2770:
551:
260:
418:
397:
689:
872:
599:
138:
546:{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrr}1\\1&1\\2&3&1\\5&9&5&1\\14&28&20&7&1\\42&90&75&35&9&1\\\end{array}}}
409:
865:
2799:
789:
1672:
858:
2804:
1667:
284:
1682:
1662:
2375:
1955:
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1677:
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1777:
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1239:
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2026:
2001:
1910:
1900:
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1414:
727:
2751:
2021:
1895:
1526:
1302:
1082:
1009:
78:
722:
The combinatorics of parentheses is replaced with counting ballots in an election with two candidates in
2006:
1860:
1787:
942:
423:
2715:
2355:
2648:
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1970:
1950:
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129:
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1960:
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1280:
1249:
2769:
255:{\displaystyle L_{m,n}={\frac {2m+1}{m+n+1}}{\binom {2n}{m+n}}\qquad {\text{ for }}n\geq m\geq 0.}
2773:
2527:
2522:
2436:
2410:
2308:
2287:
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2466:
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1865:
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1772:
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1118:
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1885:
1880:
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1504:
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1385:
1375:
1347:
1234:
1186:
1181:
1138:
1077:
820:
762:
734:
that winning candidate is ahead in the count, given known final tallies for each candidate.
694:
As well as counting sequences of parentheses, the Lobb numbers also count the ways in which
751:
Koshy, Thomas (March 2009). "Lobb's generalization of
Catalan's parenthesization problem".
2679:
2568:
2501:
2427:
2350:
2324:
2142:
1855:
1712:
1647:
1617:
1607:
1602:
1268:
1176:
1123:
967:
907:
63:, which count the complete strings of balanced parentheses of a given length. Thus, the
2684:
2552:
2537:
2401:
2365:
2340:
2216:
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2106:
2011:
1978:
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2016:
1627:
850:
766:
2345:
2272:
2264:
2069:
1983:
1101:
710:
copies of the value â1 may be arranged into a sequence such that all of the
52:
close parentheses can be arranged to form the start of a valid sequence of
2446:
89:
2451:
2110:
832:
824:
77:. They are named after Andrew Lobb, who used them to give a simple
392:{\displaystyle L_{m,n}={\binom {2n}{m+n}}-{\binom {2n}{m+n+1}}.}
2737:
2701:
2665:
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2589:
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2103:
1829:
1744:
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1099:
1051:
989:
893:
854:
404:
684:{\displaystyle L_{0,n}={\frac {1}{1+n}}{\binom {2n}{n}}.}
88:
The Lobb numbers are parameterized by two non-negative
613:
565:
421:
287:
141:
2561:
2515:
2475:
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1279:
683:
593:
545:
402:The triangle of these numbers starts as (sequence
391:
254:
59:Lobb numbers form a natural generalization of the
672:
654:
380:
348:
336:
310:
225:
199:
866:
8:
604:and the left column are the Catalan Numbers
2734:
2698:
2662:
2626:
2586:
2260:
2225:
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1843:
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1531:
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1285:
1276:
1263:
1210:
1167:Possessing a specific set of other numbers
1162:
1096:
1048:
986:
890:
873:
859:
851:
265:An alternative expression for Lobb number
805:Lobb, Andrew (March 1999). "Deriving the
671:
653:
651:
633:
618:
612:
570:
564:
422:
420:
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345:
335:
309:
307:
292:
286:
232:
224:
198:
196:
161:
146:
140:
67:th Catalan number equals the Lobb number
743:
7:
714:of the sequence are non-negative.
658:
352:
314:
203:
14:
782:Catalan Numbers with Applications
2768:
2376:Perfect digit-to-digit invariant
730:in 1878. The theorem states the
754:The College Mathematics Journal
231:
1:
2800:Factorial and binomial topics
1215:Expressible via specific sums
2304:Multiplicative digital root
784:. Oxford University Press.
702:copies of the value +1 and
2821:
594:{\displaystyle L_{n,n}=1,}
2805:Enumerative combinatorics
2764:
2747:
2733:
2711:
2697:
2675:
2661:
2639:
2625:
2598:
2585:
2381:Perfect digital invariant
2224:
2210:
2118:
2099:
1956:Superior highly composite
1842:
1825:
1753:
1740:
1708:
1695:
1583:
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1172:
1161:
1109:
1095:
1058:
1047:
1000:
985:
903:
889:
724:Bertrand's ballot theorem
18:combinatorial mathematics
1994:Euler's totient function
1778:EulerâJacobi pseudoprime
1053:Other polynomial numbers
767:10.4169/193113409X469532
1808:SomerâLucas pseudoprime
1798:LucasâCarmichael number
1633:Lazy caterer's sequence
728:William Allen Whitworth
81:of the formula for the
1683:WedderburnâEtherington
1083:Lucky numbers of Euler
780:Koshy, Thomas (2008).
