155:
147:
3165:
2846:
3672:
3461:
3682:
Using the preceding rewriting of the character formula, it is relatively easy to write the character as a sum of exponentials. The coefficients of these exponentials are the multiplicities of the corresponding weights. We thus obtain a formula for the multiplicity of a given weight
3160:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}}}&{}=e^{-\rho (H)}\prod _{\alpha >0}(1+e^{-\alpha (H)}+e^{-2\alpha (H)}+e^{-3\alpha (H)}+\cdots )\\&{}=e^{-\rho (H)}\sum _{\mu }p(\mu )e^{-\mu (H)}\end{aligned}}}
2835:
3859:
3472:
1865:
2659:
3273:
1031:
890:
1121:
653:
4155:
373:
262:
2851:
1250:
527:
2091:
1454:
2677:
2371:
2155:
1986:
1673:
97:
2232:
4073:
1617:
774:
2533:
3729:
3170:
Here, the first equality is by taking a product over the positive roots of the geometric series formula and the second equality is by counting all the ways a given exponential
1340:
1295:
3931:
1908:
1546:
1503:
4175:
3204:
801:
584:
557:
474:
447:
420:
320:
293:
4379:
4099:
3667:{\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\left(\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot (\lambda +\rho )(H)}\right)\left(e^{-\rho (H)}\sum _{\mu }p(\mu )e^{-\mu (H)}\right).}
1156:
4035:
3995:
3975:
3721:
3265:
3233:
2503:
2012:
57:
4157:
will be zero. Thus, although the sum is nominally over the whole Weyl group, in most cases, the number of nonzero terms is smaller than the order of the Weyl group.
4305:
2467:
2435:
2403:
1394:
1367:
710:
683:
183:
4015:
3951:
3701:
1055:
734:
393:
4450:
3896:
1678:
2252:
2175:
910:
821:
2545:
3456:{\displaystyle \operatorname {ch} (V)={\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot (\lambda +\rho )(H)} \over \sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}}}
918:
4291:
2472:
The partition function is defined piecewise with the domain divided into five regions, with the help of two auxiliary functions.
4445:
826:
60:
1060:
592:
154:
4104:
325:
188:
1179:
479:
2830:{\displaystyle {\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}=e^{\rho (H)}\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha (H)})},}
2017:
1399:
4455:
2272:
112:
108:
2096:
1913:
1622:
69:
2180:
4040:
1551:
739:
3854:{\displaystyle \mathrm {mult} (\mu )=\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}p(w\cdot (\lambda +\rho )-(\mu +\rho ))}
3244:
2669:
2508:
120:
116:
100:
127:
1169:
The partition function for the other rank 2 root systems are more complicated but are known explicitly.
736:
as a non-negative integer combination of positive roots; other expressions can be obtained by replacing
17:
1300:
1255:
3901:
1870:
146:
4314:
1511:
1459:
2664:
where we do not worry about convergence—that is, the equality is understood at the level of formal
4406:
4340:
3173:
779:
562:
535:
452:
425:
398:
298:
271:
4078:
1126:
4398:
4366:
4332:
4287:
4235:
4020:
3980:
3960:
3706:
3250:
3209:
2488:
1991:
42:
4422:
4388:
4356:
4322:
4195:
4187:
4418:
4352:
2440:
2408:
2376:
1860:{\displaystyle P(n_{1},n_{2})=q_{2}(n_{2})-b(2n_{2}-n_{1}-1)=b(n_{1})-q_{2}(n_{1}-n_{2}-1)}
1372:
1345:
688:
661:
161:
4414:
4348:
4000:
3936:
3686:
1040:
719:
378:
25:
3875:
2654:{\displaystyle {\frac {1}{1-e^{-\alpha (H)}}}=1+e^{-\alpha (H)}+e^{-2\alpha (H)}+\cdots }
4318:
529:, it can also be expressed as a non-negative integer linear combination of the positive
4299:
Humphreys, J.E. Introduction to Lie algebras and representation theory, Springer, 1972.
2237:
2160:
895:
806:
4427:
4361:
4439:
64:
4200:
4037:, it may happen that all other terms in the formula are zero. Specifically, unless
3954:
2665:
119:. An alternative formula, that is more computationally efficient in some cases, is
1342:. The partition function can be viewed as a function of two non-negative integers
1026:{\displaystyle p(n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2})=1+\mathrm {min} (n_{1},n_{2})}
530:
37:
4306:
Proceedings of the
National Academy of Sciences of the United States of America
3235:
is zero if the argument is a rotation and one if the argument is a reflection.
