1891:
2628:
The notion of
Kuranishi structure was a way of defining a virtual fundamental cycle, which plays the same role as a fundamental cycle when the moduli space is cut out transversely. It was first used by Fukaya and Ono in defining the Gromov–Witten invariants and Floer homology, and was further
2264:
1565:
1625:
114:
1403:
2561:
is not semi-positive (for example, a smooth projective variety with negative first Chern class), the moduli space may contain configurations for which one component is a multiple cover of a holomorphic sphere
1263:
1060:
899:
801:
343:
668:
602:
2340:
1174:
2129:
2480:
481:
2117:
1113:
2599:
1410:
426:
1293:
703:
1886:{\displaystyle {\Big (}\{K_{p}=(U_{p},E_{p},S_{p},F_{p},\psi _{p})\ |\ p\in X\},\ \{T_{pq}=(U_{pq},\phi _{pq},{\hat {\phi }}_{pq})\ |\ p\in X,\ q\in F_{p}\}{\Big )},}
2000:
194:
2054:
2027:
1928:
957:
930:
510:
380:
2623:
2559:
2539:
2512:
2427:
2404:
2384:
2360:
1968:
1948:
1613:
1593:
530:
238:
218:
158:
31:
1305:
2832:
2765:
28:
structure. If a topological space is endowed with a
Kuranishi structure, then locally it can be identified with the zero set of a smooth map
1181:
969:
2721:
2625:
is negative. Such configurations make the moduli space very singular so a fundamental class cannot be defined in the usual way.
806:
708:
250:
615:
537:
2288:
2814:
2757:
2705:
2430:
121:
2259:{\displaystyle \phi _{pq}\circ \phi _{qr}=\phi _{pr},\ {\hat {\phi }}_{pq}\circ {\hat {\phi }}_{qr}={\hat {\phi }}_{pr}}
116:, or the quotient of such a zero set by a finite group. Kuranishi structures were introduced by Japanese mathematicians
2282:
2806:
1120:
2442:
433:
2519:
2067:
1560:{\displaystyle \psi _{p}\circ \phi _{pq}|_{S_{q}^{-1}(0)\cap U_{pq}}=\psi _{q}|_{S_{q}^{-1}(0)\cap U_{pq}}}
1075:
2565:
25:
2490:
If the moduli space is a smooth, compact, oriented manifold or orbifold, then the integration (or a
391:
2407:
2818:
2659:
129:
1268:
2859:
2828:
2779:
2761:
2717:
2491:
676:
167:
2709:
2668:
1975:
173:
2842:
2791:
2775:
2756:. AMS/IP Studies in Advanced Mathematics. Vol. 46. Providence, RI and Somerville, MA:
2731:
2680:
2518:, this is indeed the case (except for codimension 2 boundaries of the moduli space) if the
2032:
2005:
1906:
935:
908:
488:
358:
2838:
2788:
2771:
2727:
2676:
2363:
2704:. American Mathematical Society Colloquium Publications. Vol. 52. Providence, RI:
2634:
2608:
2544:
2524:
2497:
2412:
2389:
2369:
2345:
1953:
1933:
1598:
1578:
515:
223:
203:
143:
125:
2672:
2853:
605:
161:
2285:, one needs to define integration over the moduli space of pseudoholomorphic curves
2805:; Tehrani, Mohammad F. (2019). "Gromov-Witten theory via Kuranishi structures". In
2802:
2749:
2745:
2654:
2630:
117:
109:{\displaystyle (f_{1},\ldots ,f_{k})\colon \mathbb {R} ^{n+k}\to \mathbb {R} ^{k}}
2754:
Lagrangian intersection floer theory: anomaly and obstruction, Part I and Part II
2694:
2602:
1398:{\displaystyle S_{p}\circ \phi _{pq}={\hat {\phi }}_{pq}\circ S_{q}|_{U_{pq}}}
164:
2783:
1299:
In addition, these data must satisfy the following compatibility conditions:
383:
17:
2713:
2813:. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 237. Providence, RI:
2657:; Ono, Kaoru (1999). "Arnold Conjecture and Gromov–Witten Invariant".
