7353:
6907:
7348:{\displaystyle \displaystyle {|a_{3}|=2\int _{0}^{\infty }|\Re \alpha (t)^{2}|\,dt+4\left(\int _{0}^{\infty }\Re \alpha (t)\,dt\right)^{2}}\leq 2\int _{0}^{\infty }|\Re \alpha (t)^{2}|\,dt+4\left(\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt\right)\left(\int _{0}^{\infty }e^{t}(\Re \alpha (t))^{2}\,dt\right)=1+4\int _{0}^{\infty }(e^{-t}-e^{-2t})(\Re \kappa (t))^{2}\,dt\leq 3,}
6824:
5252:
4235:
6212:
56:
with a curve joining 0 to â removed), Loewner's method was later developed in 1943 by the
Russian mathematician Pavel Parfenevich Kufarev (1909â1968). Any family of domains in the complex plane that expands continuously in the sense of
4513:
which take the unit circle onto an analytic curve. A point on that curve can be connected to infinity by a Jordan arc. The regions obtained by omitting a small segment of the analytic curve to one side of the chosen point converge to
3454:
80:. This semigroup corresponds to a time dependent holomorphic vector field on the disk given by a one parameter family of holomorphic functions on the disk with positive real part. The Loewner semigroup generalizes the notion of a
4930:
3235:
2364:
2621:
6547:
5381:
4354:
1614:
6627:
944:
6331:
6035:
2250:
3089:
3870:
6401:
5695:
3635:
2069:
1015:
3324:
647:
6691:
6459:
5831:
2925:
1881:
5058:
2507:
2751:
2695:
436:
6680:
5021:
764:
5938:
4508:
1265:
1785:
1401:
1311:
4109:
1722:
2850:
1663:
1173:
1055:
548:
3568:
2140:
1347:
6899:
5492:
4795:
4402:
2286:
2399:
705:
4754:
1453:
1106:
5757:
5631:
5573:
5541:
5436:
4685:
859:
270:
5602:
3936:
3778:
3486:
3128:
3002:
2790:
2004:
1920:
1489:
827:
574:
498:
475:
336:
220:
5874:
5854:
5701:
5459:
5404:
5050:
4653:
4005:
6076:
4097:
3713:
2963:
2098:
1202:
6854:
6242:
6065:
5728:
5282:
4960:
4712:
3893:
791:
5494:
maps the unit disk into the unit disk with a Jordan arc from an interior point to the boundary removed. The point where it touches the boundary is independent of
4633:
4541:
4446:
4258:
4042:
3965:
3742:
1960:
1084:
5512:
4732:
4604:
4581:
4561:
4062:
3913:
3678:
3658:
3526:
3506:
3351:
2449:
2429:
2160:
1431:
1126:
670:
376:
356:
316:
292:
184:
157:
137:
3362:
4415:. These are conformal maps of the unit disk onto the complex plane with a Jordan arc connecting a finite point to â omitted. Density follows by applying the
4803:
3136:
2294:
2530:
6470:
5293:
4266:
1496:
6558:
867:
6250:
5949:
2168:
4411:
Inequalities for univalent functions on the unit disk can be proved by using the density for uniform convergence on compact subsets of
3010:
87:
The
Loewner differential equation has led to inequalities for univalent functions that played an important role in the solution of the
3786:
7460:
7426:
6342:
5639:
6819:{\displaystyle \displaystyle {a_{3}=-2\int _{0}^{\infty }\alpha (t)^{2}\,dt+4\left(\int _{0}^{\infty }\alpha (t)\,dt\right)^{2}}}
3576:
2012:
955:
4100:
3246:
582:
6412:
5769:
3330:
2861:
5247:{\displaystyle \displaystyle {\varphi _{s,t}(z)=f_{t}^{-1}\circ f_{s}(z)=e^{s-t}(z+a_{2}(s,t)z^{2}+a_{3}(s,t)z^{3}+\cdots )}}
2853:
29:
7359:
4416:
3333:
for ordinary differential equations guarantees that these equations can be solved and that the solutions are holomorphic in
1407:
1796:
2457:
2706:
2632:
384:
96:
6638:
4968:
5896:
4454:
7523:
41:
4230:{\displaystyle \displaystyle {p(z)=\int _{0}^{2\pi }{1+e^{-i\theta }z \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\mu (\theta ),}}
1210:
1930:
1733:
713:
95:
in 1985. Loewner himself used his techniques in 1923 for proving the conjecture for the third coefficient. The
1355:
1276:
1671:
2798:
1620:
108:
1630:
1134:
1028:
506:
5888:
88:
3531:
2103:
7502:
1624:
1319:
160:
66:
6859:
5464:
4759:
4362:
2258:
2372:
675:
4737:
1436:
1089:
5733:
5607:
5546:
5517:
5409:
4658:
832:
225:
163:
104:
69:
5578:
3918:
6207:{\displaystyle \displaystyle {\varphi _{0,t}(z)=e^{-t}(z+a_{2}(t)z^{2}+a_{3}(t)z^{3}+\cdots )}}
7456:
7422:
3747:
3462:
3097:
2971:
2759:
1973:
1889:
1458:
796:
559:
483:
444:
321:
189:
45:
5859:
5839:
5444:
5389:
5029:
4638:
3970:
7489:
7481:
4067:
3683:
2933:
2077:
1181:
92:
81:
37:
6832:
6220:
6043:
5706:
5260:
4938:
4690:
3878:
769:
7469:
4609:
4517:
4422:
4243:
4018:
3941:
3718:
1936:
1060:
33:
3449:{\displaystyle \displaystyle {f_{s}(z)=\lim _{t\rightarrow \infty }e^{t}\phi _{s,t}(z).}}
58:
7509:, Studia Mathematica/Mathematische LehrbĂŒcher, vol. 15, Vandenhoeck & Ruprecht
5497:
4717:
4589:
4566:
4546:
4047:
3898:
3663:
3643:
3511:
3491:
3356:
The
Loewner chain can be recovered from the Loewner semigroup by passing to the limit:
3336:
2521:
can be derived either for the
Loewner semigroup or equivalently for the Loewner chain.
2434:
2414:
2145:
1416:
1111:
655:
361:
341:
301:
277:
169:
142:
122:
7517:
7472:(1923), "Untersuchungen ĂŒber schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises, I",
7455:, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 114, American Mathematical Society,
4925:{\displaystyle \displaystyle {f_{t}(z)=e^{t}(z+b_{2}(t)z^{2}+b_{3}(t)z^{3}+\cdots )}}
4260:
is a probability measure on the circle. Taking a point measure singles out functions
53:
3230:{\displaystyle \displaystyle {\partial _{t}f_{t}(z)=zp_{t}(z)\partial _{z}f_{t}(z)}}
1933:
shows that knowledge of the chain is equivalent to the properties of the open sets
100:
61:
to the whole plane leads to a one parameter family of conformal mappings, called a
7421:, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 259, Springer-Verlag,
2359:{\displaystyle \displaystyle {\varphi _{t,r}\circ \varphi _{s,t}=\varphi _{s,r}}}
99:, a stochastic generalization of the Loewner differential equation discovered by
7448:
17:
7494:
2616:{\displaystyle \displaystyle {w_{s}(z)=\partial _{t}\varphi _{s,t}(z)|_{t=s}}}
7507:
Univalent functions, with a chapter on quadratic differentials by Gerd Jensen
6542:{\displaystyle \displaystyle {{\dot {a}}_{3}=-2\alpha ^{2}-4\alpha \,a_{2}.}}
5376:{\displaystyle \displaystyle {p_{t}(z)={1+\kappa (t)z \over 1-\kappa (t)z}}}
4349:{\displaystyle \displaystyle {p_{t}(z)={1+\kappa (t)z \over 1-\kappa (t)z}}}
1609:{\displaystyle f_{t}(D)=U(t),\,\,\,f_{t}(0)=0,\,\,\,\partial _{z}f_{t}(0)=1}
73:
49:
7435:
Kufarev, P. P. (1943), "On one-parameter families of analytic functions",
6622:{\displaystyle \displaystyle {a_{2}=-2\int _{0}^{\infty }\alpha (t)\,dt}}
480:
A necessary and sufficient condition for the existence of such a mapping
7485:
939:{\displaystyle \displaystyle {|f^{\prime }(0)|\leq |g^{\prime }(0)|}}
6326:{\displaystyle \displaystyle {a_{n}(0)=0,\,\,a_{n}(\infty )=a_{n}.}}
6030:{\displaystyle \displaystyle {f(z)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots }}
2968:
To obtain the differential equation satisfied by the
Loewner chain
2245:{\displaystyle \displaystyle {f_{s}(z)=f_{t}(\varphi _{s,t}(z)).}}
5856:
comes from a slit mapping, but
Kufarev showed this was true when
3084:{\displaystyle \displaystyle {f_{t}(z)=f_{s}(\varphi _{s,t}(z))}}
3865:{\displaystyle \displaystyle {f_{0}(z)=z,\,\,\,f_{1}(z)=g(z).}}
5887:
used his differential equation for slit mappings to prove the
4586:
To apply the
Loewner differential equation to a slit function
1086:
be a family of open connected and simply connected subsets of
2100:
so that there is a unique univalent self mapping of the disk
1724:
is positive, continuous, strictly increasing and continuous.
