5433:
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3272:
2084:
5095:
3871:
5428:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x\Phi (a+bx)\varphi (x)\,dx={\frac {b}{t}}\varphi \left({\frac {a}{t}}\right)\Phi \left(-{\frac {ab}{t}}\right)+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\Phi (a),\qquad t={\sqrt {1+b^{2}}}}
586:
4672:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x\Phi (a+bx)^{2}\varphi (x)\,dx={\frac {2b}{\sqrt {1+b^{2}}}}\varphi \left({\frac {a}{t}}\right)\Phi \left({\frac {a}{{\sqrt {1+b^{2}}}{\sqrt {1+2b^{2}}}}}\right)}
3735:
4134:
2772:
753:
497:
1883:
4469:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\Phi (a+bx)^{2}\varphi (x)\,dx=\Phi \left({\frac {a}{\sqrt {1+b^{2}}}}\right)-2T\left({\frac {a}{\sqrt {1+b^{2}}}},{\frac {1}{\sqrt {1+2b^{2}}}}\right)}
430:
1595:
1415:
3133:{\displaystyle \int e^{cx}\varphi (bx)^{n}\,dx={\frac {e^{\frac {c^{2}}{2nb^{2}}}}{b{\sqrt {n(2\pi )^{n-1}}}}}\Phi \left({\frac {b^{2}xn-c}{b{\sqrt {n}}}}\right)+C,\qquad b\neq 0,n>0}
2761:{\displaystyle \int x\varphi (x)\Phi (a+bx)\,dx={\frac {b}{t}}\varphi \left({\frac {a}{t}}\right)\Phi \left(xt+{\frac {ab}{t}}\right)-\varphi (x)\Phi (a+bx)+C,\qquad t={\sqrt {1+b^{2}}}}
4980:
4683:
5598:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ln(x^{2}){\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {x}{\sigma }}\right)\,dx=\ln(\sigma ^{2})-\gamma -\ln 2\approx \ln(\sigma ^{2})-1.27036}
5778:
3153:
592:
1276:
1010:
4032:
5788:
1742:
246:
5638:
1265:{\displaystyle \int \varphi (x)\varphi (a+bx)\,dx={\frac {1}{t}}\varphi \left({\frac {a}{t}}\right)\Phi \left(tx+{\frac {ab}{t}}\right)+C,\qquad t={\sqrt {1+b^{2}}}}
21:
4969:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x\varphi (x)\Phi (bx)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }x\varphi (x)\Phi (bx)^{2}\,dx={\frac {b}{\sqrt {2\pi (1+b^{2})}}}}
5773:
5743:
2554:{\displaystyle \int x^{n}\Phi (x)\,dx={\frac {1}{n+1}}\left(\left(x^{n+1}-nx^{n-1}\right)\Phi (x)+x^{n}\varphi (x)+n(n-1)\int x^{n-2}\Phi (x)\,dx\right)+C}
5798:
5793:
3564:{\displaystyle \int _{-\infty }^{0}\varphi (ax)\Phi (bx)\,dx={\frac {1}{2\pi |a|}}\left({\frac {\pi }{2}}-\arctan \left({\frac {b}{|a|}}\right)\right)}
5783:
5768:
3724:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\varphi (ax)\Phi (bx)\,dx={\frac {1}{2\pi |a|}}\left({\frac {\pi }{2}}+\arctan \left({\frac {b}{|a|}}\right)\right)}
3401:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\varphi (a+bx)\,dx={\frac {1}{\sqrt {1+b^{2}}}}\varphi \left({\frac {a}{\sqrt {1+b^{2}}}}\right)}
2323:{\displaystyle \int x^{2}\Phi (a+bx)\,dx={\frac {1}{3b^{3}}}\left((b^{3}x^{3}+a^{3}+3a)\Phi (a+bx)+(b^{2}x^{2}-abx+a^{2}+2)\varphi (a+bx)\right)+C}
5763:
5227:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x\Phi (a+bx)\varphi (x)\,dx={\frac {b}{t}}\varphi \left({\frac {a}{t}}\right),\qquad t={\sqrt {1+b^{2}}}}
220:{\displaystyle \Phi (x)=\int _{-\infty }^{x}\varphi (t)\,dt={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right)}
4021:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}\varphi (x)\Phi (bx)\,dx={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2\pi }}\left({\frac {b}{1+b^{2}}}+\arctan(b)\right)}
5654:
503:
3860:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x\varphi (x)\Phi (bx)\,dx={\frac {1}{2{\sqrt {2\pi }}}}\left(1+{\frac {b}{\sqrt {1+b^{2}}}}\right)}
5712:
4272:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\Phi (bx)^{2}\varphi (x)\,dx={\frac {1}{2\pi }}\left(\arctan(b)+\arctan {\sqrt {1+2b^{2}}}\right)}
2907:{\displaystyle \int \Phi (x)^{2}\,dx=x\Phi (x)^{2}+2\Phi (x)\varphi (x)-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)+C}
5736:
961:{\displaystyle \int x^{2k+2}\varphi (x)\,dx=-\varphi (x)\sum _{j=0}^{k}{\frac {(2k+1)!!}{(2j+1)!!}}x^{2j+1}+(2k+1)!!\,\Phi (x)+C}
230:
2073:{\displaystyle \int x\Phi (a+bx)\,dx={\frac {1}{2b^{2}}}\left((b^{2}x^{2}-a^{2}-1)\Phi (a+bx)+(bx-a)\varphi (a+bx)\right)+C}
436:
1731:{\displaystyle \int \varphi (a+bx)^{n}\,dx={\frac {1}{b{\sqrt {n(2\pi )^{n-1}}}}}\Phi \left({\sqrt {n}}(a+bx)\right)+C}
