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List of derivatives and integrals in alternative calculi

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24: 411: 135:
The table below is intended to assist people working with the alternative calculus called the "geometric calculus" (or its discrete analog). Interested readers are encouraged to improve the table by inserting citations for verification, and by inserting more functions and more calculi.
5074: 1866: 3270: 41: 224: 3784: 2689: 4715: 213: 132:; for example, each of the infinitely many non-Newtonian calculi. Occasionally an alternative calculus is more suited than the classical calculus for expressing a given scientific or mathematical idea. 1646: 3841: 3709: 3408: 1574: 4147: 3656: 3193: 2740: 1352: 485: 4289: 4628: 2488: 2549: 1728: 3482: 563: 2588: 5143: 4842: 3315: 2199: 1521: 3103: 2887: 2315: 2048: 1283: 4978: 4322: 2094: 2006: 3034: 2948: 4507: 3884: 3594: 1934: 1773: 4396: 1211: 4206: 2348: 2160: 1386: 863: 4552: 2448: 4030: 3930: 2777: 1896: 919: 775: 4888: 2395: 4984: 4454: 3519: 815: 687: 5257: 4354: 3555: 3135: 2991: 2844: 1416: 1241: 644: 4792: 3349: 4753: 2266: 2124: 728: 88: 1971: 60: 3981: 2807: 2229: 1132: 1038: 1448: 605: 4075: 1083: 989: 5164: 4909: 4649: 4417: 4227: 4051: 3951: 3429: 3055: 2908: 1667: 1469: 1304: 1176: 1155: 1104: 1059: 1010: 965: 944: 67: 1779: 74: 3199: 406:{\displaystyle \operatorname {K} (x)=e^{\zeta ^{\prime }(-1,x)-\zeta ^{\prime }(-1)}=e^{{\frac {z-z^{2}}{2}}+{\frac {z}{2}}\ln(2\pi )-\psi ^{(-2)}(z)}} 56: 5295: 3715: 2592: 4655: 5446: 81: 5227: 107: 5398: 5371: 5325: 1580: 149: 5441: 5400:
An analytic-numerical method for solving difference equations with variable coefficients by discrete multiplicative integration
45: 3790: 3662: 3355: 1527: 5451: 4081: 869: 3600: 3141: 2695: 1310: 422: 4233: 34: 4558: 2454: 129: 2492: 1673: 3435: 496: 2554: 5080: 4798: 3276: 2166: 1475: 3061: 2850: 2272: 2012: 1247: 4915: 4295: 2054: 1977: 2997: 2914: 575: 4460: 3847: 3561: 1902: 1734: 5300: 5182: 4360: 1182: 566: 5373:
An analytical method for some nonlinear difference equations by discrete multiplicative differentiation
4153: 2321: 2130: 1358: 826: 5266: 5069:{\displaystyle -{\dfrac {1}{2}}\csc \left({\dfrac {a}{2}}\right)\cos \left({\dfrac {a}{2}}-ax\right)} 4513: 2401: 5406:. Dynamical Systems and Applications, Proceedings. Antalya, Turkey. pp. 425–435. Archived from 5379:. Dynamical Systems and Applications, Proceedings. Antalya, Turkey. pp. 455–462. Archived from 3987: 3890: 2746: 1874: 885: 738: 4848: 2354: 781: 4423: 3488: 5352: 5197: 5187: 878: 788: 654: 4330: 3527: 3111: 2954: 2813: 1392: 1217: 4759: 3321: 5344: 5233: 5223: 4723: 2235: 2100: 697: 1940: 5334: 5274: 5192: 732: 216: 3959: 2785: 2207: 1110: 1016: 615: 1424: 581: 5407: 5270: 4057: 1065: 971: 5149: 4894: 4634: 4402: 4212: 4036: 3936: 3414: 3040: 2893: 1652: 1454: 1289: 1161: 1140: 1089: 1044: 995: 950: 929: 819: 5426: 5435: 5380: 5356: 1861:{\displaystyle {\frac {a^{x}\Gamma ({\frac {ax+b}{a}})}{\Gamma ({\frac {a+b}{a}})}}} 3265:{\displaystyle x{\sqrt{a}}-\operatorname {Ei} \left({\frac {\ln a}{x}}\right)\ln a} 488: 125: 5217: 5251:
Bashirov, Agamirza E.; Kurpınar, Emine Mısırlı; Özyapıcı, Ali (1 January 2008).
