]
3690:1
3684:n
3681:[
3670:a
3665:s
3660:]
3657:n
3654:[
3648:a
3643:s
3639:{
3630:=
3627:]
3624:n
3621:[
3592:,
3589:}
3586:]
3583:1
3577:n
3574:[
3563:a
3558:s
3553:]
3550:n
3547:[
3541:a
3536:s
3532:{
3523:+
3520:]
3517:1
3511:n
3508:[
3502:=
3499:]
3496:n
3493:[
3477:π
3473:φ
3469:π
3465:φ
3461:π
3457:π
3453:φ
3449:π
3427:}
3421:]
3418:1
3412:n
3409:[
3403:a
3398:s
3392:]
3389:n
3386:[
3380:a
3375:s
3368:{
3358:+
3355:]
3352:1
3346:n
3343:[
3337:=
3325:]
3322:n
3319:[
3303:}
3300:]
3297:1
3291:n
3288:[
3282:a
3277:s
3273:{
3261:}
3258:]
3255:n
3252:[
3246:a
3241:s
3237:{
3224:+
3221:]
3218:1
3212:n
3209:[
3203:=
3193:]
3190:n
3187:[
3181:+
3178:]
3175:1
3169:n
3166:[
3160:=
3153:]
3150:n
3147:[
3109:)
3102:t
3099:d
3094:)
3091:t
3088:(
3085:s
3082:d
3076:)
3073:t
3070:(
3061:s
3049:t
3046:d
3041:)
3038:t
3035:(
3026:s
3020:d
3014:)
3011:t
3008:(
3005:s
3001:(
2992:2
2987:)
2983:)
2980:t
2977:(
2968:s
2961:(
2956:+
2951:2
2947:)
2943:)
2940:t
2937:(
2934:s
2931:(
2927:1
2922:=
2911:)
2904:t
2901:d
2896:]
2893:)
2890:t
2887:(
2881:a
2876:s
2872:[
2867:e
2864:R
2859:d
2853:]
2850:)
2847:t
2844:(
2838:a
2833:s
2829:[
2824:m
2821:I
2810:t
2807:d
2802:]
2799:)
2796:t
2793:(
2787:a
2782:s
2778:[
2773:m
2770:I
2765:d
2759:]
2756:)
2753:t
2750:(
2744:a
2739:s
2735:[
2730:e
2727:R
2721:(
2712:2
2707:|
2702:)
2699:t
2696:(
2690:a
2685:s
2680:|
2675:1
2670:=
2655:2
2651:)
2647:]
2644:)
2641:t
2638:(
2632:a
2627:s
2623:[
2618:m
2615:I
2610:(
2607:+
2602:2
2598:)
2594:]
2591:)
2588:t
2585:(
2579:a
2574:s
2570:[
2565:e
2562:R
2557:(
2549:t
2546:d
2541:]
2538:)
2535:t
2532:(
2526:a
2521:s
2517:[
2512:e
2509:R
2504:d
2498:]
2495:)
2492:t
2489:(
2483:a
2478:s
2474:[
2469:m
2466:I
2455:t
2452:d
2447:]
2444:)
2441:t
2438:(
2432:a
2427:s
2423:[
2418:m
2415:I
2410:d
2404:]
2401:)
2398:t
2395:(
2389:a
2384:s
2380:[
2375:e
2372:R
2364:=
2353:)
2347:]
2344:)
2341:t
2338:(
2332:a
2327:s
2323:[
2318:e
2315:R
2308:]
2305:)
2302:t
2299:(
2293:a
2288:s
2284:[
2279:m
2276:I
2268:(
2261:t
2258:d
2254:d
2244:2
2239:)
2233:]
2230:)
2227:t
2224:(
2218:a
2213:s
2209:[
2204:e
2201:R
2194:]
2191:)
2188:t
2185:(
2179:a
2174:s
2170:[
2165:m
2162:I
2154:(
2149:+
2146:1
2142:1
2137:=
2126:)
2120:]
2117:)
2114:t
2111:(
2105:a
2100:s
2096:[
2091:e
2088:R
2081:]
2078:)
2075:t
2072:(