4402:
4336:
4239:
4370:
4327:
2840:
we obtain a formal expression for the reciprocal of the Weyl denominator:
4286:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer,
4284:
Lie Groups, Lie
Algebras, and Representations: An Elementary Introduction
4410:
4377:
Kostant, Bertram (1959), "A formula for the multiplicity of a weight",
4303:
Kostant, Bertram (1958), "A formula for the multiplicity of a weight",
4191:
4186:(4). United States Air Force, Office of Scientific Research: 569–574.
1037:
This result is shown graphically in the image at right. If an element
4344:
4393:
1505:
can be defined piecewise with the help of two auxiliary functions.
153:
145:
395:
can be expressed as a non-negative integer linear combination of
4223:
4174:
Tarski, Jan; University of
California, Berkeley. (April 1963).
2539:
apply the formula for the sum of a geometric series to obtain
158:
Values of the
Kostant partition function for the root system
3997:
is sufficiently far inside the fundamental Weyl chamber and
1252:, and the positive roots are the simple roots together with
892:. Thus, if the Kostant partition function is denoted by
3247:
for the irreducible representation with highest weight
885:{\displaystyle 0\leq k\leq \mathrm {min} (n_{1},n_{2})}
126:
The
Kostant partition function can also be defined for
3703:
in the irreducible representation with highest weight
1116:{\displaystyle \mu =n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2}}
648:{\displaystyle \mu =n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2}}
63:) as a non-negative integer linear combination of the
4107:
4081:
4043:
4023:
4003:
3983:
3963:
3939:
3904:
3878:
3732:
3709:
3689:
3475:
3276:
3253:
3212:
3176:
2849:
2680:
2548:
2511:
2491:
2443:
2411:
2379:
2275:
2240:
2183:
2163:
2099:
2020:
1994:
1916:
1873:
1681:
1625:
1554:
1514:
1462:
1402:
1375:
1348:
1303:
1258:
1182:
1129:
1063:
1043:
921:
898:
829:
809:
782:
742:
722:
691:
664:
595:
565:
538:
482:
455:
428:
401:
381:
328:
301:
274:
191:
185:. The root system is given the Euclidean coordinates
164:
150:
The
Kostant partition function for the A2 root system
72:
45:
4176:"Partition Function for Certain Simple Lie Algebras"
4150:{\displaystyle w\cdot (\lambda +\rho )-(\mu +\rho )}
368:{\displaystyle \alpha _{3}:=\alpha _{1}+\alpha _{2}}
257:{\displaystyle \alpha _{1}=(1,0),\alpha _{2}=(-1,1)}
1245:{\displaystyle \alpha _{1}=(1,0),\alpha _{2}=(0,1)}
712:being non-negative integers. This expression gives
522:{\displaystyle \alpha _{3}=\alpha _{1}+\alpha _{2}}
4149:
4093:
4067:
4029:
4009:
3989:
3969:
3945:
3925:
3890:
3853:
3715:
3695:
3666:
3455:
3259:
3227:
3198:
3159:
2829:
2653:
2527:
2497:
2461:
2429:
2397:
2365:
2246:
2226:
2169:
2149:
2085:
2006:
1980:
1902:
1859:
1667:
1611:
1540:
1497:
1448:
1388:
1361:
1334:
1289:
1244:
1150:
1115:
1049:
1025:
904:
884:
815:
795:
768:
728:
704:
677:
647:
578:
551:
521:
468:
441:
414:
387:
367:
314:
287:
256:
177:
91:
59:is the number of ways one can represent a vector (
51:
4380:Transactions of the American Mathematical Society
4224:"Calcolo della funzione di partizione di Kostant"
4101:, the value of the Kostant partition function on
2086:{\displaystyle q_{2}(n)={\frac {1}{2}}(n+1)(n+2)}
1449:{\displaystyle n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2}}
268:Consider the A2 root system, with positive roots
803:some number of times. We can do the replacement
3872:The dominant term in this formula is the term
2366:{\displaystyle (1,0),(0,1),(1,1),(2,1),(3,1)}
8:
4313:(6), National Academy of Sciences: 588–589,
3243:This argument shows that we can convert the
2150:{\displaystyle b(n)={\frac {1}{4}}(n+2)^{2}}
4387:(1), American Mathematical Society: 53–73,