6396:{\displaystyle \displaystyle {\alpha (t)=e^{-t}\kappa (t),}}
6040:
In this case, rotating if necessary, it can be assumed that
5690:{\displaystyle \displaystyle {\kappa (t)=\lambda (t)^{-1}.}}
1747:
1700:
915:
883:
5730:
admits a continuous extension to the closed unit disk and
3630:{\displaystyle \displaystyle {\varphi _{0,1}(z)=\psi (z).}}
2064:{\displaystyle \displaystyle {f_{s}(D)\subsetneq f_{t}(D)}}
1010:{\displaystyle \displaystyle {f(D_{r})\subseteq g(D_{r}).}}
652:
By definition Ï is a univalent holomorphic self-mapping of
3744:
contains the closed unit disk, there is a
Loewner chain
3319:{\displaystyle \displaystyle {f_{t}(z)|_{t=0}=f_{0}(z).}}
642:{\displaystyle \displaystyle {\varphi (z)=g^{-1}(f(z)).}}
6454:{\displaystyle \displaystyle {{\dot {a}}_{2}=-2\alpha }}
5826:{\displaystyle \displaystyle {f_{t}(\lambda (t))=c(t).}}
2920:{\displaystyle \displaystyle {{dw \over dt}=-wp_{t}(w)}}
5287:
This gives a
Loewner chain and Loewner semigroup with
1455:, this theorem implies that the unique univalent maps
6911:
6910:
6862:
6835:
6695:
6694:
6642:
6641:
6562:
6561:
6474:
6473:
6416:
6415:
6346:
6345:
6254:
6253:
6223:
6080:
6079:
6046:
5953:
5952:
5900:
5899:
5862:
5842:
5773:
5772:
5736:
5709:
5643:
5642:
5610:
5581:
5549:
5520:
5500:
5467:
5447:
5412:
5392:
5297:
5296:
5263:
5062:
5061:
5032:
4972:
4971:
4941:
4807:
4806:
4762:
4740:
4720:
4693:
4661:
4641:
4612:
4592:
4569:
4549:
4520:
4458:
4457:
4425:
4365:
4270:
4269:
4246:
4113:
4112:
4070:
4050:
4021:
3973:
3944:
3921:
3901:
3881:
3790:
3789:
3750:
3721:
3686:
3666:
3646:
3580:
3579:
3534:
3514:
3494:
3465:
3366:
3365:
3339:
3250:
3249:
3140:
3139:
3100:
3014:
3013:
2974:
2936:
2865:
2864:
2801:
2762:
2710:
2709:
2636:
2635:
2534:
2533:
2461:
2460:
2437:
2417:
2375:
2298:
2297:
2261:
2172:
2171:
2148:
2106:
2080:
2016:
2015:
1976:
1939:
1892:
1876:{\displaystyle f_{t}(z)=e^{t}z+a_{2}(t)z^{2}+\cdots }
1799:
1736:
1674:
1633:
1499:
1461:
1439:
1419:
1358:
1322:
1279:
1213:
1184:
1137:
1114:
1092:
1063:
1031:
959:
958:
871:
870:
835:
799:
772:
716:
678:
658:
586:
585:
562:
509:
486:
447:
388:
387:
364:
344:
324:
304:
280:
228:
192:
172:
145:
125:
103:
in the late 1990s, has been extensively developed in
2502:{\displaystyle \displaystyle {\varphi _{t,t}(z)=z.}}
44:. Originally introduced for studying slit mappings (
2746:{\displaystyle \displaystyle {\Re \,p_{s}(z)>0}}
2690:{\displaystyle \displaystyle {w_{s}(z)=-zp_{s}(z)}}
431:{\displaystyle \displaystyle {f(z)=g(\varphi (z))}}
7347:
6893:
6848:
6818:
6674:
6632:which immediately implies Bieberbach's inequality
6621:
6541:
6453:
6395:
6325:
6236:
6206:
6059:
6029:
5943:for the third coefficient of a univalent function
5932:
5868:
5848:
5825:
5751:
5722:
5689:
5625:
5596:
5567:
5535:
5506:
5486:
5453:
5430:
5398:
5375:
5276:
5246:
5044:
5015:
4954:
4924:
4789:
4748:
4726:
4706:
4679:
4647:
4627:
4598:
4575:
4555:
4535:
4502:
4440:
4396:
4348:
4252:
4229:
4091:
4056:
4036:
3999:
3959:
3930:
3907:
3887:
3864:
3772:
3736:
3707:
3672:
3652:
3629:
3562:
3528:, it is possible to construct a Loewner semigroup
3520:
3500:
3480:
3448:
3345:
3318:
3229:
3122:
3083:
2996:
2957:
2919:
2844:
2784:
2745:
2689:
2615:
2501:
2443:
2423:
2393:
2358:
2280:
2244:
2154:
2134:
2092:
2063:
1998:
1954:
1914:
1875:
1779:
1716:
1657:
1608:
1483:
1447:
1425:
1395:
1341:
1305:
1259:
1196:
1167:
1120:
1100:
1078:
1049:
1009:
938:
853:
821:
785:
758:
699:
664:
641:
568:
542:
492:
469:
430:
370:
350:
330:
310:
286:
264:
214:
178:
151:
131:
4007:and then using a standard compactness argument.
3391:
4064:with positive real part and normalized so that
3938:. They follow in general by replacing mappings
6675:{\displaystyle \displaystyle {|a_{2}|\leq 2.}}
5016:{\displaystyle \displaystyle {f_{0}(z)=f(z).}}
1727:By a reparametrization it can be assumed that
5933:{\displaystyle \displaystyle {|a_{3}|\leq 3}}
8:
7453:Conformally invariant processes in the plane
4503:{\displaystyle \displaystyle {g(z)=f(rz)/r}}
318:if and only if there is a univalent mapping
4404:, which were the first to be considered by
7377:
6406:the Loewner differential equation implies
1260:{\displaystyle U(t)=\bigcup _{s<t}U(s)}
7493:
7328:
7322:
7285:
7269:
7256:
7251:
7223:
7217:
7189:
7179:
7174:
7153:
7144:
7134:
7129:
7107:
7102:
7096:
7075:
7069:
7064:
7047:
7035:
7014:
7009:
6986:
6981:
6975:
6954:
6948:
6943:
6928:
6922:
6913:
6912:
6909:
6880:
6863:
6861:
6840:
6834:
6808:
6796:
6778:
6773:
6750:
6744:
6725:
6720:
6701:
6696:
6693:
6659:
6653:
6644:
6643:
6640:
6610:
6592:
6587:
6568:
6563:
6560:
6528:
6523:
6508:
6489:
6478:
6477:
6475:
6472:
6431:
6420:
6419:
6417:
6414:
6367:
6347:
6344:
6312:
6290:
6285:
6284:
6260:
6255:
6252:
6228:
6222:
6187:
6168:
6155:
6136:
6114:
6086:
6081:
6078:
6051:
6045:
6013:
6003:
5990:
5980:
5954:
5951:
5917:
5911:
5902:
5901:
5898:
5861:
5841:
5779:
5774:
5771:
5735:
5714:
5708:
5673:
5644:
5641:
5609:
5604:is the complex conjugate (or inverse) of
5580:
5548:
5519:
5499:
5472:
5466:
5446:
5411:
5391:
5321:
5303:
5298:
5295:
5268:
5262:
5227:
5202:
5189:
5164:
5139:
5117:
5101:
5096:
5068:
5063:
5060:
5031:
4978:
4973:
4970:
4946:
4940:
4905:
4886:
4873:
4854:
4835:
4813:
4808:
4805:
4761:
4742:
4741:
4739:
4719:
4698:
4692:
4660:
4640:
4611:
4591:
4568:
4548:
4519:
4490:
4459:
4456:
4424:
4383:
4366:
4364:
4294:
4276:
4271:
4268:
4245:
4206:
4188:
4161:
4148:
4139:
4134:
4114:
4111:
4069:
4049:
4020:
3989:
3972:
3943:
3920:
3900:
3880:
3827:
3822:
3821:
3820:
3796:
3791:
3788:
3755:
3749:
3720:
3685:
3665:
3645:
3586:
3581:
3578:
3539:
3533:
3513:
3493:
3464:
3459:Finally given any univalent self-mapping
3420:
3410:
3394:
3372:
3367:
3364:
3338:
3296:
3277:
3272:
3256:
3251:
3248:
3210:
3200:
3181:
3156:
3146:
3141:
3138:
3105:
3099:
3055:
3042:
3020:
3015:
3012:
2979:
2973:
2935:
2900:
2867:
2866:
2863:
2821:
2800:
2771:
2763:
2761:
2720:
2715:
2711:
2708:
2670:
2642:
2637:
2634:
2599:
2594:
2572:
2562:
2540:
2535:
2532:
2467:
2462:
2459:
2436:
2416:
2411:The self-mappings depend continuously on
2374:
2342:
2323:
2304:
2299:
2296:
2266:
2260:
2213:
2200:
2178:
2173:
2170:
2147:
2111:
2105:
2079:
2044:
2022:
2017:
2014:
1981:
1975:
1938:
1897:
1891:
1861:
1842:
1826:
1804:
1798:
1780:{\displaystyle f_{t}^{\prime }(0)=e^{t}.}
1768:
1746:
1741:
1735:
1699:
1694:
1673:
1632:
1585:
1575:
1570:
1569:
1568:
1544:
1539:
1538:
1537:
1504:
1498:
1466:
1460:
1441:
1440:
1438:
1418:
1369:
1357:
1327:
1321:
1296:
1295:
1278:
1233:
1212:
1183:
1136:
1113:
1094:
1093:
1091:
1062:
1030:
993:
971:
960:
957:
929:
914:
905:
897:
882:
873:
872:
869:
834:
808:
800:
798:
777:
771:
759:{\displaystyle 0<|\varphi '(0)|\leq 1}
745:
723:
715:
677:
657:
607:
587:
584:
561:
508:
485:
456:
448:
446:
389:
386:
363:
343:
323:
303:
279:
227:
201:
193:
191:
171:
144:
124:
1396:{\displaystyle U(s_{n})\rightarrow U(t)}
1306:{\displaystyle U(\infty )=\mathbb {C} .}
7370:
5884:
4543:so the corresponding univalent maps of
4405:
2288:have the following semigroup property:
1717:{\displaystyle a(t)=f_{t}^{\prime }(0)}
65:, as well as a two parameter family of
3875:Results of this type are immediate if
2845:{\displaystyle w(t)=\varphi _{s,t}(z)}
7401:
7389:
3640:Similarly given a univalent function
7:
5880:Application to Bieberbach conjecture
3130:satisfies the differential equation
1658:{\displaystyle [0,\infty )\times D}
1168:{\displaystyle U(s)\subsetneq U(t)}
1050:{\displaystyle 0\leq t\leq \infty }
543:{\displaystyle f(D)\subseteq g(D).}
7303:
7257:
7198:
7180:
7135:
7080:
7070:
7020:
7015:
6959:
6949:
6779:
6726:
6593:
6299:
5559:
5514:and defines a continuous function
5422:
4778:
4671:
4642:
3922:
3401:
3197:
3143:
2712:
2559:
1643:
1572:
1286:
1044:
14:
4419:. In fact any univalent function
3563:{\displaystyle \varphi _{s,t}(z)}
2135:{\displaystyle \varphi _{s,t}(z)}
4563:onto these regions converge to
4101:Herglotz representation theorem
1342:{\displaystyle s_{n}\uparrow t}
861:, into itself, it follows that
115:Subordinate univalent functions
7319:
7315:
7309:
7300:
7297:
7262:
7214:
7210:
7204:
7195:
7103:
7093:
7086:
7076:
7032:
7026:
6982:
6972:
6965:
6955:
6929:
6914:
6894:{\displaystyle |\kappa (t)|=1}
6881:
6877:
6871:
6864:
6793:
6787:
6741:
6734:
6660:
6645:
6607:
6601:
6385:
6379:
6357:
6351:
6302:
6296:
6272:
6266:
6199:
6180:
6174:
6148:
6142:
6123:
6104:
6098:
5964:
5958:
5918:
5903:
5836:Not every continuous function
5815:
5809:
5800:
5797:
5791:
5785:
5746:
5740:
5670:
5663:
5654:
5648:
5620:
5614:
5591:
5585:
5562:
5550:
5530:
5524:
5487:{\displaystyle \varphi _{s,t}}
5425:
5413:
5362:
5356:
5339:
5333:
5315:
5309:
5239:
5220:
5208:
5182:
5170:
5151:
5129:
5123:
5086:
5080:
5005:
4999:
4990:
4984:
4917:
4898:
4892:
4866:
4860:
4841:
4825:
4819:
4790:{\displaystyle c([t,\infty ))}
4784:
4781:
4769:
4766:
4687:so that the map univalent map
4674:
4662:
4622:
4616:
4530:
4524:
4487:
4478:
4469:
4463:
4435:
4429:
4397:{\displaystyle |\kappa (t)|=1}
4384:
4380:
4374:
4367:
4335:
4329:
4312:
4306:
4288:
4282:
4219:
4213:
4124:
4118:
4080:
4074:
4031:
4025:
3986:
3977:
3954:
3948:
3854:
3848:
3839:
3833:
3808:
3802:
3767:
3761:
3731:
3725:
3696:
3690:
3619:
3613:
3604:
3598:
3557:
3551:
3475:
3469:
3438:
3432:
3398:
3384:
3378:
3308:
3302:
3273:
3268:
3262:
3222:
3216:
3193:
3187:
3168:
3162:
3117:
3111:
3076:
3073:
3067:
3048:
3032:
3026:
2991:
2985:
2946:
2940:
2912:
2906:
2854:ordinary differential equation
2839:
2833:
2811:
2805:
2772:
2764:
2732:
2726:
2682:
2676:
2654:
2648:
2595:
2590:
2584:
2552:
2546:
2485:
2479:
2281:{\displaystyle \varphi _{s,t}}
2234:
2231:
2225:
2206:
2190:
2184:
2129:
2123:
2056:
2050:
2034:
2028:
1993:
1987:
1949:
1943:
1909:
1903:
1854:
1848:
1816:
1810:
1758:
1752:
1711:
1705:
1684:
1678:
1646:
1634:
1597:
1591:
1556:
1550:
1531:
1525:
1516:
1510:
1478:
1472:
1390:
1384:
1378:
1375:
1362:
1333:
1289:
1283:
1254:
1248:
1223:
1217:
1162:
1156:
1147:
1141:
1073:
1067:
999:
986:
977:
964:
930:
926:
920:
906:
898:
894:
888:
874:
809:
801:
746:
742:
736:
724:
688:
682:
631:
628:
622:
616:
597:
591:
534:
528:
519:
513:
457:
449:
423:
420:
414:
408:
399:
393:
259:
253:
238:
232:
202:
194:
30:ordinary differential equation
1:
5876:has a continuous derivative.
