17:
3182:
537:
24:) has 480 symmetries (automorphisms). There are 2 ways of permuting the two children of the upper left vertex, 2 ways of permuting the two children of the upper middle vertex, and 5! = 120 ways of permuting the five children of the upper right vertex, for 2 · 2 · 120 = 480 symmetries altogether.
369:
835:
767:
928:
106:
996:
1284:
272:
637:
312:
532:{\displaystyle \exp {\frac {(2-\varepsilon ){\sqrt {\log x}}}{\log \log x}}<J(x)<\exp {\frac {(4+\varepsilon ){\sqrt {\log x}}\log \log \log x}{\log \log x}}.}
341:
58:
948:
878:
708:
587:
855:
685:
657:
564:
361:
292:
246:
226:
206:
1171:; Doyon, Nicolas; Razafindrasoanaivolala, A. Arthur Bonkli; Verreault, William (2020), "Bounds for the counting function of the Jordan-Pólya numbers",
1153:
175:
1277:
3211:
2084:
1270:
2079:
2094:
2074:
1243:
710:
equals a product of smaller factorials are the Jordan–Pólya numbers (except 2) and the two exceptional numbers 9 and 10, for which
2787:
2367:
3216:
1104:
2089:
2873:
3221:
2189:
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2209:
772:
2715:
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1863:
1843:
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2287:
2044:
1853:
1835:
1729:
1719:
1709:
837:. The only other known representation of a factorial as a product of smaller factorials, not obtained by replacing
713:
2549:
2792:
2337:
1958:
1744:
1739:
1734:
1724:
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1777:
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2954:
2918:
2659:
2382:
2362:
2179:
1848:
1636:
1608:
142:
119:
1230:, Problem Books in Mathematics, vol. 1 (3rd ed.), New York: Springer-Verlag, p. 123,
168:
1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 36, 48, 64, 72, 96, 120, 128, 144, 192, 216, 240, 256, ... (sequence
153:
and in the problem of finding factorials that can be represented as products of smaller factorials.
2782:
2646:
2641:
2609:
2372:
2347:
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1180:
1082:
1041:
664:
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115:
2069:
3079:
3024:
2878:
2853:
2827:
2604:
2282:
2277:
2204:
2184:
2169:
1891:
1873:
1792:
1782:
1767:
1545:
1530:
1239:
1061:(1937), "Kombinatorische Anzahlbestimmungen für Gruppen, Graphen und chemische Verbindungen",
3115:
2908:
2494:
2466:
2456:
2448:
2332:
2297:
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1802:
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1787:
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1063:
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2736:
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2029:
2019:
2014:
1680:
1588:
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1123:
317:
16:
1058:
131:
43:
933:
860:
690:
589:
can be written as a product of smaller factorials. This can be done simply by expanding
569:
3096:
2964:
2949:
2813:
2777:
2752:
2628:
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2009:
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1479:
1474:
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1307:
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1015:
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642:
549:
346:
277:
231:
211:
191:
127:
118:
that is a Jordan–Pólya number, and every Jordan–Pólya number arises in this way as the
3200:
3019:
3003:
2944:
2898:
2594:
2579:
2489:
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1603:
1560:
1441:
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1416:
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1118:
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2113:
2024:
1963:
1540:
1436:
1369:
1349:
1324:
1148:"Sequence A001013 (Jordan-Polya numbers: products of factorial numbers)"
3014:
2889:
2694:
2158:
2049:
2004:
1999:
1749:
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1555:
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1359:
1334:
1143:
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1037:
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2684:
2676:
2481:
2395:
1513:
37:
2858:
1194:
36:
are the numbers that can be obtained by multiplying together one or more
659:
in this product by its representation as a product of factorials. It is
2863:
2522:
1077:
145:. As well as in the symmetries of trees, they arise as the numbers of
1185:
134:, who both wrote about them in the context of symmetries of trees.