23: 5279: 5252: 5339: 5320: 5177: 609: 414: 5348: 5237: 648: 121: 5296:"A non-Newtonian examination of the theory of exogenous economic growth" 3779:{\displaystyle {\frac {(\log _{a}x)^{x}}{e^{\operatorname {li} (x)}}}} 2684:{\displaystyle {\frac {(-1)^{a-1}\psi ^{(-a-1)}(x)}{\Gamma (-a)}},} 5397:
Jahanshahi, M.; Aliev, N.; Khatami, Hamid Reza (5–10 July 2004).
5370:
Khatami, Hamid Reza; Jahanshahi, M.; Aliev, N. (5–10 July 2004).
4710:{\displaystyle {\frac {\Gamma (x)^{x-1}}{\operatorname {K} (x)}}} 17: 287: 256: 1641:{\displaystyle {\frac {(b+ax)^{{\frac {b}{a}}+x}}{e^{x}}}} 208:{\displaystyle \psi (x)={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}} 57:"List of derivatives and integrals in alternative calculi" 5321:"Multiplicative Calculus in Biomedical Image Analysis" 3836:{\displaystyle \log _{a}\left({\frac {1}{x}}+1\right)} 5152: 5083: 5041: 5014: 4992: 4987: 4918: 4897: 4851: 4806: 4801: 4762: 4726: 4658: 4637: 4561: 4516: 4463: 4426: 4405: 4363: 4333: 4298: 4236: 4215: 4156: 4084: 4060: 4039: 3990: 3962: 3939: 3893: 3850: 3793: 3718: 3704:{\displaystyle \exp \left({\frac {1}{x\ln x}}\right)} 3665: 3603: 3564: 3530: 3491: 3438: 3417: 3358: 3324: 3279: 3202: 3144: 3114: 3064: 3043: 3000: 2957: 2917: 2896: 2853: 2816: 2788: 2749: 2698: 2595: 2557: 2495: 2457: 2404: 2357: 2324: 2275: 2238: 2210: 2169: 2133: 2103: 2057: 2015: 1980: 1943: 1905: 1877: 1782: 1737: 1676: 1655: 1583: 1530: 1478: 1457: 1427: 1395: 1361: 1313: 1292: 1250: 1220: 1185: 1164: 1143: 1113: 1092: 1068: 1047: 1019: 998: 974: 953: 932: 888: 829: 791: 741: 700: 657: 618: 584: 499: 425: 227: 152: 3403:{\displaystyle a^{\frac {1}{1+x}}-a^{\frac {1}{x}}} 1569:{\displaystyle \exp \left({\frac {a}{ax+b}}\right)} 48:. Unsourced material may be challenged and removed. 5158: 5137: 5068: 4972: 4903: 4882: 4836: 4786: 4747: 4709: 4643: 4622: 4546: 4501: 4448: 4411: 4390: 4348: 4316: 4283: 4221: 4200: 4142:{\displaystyle e^{-{\frac {1}{4}}x^{2}(1-2\ln x)}} 4141: 4069: 4045: 4024: 3975: 3945: 3924: 3878: 3835: 3778: 3703: 3650: 3588: 3549: 3513: 3476: 3423: 3402: 3343: 3309: 3264: 3187: 3129: 3097: 3049: 3028: 2985: 2942: 2902: 2881: 2838: 2801: 2771: 2734: 2683: 2582: 2543: 2482: 2442: 2389: 2342: 2309: 2260: 2223: 2193: 2154: 2118: 2088: 2042: 2000: 1965: 1928: 1890: 1860: 1767: 1722: 1661: 1640: 1568: 1515: 1463: 1442: 1410: 1380: 1346: 1298: 1277: 1235: 1205: 1170: 1149: 1126: 1098: 1077: 1053: 1032: 1004: 983: 959: 938: 913: 857: 809: 769: 722: 681: 638: 599: 557: 479: 405: 207: 5258:Journal of Mathematical Analysis and Applications 3651:{\displaystyle \log _{a}x^{x}-{\frac {x}{\ln a}}} 3188:{\displaystyle -{\frac {{\sqrt{a}}\ln a}{x^{2}}}} 2735:{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{a}} 1347:{\displaystyle {\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x}{2}}} 480:{\displaystyle (!x)={\frac {\Gamma (x+1,-1)}{e}}} 5294:Filip, Diana Andrada; Piatecki, Cyrille (2014). 