4448:is approximated by functions
2519:Loewner differential equation
2513:Loewner differential equation
2394:{\displaystyle s\leq t\leq r}
700:{\displaystyle \varphi (0)=0}
22:Loewner differential equation
4749:{\displaystyle \mathbb {C} }
1448:{\displaystyle \mathbb {C} }
1101:{\displaystyle \mathbb {C} }
5752:{\displaystyle \lambda (t)}
5626:{\displaystyle \lambda (t)}
5568:{\displaystyle [0,\infty )}
5536:{\displaystyle \lambda (t)}
5431:{\displaystyle [0,\infty )}
4680:{\displaystyle [0,\infty )}
4583:uniformly on compact sets.
4417:Carathéodory kernel theorem
2255:By uniqueness the mappings
1408:Carathéodory kernel theorem
854:{\displaystyle 0<r<1}
710:Since such a map satisfies
265:{\displaystyle f(0)=0=g(0)}
7540:
5597:{\displaystyle \kappa (t)}
4962:continuous. In particular
3931:{\displaystyle \partial D}
7360:CauchyâSchwarz inequality
6244:continuous. They satisfy
5406:is a continuous map from
4606:, the omitted Jordan arc
2006:is a Loewner chain, then
1433:denotes the unit disk in
42:geometric function theory
3773:{\displaystyle f_{t}(z)}
3481:{\displaystyle \psi (z)}
3123:{\displaystyle f_{t}(z)}
2997:{\displaystyle f_{t}(z)}
2785:{\displaystyle |z|<1}
1999:{\displaystyle f_{t}(z)}
1931:Koebe distortion theorem
1915:{\displaystyle f_{t}(z)}
1484:{\displaystyle f_{t}(z)}
822:{\displaystyle |z|<r}
569:{\displaystyle \varphi }
553:Necessity is immediate.
493:{\displaystyle \varphi }
470:{\displaystyle |z|<1}
331:{\displaystyle \varphi }
215:{\displaystyle |z|<1}
97:SchrammâLoewner equation
5869:{\displaystyle \kappa }
5849:{\displaystyle \kappa }
5759:, sometimes called the
5454:{\displaystyle \kappa }
5399:{\displaystyle \kappa }
5045:{\displaystyle s\leq t}
4655:can be parametrized by
4648:{\displaystyle \infty }
4635:from a finite point to
4000:{\displaystyle f(rz)/r}
3915:extend continuously to
3331:PicardâLindelöf theorem
3240:with initial condition
2930:with initial condition
2524:For the semigroup, let
1886:The univalent mappings
1668:Moreover, the function
1621:Riemann mapping theorem
70:univalent self-mappings
7349:
6895:
6850:
6820:
6676:
6623:
6543:
6455:
6397:
6327:
6238:
6208:
6061:
6031:
5934:
5870:
5850:
5827:
5753:
5724:
5702:Carathéodory's theorem
5691:
5627:
5598:
5569:
5537:
5508:
5488:
5455:
5432:
5400:
5377:
5278:
5248:
5046:
5017:
4956:
4926:
4791:
4750:
4728:
4708:
4681:
4649:
4629:
4600:
4577:
4557:
4537:
4504:
4442:
4398:
4350:
4254:
4231:
4099:are described by the
4093:
4092:{\displaystyle p(0)=1}
4058:
4038:
4015:Holomorphic functions
4001:
3961:
3932:
3909:
3889:
3866:
3774:
3738:
3709:
3708:{\displaystyle g(0)=0}
3674:
3654:
3631:
3564:
3522:
3502:
3482:
3450:
3347:
3320:
3231:
3124:
3085:
2998:
2959:
2958:{\displaystyle w(s)=z}
2921:
2846:
2786:
2747:
2691:
2617:
2503:
2445:
2425:
2395:
2360:
2282:
2246:
2156:
2136:
2094:
2093:{\displaystyle s<t}
2065:
2000:
1956:
1916:
1877:
1781:
1718:
1659:
1627:on compact subsets of
1610:
1485:
1449:
1427:
1397:
1343:
1307:
1261:
1198:
1197:{\displaystyle s<t}
1169:
1122:
1102:
1080:
1051:
1011:
940:
855:
823:
787:
760:
701:
666:
643:
570:
544:
494:
471:
432:
372:
352:
332:
312:
288:
266:
216:
180:
153:
133:
109:conformal field theory
7417:Duren, P. L. (1983),
7350:
6896:
6851:
6849:{\displaystyle a_{3}}
6821:
6677:
6624:
6544:
6456:
6398:
6328:
6239:
6237:{\displaystyle a_{n}}
6209:
6062:
6060:{\displaystyle a_{3}}
6032:
5935:
5889:Bieberbach conjecture
5871:
5851:
5828:
5754:
5725:
5723:{\displaystyle f_{t}}
5692:
5628:
5599:
5570:
5538:
5509:
5489:
5456:
5433:
5401:
5378:
5279:
5277:{\displaystyle a_{n}}
5249:
5047:
5018:
4957:
4955:{\displaystyle b_{n}}
4927:
4792:
4751:
4729:
4709:
4707:{\displaystyle f_{t}}
4682:
4650:
4630:
4601:
4578:
4558:
4538:
4505:
4443:
4399:
4351:
4255:
4232:
4094:
4059:
4039:
4002:
3962:
3933:
3910:
3890:
3888:{\displaystyle \psi }
3867:
3775:
3739:
3710:
3675:
3655:
3632:
3565:
3523:
3503:
3483:
3451:
3348:
3321:
3232:
3125:
3086:
2999:
2960:
2922:
2847:
2787:
2748:
2692:
2618:
2504:
2446:
2426:
2396:
2361:
2283:
2247:
2157:
2137:
2095:
2066:
2001:
1957:
1917:
1878:
1782:
1719:
1660:
1611:
1486:
1450:
1428:
1398:
1344:
1308:
1262:
1199:
1170:
1123:
1103:
1081:
1052:
1012:
941:
856:
824:
788:
786:{\displaystyle D_{r}}
761:
702:
667:
644:
571:
545:
495:
472:
433:
373:
353:
333:
313:
289:
267:
217:
181:
154:
134:
89:Bieberbach conjecture
6908:
6860:
6856:is non-negative and
6833:
6692:
6639:
6559:
6471:
6413:
6343:
6251:
6221:
6077:
6044:
5950:
5897:
5860:
5840:
5770:
5734:
5707:
5640:
5608:
5579:
5575:to the unit circle.
5547:
5518:
5498:
5465:
5445:
5438:to the unit circle.
5410:
5390:
5294:
5261:
5059:
5030:
4969:
4939:
4804:
4760:
4738:
4718:
4691:
4659:
4639:
4628:{\displaystyle c(t)}
4610:
4590:
4567:
4547:
4536:{\displaystyle g(D)}
4518:
4455:
4441:{\displaystyle f(z)}
4423:
4363:
4267:
4253:{\displaystyle \mu }
4244:
4110:
4068:
4048:
4037:{\displaystyle p(z)}
4019:
3971:
3960:{\displaystyle f(z)}
3942:
3919:
3899:
3879:
3787:
3748:
3737:{\displaystyle g(D)}
3719:
3684:
3664:
3644:
3577:
3532:
3512:
3492:
3463:
3363:
3337:
3247:
3137:
3098:
3011:
2972:
2934:
2862:
2799:
2760:
2707:
2633:
2531:
2458:
2435:
2415:
2373:
2295:
2259:
2169:
2146:
2104:
2078:
2013:
1974:
1955:{\displaystyle U(t)}
1937:
1890:
1797:
1734:
1672:
1631:
1625:uniformly continuous
1497:
1459:
1437:
1417:
1406:in the sense of the
1356:
1320:
1277:
1211:
1182:
1135:
1112:
1090:
1079:{\displaystyle U(t)}
1061:
1029:
956:
868:
833:
797:
770:
766:and takes each disk
714:
676:
656:
583:
560:
507:
484:
445:
385:
362:
342:
322:
302:
278:
226:
190:
170:
143:
123:
7419:Univalent functions
7261:
7184:
7139:
7074:
7019:
6953:
6783:
6730:
6597:
5109:
4147:
1751:
1704:
576:must be defined by
358:into itself fixing
164:univalent functions
82:univalent semigroup
7495:10338.dmlcz/125927
7486:10.1007/BF01448091
7380:, pp. 158â159
7345:
7344:
7247:
7170:
7125:
7060:
7005:
6939:
6891:
6846:
6816:
6815:
6769:
6716:
6672:
6671:
6619:
6618:
6583:
6539:
6538:
6451:
6450:
6393:
6392:
6323:
6322:
6234:
6204:
6203:
6057:
6027:
6026:
5930:
5929:
5866:
5846:
5823:
5822:
5763:, is specified by
5749:
5720:
5687:
5686:
5623:
5594:
5565:
5533:
5504:
5484:
5451:
5428:
5396:
5373:
5372:
5274:
5244:
5243:
5092:
5042:
5013:
5012:
4952:
4922:
4921:
4787:
4746:
4724:
4704:
4677:
4645:
4625:
4596:
4573:
4553:
4533:
4500:
4499:
4438:
4394:
4346:
4345:
4250:
4227:
4226:
4130:
4089:
4054:
4034:
3997:
3967:by approximations
3957:
3928:
3905:
3885:
3862:
3861:
3770:
3734:
3705:
3670:
3650:
3627:
3626:
3560:
3518:
3498:
3478:
3446:
3445:
3405:
3343:
3316:
3315:
3227:
3226:
3120:
3081:
3080:
2994:
2955:
2917:
2916:
2842:
2782:
2743:
2742:
2687:
2686:
2613:
2612:
2499:
2498:
2441:
2421:
2404:They constitute a
2391:
2356:
2355:
2278:
2242:
2241:
2152:
2132:
2090:
2061:
2060:
1996:
1952:
1912:
1873:
1777:
1737:
1714:
1690:
1655:
1606:
1481:
1445:
1423:
1393:
1339:
1303:
1257:
1244:
1194:
1165:
1118:
1098:
1076:
1047:
1007:
1006:
936:
935:
851:
819:
783:
756:
697:
662:
639:
638:
566:
540:
490:
467:
428:
427:
368:
348:
328:
308:
284:
262:
212:
176:
149:
129:
105:probability theory
46:conformal mappings
6486:
6428:
6067:is non-negative.