15:
208:
th Jordan–Pólya number grows more quickly than any polynomial of
950:
is itself a Jordan–Pólya number, it also has the representation
3149:
3113:
3077:
3041:
3001:
2626:
2515:
2241:
2156:
2111:
1988:
1678:
1625:
1577:
1511:
1463:
1401:
1305:
1266:
1019:
40:, not required to be distinct from each other. For instance,
1147:
170:
956:
936:
886:
863:
843:
775:
716:
693:
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595:
572:
552:
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349:
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300:
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254:
234:
214:
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67:
46:
2973:
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2887:
2838:
2812:
2745:
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2447:
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1937:
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1872:
1834:
1825:
1758:
1700:
1691:
228:, but more slowly than any exponential function of
1102:(1977), "Comparability graphs and a new matroid",
990:
942:
922:
872:
849:
829:
761:
702:
679:
651:
631:
581:
558:
542:Factorials that are products of smaller factorials
531:
355:
335:
306:
286:
266:
240:
220:
200:
100:
52:
830:{\displaystyle 10!=6!\cdot 7!=3!\cdot 5!\cdot 7!}
566:, except 2, has the property that its factorial
1025:Journal für die reine und angewandte Mathematik
1278:
1226:(2004), "B23: Equal products of factorials",
762:{\displaystyle 9!=2!\cdot 3!\cdot 3!\cdot 7!}
8:
3146:
3110:
3074:
3038:
2998:
2672:
2637:
2623:
2512:
2255:
2238:
2153:
2108:
1985:
1943:
1831:
1697:
1688:
1675:
1622:
1579:Possessing a specific set of other numbers
1574:
1508:
1460:
1398:
1302:
1285:
1271:
1263:
1184:
1154:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
1117:
1076:
973:
955:
935:
885:
862:
842:
774:
715:
692:
672:
644:
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571:
551:
472:
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371:
348:
319:
299:
279:
253:
233:
213:
193:
126:of a tree. These numbers are named after
66:
45:
1007:
923:{\displaystyle 16!=2!\cdot 5!\cdot 14!}
1138:
1136:
101:{\displaystyle 480=2!\cdot 2!\cdot 5!}
137:These numbers grow more quickly than
7:
991:{\displaystyle 16!=2!^{4}\cdot 15!}
1228:Unsolved problems in number theory
185:containing all of the factorials.
14:
267:{\displaystyle \varepsilon >0}
60:is a Jordan–Pólya number because
3180:
2788:Perfect digit-to-digit invariant
632:{\displaystyle n!=n\cdot (n-1)!}
165:of Jordan–Pólya numbers begins:
1105:Journal of Combinatorial Theory
1020:"Sur les assemblages de lignes"
274:, and every sufficiently large
623:
611:
469:
457:
442:
436:
394:
382:
343:of Jordan–Pólya numbers up to
330:
324:
1:
3212:Factorial and binomial topics
1627:Expressible via specific sums
1119:10.1016/0095-8956(77)90049-1
857:in the product expansion of
307:{\displaystyle \varepsilon }
248:. More precisely, for every
20:A tree that (as an abstract
2716:Multiplicative digital root
183:multiplicatively closed set
3238:
1144:Sloane, N. J. A.
