2288:
2816:, that it actually increases without bound. (It is not known whether this is also provable in ZFC without the additional large-cardinal axiom.) In any case, it grows extremely slowly; Randall Dougherty showed that 32 cannot appear in this sequence (if it ever does) until
2776:
2794:= 0, 1, 2, ..., the entries in each first row are seen to be periodic with a period that's always a power of two, as mentioned in Property 2 above. The first few periods are 1, 1, 2, 4, 4, 8, 8, 8, 8, 16, 16, ... (sequence
382:
2067:
2492:
2377:
2605:
249:
145:
2540:
441:
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837:
711:
637:
580:
543:
504:
175:
275:
2801:
2283:{\displaystyle \ \ 2^{n}\star _{n}q=q;\ \ p\star _{n}2^{n}=2^{n};\ \ (2^{n}-1)\star _{n}q=2^{n};\ \ p\star _{n}2^{n-1}=2^{n}{\text{ if }}p\neq 2^{n}}
2047:
to calculate the entries of a Laver table directly, but
Patrick Dehornoy provides a simple algorithm for filling out Laver tables.
2393:
3073:
2300:
2545:
193:
89:
3058:
2921:
3078:
2044:
468:
2497:
518:: Following are the first five Laver tables, i.e. the multiplication tables for the shelves ({1,...,2},
409:
476:
2771:{\displaystyle \ p\star _{n}q=(p+1)^{(q)},{\text{ where }}x^{(1)}=x,\ x^{(k+1)}=x^{(k)}\star _{n}x.}
3006:
2980:
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3002:
2954:
2998:
2950:
3042:
2919:
Laver, Richard (1995), "On the algebra of elementary embeddings of a rank into itself",
2887:
2811:
2807:
3067:
2994:
40:
28:
3010:
2906:
31:, who discovered them towards the end of the 1980s in connection with his works on
177:
is the unique binary operation that satisfies the following two equations for all
377:{\displaystyle p\star _{n}(q\star _{n}r)=(p\star _{n}q)\star _{n}(p\star _{n}r).}
20:
2945:
32:
2935:
3059:
https://johncarlosbaez.wordpress.com/2016/05/06/shelves-and-the-infinite/
2886:
Lebed, Victoria (2014), "Laver Tables: from Set Theory to Braid Theory",
2985:
3050:
Proceedings of the East Asian School of Knots, Links and
Related Topics
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Dehornoy, Patrick (2014). "Two- and three-cocycles for Laver tables".
2804:). This sequence is nondecreasing, and in 1995 Richard Laver proved,
2850:
2971:(1993), "Critical points in an algebra of elementary embeddings",
2871:
2820:> A(9, A(8, A(8, 254))), where A denotes the
418:
2487:{\displaystyle \ \ (p\star _{n}q)_{q=1,2,3,...,\pi _{n}(p)}}
2796:
2844:
Biane, Philippe (2019). "Laver tables and combinatorics".
35:) are tables of numbers that have certain properties of
2624:
2548:
2500:
2396:
2303:
2070:
1120:
818:
692:
618:
561:
524:
485:
412:
278:
196:
156:
92:
3031:(2001), "Das Unendliche als Quelle der Erkenntnis",
443:
to mean the unique member of {1,...,2} congruent to
2889:
Annual
Topology Symposium, Tohoku University, Japan
2770:
2599:
2534:
2486:
2371:
2282:
1133:
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498:
435:
376:
243:
169:
139:
67:is the 2 Ă— 2 table whose entry in the cell at row
467:binary operation satisfying this law is called a
2372:{\displaystyle \ \ (p\star _{n}q)_{q=1,2,3,...}}
2600:{\displaystyle \ p\star _{n}\pi _{n}(p)=2^{n}}
2909:(starting on slide 26). Retrieved 2018-12-11.
8:
244:{\displaystyle p\star _{n}1=p+1\mod {2^{n}}}
2984:
2944:
2934:
2870:
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2839:
2837:
2806:under the assumption that there exists a
2756:
2740:
2715:
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2635:
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609:
552:
140:{\displaystyle L_{n}(p,q):=p\star _{n}q}
2833:
3043:"Diagrams colourings and applications"
43:interest. They occur in the study of
2786:Looking at just the first row in the
7:
2782:Are the first-row periods unbounded?
269:
187:
2535:{\displaystyle p\star _{n}1=p+1\ }
14:
3033:Spektrum der Wissenschaft Spezial
479:for the unique shelf ({1,...,2},
2973:Annals of Pure and Applied Logic
436:{\displaystyle x{\bmod {2}}^{n}}
225:
2747:
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115:
103:
1:
2995:10.1016/0168-0072(93)90012-3
2494:is strictly increasing from
2383:(p) equal to a power of two.
475:-th Laver table is just the
461:(left) self-distributive law
55:For any nonnegative integer
508:
506:) that satisfies Equation (
455:
402:
3095:
3057:Shelves and the infinite:
3041:Dehornoy, Patrick (2004),
1134:{\displaystyle \star _{4}}
832:{\displaystyle \star _{3}}
706:{\displaystyle \star _{2}}
632:{\displaystyle \star _{1}}
575:{\displaystyle \star _{0}}
538:{\displaystyle \star _{n}}
499:{\displaystyle \star _{n}}
170:{\displaystyle \star _{n}}
2379:is periodic with period π
463:, and a set endowed with
2822:Ackermann–Péter function
2922:Advances in Mathematics
2936:10.1006/aima.1995.1014
2772:
2601:
2536:
2488:
2373:
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539:
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2790:-th Laver table, for
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483:
477:multiplication table
410:
406:) uses the notation
276:
194:
154:
90:
16:Mathematical concept
2905:Dehornoy, Patrick.
83:≤ 2) is defined as
3074:Mathematical logic
2969:Dougherty, Randall
2946:10338.dmlcz/127328
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2043:There is no known
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496:
459:) is known as the
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374:
241:
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137:
45:racks and quandles
3029:Dehornoy, Patrick
2896:. See slide 8/33.
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2680: where
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