5700:Equivalently, by
5507:{\displaystyle s}
5369:
4727:{\displaystyle D}
4599:{\displaystyle f}
4576:{\displaystyle g}
4556:{\displaystyle D}
4342:
4204:
4057:{\displaystyle D}
3908:{\displaystyle g}
3673:{\displaystyle D}
3653:{\displaystyle g}
3521:{\displaystyle 0}
3501:{\displaystyle D}
3390:
3346:{\displaystyle z}
2885:
2444:{\displaystyle t}
2424:{\displaystyle s}
2406:Loewner semigroup
2155:{\displaystyle 0}
1966:Loewner semigroup
1426:{\displaystyle D}
1229:
1121:{\displaystyle 0}
665:{\displaystyle D}
371:{\displaystyle 0}
351:{\displaystyle D}
311:{\displaystyle g}
287:{\displaystyle f}
179:{\displaystyle D}
166:on the unit disk
152:{\displaystyle g}
132:{\displaystyle f}
78:Loewner semigroup
7531:
7524:Complex analysis
7510:
7498:
7497:
7465:
7444:
7431:
7405:
7404:, pp. 83â87
7399:
7393:
7392:, pp. 80â81
7387:
7381:
7375:
7354:
7352:
7351:
7346:
7327:
7326:
7296:
7295:
7277:
7276:
7260:
7255:
7234:
7230:
7222:
7221:
7194:
7193:
7183:
7178:
7164:
7160:
7152:
7151:
7138:
7133:
7106:
7101:
7100:
7079:
7073:
7068:
7053:
7052:
7051:
7046:
7042:
7018:
7013:
6985:
6980:
6979:
6958:
6952:
6947:
6932:
6927:
6926:
6917:
6900:
6898:
6897:
6892:
6884:
6867:
6855:
6853:
6852:
6847:
6845:
6844:
6825:
6823:
6822:
6817:
6814:
6813:
6812:
6807:
6803:
6782:
6777:
6749:
6748:
6729:
6724:
6706:
6705:
6681:
6679:
6678:
6673:
6670:
6663:
6658:
6657:
6648:
6628:
6626:
6625:
6620:
6617:
6596:
6591:
6573:
6572:
6548:
6546:
6545:
6540:
6537:
6533:
6532:
6513:
6512:
6494:
6493:
6488:
6487:
6479:
6460:
6458:
6457:
6452:
6449:
6436:
6435:
6430:
6429:
6421:
6402:
6400:
6399:
6394:
6391:
6375:
6374:
6332:
6330:
6329:
6324:
6321:
6317:
6316:
6295:
6294:
6265:
6264:
6243:
6241:
6240:
6235:
6233:
6232:
6213:
6211:
6210:
6205:
6202:
6192:
6191:
6173:
6172:
6160:
6159:
6141:
6140:
6122:
6121:
6097:
6096:
6066:
6064:
6063:
6058:
6056:
6055:
6036:
6034:
6033:
6028:
6025:
6018:
6017:
6008:
6007:
5995:
5994:
5985:
5984:
5939:
5937:
5936:
5931:
5928:
5921:
5916:
5915:
5906:
5875:
5873:
5872:
5867:
5855:
5853:
5852:
5847:
5832:
5830:
5829:
5824:
5821:
5784:
5783:
5761:driving function
5758:
5756:
5755:
5750:
5729:
5727:
5726:
5721:
5719:
5718:
5696:
5694:
5693:
5688:
5685:
5681:
5680:
5632:
5630:
5629:
5624:
5603:
5601:
5600:
5595:
5574:
5572:
5571:
5566:
5542:
5540:
5539:
5534:
5513:
5511:
5510:
5505:
5493:
5491:
5490:
5485:
5483:
5482:
5460:
5458:
5457:
5452:
5437:
5435:
5434:
5429:
5405:
5403:
5402:
5397:
5382:
5380:
5379:
5374:
5371:
5370:
5368:
5345:
5322:
5308:
5307:
5283:
5281:
5280:
5275:
5273:
5272:
5253:
5251:
5250:
5245:
5242:
5232:
5231:
5207:
5206:
5194:
5193:
5169:
5168:
5150:
5149:
5122:
5121:
5108:
5100:
5079:
5078:
5051:
5049:
5048:
5043:
5022:
5020:
5019:
5014:
5011:
4983:
4982:
4961:
4959:
4958:
4953:
4951:
4950:
4931:
4929:
4928:
4923:
4920:
4910:
4909:
4891:
4890:
4878:
4877:
4859:
4858:
4840:
4839:
4818:
4817:
4796:
4794:
4793:
4788:
4755:
4753:
4752:
4747:
4745:
4733:
4731:
4730:
4725:
4713:
4711:
4710:
4705:
4703:
4702:
4686:
4684:
4683:
4678:
4654:
4652:
4651:
4646:
4634:
4632:
4631:
4626:
4605:
4603:
4602:
4597:
4582:
4580:
4579:
4574:
4562:
4560:
4559:
4554:
4542:
4540:
4539:
4534:
4509:
4507:
4506:
4501:
4498:
4494:
4447:
4445:
4444:
4439:
4403:
4401:
4400:
4395:
4387:
4370:
4355:
4353:
4352:
4347:
4344:
4343:
4341:
4318:
4295:
4281:
4280:
4259:
4257:
4256:
4251:
4236:
4234:
4233:
4228:
4225:
4205:
4203:
4199:
4198:
4176:
4172:
4171:
4149:
4146:
4138:
4098:
4096:
4095:
4090:
4063:
4061:
4060:
4055:
4043:
4041:
4040:
4035:
4006:
4004:
4003:
3998:
3993:
3966:
3964:
3963:
3958:
3937:
3935:
3934:
3929:
3914:
3912:
3911:
3906:
3894:
3892:
3891:
3886:
3871:
3869:
3868:
3863:
3860:
3832:
3831:
3801:
3800:
3779:
3777:
3776:
3771:
3760:
3759:
3743:
3741:
3740:
3735:
3714:
3712:
3711:
3706:
3679:
3677:
3676:
3671:
3659:
3657:
3656:
3651:
3636:
3634:
3633:
3628:
3625:
3597:
3596:
3569:
3567:
3566:
3561:
3550:
3549:
3527:
3525:
3524:
3519:
3507:
3505:
3504:
3499:
3487:
3485:
3484:
3479:
3455:
3453:
3452:
3447:
3444:
3431:
3430:
3415:
3414:
3404:
3377:
3376:
3352:
3350:
3349:
3344:
3325:
3323:
3322:
3317:
3314:
3301:
3300:
3288:
3287:
3276:
3261:
3260:
3236:
3234:
3233:
3228:
3225:
3215:
3214:
3205:
3204:
3186:
3185:
3161:
3160:
3151:
3150:
3129:
3127:
3126:
3121:
3110:
3109:
3090:
3088:
3087:
3082:
3079:
3066:
3065:
3047:
3046:
3025:
3024:
3003:
3001:
3000:
2995:
2984:
2983:
2964:
2962:
2961:
2956:
2926:
2924:
2923:
2918:
2915:
2905:
2904:
2886:
2884:
2876:
2868:
2851:
2849:
2848:
2843:
2832:
2831:
2791:
2789:
2788:
2783:
2775:
2767:
2752:
2750:
2749:
2744:
2741:
2725:
2724:
2696:
2694:
2693:
2688:
2685:
2675:
2674:
2647:
2646:
2622:
2620:
2619:
2614:
2611:
2610:
2609:
2598:
2583:
2582:
2567:
2566:
2545:
2544:
2508:
2506:
2505:
2500:
2497:
2478:
2477:
2450:
2448:
2447:
2442:
2430:
2428:
2427:
2422:
2400:
2398:
2397:
2392:
2365:
2363:
2362:
2357:
2354:
2353:
2352:
2334:
2333:
2315:
2314:
2287:
2285:
2284:
2279:
2277:
2276:
2251:
2249:
2248:
2243:
2240:
2224:
2223:
2205:
2204:
2183:
2182:
2161:
2159:
2158:
2153:
2141:
2139:
2138:
2133:
2122:
2121:
2099:
2097:
2096:
2091:
2070:
2068:
2067:
2062:
2059:
2049:
2048:
2027:
2026:
2005:
2003:
2002:
1997:
1986:
1985:
1961:
1959:
1958:
1953:
1921:
1919:
1918:
1913:
1902:
1901:
1882:
1880:
1879:
1874:
1866:
1865:
1847:
1846:
1831:
1830:
1809:
1808:
1786:
1784:
1783:
1778:
1773:
1772:
1750:
1745:
1723:
1721:
1720:
1715:
1703:
1698:
1664:
1662:
1661:
1656:
1615:
1613:
1612:
1607:
1590:
1589:
1580:
1579:
1549:
1548:
1509:
1508:
1490:
1488:
1487:
1482:
1471:
1470:
1454:
1452:
1451:
1446:
1444:
1432:
1430:
1429:
1424:
1402:
1400:
1399:
1394:
1374:
1373:
1348:
1346:
1345:
1340:
1332:
1331:
1312:
1310:
1309:
1304:
1299:
1266:
1264:
1263:
1258:
1243:
1203:
1201:
1200:
1195:
1174:
1172:
1171:
1166:
1127:
1125:
1124:
1119:
1107:
1105:
1104:
1099:
1097:
1085:
1083:
1082:
1077:
1056:
1054:
1053:
1048:
1016:
1014:
1013:
1008:
1005:
998:
997:
976:
975:
945:
943:
942:
937:
934:
933:
919:
918:
909:
901:
887:
886:
877:
860:
858:
857:
852:
828:
826:
825:
820:
812:
804:
792:
790:
789:
784:
782:
781:
765:
763:
762:
757:
749:
735:
727:
706:
704:
703:
698:
671:
669:
668:
663:
648:
646:
645:
640:
637:
615:
614:
575:
573:
572:
567:
549:
547:
546:
541:
499:
497:
496:
491:
476:
474:
473:
468:
460:
452:
437:
435:
434:
429:
426:
377:
375:
374:
369:
357:
355:
354:
349:
337:
335:
334:
329:
317:
315:
314:
309:
293:
291:
290:
285:
271:
269:
268:
263:
221:
219:
218:
213:
205:
197:
185:
183:
182:
177:
158:
156:
155:
150:
138:
136:
135:
130:
93:Louis de Branges
38:complex analysis
26:Loewner equation
7539:
7538:
7534:
7533:
7532:
7530:
7529:
7528:
7514:
7513:
7501:
7468:
7463:
7447:
7434:
7429:
7416:
7413:
7408:
7400:
7396:
7388:
