3293:
3540:
3560:
3550:
2572:
309:
1287:
2306:
126:
1127:
2259:
2567:{\displaystyle {\begin{aligned}(G\circ F)(f)&=G(F(f))\\&=G((\eta _{Y}\circ f)^{*})\\&=\mu _{Y}\circ T(\eta _{Y}\circ f)\\&=\mu _{Y}\circ T\eta _{Y}\circ Tf\\&={\text{id}}_{TY}\circ Tf\\&=Tf.\end{aligned}}}
2061:
450:
519:
An alternative way of writing this, which clarifies the category in which each object lives, is used by Mac Lane. We use very slightly different notation for this presentation. Given the same monad and category
834:
1933:
1402:
304:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Obj} ({{\mathcal {C}}_{T}})&=\mathrm {Obj} ({\mathcal {C}}),\\\mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{T}}(X,Y)&=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,TY).\end{aligned}}}
1784:
935:
2311:
2144:
1132:
131:
1116:
1282:{\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{X}^{\sharp }&=\mathrm {id} _{TX}\\f^{\sharp }\circ \eta _{X}&=f\\(g^{\sharp }\circ f)^{\sharp }&=g^{\sharp }\circ f^{\sharp }\end{aligned}}}
1614:
1046:
513:
713:
1493:
1537:
2683:
2625:
640:
1847:
2723:
2139:
1710:
2294:
864:
740:
605:
1557:
1445:
1425:
660:
578:
558:
538:
2937:
1960:
2764:
354:
3589:
2843:
1627:
Kleisli categories were originally defined in order to show that every monad arises from an adjunction. That construction is as follows.
748:
1853:
2808:
2777:
1655:
be the associated
Kleisli category. Using Mac Lane's notation mentioned in the âFormal definitionâ section above, define a functor
1347:
1716:
872:
2930:
2769:
68:
3134:
3089:
62:
3563:
3503:
1066:
1562:
3553:
3339:
3203:
3111:
2800:
999:
3584:
3512:
3156:
3094:
3017:
473:
665:
3543:
3499:
3104:
2923:
1450:
3099:
3081:
96:
53:
43:
3306:
3072:
3052:
2975:
39:
3188:
3027:
1501:
2638:
2580:
3000:
2995:
610:
3344:
3292:
3222:
3218:
3022:
2254:{\displaystyle {\begin{aligned}(G\circ F)(X)&=G(F(X))\\&=G(X_{T})\\&=TX.\end{aligned}}}
3198:
3193:
3175:
3057:
3032:
1812:
2696:
1678:
3507:
3444:
3432:
3334:
3259:
3254:
3212:
3208:
2990:
2985:
2849:
2839:
2804:
2773:
2759:
2267:
1316:. It follows trivially from these properties that Kleisli composition is associative and that
3468:
3354:
3329:
3264:
3244:
3183:
3012:
2980:
2885:
2814:
2783:
72:
2881:
842:
718:
583:
3380:
2946:
2889:
2877:
2818:
2787:
31:
3417:
3412:
3396:
3359:
3349:
3269:
2861:
1542:
1430:
1410:
645:
563:
543:
523:
3578:
3407:
3239:
3116:
3042:
2797:
Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory
2865:
2830:
3161:
3062:
3422:
2903:
3402:
3274:
3144:
2826:
2056:{\displaystyle \varepsilon _{Y_{T}}=(\mathrm {id} _{TY})^{*}:(TY)_{T}\to Y_{T}.}
50:
3454:
3392:
3005:
2853:
17:
3448:
3139:
445:{\displaystyle g\circ _{T}f=\mu _{Z}\circ Tg\circ f:X\to TY\to T^{2}Z\to TZ}
1619:
such that the above three equations for extension operators are satisfied.
945:
Composition of
Kleisli arrows can be expressed succinctly by means of the
59:. The Kleisli category is one of two extremal solutions to the question: "
3517:
3149:
3047:
3487:
3477:
3126:
3037:
3482:
2726:
829:{\displaystyle g^{*}\circ _{T}f^{*}=(\mu _{Z}\circ Tg\circ f)^{*}.}
3364:
2915:
2799:. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 97.
2907:
1928:{\displaystyle G(f^{*}\colon X_{T}\to Y_{T})=\mu _{Y}\circ Tf\;}
3304:
2957:
2919:
2870:
Cahiers de
Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques
1397:{\displaystyle T\colon \mathrm {ob} (C)\to \mathrm {ob} (C)}
270:
221:
190:
152:
2094:⟩ is the monad associated to the adjunction ⟨
715:. Together, these objects and morphisms form our category
2795:
Pedicchio, Maria
Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004).
