3202:
2389:
1594:
1877:
1753:
2545:
2140:
1378:
1758:
2135:
1373:
555:
1598:
59:
We mention again that the definition presented here is different from that of the "semi-inner product" in standard functional analysis textbooks, where a "semi-inner product" satisfies all the properties of
2393:
465:
1159:
950:
2726:
Haizhang Zhang and Jun Zhang, Frames, Riesz bases, and sampling expansions in Banach spaces via semi-inner products, Applied and
Computational Harmonic Analysis 31 (1) (2011), 1â25.
2020:
1924:
668:
1260:
735:
1198:
1982:
2384:{\displaystyle :={\frac {\int _{\Omega }f(t){\overline {g(t)}}|g(t)|^{p-2}d\mu (t)}{\|g\|_{p}^{p-2}}},\ \ f,g\in L^{p}(\Omega ,d\mu )\setminus \{0\},\ \ 1<p<+\infty ,}
176:
3091:
125:
249:
2618:
1030:
1225:
813:
151:
1589:{\displaystyle :={\frac {\sum _{j=1}^{n}x_{j}{\overline {y_{j}}}|y_{j}|^{p-2}}{\|y\|_{p}^{p-2}}},\quad x,y\in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{0\},\ \ 1<p<+\infty ,}
296:
2025:
1265:
384:
2754:
1944:
1074:
1050:
997:
974:
878:
100:
855:
208:
2717:
Haizhang Zhang, Yuesheng Xu and Jun Zhang, Reproducing kernel Banach spaces for machine learning, Journal of
Machine Learning Research 10 (2009), 2741â2775.
27:. The first, and more common, is that of an inner product which is not required to be strictly positive. This article will deal with the second, called a
2917:
1872:{\displaystyle \operatorname {sgn} (t):=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {t}{|t|}},&t\in \mathbb {C} \setminus \{0\},\\0,&t=0.\end{array}}\right.}
2690:
D. O. Koehler, A note on some operator theory in certain semi-inner-product spaces, Proceedings of the
American Mathematical Society 30 (1971), 363â366.
3044:
2899:
2699:
E. Torrance, Strictly convex spaces via semi-inner-product space orthogonality, Proceedings of the
American Mathematical Society 26 (1970), 108â110.
2561:
Recently, semi-inner-products have been used as the main tool in establishing the concept of reproducing kernel Banach spaces for machine learning.
3238:
2875:
1079:
477:
2767:
3362:
2856:
2747:
2708:
R. Der and D. Lee, Large-margin classification in Banach spaces, JMLR Workshop and
Conference Proceedings 2: AISTATS (2007), 91â98.
394:
3126:
883:
2771:
2580:
1748:{\displaystyle :=\|y\|_{1}\sum _{j=1}^{n}x_{j}\operatorname {sgn} ({\overline {y_{j}}}),\quad x,y\in \mathbb {C} ^{n},\ \ p=1,}
3310:
2922:
3377:
2978:
2654:
J. R. Giles, Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the
American Mathematical Society 129 (1967), 436â446.
681:
3462:
3315:
3205:
2927:
2912:
2740:
2555:
Following the idea of Lumer, semi-inner-products were widely applied to study bounded linear operators on Banach spaces.
2942:
3231:
2540:{\displaystyle :=\int _{\Omega }f(t)\operatorname {sgn} ({\overline {g(t)}})d\mu (t),\ \ f,g\in L^{1}(\Omega ,d\mu ).}
3187:
2947:
2672:
S. V. Phadke and N. K. Thakare, When an s.i.p. space is a
Hilbert space?, The Mathematics Student 42 (1974), 193â194.
3418:
3331:
3141:
3065:
3182:
2998:
678:
A semi-inner-product is different from inner products in that it is in general not conjugate symmetric, that is,
559:
3438:
2932:
3367:
3034:
2835:
740:
2907:
3131:
254:
3336:
3305:
3224:
3162:
3106:
3070:
1987:
1884:
565:
2558:
In 2007, Der and Lee applied semi-inner-products to develop large margin classification in Banach spaces.
1230:
3387:
3341:
3284:
471:
2681:
S. Dragomir, Semi-inner
Products and Applications, Nova Science Publishers, Hauppauge, New York, 2004.
2564:
Semi-inner-products can also be used to establish the theory of frames, Riesz bases for Banach spaces.
1174:
3145:
1952:
2663:
J. B. Conway. A Course in
Functional Analysis. 2nd Edition, Springer-Verlag, New York, 1990, page 1.