7384:
7378:Pommerenke 1975
7376:
7372:
7368:
7318:
7281:
7265:
7213:
7185:
7169:
7165:
7140:
7124:
7120:
7092:
7004:
7000:
6999:
6971:
6918:
6906:
6905:
6858:
6857:
6836:
6831:
6830:
6768:
6764:
6763:
6740:
6697:
6690:
6689:
6649:
6637:
6636:
6564:
6557:
6556:
6524:
6504:
6476:
6469:
6468:
6418:
6411:
6410:
6363:
6341:
6340:
6308:
6286:
6256:
6249:
6248:
6224:
6219:
6218:
6183:
6164:
6151:
6132:
6110:
6082:
6075:
6074:
6047:
6042:
6041:
6009:
5999:
5986:
5976:
5948:
5947:
5907:
5895:
5894:
5882:
5858:
5857:
5838:
5837:
5775:
5768:
5767:
5732:
5731:
5710:
5705:
5704:
5669:
5638:
5637:
5606:
5605:
5577:
5576:
5545:
5544:
5516:
5515:
5496:
5495:
5468:
5463:
5462:
5443:
5442:
5408:
5407:
5388:
5387:
5346:
5323:
5299:
5292:
5291:
5264:
5259:
5258:
5223:
5198:
5185:
5160:
5135:
5113:
5064:
5057:
5056:
5028:
5027:
4974:
4967:
4966:
4942:
4937:
4936:
4901:
4882:
4869:
4850:
4831:
4809:
4802:
4801:
4758:
4757:
4736:
4735:
4716:
4715:
4694:
4689:
4688:
4657:
4656:
4637:
4636:
4608:
4607:
4588:
4587:
4565:
4564:
4545:
4544:
4516:
4515:
4453:
4452:
4421:
4420:
4361:
4360:
4319:
4296:
4272:
4265:
4264:
4242:
4241:
4184:
4177:
4157:
4150:
4108:
4107:
4066:
4065:
4046:
4045:
4017:
4016:
4013:
3969:
3968:
3940:
3939:
3917:
3916:
3897:
3896:
3877:
3876:
3823:
3792:
3785:
3784:
3751:
3746:
3745:
3717:
3716:
3682:
3681:
3662:
3661:
3642:
3641:
3582:
3575:
3574:
3535:
3530:
3529:
3510:
3509:
3490:
3489:
3461:
3460:
3416:
3406:
3368:
3361:
3360:
3335:
3334:
3292:
3271:
3252:
3245:
3244:
3206:
3196:
3177:
3152:
3142:
3135:
3134:
3101:
3096:
3095:
3051:
3038:
3016:
3009:
3008:
2975:
2970:
2969:
2932:
2931:
2896:
2877:
2869:
2860:
2859:
2817:
2797:
2796:
2758:
2757:
2716:
2705:
2704:
2666:
2638:
2631:
2630:
2593:
2568:
2558:
2536:
2529:
2528:
2515:
2463:
2456:
2455:
2433:
2432:
2413:
2412:
2371:
2370:
2338:
2319:
2300:
2293:
2292:
2262:
2257:
2256:
2209:
2196:
2174:
2167:
2166:
2144:
2143:
2107:
2102:
2101:
2076:
2075:
2040:
2018:
2011:
2010:
1977:
1972:
1971:
1968:
1935:
1934:
1893:
1888:
1887:
1857:
1838:
1822:
1800:
1795:
1794:
1764:
1732:
1731:
1670:
1669:
1629:
1628:
1581:
1571:
1540:
1500:
1495:
1494:
1462:
1457:
1456:
1435:
1434:
1415:
1414:
1365:
1354:
1353:
1323:
1318:
1317:
1275:
1274:
1209:
1208:
1180:
1179:
1133:
1132:
1110:
1109:
1088:
1087:
1059:
1058:
1027:
1026:
1023:
989:
967:
954:
953:
910:
878:
866:
865:
831:
830:
795:
794:
773:
768:
767:
728:
712:
711:
674:
673:
654:
653:
603:
581:
580:
558:
557:
505:
504:
482:
481:
443:
442:
383:
382:
360:
359:
340:
339:
320:
319:
300:
299:
276:
275:
224:
223:
188:
187:
168:
167:
141:
140:
121:
120:
117:
34:Charles Loewner
12:
11:
5:
7537:
7535:
7527:
7526:
7516:
7515:
7512:
7511:
7503:Pommerenke, C.
7499:
7466:
7461:
7445:
7432:
7427:
7412:
7409:
7407:
7406:
7394:
7382:
7369:
7367:
7364:
7356:
7355:
7343:
7340:
7337:
7334:
7331:
7325:
7321:
7317:
7314:
7311:
7308:
7305:
7302:
7299:
7294:
7291:
7288:
7284:
7280:
7275:
7272:
7268:
7264:
7259:
7254:
7250:
7246:
7243:
7240:
7237:
7233:
7229:
7226:
7220:
7216:
7212:
7209:
7206:
7203:
7200:
7197:
7192:
7188:
7182:
7177:
7173:
7168:
7163:
7159:
7156:
7150:
7147:
7143:
7137:
7132:
7128:
7123:
7119:
7116:
7113:
7110:
7105:
7099:
7095:
7091:
7088:
7085:
7082:
7078:
7072:
7067:
7063:
7059:
7056:
7050:
7045:
7041:
7038:
7034:
7031:
7028:
7025:
7022:
7017:
7012:
7008:
7003:
6998:
6995:
6992:
6989:
6984:
6978:
6974:
6970:
6967:
6964:
6961:
6957:
6951:
6946:
6942:
6938:
6935:
6931:
6925:
6921:
6916:
6890:
6887:
6883:
6879:
6876:
6873:
6870:
6866:
6843:
6839:
6827:
6826:
6811:
6806:
6802:
6799:
6795:
6792:
6789:
6786:
6781:
6776:
6772:
6767:
6762:
6759:
6756:
6753:
6747:
6743:
6739:
6736:
6733:
6728:
6723:
6719:
6715:
6712:
6709:
6704:
6700:
6683:
6682:
6669:
6666:
6662:
6656:
6652:
6647:
6630:
6629:
6616:
6613:
6609:
6606:
6603:
6600:
6595:
6590:
6586:
6582:
6579:
6576:
6571:
6567:
6550:
6549:
6536:
6531:
6527:
6522:
6519:
6516:
6511:
6507:
6503:
6500:
6497:
6492:
6485:
6482:
6462:
6461:
6448:
6445:
6442:
6439:
6434:
6427:
6424:
6404:
6403:
6390:
6387:
6384:
6381:
6378:
6373:
6370:
6366:
6362:
6359:
6356:
6353:
6350:
6334:
6333:
6320:
6315:
6311:
6307:
6304:
6301:
6298:
6293:
6289:
6283:
6280:
6277:
6274:
6271:
6268:
6263:
6259:
6231:
6227:
6215:
6214:
6201:
6198:
6195:
6190:
6186:
6182:
6179:
6176:
6171:
6167:
6163:
6158:
6154:
6150:
6147:
6144:
6139:
6135:
6131:
6128:
6125:
6120:
6117:
6113:
6109:
6106:
6103:
6100:
6095:
6092:
6089:
6085:
6054:
6050:
6038:
6037:
6024:
6021:
6016:
6012:
6006:
6002:
5998:
5993:
5989:
5983:
5979:
5975:
5972:
5969:
5966:
5963:
5960:
5957:
5941:
5940:
5927:
5924:
5920:
5914:
5910:
5905:
5885:Loewner (1923)
5881:
5878:
5865:
5845:
5834:
5833:
5820:
5817:
5814:
5811:
5808:
5805:
5802:
5799:
5796:
5793:
5790:
5787:
5782:
5778:
5748:
5745:
5742:
5739:
5717:
5713:
5698:
5697:
5684:
5679:
5676:
5672:
5668:
5665:
5662:
5659:
5656:
5653:
5650:
5647:
5622:
5619:
5616:
5613:
5593:
5590:
5587:
5584:
5564:
5561:
5558:
5555:
5552:
5532:
5529:
5526:
5523:
5503:
5481:
5478:
5475:
5471:
5450:
5427:
5424:
5421:
5418:
5415:
5395:
5384:
5383:
5367:
5364:
5361:
5358:
5355:
5352:
5349:
5344:
5341:
5338:
5335:
5332:
5329:
5326:
5320:
5317:
5314:
5311:
5306:
5302:
5271:
5267:
5255:
5254:
5241:
5238:
5235:
5230:
5226:
5222:
5219:
5216:
5213:
5210:
5205:
5201:
5197:
5192:
5188:
5184:
5181:
5178:
5175:
5172:
5167:
5163:
5159:
5156:
5153:
5148:
5145:
5142:
5138:
5134:
5131:
5128:
5125:
5120:
5116:
5112:
5107:
5104:
5099:
5095:
5091:
5088:
5085:
5082:
5077:
5074:
5071:
5067:
5041:
5038:
5035:
5024:
5023:
5010:
5007:
5004:
5001:
4998:
4995:
4992:
4989:
4986:
4981:
4977:
4949:
4945:
4933:
4932:
4919:
4916:
4913:
4908:
4904:
4900:
4897:
4894:
4889:
4885:
4881:
4876:
4872:
4868:
4865:
4862:
4857:
4853:
4849:
4846:
4843:
4838:
4834:
4830:
4827:
4824:
4821:
4816:
4812:
4786:
4783:
4780:
4777:
4774:
4771:
4768:
4765:
4744:
4723:
4701:
4697:
4676:
4673:
4670:
4667:
4664:
4644:
4624:
4621:
4618:
4615:
4595:
4572:
4552:
4532:
4529:
4526:
4523:
4511:
4510:
4497:
4493:
4489:
4486:
4483:
4480:
4477:
4474:
4471:
4468:
4465:
4462:
4437:
4434:
4431:
4428:
4406:Loewner (1923)
4393:
4390:
4386:
4382:
4379:
4376:
4373:
4369:
4357:
4356:
4340:
4337:
4334:
4331:
4328:
4325:
4322:
4317:
4314:
4311:
4308:
4305:
4302:
4299:
4293:
4290:
4287:
4284:
4279:
4275:
4249:
4238:
4237:
4224:
4221:
4218:
4215:
4212:
4209:
4202:
4197:
4194:
4191:
4187:
4183:
4180:
4175:
4170:
4167:
4164:
4160:
4156:
4153:
4145:
4142:
4137:
4133:
4129:
4126:
4123:
4120:
4117:
4088:
4085:
4082:
4079:
4076:
4073:
4053:
4033:
4030:
4027:
4024:
4012:
4009:
3996:
3992:
3988:
3985:
3982:
3979:
3976:
3956:
3953:
3950:
3947:
3927:
3924:
3904:
3884:
3873:
3872:
3859:
3856:
3853:
3850:
3847:
3844:
3841:
3838:
3835:
3830:
3826:
3819:
3816:
3813:
3810:
3807:
3804:
3799:
3795:
3769:
3766:
3763:
3758:
3754:
3733:
3730:
3727:
3724:
3704:
3701:
3698:
3695:
3692:
3689:
3669:
3649:
3638:
3637:
3624:
3621:
3618:
3615:
3612:
3609:
3606:
3603:
3600:
3595:
3592:
3589:
3585:
3559:
3556:
3553:
3548:
3545:
3542:
3538:
3517:
3497:
3477:
3474:
3471:
3468:
3457:
3456:
3443:
3440:
3437:
3434:
3429:
3426:
3423:
3419:
3413:
3409:
3403:
3400:
3397:
3393:
3389:
3386:
3383:
3380:
3375:
3371:
3342:
3327:
3326:
3313:
3310:
3307:
3304:
3299:
3295:
3291:
3286:
3283:
3280:
3275:
3270:
3267:
3264:
3259:
3255:
3238:
3237:
3224:
3221:
3218:
3213:
3209:
3203:
3199:
3195:
3192:
3189:
3184:
3180:
3176:
3173:
3170:
3167:
3164:
3159:
3155:
3149:
3145:
3119:
3116:
3113:
3108:
3104:
3092:
3091:
3078:
3075:
3072:
3069:
3064:
3061:
3058:
3054:
3050:
3045:
3041:
3037:
3034:
3031:
3028:
3023:
3019:
2993:
2990:
2987:
2982:
2978:
2954:
2951:
2948:
2945:
2942:
2939:
2928:
2927:
2914:
2911:
2908:
2903:
2899:
2895:
2892:
2889:
2883:
2880:
2875:
2872:
2852:satisfies the
2841:
2838:
2835:
2830:
2827:
2824:
2820:
2816:
2813:
2810:
2807:
2804:
2781:
2778:
2774:
2770:
2766:
2754:
2753:
2740:
2737:
2734:
2731:
2728:
2723:
2719:
2714:
2698:
2697:
2684:
2681:
2678:
2673:
2669:
2665:
2662:
2659:
2656:
2653:
2650:
2645:
2641:
2624:
2623:
2608:
2605:
2602:
2597:
2592:
2589:
2586:
2581:
2578:
2575:
2571:
2565:
2561:
2557:
2554:
2551:
2548:
2543:
2539:
2514:
2511:
2510:
2509:
2496:
2493:
2490:
2487:
2484:
2481:
2476:
2473:
2470:
2466:
2440:
2420:
2390:
2387:
2384:
2381:
2378:
2367:
2366:
2351:
2348:
2345:
2341:
2337:
2332:
2329:
2326:
2322:
2318:
2313:
2310:
2307:
2303:
2275:
2272:
2269:
2265:
2253:
2252:
2239:
2236:
2233:
2230:
2227:
2222:
2219:
2216:
2212:
2208:
2203:
2199:
2195:
2192:
2189:
2186:
2181:
2177:
2151:
2131:
2128:
2125:
2120:
2117:
2114:
2110:
2089:
2086:
2083:
2072:
2071:
2058:
2055:
2052:
2047:
2043:
2039:
2036:
2033:
2030:
2025:
2021:
1995:
1992:
1989:
1984:
1980:
1967:
1964:
1951:
1948:
1945:
1942:
1911:
1908:
1905:
1900:
1896:
1884:
1883:
1872:
1869:
1864:
1860:
1856:
1853:
1850:
1845:
1841:
1837:
1834:
1829:
1825:
1821:
1818:
1815:
1812:
1807:
1803:
1788:
1787:
1776:
1771:
1767:
1763:
1760:
1757:
1754:
1749:
1744:
1740:
1713:
1710:
1707:
1702:
1697:
1693:
1689:
1686:
1683:
1680:
1677:
1654:
1651:
1648:
1645:
1642:
1639:
1636:
1617:
1616:
1605:
1602:
1599:
1596:
1593:
1588:
1584:
1578:
1574:
1567:
1564:
1561:
1558:
1555:
1552:
1547:
1543:
1536:
1533:
1530:
1527:
1524:
1521:
1518:
1515:
1512:
1507:
1503:
1480:
1477:
1474:
1469:
1465:
1443:
1422:
1404:
1403:
1392:
1389:
1386:
1383:
1380:
1377:
1372:
1368:
1364:
1361:
1338:
1335:
1330:
1326:
1314:
1313:
1302:
1298:
1294:
1291:
1288:
1285:
1282:
1268:
1267:
1256:
1253:
1250:
1247:
1242:
1239:
1236:
1232:
1228:
1225:
1222:
1219:
1216:
1193:
1190:
1187:
1176:
1175:
1164:
1161:
1158:
1155:
1152:
1149:
1146:
1143:
1140:
1117:
1096:
1075:
1072:
1069:
1066:
1046:
1043:
1040:
1037:
1034:
1022:
1019:
1018:
1017:
1004:
1001:
996:
992:
988:
985:
982:
979:
974:
970:
966:
963:
947:
946:
932:
928:
925:
922:
917:
913:
908:
904:
900:
896:
893:
890:
885:
881:
876:
850:
847:
844:
841:
838:
818:
815:
811:
807:
803:
780:
776:
755:
752:
748:
744:
741:
738:
734:
731:
726:
722:
719:
696:
693:
690:
687:
684:
681:
661:
650:
649:
636:
633:
630:
627:
624:
621:
618:
613:
610:
606:
602:
599:
596:
593:
590:
565:
551:
550:
539:
536:
533:
530:
527:
524:
521:
518:
515:
512:
489:
466:
463:
459:
455:
451:
439:
438:
425:
422:
419:
416:
413:
410:
407:
404:
401:
398:
395:
392:
367:
347:
327:
307:
294:is said to be
283:
261:
258:
255:
252:
249:
246:
243:
240:
237:
234:
231:
211:
208:
204:
200:
196:
175:
148:
128:
116:
113:
32:discovered by
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
7536:
7525:
7522:
7521:
7519:
7508:
7504:
7500:
7496:
7491:
7487:
7483:
7479:
7475:
7471:
7467:
7464:
7462:0-8218-3677-3
7458:
7454:
7450:
7449:Lawler, G. F.
7446:
7442:
7438:
7433:
7430:
7428:0-387-90795-5
7424:
7420:
7415:
7414:
7410:
7403:
7398:
7395:
7391:
7386:
7383:
7379:
7374:
7371:
7365:
7363:
7361:
7341:
7338:
7335:
7332:
7329:
7323:
7312:
7306:
7292:
7289:
7286:
7282:
7278:
7273:
7270:
7266:
7252:
7248:
7244:
7241:
7238:
7235:
7231:
7227:
7224:
7218:
7207:
7201:
7190:
7186:
7175:
7171:
7166:
7161:
7157:
7154:
7148:
7145:
7141:
7130:
7126:
7121:
7117:
7114:
7111:
7108:
7097:
7089:
7083:
7065:
7061:
7057:
7054:
7048:
7043:
7039:
7036:
7029:
7023:
7010:
7006:
7001:
6996:
6993:
6990:
6987:
6976:
6968:
6962:
6944:
6940:
6936:
6933:
6923:
6919:
6904:
6903:
6902:
6888:
6885:
6874:
6868:
6841:
6837:
6809:
6804:
6800:
6797:
6790:
6784:
6774:
6770:
6765:
6760:
6757:
6754:
6751:
6745:
6737:
6731:
6721:
6717:
6713:
6710:
6707:
6702:
6698:
6688:
6687:
6686:
6667:
6664:
6654:
6650:
6635:
6634:
6633:
6614:
6611:
6604:
6598:
6588:
6584:
6580:
6577:
6574:
6569:
6565:
6555:
6554:
6553:
6534:
6529:
6525:
6520:
6517:
6514:
6509:
6505:
6501:
6498:
6495:
6490:
6483:
6480:
6467:
6466:
6465:
6446:
6443:
6440:
6437:
6432:
6425:
6422:
6409:
6408:
6407:
6388:
6382:
6376:
6371:
6368:
6364:
6360:
6354:
6348:
6339:
6338:
6337:
6318:
6313:
6309:
6305:
6291:
6287:
6281:
6278:
6275:
6269:
6261:
6257:
6247:
6246:
6245:
6229:
6225:
6196:
6193:
6188:
6184:
6177:
6169:
6165:
6161:
6156:
6152:
6145:
6137:
6133:
6129:
6126:
6118:
6115:
6111:
6107:
6101:
6093:
6090:
6087:
6083:
6073:
6072:
6071:
6068:
6052:
6048:
6022:
6019:
6014:
6010:
6004:
6000:
5996:
5991:
5987:
5981:
5977:
5973:
5970:
5967:
5961:
5955:
5946:
5945:
5944:
5925:
5922:
5912:
5908:
5893:
5892:
5891:
5890:
5886:
5879:
5877:
5863:
5843:
5818:
5812:
5806:
5803:
5794:
5788:
5780:
5776:
5766:
5765:
5764:
5762:
5743:
5737:
5715:
5711:
5703:
5682:
5677:
5674:
5666:
5660:
5657:
5651:
5645:
5636:
5635:
5634:
5617:
5611:
5588:
5582:
5556:
5553:
5527:
5521:
5501:
5479:
5476:
5473:
5469:
5448:
5441:To determine
5439:
5419:
5416:
5393:
5365:
5359:
5353:
5350:
5347:
5342:
5336:
5330:
5327:
5324:
5318:
5312:
5304:
5300:
5290:
5289:
5288:
5285:
5269:
5265:
5236:
5233:
5228:
5224:
5217:
5214:
5211:
5203:
5199:
5195:
5190:
5186:
5179:
5176:
5173:
5165:
5161:
5157:
5154:
5146:
5143:
5140:
5136:
5132:
5126:
5118:
5114:
5110:
5105:
5102:
5097:
5093:
5089:
5083:
5075:
5072:
5069:
5065:
5055:
5054:
5053:
5039:
5036:
5033:
5008:
5002:
4996:
4993:
4987:
4979:
4975:
4965:
4964:
4963:
4947:
4943:
4914:
4911:
4906:
4902:
4895:
4887:
4883:
4879:
4874:
4870:
4863:
4855:
4851:
4847:
4844:
4836:
4832:
4828:
4822:
4814:
4810:
4800:
4799:
4798:
4797:has the form
4775:
4772:
4763:
4721:
4699:
4695:
4668:
4665:
4619:
4613:
4593:
4584:
4570:
4550:
4527:
4521:
4495:
4491:
4484:
4481:
4475:
4472:
4466:
4460:
4451:
4450:
4449:
4432:
4426:
4418:
4414:
4413:slit mappings