2823:
1258:{\displaystyle {\hat {\phi }}_{pq}\colon E_{q}|_{U_{pq}}\to E_{p}}
1055:{\displaystyle T_{pq}=(U_{pq},\phi _{pq},{\hat {\phi }}_{pq}),}
2296:
894:{\displaystyle K_{q}=(U_{q},E_{q},S_{q},F_{q},\psi _{q})}
796:{\displaystyle K_{p}=(U_{p},E_{p},S_{p},F_{p},\psi _{p})}
338:{\displaystyle K_{p}=(U_{p},E_{p},S_{p},F_{p},\psi _{p})}
901:
are their
Kuranishi neighborhoods respectively, then a
663:{\displaystyle \dim U_{p}-\operatorname {rank} E_{p}=k}
2342:. This moduli space is roughly the collection of maps
597:{\displaystyle \psi _{p}\colon S_{p}^{-1}(0)\to F_{p}}
2611:
2568:
2547:
2527:
2500:
2445:
2415:
2392:
2372:
2348:
2335:{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)}
2291:
2132:
2070:
2060:
In addition, the coordinate changes must satisfy the
2035:
2008:
1978:
1956:
1936:
1909:
1628:
1601:
1581:
1413:
1308:
1271:
1184:
1123:
1078:
972:
938:
911:
809:
711:
679:
618:
540:
518:
491:
436:
394:
361:
253:
226:
206:
176:
146:
34:
1265:
is an orbifold vector bundle embedding which covers
2617:
2593:
2553:
2533:
2506:
2474:
2421:
2398:
2378:
2354:
2334:
2258:
2111:
2048:
2021:
1994:
1962:
1942:
1922:
1885:
1607:
1587:
1559:
1397:
1287:
1257:
1168:
1107:
1054:
951:
924:
893:
795:
697:
662:
596:
524:
504:
475:
420:
374:
337:
232:
212:
188:
152:
108:
2811:Virtual fundamental cycles in symplectic topology
1875:
1631:
1169:{\displaystyle \phi _{pq}\colon U_{pq}\to U_{p}}
2494:) can be defined. When the symplectic manifold
2273:over the regions where both sides are defined.
2475:{\displaystyle {\overline {\partial }}_{J}u=0}
128:in symplectic geometry, and were named after
8:
1870:
1749:
1740:
1636:
2702:-holomorphic curves and symplectic topology
476:{\displaystyle S_{p}\colon U_{p}\to E_{p}}
2822:
2610:
2579:
2567:
2546:
2526:
2499:
2457:
2447:
2444:
2429:, such that each component satisfies the
2414:
2391:
2371:
2347:
2305:
2295:
2293:
2290:
2247:
2236:
2235:
2222:
2211:
2210:
2197:
2186:
2185:
2169:
2153:
2137:
2131:
2103:
2081:
2069:
2040:
2034:
2013:
2007:
1983:
1977:
1955:
1935:
1914:
1908:
1874:
1873:
1864:
1831:
1816:
1805:
1804:
1791:
1775:
1756:
1723:
1711:
1698:
1685:
1672:
1659:
1643:
1630:
1629:
1627:
1600:
1580:
1546:
1521:
1516:
1511:
1506:
1499:
1481:
1456:
1451:
1446:
1441:
1431:
1418:
1412:
1384:
1379:
1374:
1367:
1351:
1340:
1339:
1326:
1313:
1307:
1276:
1270:
1249:
1231:
1226:
1221:
1214:
1198:
1187:
1186:
1183:
1160:
1144:
1128:
1122:
1099:
1083:
1077:
1037:
1026:
1025:
1012:
996:
977:
971:
943:
937:
916:
910:
882:
869:
856:
843:
830:
814:
808:
784:
771:
758:
745:
732:
716:
710:
678:
648:
629:
617:
588:
563:
558:
545:
539:
517:
496:
490:
467:
454:
441:
435:
412:
399:
393:
366:
360:
326:
313:
300:
287:
274:
258:
252:
225:
205:
175:
145:
100:
96:
95:
79:
75:
74:
61:
42:
33:
2541:is perturbed generically. However, when
2646:
2112:{\displaystyle q\in F_{p},\ r\in F_{q}}
7:
2752:; Ohta, Hiroshi; Ono, Kaoru (2009).
2635:Lagrangian intersection Floer theory
1108:{\displaystyle U_{pq}\subset U_{q}}
428:is a smooth orbifold vector bundle;
2601:whose intersection with the first
2594:{\displaystyle u\colon S^{2}\to X}
2449:
14:
2633:, Hiroshi Ohta, and Ono studied
1930:is a Kuranishi neighborhood of
2585:
2329:
2317:
2241:
2216:
2191:
1832:
1825:
1810:
1768:
1724:
1717:
1652:
1536:
1530:
1507:
1471:
1465:
1442:
1375:
1345:
1242:
1222:
1192:
1153:
1046:
1031:
989:
888:
823:
790:
725:
581:
578:
572:
460:
421:{\displaystyle E_{p}\to U_{p}}
405:
332:
267:
120:and Kaoru Ono in the study of
91:
67:
35:
16:In mathematics, especially in
1:
2815:American Mathematical Society
2758:American Mathematical Society
2706:American Mathematical Society
2673:10.1016/S0040-9383(98)00042-1
2452:
2300:
2002:is a coordinate change from
2697:; Salamon, Dietmar (2004).