3266:
3111:
3049:
2763:
1000:
858:
156:
80:
48:
108:
3136:
3003:
1004:
953:
213:
1009:
1203:
130:
3392:
3372:
3345:
3289:
3261:
3116:
260:
3402:
3279:
3121:
3039:
3008:
2988:
2973:
2968:
2963:
2800:
2627:
2641:
3382:
2983:
2937:
2885:
2880:
2851:
2732:
2637:
1169:
2810:
2613:
312:
36:
35:, which is an inner product not required to be conjugate symmetric. It was formulated by
3172:
3024:
2825:
1929:
1059:
1035:
982:
959:
863:
817:
In other words, semi-inner-products are generally nonlinear about its second variable.
85:
64:(including conjugate symmetry) except that it is not required to be strictly positive.
828:
181:
3456:
3275:
3247:
3177:
3101:
2830:
2815:
2805:
2586:
1947:
61:
44:
40:
3167:
2820:
2790:
2574:
306:
103:
3397:
3096:
3086:
2993:
2795:
388:
20:
2130:{\displaystyle \|f\|_{p}:=\left(\int _{\Omega }|f(t)|^{p}d\mu (t)\right)^{1/p}}
1368:{\displaystyle \|x\|_{p}:={\biggl (}\sum _{j=1}^{n}|x_{j}|^{p}{\biggr )}^{1/p}}
3029:
2869:
2865:
2861:
1785:
300:
1032:
then there always exists a (not necessarily unique) semi-inner-product on
550:{\displaystyle ={\overline {s}}\quad {\text{ for all }}s\in \mathbb {C} ,}
2589: â Generalization of the dot product; used to define Hilbert spaces
2632:
16:
Generalization of inner products that applies to all normed spaces
3216:
3220:
2736:
460:{\displaystyle =s\quad {\text{ for all }}s\in \mathbb {C} ,}
1866:
1154:{\displaystyle \|f\|=^{1/2},\ \ {\text{ for all }}f\in V.}
2591:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
51:. Fundamental properties were later explored by Giles.
2396:
2143:
2028:
1990:
1955:
1932:
1887:
1761:
1601:
1381:
1268:
1233:
1206:
1177:
1082:
1062:
1038:
1012:
985:
962:
886:
866:
831:
743:
684:
568:
480:
397:
315:
263:
216:
184:
159:
133:
111:
88:
3411:
3355:
3324:
3298:
3254:
3155:
3079:
3058:
3017:
2956:
2898:
2844:
2779:
3092:Spectral theory of ordinary differential equations
2539:
2383:
2129:
2014:
1976:
1938:
1918:
1871:
1747:
1588:
1367:
1254:
1219:
1192:
1153:
1068:
1044:
1024:
991:
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849:
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549:
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378:
290:
243:
202:
170:
145:
119:
94:
2619:Transactions of the American Mathematical Society
1346:
1290:
2137:possesses the consistent semi-inner-product:
737:generally. This is equivalent to saying that
3232:
2748:
8:
2348:
2342:
2267:
2260:
2036:
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1835:
1829:
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1620:
1553:
1547:
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1276:
1269:
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1013:
893:
887:
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3225:
3217:
2783:
2755:
2741:
2733:
945:{\displaystyle \|f\|:=^{1/2},\quad f\in V}
2631:
2510:
2446:
2419:
2395:
2315:
2275:
2270:
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2226:
2208:
2187:
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2142:
2117:
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2087:
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2064:
2058:
2039:
2027:
1989:
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1288:
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865:
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804:
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703:
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643:
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569:
567:
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183:
161:
160:
158:
132:
113:
112:
110:
87:
3045:Group algebra of a locally compact group
1375:has the consistent semi-inner-product:
77:semi-inner product in the sense of Lumer
33:semi-inner product in the sense of Lumer
2602:
2339:
1826:
1544:
127:of complex numbers is a function from
2616:(1961), "Semi-inner-product spaces",
821:Semi-inner-products for normed spaces