546:Every Jordan–Pólya number
3176:
3159:
3145:
3123:
3109:
3087:
3073:
3051:
3037:
3010:
2997:
2793:Perfect digital invariant
2636:
2622:
2530:
2511:
2368:Superior highly composite
2254:
2237:
2165:
2152:
2120:
2107:
1995:
1984:
1687:
1674:
1632:
1621:
1584:
1573:
1521:
1507:
1470:
1459:
1412:
1397:
1315:
1301:
1236:10.1007/978-0-387-26677-0
2406:Euler's totient function
2190:Euler–Jacobi pseudoprime
1465:Other polynomial numbers
1100:Golumbic, Martin Charles
1038:10.1515/crll.1869.70.185
667:, that the only numbers
157:Sequence and growth rate
2220:Somer–Lucas pseudoprime
2210:Lucas–Carmichael number
2045:Lazy caterer's sequence
181:They form the smallest
147:transitive orientations
3217:Algebraic graph theory
2095:Wedderburn–Etherington
1495:Lucky numbers of Euler
1169:De Koninck, Jean-Marie
992:
944:
924:
874:
851:
831:
763:
704:
681:
653:
633:
583:
560:
533:
357:
337:
308:
288:
268:
242:
222:
202:
102:
54:
25:
2383:Prime omega functions
2200:Frobenius pseudoprime
1990:Combinatorial numbers
1859:Centered dodecahedral
1652:Primary pseudoperfect
1173:Archivum Mathematicum
993:
945:
925:
875:
852:
832:
764:
705:
682:
654:
634:
584:
561:
534:
358:
338:
309:
289:
269:
243:
223:
203:
141:but more slowly than
103:
55:
19:
3222:Trees (graph theory)
2842:-composition related
2642:Arithmetic functions
2244:Arithmetic functions
2180:Elliptic pseudoprime
1864:Centered icosahedral
1844:Centered tetrahedral
1195:10.5817/am2020-3-141
954:
934:
884:
861:
841:
773:
714:
691:
671:
643:
593:
570:
550:
370:
347:
336:{\displaystyle J(x)}
318:
298:
278:
252:
232:
212:
192:
151:comparability graphs
65:
44:
34:Jordan–Pólya numbers
2768:Kaprekar's constant
2288:Colossally abundant
2175:Catalan pseudoprime
2075:Schröder–Hipparchus
1854:Centered octahedral
1730:Centered heptagonal
1720:Centered pentagonal
1710:Centered triangular
1310:and related numbers
639:and then replacing
53:{\displaystyle 480}
3186:Mathematics portal
3128:Aronson's sequence
2874:Smarandache–Wellin
2631:-dependent numbers
2338:Primitive abundant
2225:Strong pseudoprime
2215:Perrin pseudoprime
2195:Fermat pseudoprime
2135:Wolstenholme prime
1959:Squared triangular
1745:Centered decagonal
1740:Centered nonagonal
1735:Centered octagonal
1725:Centered hexagonal
1078:10.1007/BF02546665
988:
943:{\displaystyle 16}
940:
920:
873:{\displaystyle n!}
870:
847:
827:
759:
703:{\displaystyle n!}
700:
677:
649:
629:
582:{\displaystyle n!}
579:
556:
529:
353:
333:
304:
284:
264:
238:
218:
198:
124:automorphism group
98:
50:
26:
3207:Integer sequences
3194:
3193:
3172:
3171:
3141:
3140:
3105:
3104:
3069:
3068:
3033:
3032:
2993:
2992:
2989:
2988:
2808:
2807:
2618:
2617:
2507:
2506:
2503:
2502:
2449:Aliquot sequences
2260:Divisor functions
2233:
2232:
2205:Lucas pseudoprime
2185:Euler pseudoprime
2170:Carmichael number
2148:
2147:
2103:
2102:
1980:
1979:
1976:
1975:
1972:
1971:
1933:
1932:
1821:
1820:
1778:Square triangular
1670:
1669:
1617:
1616:
1569:
1568:
1503:
1502:
1455:
1454:
1393:
1392:
1157:, OEIS Foundation
850:{\displaystyle n}
680:{\displaystyle n}
652:{\displaystyle n}
559:{\displaystyle n}
524:
483:
428:
408:
356:{\displaystyle x}
287:{\displaystyle x}
241:{\displaystyle n}
221:{\displaystyle n}
201:{\displaystyle n}
3229:
3184:
3147:
3116:Natural language
3111:
3075:
3043:Generated via a
3039:
2999:
2904:Digit-reassembly
2869:Self-descriptive
2673:
2638:
2624:
2575:Lucas–Carmichael
2565:Harmonic divisor
2513:
2439:Sparsely totient
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2859:Repdigit
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