512:is an open neighborhood of
2876:
1288:{\displaystyle \phi _{pq}}
2760:and International Press.
1176:is an orbifold embedding;
612:They should satisfy that
2520:almost complex structure
1115:is an open sub-orbifold;
698:{\displaystyle p,q\in X}
122:Gromov–Witten invariants
24:is a smooth analogue of
2629:developed when Fukaya,
2431:Cauchy–Riemann equation
2619:
2595:
2555:
2535:
2508:
2476:
2423:
2400:
2380:
2356:
2336:
2260:
2113:
2050:
2023:
1996:
1995:{\displaystyle T_{pq}}
1964:
1944:
1924:
1887:
1609:
1589:
1561:
1399:
1289:
1259:
1170:
1109:
1056:
953:
926:
895:
797:
699:
664:
598:
526:
506:
477:
422:
376:
339:
234:
214:
198:Kuranishi neighborhood
190:
189:{\displaystyle p\in X}
154:
110:
2620:
2596:
2556:
2536:
2509:
2477:
2424:
2406:marked points into a
2401:
2381:
2357:
2337:
2261:
2114:
2051:
2049:{\displaystyle K_{p}}
2024:
2022:{\displaystyle K_{q}}
1997:
1965:
1945:
1925:
1923:{\displaystyle K_{p}}
1888:
1610:
1590:
1562:
1400:
1290:
1260:
1171:
1110:
1057:
954:
952:{\displaystyle K_{p}}
927:
925:{\displaystyle K_{q}}
896:
798:
700:
665:
599:
527:
507:
505:{\displaystyle F_{p}}
478:
423:
377:
375:{\displaystyle U_{p}}
340:
235:
215:
191:
155:
111:
2817:. pp. 111–252.
2609:
2566:
2545:
2525:
2498:
2443:
2413:
2390:
2370:
2346:
2289:
2283:Gromov–Witten theory
2130:
2068:
2033:
2006:
1976:
1954:
1934:
1907:
1626:
1599:
1579:
1411:
1306:
1269:
1182:
1121:
1076:
970:
936:
909:
807:
709:
677:
616:
538:
516:
489:
483:is a smooth section;
434:
392:
359:
251:
224:
204:
174:
144:
32:
2408:symplectic manifold
2064:, namely, whenever
1573:Kuranishi structure
1529:
1464:
571:
22:Kuranishi structure
2615:
2591:
2551:
2531:
2504:
2472:
2419:
2396:
2376:
2352:
2332:
2256:
2119:, we require that
2109:
2046:
2019:
1992:
1960:
1940:
1920:
1883:
1605:
1585:
1557:
1512:
1447:
1395:
1285:
1255:
1166:
1105:
1052:
949:
922:
891:
793:
695:
660:
594:
554:
522:
502:
473:
418:
372:
335:
230:
210:
186:
150:
130:Masatake Kuranishi
106:
2834:978-1-4704-5014-4
2767:978-0-8218-4836-4
2618:{\displaystyle X}
2554:{\displaystyle X}
2534:{\displaystyle J}
2507:{\displaystyle X}
2492:fundamental class
2455:
2422:{\displaystyle X}
2399:{\displaystyle n}
2379:{\displaystyle g}
2355:{\displaystyle u}
2303:
2244:
2219:
2194:
2183:
2092:
2062:cocycle condition
1963:{\displaystyle k}
1943:{\displaystyle p}
1853:
1838:
1830:
1813:
1748:
1730:
1722:
1608:{\displaystyle k}
1588:{\displaystyle X}
1348:
1195:
1034:
903:coordinate change
525:{\displaystyle p}
233:{\displaystyle k}
213:{\displaystyle p}
168:topological space
153:{\displaystyle X}
2867:
2846:
2826:
2794:
2787:
2742:
2736:
2735:
2714:10.1090/coll/052
2691:
2685:
2684:
2651:
2624:
2622:
2621:
2616:
2600:
2598:
2597:
2592:
2584:
2583:
2560:
2558:
2557:
2552:
2540:
2538:
2537:
2532:
2513:
2511:
2510:
2505:
2481:
2479:
2478:
2473:
2462:
2461:
2456:
2448:
2428:
2426:
2425:
2420:
2405:
2403:
2402:
2397:
2385:
2383:
2382:
2377:
2361:
2359:
2358:
2353:
2341:
2339:
2338:
2333:
2316:
2315:
2304:
2299:
2294:
2265:
2263:
2262:
2257:
2255:
2254:
2246:
2245:
2237:
2230:
2229:
2221:
2220:
2212:
2205:
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