2066:a
2061:s
2057:[
2052:m
2049:I
2041:(
2028:t
2025:d
2021:d
2016:=
2006:t
2003:d
1998:)
1995:t
1992:(
1986:d
1980:=
1977:)
1974:t
1971:(
1951:t
1949:(
1947:φ
1943:2
1940:m
1936:t
1932:π
1928:π
1925:2
1922:m
1918:π
1915:1
1912:m
1910:2
1886:2
1882:m
1878:+
1874:)
1868:]
1865:)
1862:t
1859:(
1853:a
1848:s
1844:[
1839:e
1836:R
1829:]
1826:)
1823:t
1820:(
1814:a
1809:s
1805:[
1800:m
1797:I
1789:(
1779:=
1764:1
1760:m
1756:2
1753:+
1750:)
1747:]
1744:)
1741:t
1738:(
1732:a
1727:s
1723:[
1718:e
1715:R
1710:,
1707:]
1704:)
1701:t
1698:(
1692:a
1687:s
1683:[
1678:m
1675:I
1670:(
1661:=
1651:}
1648:)
1645:t
1642:(
1636:a
1631:s
1627:{
1618:=
1611:)
1608:t
1605:(
1581:t
1579:(
1577:a
1574:s
1566:t
1564:(
1562:ω
1541:.
1535:d
1531:)
1525:(
1517:t
1512:0
1504:+
1501:)
1498:0
1495:(
1489:=
1476:d
1472:)
1466:(
1458:t
1453:0
1445:+
1439:d
1435:)
1429:(
1421:0
1405:=
1392:d
1388:)
1382:(
1379:f
1374:t
1355:2
1352:=
1346:d
1342:)
1336:(
1328:t
1312:=
1305:)
1302:t
1299:(
1276:t
1274:(
1272:f
1264:t
1262:(
1260:φ
1256:t
1254:(
1252:φ
1244:t
1242:(
1240:φ
1220:t
1217:d
1212:)
1209:t
1206:(
1200:d
1188:2
1184:1
1179:=
1176:)
1173:t
1170:(
1158:2
1154:1
1149:=
1146:)
1143:t
1140:(
1137:f
1107:,
1101:t
1098:d
1093:)
1090:t
1087:(
1081:d
1075:=
1072:)
1069:t
1066:(
1039:N
1035:N
1032:π
1028:t
1026:(
1024:φ
1020:t
1018:(
1016:s
995:.
990:2
979:t
973:=
966:)
963:t
960:(
950:,
944:)
938:2
927:t
920:(
916:j
912:e
908:A
905:=
898:)
895:t
892:(
886:a
881:s
863:ω
846:,
842:)
836:2
825:t
818:(
808:A
805:=
802:)
799:t
793:(
784:A
781:=
778:)
775:t
772:(
769:s
751:t
749:(
747:φ
743:θ
739:t
737:(
735:φ
723:θ
702:.
696:+
693:t
687:=
680:)
677:t
674:(
664:,
659:)
653:+
650:t
644:(
641:j
637:e
633:A
630:=
623:)
620:t
617:(
611:a
606:s
588:ω
571:,
568:)
562:+
559:t
553:(
544:A
541:=
538:)
535:t
532:(
529:s
488:t
484:t
482:(
480:a
477:s
473:t
457:)
455:π
447:π
443:π
433:t
431:(
429:φ
422:t
420:(
418:s
400:)
397:t
394:(
385:s
355:,
352:}
349:)
346:t
343:(
334:s
328:j
325:+
322:)
319:t
316:(
313:s
310:{
301:=
291:}
288:)
285:t
282:(
276:a
271:s
267:{
258:=
251:)
248:t
245:(
225:t
223:(
221:a
218:s
210:t
208:(
206:s
166:,
163:}
160:)
157:t
154:(
151:s
148:{
139:=
136:)
133:t
130:(
114:t
112:(
110:s
76:)
70:(
65:)
61:(
47:.
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.