1779:{\displaystyle F(f\colon X\to Y)=(\eta _{Y}\circ f)^{*}}
930:{\displaystyle \mathrm {id} _{X_{T}}=(\eta _{X})^{*}.}
2699:
2641:
2583:
2309:
2270:
2142:
1963:
1856:
1815:
1719:
1681:
1565:
1545:
1504:
1453:
1433:
1413:
1350:
1130:
1069:
1002:
875:
845:
751:
721:
668:
648:
613:
586:
566:
546:
526:
476:
357:
129:
71:. Kleisli categories are named for the mathematician
3467:
3431:
3379:
3372:
3323:
3232:
3174:
3125:
3080:
3071:
2968:
463:. The identity morphism is given by the monad unit
2717:
2677:
2619:
2566:
2288:
2253:
2055:
1927:
1841:
1778:
1704:
1608:
1551:
1531:
1487:
1439:
1419:
1396:
1281:
1110:
1040:
929:
858:
828:
734:
707:
654:
634:
599:
572:
552:
532:
507:
444:
303:
1121:The extension operator satisfies the identities:
1111:{\displaystyle g\circ _{T}f=g^{\sharp }\circ f.}
2866:"Enveloppe Karoubienne et categorie de Kleisli"
1609:{\displaystyle f^{\sharp }\colon T(A)\to T(B)}
2931:
1041:{\displaystyle f^{\sharp }=\mu _{Y}\circ Tf.}
8:
1954:. The counit of the adjunction is given by
508:{\displaystyle \mathrm {id} _{X}=\eta _{X}}
3559:
3549:
3376:
3320:
3301:
3077:
2965:
2954:
2938:
2924:
2916:
1924:
1838:
1701:
708:{\displaystyle f^{*}\colon X_{T}\to Y_{T}}
2698:
2640:
2582:
2523:
2518:
2492:
2476:
2447:
2428:
2405:
2389:
2310:
2308:
2269:
2219:
2143:
2141:
2044:
2031:
2009:
1996:
1988:
1973:
1968:
1962:
1909:
1893:
1880:
1867:
1855:
1823:
1814:
1770:
1754:
1718:
1695:
1680:
1570:
1564:
1544:
1503:
1488:{\displaystyle \eta _{A}\colon A\to T(A)}
1458:
1452:
1432:
1412:
1377:
1357:
1349:
1269:
1256:
1239:
1223:
1196:
1183:
1166:
1158:
1144:
1139:
1131:
1129:
1093:
1077:
1068:
1020:
1007:
1001:
918:
908:
890:
885:
877:
874:
850:
844:
817:
792:
776:
766:
756:
750:
726:
720:
699:
686:
673:
667:
647:
612:
591:
585:
565:
545:
525:
499:
486:
478:
475:
424:
381:
365:
356:
269:
268:
257:
226:
220:
219:
217:
206:
189:
188:
174:
157:
151:
150:
148:
134:
130:
128:
120:whose objects and morphisms are given by
2772:. Vol. 5 (2nd ed.). Springer.
2765:Categories for the Working Mathematician
2747:Categories for the Working Mathematician
540:as above, we associate with each object
326:) can also be regarded as a morphism in
2737:
941:Extension operators and Kleisli triples
1328:In fact, to give a monad is to give a
49:. It is equivalent to the category of
67:" The other extremal solution is the
7:
1642:⟩ be a monad over a category
1051:Composition in the Kleisli category
1992:
1989:
1571:
1381:
1378:
1361:
1358:
1270:
1257:
1240:
1224:
1184:
1162:
1159:
1145:
1094:
1008:
881:
878:
482:
479:
264:
261:
258:
213:
210:
207:
181:
178:
175:
141:
138:
135:
25:
1532:{\displaystyle f\colon A\to T(B)}
3558:
3548:
3539:
3538:
3291:
2678:{\displaystyle (G\circ F)(f)=Tf}
2620:{\displaystyle (G\circ F)(X)=TX}
635:{\displaystyle f\colon X\to TY}
339:). Composition of morphisms in
61:Does every monad arise from an
2663:
2657:
2654:
2642:
2605:
2599:
2596:
2584:
2459:
2440:
2411:
2402:
2382:
2379:
2363:
2360:
2354:
2348:
2335:
2329:
2326:
2314:
2280:
2225:
2212:
2196:
2193:
2187:
2181:
2168:
2162:
2159:
2147:
2037:
2028:
2018:
2006:
1984:
1899:
1886:
1860:
1767:
1747:
1741:
1735:
1723:
1603:
1597:
1591:
1588:
1582:
1526:
1520:
1514:
1482:
1476:
1470:
1391:
1385:
1374:
1371:
1365:
1236:
1216:
915:
901:
839:Then the identity morphism in
814:
785:
692:
623:
433:
417:
408:
291:
276:
246:
234:
195:
185:
164:
145:
1:
3590:Categories in category theory
2770:Graduate Texts in Mathematics
1946:are indeed functors and that
42:naturally associated to any
3233:Constructions on categories
2066:Finally, one can show that
1842:{\displaystyle GY_{T}=TY\;}
3606:
3340:Higher-dimensional algebra
2832:Category Theory in Context
2801:Cambridge University Press
2718:{\displaystyle G\circ F=T}
1705:{\displaystyle FX=X_{T}\;}
3534:
3313:
3300:
3289:
2964:
2953:
2685:is true for any morphism
977:⟩ over a category
965:). Given a monad ⟨
2864:; Guitart, Rene (1992).
2289:{\displaystyle f:X\to Y}
607:, and for each morphism
314:That is, every morphism
69:EilenbergâMoore category
3150:Cokernels and quotients
3073:Universal constructions
2627:is true for any object
3307:Higher category theory
3053:Natural transformation
2838:. Dover Publications.