4409:
4407:
4391:
4388:
4377:
4371:
4338:
4332:
4326:
4323:
4320:
4315:
4309:
4303:
4300:
4297:
4291:
4285:
4277:
4273:
4263:
4262:
4261:
4247:
4222:
4216:
4210:
4207:
4200:
4195:
4192:
4189:
4185:
4181:
4178:
4173:
4168:
4165:
4162:
4158:
4154:
4151:
4143:
4140:
4135:
4131:
4127:
4121:
4115:
4106:
4105:
4104:
4102:
4086:
4083:
4077:
4071:
4051:
4028:
4022:
4011:Slit mappings
4010:
4008:
3994:
3990:
3983:
3980:
3974:
3951:
3945:
3925:
3902:
3882:
3857:
3851:
3845:
3842:
3836:
3828:
3824:
3817:
3814:
3811:
3805:
3797:
3793:
3783:
3782:
3781:
3764:
3756:
3752:
3728:
3722:
3702:
3699:
3693:
3687:
3667:
3647:
3622:
3616:
3610:
3607:
3601:
3593:
3590:
3587:
3583:
3573:
3572:
3571:
3554:
3546:
3543:
3540:
3536:
3515:
3495:
3472:
3466:
3441:
3435:
3427:
3424:
3421:
3417:
3411:
3407:
3395:
3387:
3381:
3373:
3369:
3359:
3358:
3357:
3354:
3340:
3332:
3311:
3305:
3297:
3293:
3289:
3284:
3281:
3278:
3265:
3257:
3253:
3243:
3242:
3241:
3219:
3211:
3207:
3201:
3190:
3182:
3178:
3174:
3171:
3165:
3157:
3153:
3147:
3133:
3132:
3131:
3114:
3106:
3102:
3070:
3062:
3059:
3056:
3052:
3043:
3039:
3035:
3029:
3021:
3017:
3007:
3006:
3005:
2988:
2980:
2976:
2966:
2952:
2949:
2943:
2937:
2909:
2901:
2897:
2893:
2890:
2887:
2881:
2878:
2873:
2870:
2858:
2857:
2856:
2855:
2836:
2828:
2825:
2822:
2818:
2814:
2808:
2802:
2793:
2779:
2776:
2768:
2738:
2735:
2729:
2721:
2717:
2703:
2702:
2701:
2679:
2671:
2667:
2663:
2660:
2657:
2651:
2643:
2639:
2629:
2628:
2627:
2606:
2603:
2600:
2587:
2579:
2576:
2573:
2569:
2563:
2555:
2549:
2541:
2537:
2527:
2526:
2525:
2522:
2520:
2512:
2494:
2491:
2488:
2482:
2474:
2471:
2468:
2464:
2454:
2453:
2452:
2438:
2418:
2409:
2407:
2402:
2388:
2385:
2382:
2379:
2376:
2349:
2346:
2343:
2339:
2335:
2330:
2327:
2324:
2320:
2316:
2311:
2308:
2305:
2301:
2291:
2290:
2289:
2273:
2270:
2267:
2263:
2237:
2228:
2220:
2217:
2214:
2210:
2201:
2197:
2193:
2187:
2179:
2175:
2165:
2164:
2163:
2149:
2126:
2118:
2115:
2112:
2108:
2087:
2084:
2081:
2053:
2045:
2041:
2037:
2031:
2023:
2019:
2009:
2008:
2007:
1990:
1982:
1978:
1965:
1963:
1946:
1940:
1932:
1927:
1925:
1924:Loewner chain
1922:are called a
1906:
1898:
1894:
1870:
1867:
1862:
1858:
1851:
1843:
1839:
1835:
1832:
1827:
1823:
1819:
1813:
1805:
1801:
1793:
1792:
1791:
1774:
1769:
1765:
1761:
1755:
1742:
1738:
1730:
1729:
1728:
1725:
1708:
1695:
1691:
1687:
1681:
1675:
1666:
1652:
1649:
1640:
1637:
1626:
1622:
1619:given by the
1603:
1600:
1594:
1586:
1582:
1576:
1565:
1562:
1559:
1553:
1545:
1541:
1534:
1528:
1522:
1519:
1513:
1505:
1501:
1493:
1492:
1491:
1475:
1467:
1463:
1420:
1411:
1409:
1387:
1381:
1370:
1366:
1359:
1352:
1351:
1350:
1336:
1328:
1324:
1300:
1292:
1280:
1273:
1272:
1271:
1251:
1245:
1240:
1237:
1234:
1230:
1226:
1220:
1214:
1207:
1206:
1205:
1191:
1188:
1185:
1159:
1153:
1150:
1144:
1138:
1131:
1130:
1129:
1115:
1070:
1064:
1041:
1038:
1035:
1032:
1021:Loewner chain
1020:
1002:
994:
990:
983:
980:
972:
968:
961:
952:
951:
950:
923:
911:
902:
891:
879:
864:
863:
862:
848:
845:
842:
839:
836:
816:
813:
805:
778:
774:
753:
750:
739:
732:
729:
720:
717:
708:
694:
691:
685:
679:
659:
634:
625:
619:
611:
608:
604:
600:
594:
588:
579:
578:
577:
563:
554:
537:
531:
525:
522:
516:
510:
503:
502:
501:
487:
478:
464:
461:
453:
417:
411:
405:
402:
396:
390:
381:
380:
379:
365:
345:
325:
305:
297:
281:
273:
256:
250:
247:
244:
241:
235:
229:
209:
206:
198:
173:
165:
162:
146:
126:
114:
112:
110:
106:
102:
98:
94:
90:
85:
83:
79:
75:
71:
68:
64:
63:Loewner chain
60:
55:
54:complex plane
51:
47:
43:
39:
35:
31:
27:
23:
19:
7506:
7477:
7473:
7452:
7440:
7437:Mat. Sbornik
7436:
7418:
7397:
7385:
7373:
7357:
6828:
6684:
6631:
6551:
6463:
6405:
6335:
6216:
6069:
6039:
5942:
5883:
5835:
5760:
5699:
5461:, note that
5440:
5385:
5286:
5284:continuous.
5256:
5025:
4934:
4585:
4512:
4412:
4410:
4358:
4239:
4014:
3874:
3715:, such that
3639:
3458:
3355:
3328:
3239:
3093:
2967:
2929:
2794:
2755:
2699:
2625:
2523:
2518:
2516:
2451:and satisfy
2410:
2405:
2403:
2368:
2254:
2073:
1969:
1928:
1923:
1885:
1789:
1726:
1667:
1618:
1412:
1405:
1315:
1269:
1177:
1128:, such that
1024:
948:
709:
651:
555:
552:
479:
440:
295:
274:
118:
101:Oded Schramm
86:
77:
62:
59:Carathéodory
25:
21:
15:
7480:: 103â121,
7470:Loewner, C.
1108:containing
556:Conversely
296:subordinate
161:holomorphic
76:, called a
67:holomorphic
36:in 1923 in
18:mathematics
7474:Math. Ann.
7411:References
7402:Duren 1983
7390:Duren 1983
7358:using the
6685:Similarly
3780:such that
3570:such that
3004:note that
2162:such that
378:such that
7336:≤
7307:κ
7304:ℜ
7287:−
7279:−
7271:−
7258:∞
7249:∫
7202:α
7199:ℜ
7181:∞
7172:∫
7146:−
7136:∞
7127:∫
7084:α
7081:ℜ
7071:∞
7062:∫
7055:≤
7024:α
7021:ℜ
7016:∞
7007:∫
6963:α
6960:ℜ
6950:∞
6941:∫
6869:κ
6785:α
6780:∞
6771:∫
6732:α
6727:∞
6718:∫
6711:−
6665:≤
6599:α
6594:∞
6585:∫
6578:−
6521:α
6515:−
6506:α
6499:−
6484:˙
6447:α
6441:−
6426:˙
6377:κ
6369:−
6349:α
6300:∞
6197:⋯
6116:−
6084:φ
6023:⋯
5923:≤
5864:κ
5844:κ
5789:λ
5738:λ
5675:−
5661:λ
5646:κ
5612:λ
5583:κ
5560:∞
5522:λ
5470:φ
5449:κ
5423:∞
5394:κ
5354:κ
5351:−
5331:κ
5237:⋯
5144:−
5111:∘
5103:−
5066:φ
5037:≤
4915:⋯
4779:∞
4672:∞
4643:∞
4372:κ
4327:κ
4324:−
4304:κ
4248:μ
4217:θ
4211:μ
4196:θ
4190:−
4182:−
4169:θ
4163:−
4144:π
4132:∫
3923:∂
3883:ψ
3611:ψ
3584:φ
3537:φ
3508:, fixing
3467:ψ
3418:ϕ
3402:∞
3399:→
3198:∂
3144:∂
3053:φ
2891:−
2819:φ
2713:ℜ
2661:−
2570:φ
2560:∂
2465:φ
2386:≤
2380:≤
2340:φ
2321:φ
2317:∘
2302:φ
2264:φ
2211:φ
2109:φ
2038:⊊
1871:⋯
1748:′
1701:′
1650:×
1644:∞
1573:∂
1379:→
1334:↑
1287:∞
1231:⋃
1151:⊊
1045:∞
1042:≤
1036:≤
981:⊆
916:′
903:≤
884:′
751:≤
730:φ
680:φ
609:−
589:φ
564:φ
523:⊆
488:φ
412:φ
326:φ
74:unit disk
52:onto the
50:open disk
7518:Category
7505:(1975),
7451:(2005),
7443:: 87â118
3094:so that
1316:Thus if
733:′
500:is that
28:, is an
2142:fixing
222:, with
72:of the
48:of the
7459:
7425:
6829:Since
5543:from
5386:where
5052:, let
4756:less
4240:where
1790:Hence
20:, the
7366:Notes
6217:with
6070:Then
5257:with
4935:with
4734:onto
4359:with
3680:with
2795:Then
2700:with
2626:then
829:with
672:with
24:, or
7457:ISBN
7423:ISBN
6464:and
5026:For
3329:The
2777:<
2756:for
2736:>
2517:The
2431:and
2369:for
2085:<
2074:for
1929:The
1623:are
1270:and
1238:<
1189:<
1057:let
1025:For
949:and
846:<
840:<
814:<
721:<
462:<
441:for
207:<
139:and
119:Let
107:and
40:and
7490:hdl
7482:doi
6552:So
6336:If
4714:of
4044:on
3895:or
3660:on
3488:of
3392:lim
1970:If
1413:If
1178:if
338:of
298:to
159:be
91:by
16:In
7520::
7488:,
7478:89
7476:,
7441:13
7439:,
7362:.
6901:,
6668:2.
5633::
4408:.
4103::
3353:.
2965:.
2792:.
2408:.
2401:.
1962:.
1926:.
1665:.
1410:.
1349:,
1204:,
793:,
707:.
477:.
272:.
186:,
111:.
84:.
