2490:
1853:
1724:
2485:{\displaystyle \langle v_{i,j},v_{k,l}\rangle =-(1-t)(1+qt)(q-1)^{2}t^{-2}q^{-3}\left\{{\begin{array}{lr}-q^{2}t^{2}(q-1)&i=k<j<l{\text{ or }}i<k<j=l\\-(q-1)&k=i<l<j{\text{ or }}k<i<j=l\\t(q-1)&i<j=k<l\\q^{2}t(q-1)&k<l=i<j\\-t(q-1)^{2}(1+qt)&i<k<j<l\\(q-1)^{2}(1+qt)&k<i<l<j\\(1-qt)(1+q^{2}t)&k=i,j=l\\0&{\text{otherwise}}\\\end{array}}\right.}
1206:
1719:{\displaystyle \sigma _{i}\cdot v_{j,k}=\left\{{\begin{array}{lr}v_{j,k}&i\notin \{j-1,j,k-1,k\},\\qv_{i,k}+(q^{2}-q)v_{i,j}+(1-q)v_{j,k}&i=j-1\\v_{j+1,k}&i=j\neq k-1,\\qv_{j,i}+(1-q)v_{j,k}-(q^{2}-q)tv_{i,k}&i=k-1\neq j,\\v_{j,k+1}&i=k,\\-tq^{2}v_{j,k}&i=j=k-1.\end{array}}\right.}
501:
976:
851:
794:
1097:
925:
322:
691:
550:
1168:
261:
1195:
645:
415:
226:
185:
1835:
1019:
1130:
718:
608:
581:
349:
141:
114:
79:
1776:
375:
2665:
2596:
2535:
423:
2776:
693:
which restrict to the identity on the co-dimension two boundary stratum (where both points are on the boundary circle). The action of
2646:
930:
805:
726:
1032:
860:
2822:
2883:
2633:, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 71, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 51–68,
32:. It fits into a family of representations called the Lawrence representations. The first Lawrence representation is the
148:
266:
650:
509:
188:
2878:
2713:
1135:
231:
2785:
1737:
33:
25:
351:
is primitive, free abelian, and of rank 2. Generators for this invariant subgroup are denoted by
82:
2857:
2831:
2809:
2756:
2740:
2722:
2700:
2674:
2570:
2544:
1173:
613:
383:
194:
153:
2820:
Paoluzzi, Luisa; Paris, Luis (2002). "A note on the
Lawrence–Krammer–Bigelow representation".
2642:
1797:
1749:
1029:
Using
Bigelow's conventions for the Lawrence–Krammer representation, generators for the group
981:
1102:
2841:
2793:
2732:
2684:
2634:
2605:
2554:
2515:, Proc. Sympos. Pure Math., vol. 71, Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 51–68,
2853:
2805:
2752:
2696:
2656:
2619:
2566:
2520:
1736:
and Daan
Krammer have given independent proofs that the Lawrence–Krammer representation is
696:
586:
559:
327:
119:
92:
57:
2849:
2801:
2748:
2692:
2652:
2626:
2615:
2591:
2562:
2516:
2508:
1733:
1755:
354:
2789:
1837:. Recently it has been shown that the image of the Lawrence–Krammer representation is a
553:
2872:
2813:
2767:
1842:
1791:
40:
2861:
2760:
2704:
2574:
144:
2610:
2771:
1198:
52:
29:
17:
1990:
1247:
2688:
2558:
2663:
Budney, Ryan (2005), "On the image of the
Lawrence–Krammer representation",
2533:
Budney, Ryan (2005), "On the image of the
Lawrence–Krammer representation",
1838:
2845:
496:{\displaystyle \pi _{1}(C_{2}P_{n})\to \mathbb {Z} ^{2}\langle q,t\rangle }
2638:
2797:
2744:
2836:
2727:
2679:
2549:
2736:
116:. The Lawrence–Krammer representation is defined as the action of
1748:
The
Lawrence–Krammer representation preserves a non-degenerate
971:{\displaystyle \mathbb {Z} \langle t^{\pm },q^{\pm }\rangle }
846:{\displaystyle \mathbb {Z} \langle t^{\pm },q^{\pm }\rangle }
789:{\displaystyle H_{2}({\overline {C_{2}P_{n}}},\mathbb {Z} ),}
1092:{\displaystyle H_{2}({\overline {C_{2}P_{n}}},\mathbb {Z} )}
920:{\displaystyle H_{2}({\overline {C_{2}P_{n}}},\mathbb {Z} )}
2479:
1713:
1752:
which is known to be negative-definite
Hermitian provided
36:
and the second is the
Lawrence–Krammer representation.