1584:{\displaystyle \int x^{2}\varphi (a+bx)\,dx={\frac {1}{b^{3}}}\left((a^{2}+1)\Phi (a+bx)+(a-bx)\varphi (a+bx)\right)+C}
5829:
5729:
375:
5834:
5808:
5084:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\Phi (a+bx)\varphi (x)\,dx=\Phi \left({\frac {a}{\sqrt {1+b^{2}}}}\right)}
4791:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\Phi (bx)^{2}\varphi (x)\,dx={\frac {1}{\pi }}\arctan {\sqrt {1+2b^{2}}}}
3261:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\varphi (x)^{n}\,dx={\frac {1}{\sqrt {n^{3}(2\pi )^{n-1}}}}}
742:{\displaystyle \int x^{2k+1}\varphi (x)\,dx=-\varphi (x)\sum _{j=0}^{k}{\frac {(2k)!!}{(2j)!!}}x^{2j}+C}
1404:{\displaystyle \int x\varphi (a+bx)\,dx=-{\frac {1}{b^{2}}}\left(\varphi (a+bx)+a\Phi (a+bx)\right)+C}
1097:{\displaystyle \int \varphi (x)^{2}\,dx={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)+C}
357:
4123:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x\varphi (x)^{2}\Phi (x)\,dx={\frac {1}{4\pi {\sqrt {3}}}}}
1872:{\displaystyle \int \Phi (a+bx)\,dx={\frac {1}{b}}\left((a+bx)\Phi (a+bx)+\varphi (a+bx)\right)+C}
5752:
5708:
5691:
980:
98:
5637:
lists this integral above without the minus sign, which is an error. See calculation by
238:
5823:
363:
Owen has an extensive list of
Gaussian-type integrals; only a subset is given below.
347:{\displaystyle T(h,a)=\varphi (h)\int _{0}^{a}{\frac {\varphi (hx)}{1+x^{2}}}\,dx}
5695:
88:{\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}}
5721:
581:{\displaystyle \int x^{2}\varphi (x)\,dx=\Phi (x)-x\varphi (x)+C}
5725:
987:
it is equal to the product of all even numbers from 2 to
5684:
Communications in
Statistics: Simulation and Computation
5442:
5241:
5098:
4983:
4805:
4686:
4483:
4286:
4137:
4035:
3874:
3738:
3578:
3415:
3275:
3156:
2921:
2775:
2568:
2337:
2087:
1886:
1745:
1598:
1418:
1279:
1111:
1013:
756:
595:
506:
439:
378:
249:
109:
24:
492:{\displaystyle \int x\varphi (x)\,dx=-\varphi (x)+C}
5597:
5427:
5226:
5083:
4968:
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4468:
4271:
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3859:
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2760:
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1871:
1730:
1583:
1403:
1264:
1096:
960:
741:
580:
491:
424:
346:
219:
87:
5682:Owen, D. (1980). "A table of normal integrals".
995:it is the product of all odd numbers from 1 to
425:{\displaystyle \int \varphi (x)\,dx=\Phi (x)+C}
5737:
5703:Patel, Jagdish K.; Read, Campbell B. (1996).
5669:report this integral incorrectly by omitting
8:
5744:
5730:
5722:
5666:
5650:
5634:
5580:
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4685:
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2635:
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1770:
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1417:
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1012:
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108:
77:
63:
59:
40:
23:
5615:
5653:report this integral with error, see
7:
5622:
16:In the expressions in this article,
5705:Handbook of the normal distribution
5456:
5451:
5383:
5334:
5260:
5252:
5120:
5112:
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4700:
4695:
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4505:
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4492:
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4300:
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3289:
3284:
3170:
3165:
3048:
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2811:
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2351:
2207:
2101:
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1813:
1749:
1684:
1507:
1369:
1189:
1065:
999:; additionally it is assumed that
940:
542:
404:
133:
110:
14:
231:cumulative distribution function
5779:Inverse trigonometric functions
5398:
5197:
3108:
2731:
1235:
972:In the previous two integrals,
5586:
5573:
5543:
5530:
5480:
5467:
5392:
5386:
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5263:
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