7492::
7484::
7342:,
7339:3
7333:t
7330:d
7324:2
7320:)
7316:)
7313:t
7310:(
7301:(
7298:)
7293:t
7290:2
7283:e
7274:t
7267:e
7263:(
7253:0
7245:4
7242:+
7239:1
7236:=
7232:)
7228:t
7225:d
7219:2
7215:)
7211:)
7208:t
7205:(
7196:(
7191:t
7187:e
7176:0
7167:(
7162:)
7158:t
7155:d
7149:t
7142:e
7131:0
7122:(
7118:4
7115:+
7112:t
7109:d
7104:|
7098:2
7094:)
7090:t
7087:(
7077:|
7066:0
7058:2
7049:2
7044:)
7040:t
7037:d
7033:)
7030:t
7027:(
7011:0
7002:(
6997:4
6994:+
6991:t
6988:d
6983:|
6977:2
6973:)
6969:t
6966:(
6956:|
6945:0
6937:2
6934:=
6930:|
6924:3
6920:a
6915:|
6889:1
6886:=
6882:|
6878:)
6875:t
6872:(
6865:|
6842:3
6838:a
6810:2
6805:)
6801:t
6798:d
6794:)
6791:t
6788:(
6775:0
6766:(
6761:4
6758:+
6755:t
6752:d
6746:2
6742:)
6738:t
6735:(
6722:0
6714:2
6708:=
6703:3
6699:a
6661:|
6655:2
6651:a
6646:|
6615:t
6612:d
6608:)
6605:t
6602:(
6589:0
6581:2
6575:=
6570:2
6566:a
6535:.
6530:2
6526:a
6518:4
6510:2
6502:2
6496:=
6491:3
6481:a
6444:2
6438:=
6433:2
6423:a
6389:,
6386:)
6383:t
6380:(
6372:t
6365:e
6361:=
6358:)
6355:t
6352:(
6319:.
6314:n
6310:a
6306:=
6303:)
6297:(
6292:n
6288:a
6282:,
6279:0
6276:=
6273:)
6270:0
6267:(
6262:n
6258:a
6230:n
6226:a
6200:)
6194:+
6189:3
6185:z
6181:)
6178:t
6175:(
6170:3
6166:a
6162:+
6157:2
6153:z
6149:)
6146:t
6143:(
6138:2
6134:a
6130:+
6127:z
6124:(
6119:t
6112:e
6108:=
6105:)
6102:z
6099:(
6094:t
6091:,
6088:0
6053:3
6049:a
6020:+
6015:3
6011:z
6005:3
6001:a
5997:+
5992:2
5988:z
5982:2
5978:a
5974:+
5971:z
5968:=
5965:)
5962:z
5959:(
5956:f
5926:3
5919:|
5913:3
5909:a
5904:|
5819:.
5816:)
5813:t
5810:(
5807:c
5804:=
5801:)
5798:)
5795:t
5792:(
5786:(
5781:t
5777:f
5747:)
5744:t
5741:(
5716:t
5712:f
5683:.
5678:1
5671:)
5667:t
5664:(
5658:=
5655:)
5652:t
5649:(
5621:)
5618:t
5615:(
5592:)
5589:t
5586:(
5563:)
5557:,
5554:0
5551:[
5531:)
5528:t
5525:(
5502:s
5480:t
5477:,
5474:s
5426:)
5420:,
5417:0
5414:[
5366:z
5363:)
5360:t
5357:(
5348:1
5343:z
5340:)
5337:t
5334:(
5328:+
5325:1
5319:=
5316:)
5313:z
5310:(
5305:t
5301:p
5270:n
5266:a
5240:)
5234:+
5229:3
5225:z
5221:)
5218:t
5215:,
5212:s
5209:(
5204:3
5200:a
5196:+
5191:2
5187:z
5183:)
5180:t
5177:,
5174:s
5171:(
5166:2
5162:a
5158:+
5155:z
5152:(
5147:t
5141:s
5137:e
5133:=
5130:)
5127:z
5124:(
5119:s
5115:f
5106:1
5098:t
5094:f
5090:=
5087:)
5084:z
5081:(
5076:t
5073:,
5070:s
5040:t
5034:s
5009:.
5006:)
5003:z
5000:(
4997:f
4994:=
4991:)
4988:z
4985:(
4980:0
4976:f
4948:n
4944:b
4918:)
4912:+
4907:3
4903:z
4899:)
4896:t
4893:(
4888:3
4884:b
4880:+
4875:2
4871:z
4867:)
4864:t
4861:(
4856:2
4852:b
4848:+
4845:z
4842:(
4837:t
4833:e
4829:=
4826:)
4823:z
4820:(
4815:t
4811:f
4785:)
4782:)
4776:,
4773:t
4770:[
4767:(
4764:c
4743:C
4722:D
4700:t
4696:f
4675:)
4669:,
4666:0
4663:[
4623:)
4620:t
4617:(
4614:c
4594:f
4571:g
4551:D
4531:)
4528:D
4525:(
4522:g
4496:r
4492:/
4488:)
4485:z
4482:r
4479:(
4476:f
4473:=
4470:)
4467:z
4464:(
4461:g
4436:)
4433:z
4430:(
4427:f
4392:1
4389:=
4385:|
4381:)
4378:t
4375:(
4368:|
4339:z
4336:)
4333:t
4330:(
4321:1
4316:z
4313:)
4310:t
4307:(
4301:+
4298:1
4292:=
4289:)
4286:z
4283:(
4278:t
4274:p
4223:,
4220:)
4214:(
4208:d
4201:z
4193:i
4186:e
4179:1
4174:z
4166:i
4159:e
4155:+
4152:1
4141:2
4136:0
4128:=
4125:)
4122:z
4119:(
4116:p
4087:1
4084:=
4081:)
4078:0
4075:(
4072:p
4052:D
4032:)
4029:z
4026:(
4023:p
3995:r
3991:/
3987:)
3984:z
3981:r
3978:(
3975:f
3955:)
3952:z
3949:(
3946:f
3926:D
3903:g
3858:.
3855:)
3852:z
3849:(
3846:g
3843:=
3840:)
3837:z
3834:(
3829:1
3825:f
3818:,
3815:z
3812:=
3809:)
3806:z
3803:(
3798:0
3794:f
3768:)
3765:z
3762:(
3757:t
3753:f
3732:)
3729:D
3726:(
3723:g
3703:0
3700:=
3697:)
3694:0
3691:(
3688:g
3668:D
3648:g
3623:.
3620:)
3617:z
3614:(
3608:=
3605:)
3602:z
3599:(
3594:1
3591:,
3588:0
3558:)
3555:z
3552:(
3547:t
3544:,
3541:s
3516:0
3496:D
3476:)
3473:z
3470:(
3442:.
3439:)
3436:z
3433:(
3428:t
3425:,
3422:s
3412:t
3408:e
3396:t
3388:=
3385:)
3382:z
3379:(
3374:s
3370:f
3341:z
3312:.
3309:)
3306:z
3303:(
3298:0
3294:f
3290:=
3285:0
3282:=
3279:t
3274:|
3269:)
3266:z
3263:(
3258:t
3254:f
3223:)
3220:z
3217:(
3212:t
3208:f
3202:z
3194:)
3191:z
3188:(
3183:t
3179:p
3175:z
3172:=
3169:)
3166:z
3163:(
3158:t
3154:f
3148:t
3118:)
3115:z
3112:(
3107:t
3103:f
3077:)
3074:)
3071:z
3068:(
3063:t
3060:,
3057:s
3049:(
3044:s
3040:f
3036:=
3033:)
3030:z
3027:(
3022:t
3018:f
2992:)
2989:z
2986:(
2981:t
2977:f
2953:z
2950:=
2947:)
2944:s
2941:(
2938:w
2913:)
2910:w
2907:(
2902:t
2898:p
2894:w
2888:=
2882:t
2879:d
2874:w
2871:d
2840:)
2837:z
2834:(
2829:t
2826:,
2823:s
2815:=
2812:)
2809:t
2806:(
2803:w
2780:1
2773:|
2769:z
2765:|
2739:0
2733:)
2730:z
2727:(
2722:s
2718:p
2683:)
2680:z
2677:(
2672:s
2668:p
2664:z
2658:=
2655:)
2652:z
2649:(
2644:s
2640:w
2607:s
2604:=
2601:t
2596:|
2591:)
2588:z
2585:(
2580:t
2577:,
2574:s
2564:t
2556:=
2553:)
2550:z
2547:(
2542:s
2538:w
2495:.
2492:z
2489:=
2486:)
2483:z
2480:(
2475:t
2472:,
2469:t
2439:t
2419:s
2389:r
2383:t
2377:s
2350:r
2347:,
2344:s
2336:=
2331:t
2328:,
2325:s
2312:r
2309:,
2306:t
2274:t
2271:,
2268:s
2238:.
2235:)
2232:)
2229:z
2226:(
2221:t
2218:,
2215:s
2207:(
2202:t
2198:f
2194:=
2191:)
2188:z
2185:(
2180:s
2176:f
2150:0
2130:)
2127:z
2124:(
2119:t
2116:,
2113:s
2088:t
2082:s
2057:)
2054:D
2051:(
2046:t
2042:f
2035:)
2032:D
2029:(
2024:s
2020:f
1994:)
1991:z
1988:(
1983:t
1979:f
1950:)
1947:t
1944:(
1941:U
1910:)
1907:z
1904:(
1899:t
1895:f
1868:+
1863:2
1859:z
1855:)
1852:t
1849:(
1844:2
1840:a
1836:+
1833:z
1828:t
1824:e
1820:=
1817:)
1814:z
1811:(
1806:t
1802:f
1775:.
1770:t
1766:e
1762:=
1759:)
1756:0
1753:(
1743:t
1739:f
1712:)
1709:0
1706:(
1696:t
1692:f
1688:=
1685:)
1682:t
1679:(
1676:a
1653:D
1647:)
1641:,
1638:0
1635:[
1604:1
1601:=
1598:)
1595:0
1592:(
1587:t
1583:f
1577:z
1566:,
1563:0
1560:=
1557:)
1554:0
1551:(
1546:t
1542:f
1535:,
1532:)
1529:t
1526:(
1523:U
1520:=
1517:)
1514:D
1511:(
1506:t
1502:f
1479:)
1476:z
1473:(
1468:t
1464:f
1442:C
1421:D
1391:)
1388:t
1385:(
1382:U
1376:)
1371:n
1367:s
1363:(
1360:U
1337:t
1329:n
1325:s
1301:.
1297:C
1293:=
1290:)
1284:(
1281:U
1255:)
1252:s
1249:(
1246:U
1241:t
1235:s
1227:=
1224:)
1221:t
1218:(
1215:U
1192:t
1186:s
1163:)
1160:t
1157:(
1154:U
1148:)
1145:s
1142:(
1139:U
1116:0
1095:C
1074:)
1071:t
1068:(
1065:U
1039:t
1033:0
1003:.
1000:)
995:r
991:D
987:(
984:g
978:)
973:r
969:D
965:(
962:f
931:|
927:)
924:0
921:(
912:g
907:|
899:|
895:)
892:0
889:(
880:f
875:|
849:1
843:r
837:0
817:r
810:|
806:z
802:|
779:r
775:D
754:1
747:|
743:)
740:0
737:(
725:|
718:0
695:0
692:=
689:)
686:0
683:(
660:D
635:.
632:)
629:)
626:z
623:(
620:f
617:(
612:1
605:g
601:=
598:)
595:z
592:(
538:.
535:)
532:D
529:(
526:g
520:)
517:D
514:(
511:f
465:1
458:|
454:z
450:|
424:)
421:)
418:z
415:(
409:(
406:g
403:=
400:)
397:z
394:(
391:f
366:0
346:D
306:g
282:f
260:)
257:0
254:(
251:g
248:=
245:0
242:=
239:)
236:0
233:(
230:f
210:1
203:|
199:z
195:|
174:D
147:g
127:f
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.