2719:
2679:
2621:
2568:
2290:
2255:
2057:
1929:
1843:
1780:
1706:
1610:
1553:
1533:
1489:
1441:
1421:
1398:
1283:
1112:
1042:
931:
860:
830:
736:
709:
656:
636:
601:
574:
554:
534:
509:
446:
305:
2720:
2680:
2622:
2569:
2291:
2256:
2058:
1930:
1844:
1781:
1707:
1611:
1554:
1534:
1490:
1442:
1422:
1399:
1340:, (â)⟩, i.e.
1284:
1113:
1043:
932:
861:
859:{\displaystyle C_{T}}
831:
737:
735:{\displaystyle C_{T}}
710:
657:
637:
602:
600:{\displaystyle X_{T}}
575:
555:
535:
510:
447:
306:
3176:Algebraic categories
2697:
2639:
2581:
2307:
2268:
2140:
1961:
1854:
1813:
1717:
1679:
1563:
1543:
1502:
1451:
1431:
1411:
1348:
1128:
1067:
1060:can then be written
1000:
873:
843:
749:
719:
666:
646:
611:
584:
564:
544:
524:
474:
355:
127:
3345:Homotopy hypothesis
3023:Commutative diagram
1950:is left adjoint to
1663: →
1149:
335:(but with codomain
3058:Universal property
2760:Mac Lane, Saunders
2715:
2675:
2617:
2564:
2562:
2286:
2251:
2249:
2053:
1938:One can show that
1925:
1839:
1776:
1702:
1623:Kleisli adjunction
1606:
1549:
1529:
1498:For each morphism
1485:
1437:
1417:
1394:
1279:
1277:
1135:
1108:
1038:
947:extension operator
927:
856:
826:
742:, where we define
732:
705:
652:
632:
597:
570:
550:
530:
505:
442:
301:
299:
3572:
3571:
3530:
3529:
3526:
3525:
3508:monoidal category
3463:
3462:
3335:Enriched category
3287:
3286:
3283:
3282:
3260:Quotient category
3255:Opposite category
3170:
3169:
2845:978-0-486-80903-8
2745:Mac Lane (1998).
2521:
1552:{\displaystyle C}
1440:{\displaystyle C}
1420:{\displaystyle A}
1325:is the identity.
655:{\displaystyle C}
573:{\displaystyle C}
553:{\displaystyle X}
533:{\displaystyle C}
79:Formal definition
16:(Redirected from
3597:
3585:Adjoint functors
3562:
3561:
3552:
3551:
3542:
3541:
3377:
3355:Simplex category
3330:Categorification
3321:
3302:
3295:
3265:Product category
3250:Kleisli category
3245:Functor category
3090:Terminal objects
3078:
3013:Adjoint functors
2966:
2955:
2940:
2933:
2926:
2917:
2904:Kleisli category
2893:
2857:
2837:
2822:
2791:
2751:
2750:
2742:
2724:
2722:
2721:
2716:
2684:
2682:
2681:
2676:
2626:
2624:
2623:
2618:
2573:
2571:
2570:
2565:
2563:
2544:
2531:
2530:
2522:
2519:
2510:
2497:
2496:
2481:
2480:
2465:
2452:
2451:
2433:
2432:
2417:
2410:
2409:
2394:
2393:
2369:
2295:
2293:
2292:
2287:
2260:
2258:
2257:
2252:
2250:
2231:
2224:
2223:
2202:
2082:so that ⟨
2062:
2060:
2059:
2054:
2049:
2048:
2036:
2035:
2014:
2013:
2004:
2003:
1995:
1980:
1979:
1978:
1977:
1934:
1932:
1931:
1926:
1914:
1913:
1898:
1897:
1885:
1884:
1872:
1871:
1848:
1846:
1845:
1840:
1828:
1827:
1785:
1783:
1782:
1777:
1775:
1774:
1759:
1758:
1711:
1709:
1708:
1703:
1700:
1699:
1615:
1613:
1612:
1607:
1575:
1574:
1558:
1556:
1555:
1550:
1538:
1536:
1535:
1530:
1494:
1492:
1491:
1486:
1463:
1462:
1446:
1444:
1443:
1438:
1426:
1424:
1423:
1418:
1407:For each object
1403:
1401:
1400:
1395:
1384:
1364:
1288:
1286:
1285:
1280:
1278:
1274:
1273:
1261:
1260:
1244:
1243:
1228:
1227:
1201:
1200:
1188:
1187:
1174:
1173:
1165:
1148:
1143:
1117:
1115:
1114:
1109:
1098:
1097:
1082:
1081:
1047:
1045:
1044:
1039:
1025:
1024:
1012:
1011:
936:
934:
933:
928:
923:
922:
913:
912:
897:
896:
895:
894:
884:
865:
863:
862:
857:
855:
854:
835:
833:
832:
827:
822:
821:
797:
796:
781:
780:
771:
770:
761:
760:
741:
739:
738:
733:
731:
730:
714:
712:
711:
706:
704:
703:
691:
690:
678:
677:
661:
659:
658:
653:
641:
639:
638:
633:
606:
604:
603:
598:
596:
595:
579:
577:
576:
571:
559:
557:
556:
551:
539:
537:
536:
531:
514:
512:
511:
506:
504:
503:
491:
490:
485:
461:g: Y → T Z
457:f: X → T Y
451:
449:
448:
443:
429:
428:
386:
385:
370:
369:
316:f: X → T Y
310:
308:
307:
302:
300:
275:
274:
273:
267:
233:
232:
231:
230:
225:
224:
216:
194:
193:
184:
163:
162:
161:
156:
155:
144:
111:is the category
105:Kleisli category
99:over a category
73:Heinrich Kleisli
36:Kleisli category
21:
3605:
3604:
3600:
3599:
3598:
3596:
3595:
3594:
3575:
3574:
3573:
3568:
3522:
3492:
3459:
3436:
3427:
3384:
3368:
3319:
3309:
3296:
3279:
3228:
3166:
3135:Initial objects
3121:
3067:
2960:
2949:
2947:Category theory
2944:
2900:
2862:Riguet, Jacques
2860:
2846:
2835:
2825:
2811:
2794:
2780:
2758:
2755:
2754:
2744:
2743:
2739:
2734:
2695:
2694:
2637:
2636:
2579:
2578:
2561:
2560:
2542:
2541:
2517:
2508:
2507:
2488:
2472:
2463:
2462:
2443:
2424:
2415:
2414:
2401:
2385:
2367:
2366:
2338:
2305:
2304:
2266:
2265:
2248:
2247:
2229:
2228:
2215:
2200:
2199:
2171:
2138:
2137:
2125:For any object
2123:
2040:
2027:
2005:
1987:
1969:
1964:
1959:
1958:
1905:
1889:
1876:
1863:
1852:
1851:
1819:
1811:
1810:
1801:
1766:
1750:
1715:
1714:
1691:
1677:
1676:
1671:
1654:
1625:
1566:
1561:
1560:
1541:
1540:
1500:
1499:
1454:
1449:
1448:
1429:
1428:
1409:
1408:
1346:
1345:
1324:
1276:
1275:
1265:
1252:
1245:
1235:
1219:
1213:
1212:
1202:
1192:
1179:
1176:
1175:
1157:
1150:
1126:
1125:
1089:
1073:
1065:
1064:
1059:
1016:
1003:
998:
997:
981:and a morphism
949:(â) : Hom(
943:
914:
904:
886:
876:
871:
870:
846:
841:
840:
813:
788:
772:
762:
752:
747:
746:
722:
717:
716:
695:
682:
669:
664:
663:
644:
643:
609:
608:
587:
582:
581:
562:
561:
542:
541:
522:
521:
495:
477:
472:
471:
420:
377:
361:
353:
352:
347:
334:
322:(with codomain
298:
297:
256:
249:
218:
205:
202:
201:
167:
149:
125:
124:
119:
81:
32:category theory
28:
27:Category theory
23:
22:
15:
12:
11:
5:
3603:
3601:
3593:
3592:
3587:
3577:
3576:
3570:
3569:
3567:
3566:
3556:
3546:
3535:
3532:
3531:
3528:
3527:
3524:
3523:
3521:
3520:
3515:
3510:
3496:
3490:
3485:
3480:
3474:
3472:
3465:
3464:
3461:
3460:
3458:
3457:
3452:
3441:
3439:
3434:
3429:
3428:
3426:
3425:
3420:
3415:
3410:
3405:
3400:
3389:
3387:
3382:
3374:
3370:
3369:
3367:
3362:
3360:String diagram
3357:
3352:
3350:Model category
3347:
3342:
3337:
3332:
3327:
3325:
3318:
3317:
3314:
3311:
3310:
3305:
3298:
3297:
3290:
3288:
3285:
3284:
3281:
3280:
3278:
3277:
3272:
3270:Comma category
3267:
3262:
3257:
3252:
3247:
3242:
3236:
3234:
3230:
3229:
3227:
3226:
3216:
3206:
3204:Abelian groups
3201:
3196:
3191:
3186:
3180:
3178:
3172:
3171:
3168:
3167:
3165:
3164:
3159:
3154:
3153:
3152:
3142:
3137:
3131:
3129:
3123:
3122:
3120:
3119:
3114:
3109:
3108:
3107:
3097:
3092:
3086:
3084:
3075:
3069:
3068:
3066:
3065:
3060:
3055:
3050:
3045:
3040:
3035:
3030:
3025:
3020:
3015:
3010:
3009:
3008:
3003:
2998:
2993:
2988:
2983:
2972:
2970:
2962:
2961:
2958:
2951:
2950:
2945:
2943:
2942:
2935:
2928:
2920:
2914:
2913:
2899:
2898:External links
2896:
2895:
2894:
2858:
2844:
2823:
2809:
2792:
2778:
2753:
2752:
2749:. p. 147.