685:
595:
556:where the diagonal is
547:
393:
256:
107: â„ 0. The (
1971:Prime omega functions
1788:Frobenius pseudoprime
1578:Combinatorial numbers
1447:Centered dodecahedral
1240:Primary pseudoperfect
726:, first published by
686:
596:
548:
394:
257:
130:binomial coefficients
128:is given in terms of
44:open parentheses and
36:counts the ways that
2430:-composition related
2230:Arithmetic functions
1832:Arithmetic functions
1768:Elliptic pseudoprime
1452:Centered icosahedral
1432:Centered tetrahedral
812:Mathematical Gazette
809:th Catalan number".
611:
563:
419:
285:
139:
54:balanced parentheses
2356:Kaprekar's constant
1876:Colossally abundant
1763:Catalan pseudoprime
1663:SchröderâHipparchus
1442:Centered octahedral
1318:Centered heptagonal
1308:Centered pentagonal
1298:Centered triangular
898:and related numbers
2774:Mathematics portal
2716:Aronson's sequence
2462:SmarandacheâWellin
2219:-dependent numbers
1926:Primitive abundant
1813:Strong pseudoprime
1803:Perrin pseudoprime
1783:Fermat pseudoprime
1723:Wolstenholme prime
1547:Squared triangular
1333:Centered decagonal
1328:Centered nonagonal
1323:Centered octagonal
1313:Centered hexagonal
681:
591:
543:
541:
389:
252:
2795:Integer sequences
2782:
2781:
2760:
2759:
2729:
2728:
2693:
2692:
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2656:
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2620:
2581:
2580:
2577:
2576:
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2395:
2206:
2205:
2095:
2094:
2091:
2090:
2037:Aliquot sequences
1848:Divisor functions
1821:
1820:
1793:Lucas pseudoprime
1773:Euler pseudoprime
1758:Carmichael number
1736:
1735:
1691:
1690:
1568:
1567:
1564:
1563:
1560:
1559:
1521:
1520:
1409:
1408:
1366:Square triangular
1258:
1257:
1205:
1204:
1157:
1156:
1091:
1090:
1043:
1042:
981:
980:
791:978-0-19-533454-8
670:
649:
378:
334:
235:
223:
194:
2812:
2772:
2735:
2704:Natural language
2699:
2663:
2631:Generated via a
2627:
2587:
2492:Digit-reassembly
2457:Self-descriptive
2261:
2226:
2212:
2163:LucasâCarmichael
2153:Harmonic divisor
2101:
2027:Sparsely totient
2002:Highly cototient
1911:Multiply perfect
1901:Highly composite
1844:
1827:
1742:
1697:
1678:Telephone number
1574:
1532:
1513:Square pyramidal
1495:Stella octangula
1420:
1286:
1277:
1269:Figurate numbers
1264:
1211:
1163:
1097:
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795:
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748:
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687:
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677:
676:
675:
666:
657:
650:
648:
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628:
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597:
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550:
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542:
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396:
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384:
383:
377:
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351:
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340:
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333:
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313:
303:
302:
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259:
258:
253:
236:
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230:
229:
228:
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211:
202:
195:
193:
176:
162:
157:
156:
85:Catalan number.
2820:
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2814:
2813:
2811:
2810:
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2783:
2778:
2756:
2752:Strobogrammatic
2743:
2725:
2707:
2689:
2671:
2653:
2635:
2617:
2594:
2573:
2557:
2516:Divisor-related
2511:
2471:
2422:
2392:
2329:
2313:
2292:
2259:
2232:
2220:
2202:
2114:
2113:related numbers
2087:
2064:
2031:
2022:Perfect totient
1988:
1965:
1896:Highly abundant
1838:
1817:
1749:
1732:
1704:
1687:
1673:Stirling second
1579:
1556:
1517:
1499:
1456:
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1342:
1303:Centered square
1271:
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1201:
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1153:
1105:
1104:defined numbers
1087:
1054:
1039:
1010:Double Mersenne
996:
977:
899:
885:
883:natural numbers
879:
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848:
825:10.2307/3618696
804:
803:
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778:
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720:
718:Ballot counting
659:
652:
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608:
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561:
560:
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346:
323:
315:
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288:
283:
282:
277:
234: for
212:
204:
197:
177:
163:
142:
137:
136:
132:by the formula
127:
79:inductive proof
76:
61:Catalan numbers
35:
12:
11:
5:
2818:
2816:
2808:
2807:
2802:
2797:
2787:
2786:
2780:
2779:
2777:
2776:
2765:
2762:
2761:
2758:
2757:
2755:
2754:
2748:
2745:
2744:
2738:
2731:
2730:
2727:
2726:
2724:
2723:
2718:
2712:
2709:
2708:
2702:
2695:
2694:
2691:
2690:
2688:
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