23:, there are two different notions of
7:
2608:
2606:
2015:{\displaystyle 1\leq p<+\infty ,}
1919:{\displaystyle L^{p}(\Omega ,d\mu )}
663:{\displaystyle ||\leq ^{1/2}^{1/2}.}
1255:{\displaystyle 1\leq p<+\infty }
730:{\displaystyle \neq {\overline {}}}
2519:
2420:
2375:
2324:
2170:
2059:
2006:
1959:
1901:
1580:
1249:
14:
3363:Compact operator on Hilbert space
3201:
3200:
3127:Topological quantum field theory
1193:{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
39:, for the purpose of extending
1977:{\displaystyle (\Omega ,\mu ),}
1699:
1519:
932:
527:
437:
2531:
2516:
2482:
2476:
2467:
2458:
2452:
2443:
2434:
2428:
2409:
2397:
2336:
2321:
2255:
2249:
2227:
2222:
2216:
2209:
2199:
2193:
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2178:
2156:
2144:
2105:
2099:
2083:
2078:
2072:
2065:
1968:
1956:
1913:
1898:
1803:
1795:
1774:
1768:
1693:
1673:
1614:
1602:
1468:
1452:
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1382:
1333:
1317:
1108:
1095:
912:
899:
857:is a semi-inner-product for a
844:
832:
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786:
780:
768:
762:
744:
718:
706:
697:
685:
674:Difference from inner products
640:
627:
610:
597:
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586:
574:
570:
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512:
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413:
398:
370:
358:
352:
340:
334:
316:
303:in the 1st argument, meaning:
276:
264:
197:
185:
1:
2923:Uniform boundedness principle
2577: â Z-module homomorphism
171:{\displaystyle \mathbb {C} ,}
2581:Cauchy's functional equation
2462:
2203:
1688:
1446:
722:
507:
120:{\displaystyle \mathbb {C} }
2583: â Functional equation
1946:-integrable functions on a
244:{\displaystyle f,g,h\in V:}
3479:
3332:Hilbert projection theorem
3066:Invariant subspace problem
1025:{\displaystyle \|\cdot \|}
3311:CauchyâSchwarz inequality
3196:
2786:
1220:{\displaystyle \ell ^{p}}
808:{\displaystyle \neq +.\,}
560:Cauchy-Schwarz inequality
146:{\displaystyle V\times V}
3035:Spectrum of a C*-algebra
255:Nonnegative-definiteness
3132:Noncommutative geometry
291:{\displaystyle \geq 0,}
3188:TomitaâTakesaki theory
3163:Approximation property
3107:Calculus of variations
2541:
2385:
2131:
2016:
1978:
1940:
1920:
1881:In general, the space
1873:
1749:
1656:
1590:
1423:
1369:
1315:
1256:
1221:
1194:
1155:
1070:
1046:
1026:
993:
970:
946:
874:
851:
809:
731:
664:
551:
461:
380:
304:
292:
245:
204:
172:
147:
121:
96:
3342:Polarization identity
3285:Orthogonal complement
3183:BanachâMazur distance
3146:Generalized functions
2542:
2386:
2132:
2017:
1979:
1941:
1921:
1874:
1750:
1636:
1591:
1403:
1370:
1295:
1257:
1222:
1195:
1156:
1071:
1047:
1027:
994:
971:
947:
875:
852:
810:
732:
665:
552:
474:in the 2nd argument:
472:Conjugate homogeneity
462:
391:in the 1st argument:
381:
309:in the 1st argument:
293:
246:
205:
173:
148:
122:
97:
3316:Riesz representation
3271:L-semi-inner product
2928:Kakutani fixed-point
2913:Riesz representation
2394:
2141:
2026:
1988:
1953:
1930:
1885:
1759:
1599:
1379:
1266:
1231:
1204:
1175:
1080:
1060:
1036:
1010:
983:
960:
884:
864:
829:
741:
682:
566:
478:
395:
313:
261:
214:
210:, such that for all
182:
157:
131:
109:
86:
73:L-semi-inner product
29:L-semi-inner product
3463:Functional analysis
3337:Parseval's identity
3306:Bessel's inequality
3112:Functional calculus
3071:Mahler's conjecture
3050:Von Neumann algebra
2764:Functional analysis
2286:
1512:
1136: for all
1001:normed vector space
859:linear vector space
530: for all
440: for all
379:{\displaystyle =+,}
178:usually denoted by
81:linear vector space
49:functional analysis
3137:Riemann hypothesis
2836:Topological vector
2537:
2381:
2266:
2127:
2012:
1974:
1936:
1916:
1869:
1864:
1745:
1586:
1492:
1365:
1252:
1217:
1190:
1151:
1076:in the sense that
1066:
1042:
1022:
989:
966:
942:
870:
847:
805:
727:
660:
547:
457:
376:
288:
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