5319:Florack, Luc; van Assen, Hans (January 2012). 5253:"Multiplicative calculus and its applications" 8: 4284:{\displaystyle {\frac {(x+1)^{x+1}}{x^{x}}}} 4623:{\displaystyle (-1)^{x+1}\Gamma (x)(!(-x))} 2483:{\displaystyle a\notin \mathbb {Z} ^{-}\,;} 5326:Journal of Mathematical Imaging and Vision 2544:{\displaystyle {\frac {B_{a+1}(x)}{a+1}},} 1723:{\displaystyle {\frac {ax^{2}+2bx-ax}{2}}} 5338: 5278: 5151: 5082: 5040: 5013: 4991: 4986: 4917: 4896: 4856: 4850: 4805: 4800: 4761: 4725: 4675: 4659: 4657: 4636: 4575: 4560: 4515: 4473: 4468: 4462: 4431: 4425: 4404: 4362: 4332: 4297: 4273: 4256: 4237: 4235: 4214: 4192: 4173: 4155: 4107: 4093: 4089: 4083: 4059: 4038: 3995: 3989: 3967: 3961: 3938: 3898: 3892: 3855: 3849: 3812: 3798: 3792: 3756: 3745: 3729: 3719: 3717: 3676: 3664: 3630: 3621: 3608: 3602: 3565: 3563: 3535: 3529: 3496: 3490: 3477:{\displaystyle a^{-{\frac {1}{x+x^{2}}}}} 3463: 3447: 3443: 3437: 3416: 3389: 3363: 3357: 3329: 3323: 3297: 3288: 3284: 3278: 3231: 3211: 3206: 3201: 3177: 3156: 3151: 3148: 3143: 3120: 3115: 3113: 3076: 3069: 3063: 3042: 3007: 3001: 2999: 2977: 2956: 2928: 2922: 2916: 2895: 2860: 2854: 2852: 2821: 2815: 2793: 2787: 2763: 2748: 2726: 2711: 2697: 2628: 2612: 2596: 2594: 2576: 2570: 2566: 2565: 2556: 2503: 2496: 2494: 2476: 2470: 2466: 2465: 2456: 2434: 2421: 2403: 2378: 2362: 2356: 2329: 2323: 2282: 2276: 2274: 2246: 2237: 2215: 2209: 2170: 2168: 2134: 2132: 2102: 2077: 2061: 2056: 2032: 2022: 2016: 2014: 1990: 1981: 1979: 1958: 1950: 1942: 1918: 1909: 1904: 1878: 1876: 1834: 1802: 1790: 1783: 1781: 1744: 1736: 1687: 1677: 1675: 1654: 1630: 1607: 1606: 1584: 1582: 1541: 1529: 1489: 1479: 1477: 1456: 1426: 1394: 1368: 1360: 1334: 1320: 1314: 1312: 1291: 1267: 1257: 1251: 1249: 1226: 1221: 1219: 1192: 1186: 1184: 1163: 1142: 1118: 1112: 1091: 1067: 1046: 1024: 1018: 997: 973: 952: 931: 893: 887: 834: 828: 790: 758: 740: 705: 699: 656: 617: 583: 558:{\displaystyle B_{a}(x)=-a\zeta (-a+1,x)} 504: 498: 441: 424: 377: 342: 327: 314: 313: 286: 255: 250: 226: 168: 151: 108:Learn how and when to remove this message 5216:Grossman, Michael; Katz, Robert (1972). 2583:{\displaystyle a\in \mathbb {Z} ^{-}\,;} 571: 5208: 5138:{\displaystyle \cos(a)+\sin(a)\cot(ax)} 4837:{\displaystyle -{\dfrac {\cos(ax)}{a}}} 3310:{\displaystyle a^{-{\frac {1}{x^{2}}}}} 2194:{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (x)}}} 1516:{\displaystyle {\frac {ax^{2}+2bx}{2}}} 3098:{\displaystyle a^{\frac {x^{2}+x}{2}}} 2882:{\displaystyle {\frac {a^{x}}{\ln a}}} 2310:{\displaystyle {\frac {x^{a+1}}{a+1}}} 2043:{\displaystyle {\frac {e^{x}}{x^{x}}}} 1278:{\displaystyle {\frac {x^{x}}{e^{x}}}} 4973:{\displaystyle \sin(a(x+1))-\sin(ax)} 4317:{\displaystyle \operatorname {K} (x)} 2089:{\displaystyle -{\frac {1}{x+x^{2}}}} 2001:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt{e}}}} 7: 3029:{\displaystyle {\frac {a^{x}}{a-1}}} 2943:{\displaystyle a^{\frac {x^{2}}{2}}} 565:are the generalized to real numbers 46:adding citations to reliable sources 4502:{\displaystyle e^{\psi ^{(-2)}(x)}} 3879:{\displaystyle \log _{a}\Gamma (x)} 3589:{\displaystyle {\frac {1}{x\ln a}}} 1929:{\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}}}} 1768:{\displaystyle 1+{\frac {a}{ax+b}}} 120:There are many alternatives to the 4689: 4662: 4587: 4532: 4391:{\displaystyle \Gamma (x)\psi (x)} 4364: 4334: 4299: 3864: 2750: 2660: 2176: 1828: 1796: 1396: 1206:{\displaystyle {\frac {x^{2}}{2}}} 831: 792: 444: 228: 190: 172: 14: 5222:. Pigeon Cove, Mass.: Lee Press. 4201:{\displaystyle (x+1)^{x+1}-x^{x}} 2343:{\displaystyle e^{\frac {a}{x}}} 2155:{\displaystyle {\frac {x}{x+1}}} 1381:{\displaystyle 1+{\frac {1}{x}}} 879:Discrete multiplicative integral 858:{\displaystyle \Delta ^{-1}f(x)} 22: 4547:{\displaystyle (x-1)\Gamma (x)} 2443:{\displaystyle (x+1)^{a}-x^{a}} 33:needs additional citations for 5427:Non-Newtonian calculus website 5132: 5123: 5114: 5108: 5096: 5090: 4967: 4958: 4946: 4943: 4931: 4925: 4875: 4866: 4824: 4815: 4781: 4772: 4742: 4733: 4701: 4695: 4672: 4665: 4617: 4614: 4605: 4599: 4596: 4590: 4572: 4562: 4541: 4535: 4529: 4517: 4494: 4488: 4483: 4474: 4441: 4435: 4385: 4379: 4373: 4367: 4343: 4337: 4311: 4305: 4253: 4240: 4170: 4157: 4134: 4113: 4025:{\displaystyle x^{x}(1+\ln x)} 4019: 4001: 3925:{\displaystyle \log _{x}(x+1)} 3919: 3907: 3873: 3867: 3769: 3763: 3742: 3722: 3506: 3500: 2970: 2958: 2772:{\displaystyle \Gamma (x)^{a}} 2760: 2753: 2672: 2663: 2655: 2649: 2644: 2629: 2609: 2599: 2521: 2515: 2418: 2405: 2185: 2179: 2113: 2107: 1959: 1951: 1891:{\displaystyle {\frac {1}{x}}} 1852: 1831: 1823: 1799: 1603: 1587: 1405: 1399: 914:{\displaystyle \prod _{x}f(x)} 908: 902: 852: 846: 804: 798: 770:{\displaystyle \int f(x)^{dx}} 755: 748: 717: 711: 670: 664: 633: 627: 594: 588: 552: 531: 516: 510: 468: 447: 435: 426: 398: 392: 387: 378: 367: 358: 301: 292: 276: 261: 240: 234: 199: 193: 185: 179: 162: 156: 1: 4883:{\displaystyle e^{a\cot(ax)}} 2390:{\displaystyle e^{-ax}x^{ax}} 922:(constant factor is omitted) 778:(constant factor is omitted) 4449:{\displaystyle e^{\psi (x)}} 3514:{\displaystyle a^{\psi (x)}} 875:(multiplicative difference) 866:(constant term is omitted) 810:{\displaystyle \Delta f(x)} 690:(constant term is omitted) 682:{\displaystyle \int f(x)dx} 5468: 5280:10.1016/j.jmaa.2007.03.081 4349:{\displaystyle \Gamma (x)} 3550:{\displaystyle \log _{a}x} 3130:{\displaystyle {\sqrt{a}}} 2986:{\displaystyle (a-1)a^{x}} 2839:{\displaystyle a^{x}\ln a} 1411:{\displaystyle 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