2736:
2735:
2733:
2730:
2714:
2711:
2708:
2705:
2702:
2674:
2671:
2668:
2665:
2662:
2659:
2656:
2653:
2650:
2647:
2644:
2616:
2613:
2610:
2607:
2604:
2601:
2598:
2595:
2592:
2589:
2586:
2575:
2574:
2559:
2556:
2553:
2550:
2547:
2545:
2543:
2540:
2537:
2534:
2529:
2526:
2516:
2513:
2511:
2509:
2506:
2503:
2500:
2495:
2491:
2487:
2484:
2479:
2475:
2471:
2468:
2466:
2464:
2461:
2458:
2455:
2450:
2446:
2442:
2439:
2436:
2431:
2427:
2423:
2420:
2418:
2416:
2413:
2408:
2404:
2400:
2397:
2392:
2388:
2384:
2381:
2378:
2375:
2372:
2370:
2368:
2365:
2362:
2359:
2356:
2353:
2350:
2347:
2344:
2341:
2339:
2337:
2334:
2331:
2328:
2325:
2322:
2319:
2316:
2313:
2312:
2285:
2282:
2279:
2276:
2273:
2262:
2261:
2246:
2243:
2240:
2237:
2234:
2232:
2230:
2227:
2222:
2218:
2214:
2211:
2208:
2205:
2203:
2201:
2198:
2195:
2192:
2189:
2186:
2183:
2180:
2177:
2174:
2172:
2170:
2167:
2164:
2161:
2158:
2155:
2152:
2149:
2146:
2145:
2122:
2112:
2064:
2063:
2052:
2047:
2043:
2039:
2034:
2030:
2026:
2023:
2020:
2017:
2012:
2008:
2002:
1999:
1994:
1991:
1986:
1983:
1976:
1972:
1967:
1936:
1935:
1923:
1920:
1917:
1912:
1908:
1904:
1901:
1896:
1892:
1888:
1883:
1879:
1875:
1870:
1866:
1862:
1859:
1849:
1837:
1834:
1831:
1826:
1822:
1818:
1797:
1789:and a functor
1787:
1786:
1773:
1769:
1765:
1762:
1757:
1753:
1749:
1746:
1743:
1740:
1737:
1734:
1731:
1728:
1725:
1722:
1712:
1698:
1694:
1690:
1687:
1684:
1667:
1650:
1624:
1621:
1617:
1616:
1605:
1602:
1599:
1596:
1593:
1590:
1587:
1584:
1581:
1578:
1573:
1569:
1548:
1528:
1525:
1522:
1519:
1516:
1513:
1510:
1507:
1496:
1484:
1481:
1478:
1475:
1472:
1469:
1466:
1461:
1457:
1436:
1416:
1405:
1393:
1390:
1387:
1383:
1380:
1376:
1373:
1370:
1367:
1363:
1360:
1356:
1353:
1330:Kleisli triple
1320:
1290:
1289:
1272:
1268:
1264:
1259:
1255:
1251:
1248:
1246:
1242:
1238:
1234:
1231:
1226:
1222:
1218:
1215:
1214:
1211:
1208:
1205:
1203:
1199:
1195:
1191:
1186:
1182:
1178:
1177:
1172:
1169:
1164:
1161:
1156:
1153:
1151:
1147:
1142:
1138:
1134:
1133:
1119:
1118:
1107:
1104:
1101:
1096:
1092:
1088:
1085:
1080:
1076:
1072:
1055:
1049:
1048:
1037:
1034:
1031:
1028:
1023:
1019:
1015:
1010:
1006:
957:) → Hom(
942:
939:
938:
937:
926:
921:
917:
911:
907:
903:
900:
893:
889:
883:
880:
853:
849:
837:
836:
825:
820:
816:
812:
809:
806:
803:
800:
795:
791:
787:
784:
779:
775:
769:
765:
759:
755:
729:
725:
702:
698:
694:
689:
685:
681:
676:
672:
651:
631:
628:
625:
622:
619:
616:
594:
590:
569:
549:
529:
517:
516:
502:
498:
494:
489:
484:
481:
453:
452:
441:
438:
435:
432:
427:
423:
419:
416:
413:
410:
407:
404:
401:
398:
395:
392:
389:
384:
380:
376:
373:
368:
364:
360:
343:
330:
312:
311:
296:
293:
290:
287:
284:
281:
278:
272:
266:
263:
260:
255:
252:
250:
248:
245:
242:
239:
236:
229:
223:
215:
212:
209:
204:
203:
200:
197:
192:
187:
183:
180:
177:
173:
170:
168:
166:
160:
154:
147:
143:
140:
137:
133:
132:
115:
95:⟩ be a
80:
77:
26:
24:
18:Kleisli triple
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
3602:
3591:
3588:
3586:
3583:
3582:
3580:
3565:
3557:
3555:
3547:
3545:
3537:
3536:
3533:
3519:
3516:
3514:
3511:
3509:
3505:
3501:
3497:
3495:
3493:
3486:
3484:
3481:
3479:
3476:
3475:
3473:
3470:
3466:
3456:
3453:
3450:
3446:
3443:
3442:
3440:
3438:
3430:
3424:
3421:
3419:
3416:
3414:
3411:
3409:
3408:Tetracategory
3406:
3404:
3401:
3398:
3397:pseudofunctor
3394:
3391:
3390:
3388:
3386:
3378:
3375:
3371:
3366:
3363:
3361:
3358:
3356:
3353:
3351:
3348:
3346:
3343:
3341:
3338:
3336:
3333:
3331:
3328:
3326:
3322:
3316:
3315:
3312:
3308:
3303:
3299:
3294:
3276:
3273:
3271:
3268:
3266:
3263:
3261:
3258:
3256:
3253:
3251:
3248:
3246:
3243:
3241:
3240:Free category
3238:
3237:
3235:
3231:
3224:
3223:Vector spaces
3220:
3217:
3214:
3210:
3207:
3205:
3202:
3200:
3197:
3195:
3192:
3190:
3187:
3185:
3182:
3181:
3179:
3177:
3173:
3163:
3160:
3158:
3155:
3151:
3148:
3147:
3146:
3143:
3141:
3138:
3136:
3133:
3132:
3130:
3128:
3124:
3118:
3117:Inverse limit
3115:
3113:
3110:
3106:
3103:
3102:
3101:
3098:
3096:
3093:
3091:
3088:
3087:
3085:
3083:
3079:
3076:
3074:
3070:
3064:
3061:
3059:
3056:
3054:
3051:
3049:
3046:
3044:
3043:Kan extension
3041:
3039:
3036:
3034:
3031:
3029:
3026:
3024:
3021:
3019:
3016:
3014:
3011:
3007:
3004:
3002:
2999:
2997:
2994:
2992:
2989:
2987:
2984:
2982:
2979:
2978:
2977:
2974:
2973:
2971:
2967:
2963:
2956:
2952:
2948:
2941:
2936:
2934:
2929:
2927:
2922:
2921:
2918:
2912:
2910:
2905:
2902:
2901:
2897:
2891:
2887:
2883:
2879:
2875:
2871:
2867:
2863:
2859:
2855:
2851:
2847:
2841:
2834:
2833:
2828:
2824:
2820:
2816:
2812:
2810:0-521-83414-7
2806:
2802:
2798:
2793:
2789:
2785:
2781:
2779:0-387-98403-8
2775:
2771:
2767:
2766:
2761:
2757:
2756:
2748:
2741:
2738:
2731:
2729:
2728:
2712:
2709:
2706:
2703:
2700:
2692:
2688:
2672:
2669:
2666:
2660:
2651:
2648:
2645:
2634:
2630:
2614:
2611:
2608:
2602:
2593:
2590:
2587:
2557:
2554:
2551:
2548:
2546:
2538:
2535:
2532:
2527:
2524:
2514:
2512:
2504:
2501:
2498:
2493:
2489:
2485:
2482:
2477:
2473:
2469:
2467:
2456:
2453:
2448:
2444:
2437:
2434:
2429:
2425:
2421:
2419:
2406:
2398:
2395:
2390:
2386:
2376:
2373:
2371:
2357:
2351:
2345:
2342:
2340:
2332:
2323:
2320:
2317:
2303:
2302:
2301:
2299:
2283:
2277:
2274:
2271:
2244:
2241:
2238:
2235:
2233:
2220:
2216:
2209:
2206:
2204:
2190:
2184:
2178:
2175:
2173:
2165:
2156:
2153:
2150:
2136:
2135:
2134:
2132:
2128:
2121:
2117:
2114:Showing that
2113:
2111:
2109:
2105:
2101:
2097:
2093:
2089:
2085:
2081:
2077:
2073:
2069:
2050:
2045:
2041:
2032:
2024:
2021:
2015:
2010:
2000:
1997:
1981:
1974:
1970:
1965:
1957:
1956:
1955:
1953:
1949:
1945:
1941:
1921:
1918:
1915:
1910:
1906:
1902:
1894:
1890:
1881:
1877:
1873:
1868:
1864:
1857:
1850:
1835:
1832:
1829:
1824:
1820:
1816:
1809:
1808:
1807:
1805:
1800:
1796:
1792:
1771:
1763:
1760:
1755:
1751:
1744:
1738:
1732:
1729:
1726:
1720:
1713:
1696:
1692:
1688:
1685:
1682:
1675:
1674:
1673:
1670:
1666:
1662:
1658:
1653:
1649:
1645:
1641:
1637:
1633:
1628:
1622:
1620:
1600:
1594:
1585:
1579:
1576:
1567:
1559:, a morphism
1546:
1523:
1517:
1511:
1508:
1505:
1497:
1479:
1473:
1467:
1464:
1459:
1455:
1447:, a morphism
1434:
1414:
1406:
1388:
1368:
1354:
1351:
1343:
1342:
1341:
1339:
1335:
1331:
1326:
1323:
1319:
1315:
1311:
1307:
1303:
1299:
1295:
1266:
1262:
1253:
1249:
1247:
1232:
1229:
1220:
1209:
1206:
1204:
1197:
1193:
1189:
1180:
1170:
1167:
1154:
1152:
1140:
1136:
1124:
1123:
1122:
1105:
1102:
1099:
1090:
1086:
1083:
1078:
1074:
1070:
1063:
1062:
1061:
1058:
1054:
1035:
1032:
1029:
1026:
1021:
1017:
1013:
1004:
996:
995:
994:
992:
988:
984:
980:
976:
972:
968:
964:
960:
956:
952:
948:
940:
924:
919:
909:
905:
898:
891:
887:
869:
868:
867:
851:
847:
823:
818:
810:
807:
804:
801:
798:
793:
789:
782:
777:
773:
767:
763:
757:
753:
745:
744:
743:
727:
723:
700:
696:
687:
683:
679:
674:
670:
649:
629:
626:
620:
617:
614:
592:
588:
580:a new object
567:
547:
527:
500:
496:
492:
487:
470:
469:
468:
466:
462:
458:
439:
436:
430:
425:
421:
414:
411:
405:
402:
399:
396:
393:
390:
387:
382:
378:
374:
371:
366:
362:
358:
351:
350:
349:
346:
342:
338:
333:
329:
325:
321:
317:
294:
288:
285:
282:
279:
253:
251:
243:
240:
237:
227:
198:
171:
169:
158:
123:
122:
121:
118:
114:
110:
106:
102:
98:
94:
90:
86:
78:
76:
74:
70:
66:
64:
58:
56:
52:
48:
45:
41:
37:
33:
19:
3488:
3469:Categorified
3373:n-categories
3324:Key concepts
3249:
3162:Direct limit
3145:Coequalizers
3063:Yoneda lemma
2969:Key concepts
2959:Key concepts
2908:
2876:(3): 261â6.