1981:{\displaystyle P(n_{1},n_{2})=q_{2}(n_{2})}
4228:Bollettino dell'Unione Matematica Italiana
1988:. The auxiliary functions are defined for
1668:{\displaystyle n_{2}\leq n_{1}\leq 2n_{2}}
92:{\displaystyle \Delta ^{+}\subset \Delta }
4426:
4392:
4360:
4326:
4199:
4106:
4080:
4042:
4022:
4002:
3982:
3962:
3938:
3903:
3877:
3788:
3763:
3733:
3731:
3708:
3688:
3638:
3616:
3594:
3547:
3528:
3503:
3474:
3429:
3410:
3385:
3346:
3327:
3302:
3295:
3275:
3252:
3211:
3181:
3175:
3135:
3113:
3091:
3082:
3045:
3017:
2992:
2967:
2945:
2936:
2908:
2889:
2864:
2854:
2850:
2848:
2802:
2777:
2758:
2730:
2711:
2686:
2681:
2679:
2624:
2599:
2565:
2549:
2547:
2519:
2518:
2510:
2490:
2442:
2410:
2378:
2274:
2239:
2184:
2182:
2162:
2141:
2115:
2098:
2043:
2025:
2019:
1993:
1969:
1956:
1940:
1927:
1915:
1894:
1881:
1872:
1842:
1829:
1816:
1800:
1772:
1759:
1734:
1721:
1705:
1692:
1680:
1659:
1643:
1630:
1624:
1600:
1578:
1565:
1553:
1532:
1519:
1513:
1486:
1473:
1461:
1440:
1430:
1417:
1407:
1401:
1380:
1374:
1353:
1347:
1308:
1302:
1263:
1257:
1218:
1187:
1181:
1128:
1107:
1097:
1084:
1074:
1062:
1042:
1014:
1001:
983:
965:
955:
942:
932:
920:
897:
873:
860:
842:
828:
808:
787:
781:
760:
747:
741:
721:
696:
690:
669:
663:
639:
629:
616:
606:
594:
570:
564:
543:
537:
513:
500:
487:
481:
460:
454:
433:
427:
406:
400:
380:
359:
346:
333:
327:
306:
300:
279:
273:
227:
196:
190:
169:
163:
77:
71:
44:
2227:{\displaystyle {\frac {1}{4}}(n+1)(n+3)}
4166:
4068:{\displaystyle w\cdot (\lambda +\rho )}
3206:can occur in the product. The function
1612:{\displaystyle P(n_{1},n_{2})=b(n_{1})}
769:{\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}}
33:
29:
2476:Relation to the Weyl character formula
4451:Representation theory of Lie algebras
7:
4264:
4252:
3933:, which is just the multiplicity of
2528:{\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}}
3898:; the contribution of this term is
2520:
2437:denoting the short simple root and
3743:
3740:
3737:
3734:
990:
987:
984:
849:
846:
843:
99:. Kostant used it to rewrite the
86:
74:
46:
14:
1335:{\displaystyle \alpha _{4}=(2,1)}
1290:{\displaystyle \alpha _{3}=(1,1)}
3926:{\displaystyle p(\lambda -\mu )}
1903:{\displaystyle 2n_{2}\leq n_{1}}
1176:, the positive simple roots are
4180:Journal of Mathematical Physics
3239:Rewriting the character formula
2469:denoting the long simple root.
1541:{\displaystyle n_{1}\leq n_{2}}
20:, a branch of mathematics, the
4144:
4132:
4126:
4114:
4062:
4050:
3920:
3908:
3848:
3845:
3833:
3827:
3815:
3806:
3798:
3792:
3785:
3775:
3753:
3747:
3651:
3645:
3631:
3625:
3607:
3601:
3575:
3569:
3566:
3554:
3538:
3532:
3525:
3515:
3488:
3482:
3466:from a quotient to a product:
3445:
3439:
3420:
3414:
3407:
3397:
3374:
3368:
3365:
3353:
3337:
3331:
3324:
3314:
3289:
3283:
3222:
3216:
3191:
3185:
3148:
3142:
3128:
3122:
3104:
3098:
3072:
3061:
3055:
3033:
3027:
3005:
2999:
2979:
2958:
2952:
2924:
2918:
2899:
2893:
2886:
2876:
2820:
2815:
2809:
2789:
2768:
2762:
2746:
2740:
2721:
2715:
2708:
2698:
2640:
2634:
2612:
2606:
2578:
2572:
2481:Inverting the Weyl denominator
2456:
2444:
2424:
2412:
2392:
2380:
2360:
2348:
2342:
2330:
2324:
2312:
2306:
2294:
2288:
2276:
2221:
2209:
2206:
2194:
2138:
2125:
2109:
2103:
2080:
2068:
2065:
2053:
2037:
2031:
1975:
1962:
1946:
1920:
1854:
1822:
1806:
1793:
1784:
1749:
1740:
1727:
1711:
1685:
1606:
1593:
1584:
1558:
1498:{\displaystyle P(n_{1},n_{2})}
1492:
1466:
1456:. Then the partition function
1396:, which represent the element
1329:
1317:
1284:
1272:
1239:
1227:
1208:
1196:
1139:
1133:
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994:
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