1856:
1800:
1758:
1209:
1176:
1138:
1105:
1035:
984:
933:
863:
808:
729:
699:
653:
616:
589:
562:
512:
426:
386:
357:
330:
269:
234:
197:
156:
122:
95:
60:
1848:
The sesquilinear form has the explicit description:
647:, moreover they lift uniquely to diffeomorphisms of
506:
is called the
Lawrence–Krammer cover and is denoted
39:The Lawrence–Krammer representation is named after
2772:"Homological representations of the Hecke algebra"
2484:
1829:
1778:are specialized to suitable unit complex numbers (
1770:
1718:
1189:
1162:
1124:
1091:
1013:
970:
919:
857:is the Lawrence–Krammer representation. The group
845:
788:
712:
685:
639:
602:
575:
544:
495:
417:corresponding to the kernel of the projection map
409:
369:
343:
316:
255:
220:
179:
135:
108:
73:
2711:Krammer, Daan (2002), "Braid groups are linear",
2629:(2003), "The Lawrence–Krammer representation",
2511:(2003), "The Lawrence–Krammer representation",
1790:). Thus the braid group is a subgroup of the
317:{\displaystyle H_{1}(C_{2}P_{n},\mathbb {Z} )}
8:
2666:Journal of Knot Theory and Its Ramifications
2597:Journal of the American Mathematical Society
2536:Journal of Knot Theory and Its Ramifications
1895:
1857:
1310:
1274:
1197:denote the standard Artin generators of the
965:
939:
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814:
490:
478:
2835:
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2010:
2000:
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1976:
1963:
1953:
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1855:
1819:
1799:
1757:
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1664:
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155:
127:
121:
100:
94:
65:
59:
686:{\displaystyle {\overline {C_{2}P_{n}}}}
545:{\displaystyle {\overline {C_{2}P_{n}}}}
2500:
2777:Communications in Mathematical Physics
7:
187:. Specifically, the first integral
2594:(2001), "Braid groups are linear",
2631:Topology and geometry of manifolds
2513:Topology and geometry of manifolds
1163:{\displaystyle 1\leq j<k\leq n}
256:{\displaystyle \mathbb {Z} ^{n+1}}
14:
2823:Algebraic and Geometric Topology
22:Lawrence–Krammer representation
2435:
2413:
2410:
2395:
2365:
2350:
2341:
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2261:
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2213:
2170:
2158:
2099:
2087:
2028:
2016:
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1937:
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1804:
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1509:
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1046:
1000:
988:
914:
874:
780:
740:
463:
460:
437:
324:invariant under the action of
311:
280:
1:
2611:10.1090/S0894-0347-00-00361-1
143:on the homology of a certain
1201:, we obtain the expression:
1073:
901:
767:
678:
537:
1794:of square matrices of size
1190:{\displaystyle \sigma _{i}}
2900:
640:{\displaystyle C_{2}P_{n}}
410:{\displaystyle C_{2}P_{n}}
221:{\displaystyle C_{2}P_{n}}
180:{\displaystyle C_{2}P_{n}}
2689:10.1142/S0218216505004044
2559:10.1142/S0218216505004044
1830:{\displaystyle n(n-1)/2}
1014:{\displaystyle n(n-1)/2}
1125:{\displaystyle v_{j,k}}
2846:10.2140/agt.2002.2.499
2486:
1831:
1772:
1720:
1191:
1164:
1126:
1093:
1015:
972:
927:is known to be a free
921:
847:
790:
714:
687:
641:
604:
577:
546:
497:
411:
380:The covering space of
371:
345:
318:
263:, and the subgroup of
257:
222:
181:
137:
110:
75:
2884:Representation theory
2714:Annals of Mathematics
2487:
1832:
1773:
1721:
1192:
1165:
1127:
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1016:
973:
922:
848:
791:
715:
713:{\displaystyle B_{n}}
688:
642:
605:
603:{\displaystyle P_{n}}
578:
576:{\displaystyle P_{n}}
547:
498:
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372:
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344:{\displaystyle B_{n}}
319:
258:
223:
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138:
136:{\displaystyle B_{n}}
111:
109:{\displaystyle P_{n}}
76:
74:{\displaystyle B_{n}}
1854:
1798:
1756:
1207:
1174:
1136:
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982:
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195:
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93:
58:
34:Burau representation
2790:1990CMaPh.135..141L
1771:{\displaystyle q,t}
370:{\displaystyle q,t}
149:configuration space
83:mapping class group
2798:10.1007/bf02097660
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2477:
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1711:
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341:
314:
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71:
43:and Daan Krammer.
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2473:
2128:
2057:
1750:sesquilinear form
1076:
978:-module, of rank
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228:is isomorphic to
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2126:
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