2873:
2869:
2831:
2827:Riehl, Emily
2796:
2763:
2746:
2740:
2690:
2686:
2632:
2628:
2576:
2297:
2296:in category
2263:
2130:
2129:in category
2126:
2124:
2119:
2115:
2107:
2103:
2099:
2095:
2091:
2087:
2083:
2079:
2075:
2071:
2067:
2065:
1951:
1947:
1943:
1939:
1937:
1803:
1798:
1794:
1790:
1788:
1668:
1664:
1660:
1656:
1651:
1647:
1643:
1639:
1635:
1631:
1630:Let ⟨
1629:
1626:
1618:
1337:
1333:
1329:
1327:
1321:
1317:
1313:
1309:
1305:
1301:
1297:
1293:
1291:
1120:
1056:
1052:
1050:
990:
986:
982:
978:
974:
970:
966:
962:
958:
954:
950:
946:
944:
838:
518:
464:
460:
456:
454:
348:is given by
344:
340:
336:
331:
327:
323:
319:
315:
313:
116:
112:
108:
104:
100:
92:
88:
84:
83:Let ⟨
82:
60:
54:
46:
35:
29:
3437:-categories
3413:Kan complex
3403:Tricategory
3385:-categories
3275:Subcategory
3033:Exponential
3001:Preadditive
2996:Pre-abelian
1344:A function
662:a morphism
3579:Categories
3455:3-category
3445:2-category
3418:â-groupoid
3393:Bicategory
3140:Coproducts
3100:Equalizers
3006:Bicategory
2890:0767.18008
2854:1006743127
2819:1034.18001
2788:0906.18001
2732:References
2110:⟩.
63:adjunction
3504:Symmetric
3449:2-functor
3189:Relations
3112:Pullbacks
2704:∘
2649:∘
2591:∘
2533:∘
2499:∘
2490:η
2483:∘
2474:μ
2454:∘
2445:η
2435:∘
2426:μ
2407:∗
2396:∘
2387:η
2321:∘
2281:→
2154:∘
2038:→
2011:∗
1966:ε
1916:∘
1907:μ
1887:→
1874::
1869:∗
1772:∗
1761:∘
1752:η
1736:→
1730::
1592:→
1577::
1572:♯
1515:→
1509::
1471:→
1465::
1456:η
1375:→
1355::
1271:♯
1263:∘
1258:♯
1241:♯
1230:∘
1225:♯
1194:η
1190:∘
1185:♯
1146:♯
1137:η
1100:∘
1095:♯
1075:∘
1027:∘
1018:μ
1009:♯
920:∗
906:η
819:∗
808:∘
799:∘
790:μ
778:∗
764:∘
758:∗
693:→
680::
675:∗
624:→
618::
497:η
434:→
418:→
409:→
397:∘
388:∘
379:μ
363:∘
57:-algebras
3564:Glossary
3544:Category
3518:n-monoid
3471:concepts
3127:Colimits
3095:Products
3048:Morphism
2991:Concrete
2986:Additive
2976:Category
2829:(2016).
2762:(1998).
2264:For any
2080:GεF
1802:→
1793: :
1646:and let
1332:⟨
1312:→
1308: :
1300:→
1296: :
989:→
985: :
642:in
560:in
40:category
3554:Outline
3513:n-group
3478:2-group
3433:Strict
3423:â-topos
3219:Modules
3157:Pushout
3105:Kernels
3038:Functor
2981:Abelian
2906:at the
2882:1186950
2693:, then
1659::
3500:Traced
3483:2-ring
3213:Fields
3199:Groups
3194:Magmas
3082:Limits
2888:
2880:
2852:
2842:
2817:
2807:
2786:
2776:
2727:Q.E.D.
2577:Since
2076:μ
1338:η
1318:η
1292:where
465:η
455:where
103:. The
3494:-ring
3381:Weak
3365:Topos
3209:Rings
2836:(PDF)
97:monad
44:monad
38:is a
3184:Sets
2850:OCLC
2840:ISBN
2805:ISBN
2774:ISBN
2635:and
2074:and
1942:and
1304:and
993:let
459:and
51:free
34:, a
3028:End
3018:CCC
2911:Lab
2886:Zbl
2815:Zbl
2784:Zbl
2689:in
2631:in
1806:by
1672:by
1539:in
1427:in
866:is
318:in
107:of
30:In
3581::
3506:)
3502:)(
2884:.
2878:MR
2874:33
2872:.
2868:.
2848:.
2813:.
2803:.
2782:.
2768:.
2725:.
2520:id
2300::
2133::
2118:=
2116:GF
2106:,
2102:,
2098:,
2090:,
2086:,
2078:=
2072:GF
2070:=
1638:,
1634:,
1336:,
1314:TZ
1302:TY
991:TY
973:,
969:,
963:TY
961:,
959:TX
955:TY
953:,
467::
324:TY
91:,
87:,
75:.
3498:(
3491:n
3489:E
3451:)
3447:(
3435:n
3399:)
3395:(
3383:n
3225:)
3221:(
3215:)
3211:(
2939:e
2932:t
2925:v
2909:n
2892:.
2856:.
2821:.
2790:.
2713:T
2710:=
2707:F
2701:G
2691:C
2687:f
2673:f
2670:T
2667:=
2664:)
2661:f
2658:(
2655:)
2652:F
2646:G
2643:(
2633:C
2629:X
2615:X
2612:T
2609:=
2606:)
2603:X
2600:(
2597:)
2594:F
2588:G
2585:(
2558:.
2555:f
2552:T
2549:=
2539:f
2536:T
2528:Y
2525:T
2515:=
2505:f
2502:T
2494:Y
2486:T
2478:Y
2470:=
2460:)
2457:f
2449:Y
2441:(
2438:T
2430:Y
2422:=
2412:)
2403:)
2399:f
2391:Y
2383:(
2380:(
2377:G
2374:=
2364:)
2361:)
2358:f
2355:(
2352:F
2349:(
2346:G
2343:=
2336:)
2333:f
2330:(
2327:)
2324:F
2318:G
2315:(
2298:C
2284:Y
2278:X
2275::
2272:f
2245:.
2242:X
2239:T
2236:=
2226:)
2221:T
2217:X
2213:(
2210:G
2207:=
2197:)
2194:)
2191:X
2188:(
2185:F
2182:(
2179:G
2176:=
2169:)
2166:X
2163:(
2160:)
2157:F
2151:G
2148:(
2131:C
2127:X
2120:T
2108:Δ
2104:η
2100:G
2096:F
2092:Ό
2088:η
2084:T
2068:T
2051:.
2046:T
2042:Y
2033:T
2029:)
2025:Y
2022:T
2019:(
2016::
2007:)
2001:Y
1998:T
1993:d
1990:i
1985:(
1982:=
1975:T
1971:Y
1952:G
1948:F
1944:G
1940:F
1922:f
1919:T
1911:Y
1903:=
1900:)
1895:T
1891:Y
1882:T
1878:X
1865:f
1861:(
1858:G
1836:Y
1833:T
1830:=
1825:T
1821:Y
1817:G
1804:C
1799:T
1795:C
1791:G
1768:)
1764:f
1756:Y
1748:(
1745:=
1742:)
1739:Y
1733:X
1727:f
1724:(
1721:F
1697:T
1693:X
1689:=
1686:X
1683:F
1669:T
1665:C
1661:C
1657:F
1652:T
1648:C
1644:C
1640:Ό
1636:η
1632:T
1604:)
1601:B
1598:(
1595:T
1589:)
1586:A
1583:(
1580:T
1568:f
1547:C
1527:)
1524:B
1521:(
1518:T
1512:A
1506:f
1495:;
1483:)
1480:A
1477:(
1474:T
1468:A
1460:A
1435:C
1415:A
1404:;
1392:)
1389:C
1386:(
1382:b
1379:o
1372:)
1369:C
1366:(
1362:b
1359:o
1352:T
1334:T
1322:X
1310:Y
1306:g
1298:X
1294:f
1267:f
1254:g
1250:=
1237:)
1233:f
1221:g
1217:(
1210:f
1207:=
1198:X
1181:f
1171:X
1168:T
1163:d
1160:i
1155:=
1141:X
1106:.
1103:f
1091:g
1087:=
1084:f
1079:T
1071:g
1057:T
1053:C
1036:.
1033:f
1030:T
1022:Y
1014:=
1005:f
987:X
983:f
979:C
975:Ό
971:η
967:T
951:X
925:.
916:)
910:X
902:(
899:=
892:T
888:X
882:d
879:i
852:T
848:C
824:.
815:)
811:f
805:g
802:T
794:Z
786:(
783:=
774:f
768:T
754:g
728:T
724:C
701:T
697:Y
688:T
684:X
671:f
650:C
630:Y
627:T
621:X
615:f
593:T
589:X
568:C
548:X
528:C
515:.
501:X
493:=
488:X
483:d
480:i
440:Z
437:T
431:Z
426:2
422:T
415:Y
412:T
406:X
403::
400:f
394:g
391:T
383:Z
375:=
372:f
367:T
359:g
345:T
341:C
337:Y
332:T
328:C
320:C
295:.
292:)
289:Y
286:T
283:,
280:X
277:(
271:C
265:m
262:o
259:H
254:=
247:)
244:Y
241:,
238:X
235:(
228:T
222:C
214:m
211:o
208:H
199:,
196:)
191:C
186:(
182:j
179:b
176:O
172:=
165:)
159:T
153:C
146:(
142:j
139:b
136:O
117:T
113:C
109:C
101:C
93:Ό
89:η
85:T
65:?
55:T
47:T
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.