5080:
71:
7421:
1761:
1256:
3287:
2217:
7081:
6855:
4565:
7092:
5971:
3002:
5069:
5783:
1370:
984:
365:
6410:
4192:
3043:
3815:
4794:
2072:
6156:
5461:
7416:{\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}=\sum _{n=1}^{N}{\tilde {U}}_{n}\left|i\,\rho \,n\,\omega \left\right|\,\cos \left\{n\,\omega \,t+\operatorname {phase} \left({\frac {i}{\rho \,n\,\omega }}\left\right)\right\}\,.}
6866:
6562:
4286:
2386:
5794:
969:
2848:
5557:
1941:
1359:
74:
Four pulsatile flow profiles in a straight tube are shown. The first graph (in blue) shows the pressure gradient as a cosine function, and the other graphs (in red) show dimensionless velocity profiles for different
Womersley
5568:
4805:
1756:{\displaystyle \lim _{z\to \infty }u(r,t)=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=0}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\lefte^{in\omega t}\right\}=-\sum _{n=0}^{N}{\frac {\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left\sin(n\,\omega \,t)\,.}
5466:
is the shape function. It is important to notice that this formulation ignores the inertial effects. The velocity profile approximates a parabolic profile or a plug profile, for low or high
Womersley numbers, respectively.
2837:
675:
1251:{\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}u(r,t)=\mathrm {Re} \left\{-\sum _{n=0}^{N}{\frac {P'_{n}}{4\mu }}(R^{2}-r^{2})\,e^{in\omega t}\right\}=-\sum _{n=0}^{N}{\frac {P'_{n}}{4\mu }}(R^{2}-r^{2})\,\cos(n\omega t)\,.}
840:
2680:
4266:
3282:{\displaystyle U_{n}(r)=A_{n}\,J_{0}\left(\alpha \,{\frac {r}{R}}n^{1/2}\,i^{3/2}\right)+B_{n}\,Y_{0}\left(\alpha \,{\frac {r}{R}}n^{1/2}\,i^{3/2}\right)+{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\,,}
2270:
85:
2212:{\displaystyle \rho {\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)\,}
6209:
3541:
3469:
1989:, the velocity adjusts rapidly to zero. Furthermore, the phase of the time oscillation varies quickly with position across the layer. The exponential decay of the higher frequencies is faster.
5164:
4584:
1856:
becomes large, the velocity profile becomes almost constant and independent of the viscosity. Thus, the flow simply oscillates as a plug profile in time according to the pressure gradient,
6554:
3681:
1987:
6017:
3843:
1766:
This is highly reminiscent of the Stokes layer on an oscillating flat plate, or the skin-depth penetration of an alternating magnetic field into an electrical conductor. On the surface
704:
7076:{\displaystyle {\tilde {\phi }}=0=\phi _{P'_{n}}+\phi _{U_{n}}\quad \Rightarrow \quad \phi _{P'_{n}}=\operatorname {phase} \left({\frac {i}{\rho \,n\,\omega }}\left\right)\,,}
734:
6850:{\displaystyle {\tilde {U}}_{n}=\left|{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left\right|\quad \Rightarrow \quad P'_{n}={\tilde {U}}_{n}\left|i\,\rho \,n\,\omega \left\right|}
4560:{\displaystyle u(r,t)={\frac {P'_{0}}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)+\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\lefte^{in\omega t}\right\}\,.}
5175:
1854:
3366:
3326:
6011:
is not measured, it can still be obtained by measuring the velocity at the centre line. The measured velocity has only the real part of the full expression in the form of
2583:
is opposed to the steady-state velocity (i.e., a negative pressure gradient yields positive flow). Similarly, the velocity profile is also decomposed in
Fourier series in
6009:
3634:
3604:
2551:
2497:
6501:
6201:
3676:
1811:
5966:{\displaystyle \tau _{w}=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}P'_{n}{\frac {R}{\Lambda _{n}}}{\frac {J_{1}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}e^{in\omega t}\right\}\,.}
3574:
3035:
2433:
3420:
3393:
2710:
6442:
6415:
at the centre line. The measured velocity is compared with the full expression by applying some properties of complex number. For any product of complex numbers (
2736:
2577:
2467:
3835:
2521:
2409:
2285:
736:, the inertial forces are dominant in the central core, whereas viscous forces dominate near the boundary layer. Thus, the velocity profile gets flattened, and
2997:{\displaystyle i\rho n\omega U_{n}=-P'_{n}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}U_{n}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U_{n}}{\partial r}}\right)\,.}
855:
7604:
5778:{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left=a\,x^{-p}J_{p+1}(a\,x)\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial }{\partial x}}\left=-a\,J_{1}(a\,x)\,.}
5485:
5064:{\displaystyle Q(t)=\iint u(r,t)\,dA=\mathrm {Re} \left\{\pi \,R^{2}\,\sum _{n=1}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\lefte^{in\omega t}\right\}\,.}
1275:
1862:
612:
2747:
7549:
763:
7660:
7559:
2593:
7655:
360:{\displaystyle u(r,t)=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=0}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\lefte^{in\omega t}\right\}\,,}
3008:
4200:
6405:{\displaystyle u(0,t)=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\lefte^{in\omega t}\right\}}
2228:
5079:
4789:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left=a\,x^{p}J_{p-1}(a\,x)\quad \Rightarrow \quad {\frac {d}{dx}}\left=a\,xJ_{0}(a\,x)\,,}
3481:
3425:
1997:
For deriving the analytical solution of this non-stationary flow velocity profile, the following assumptions are taken:
7469:"Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known"
5093:
3810:{\displaystyle A_{n}=-{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}{\frac {1}{J_{0}\left(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}\right)}}}
6506:
6151:{\displaystyle {\tilde {u}}(t)=\mathrm {Re} (u(0,t))\equiv \sum _{n=1}^{N}{\tilde {U}}_{n}\,\cos(n\,\omega \,t)\,.}
4187:{\displaystyle U_{n}(r)={\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left={\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left\,,}
1949:
7665:
975:
707:
59:
7575:
Nield, D.A.; Kuznetsov, A.V. (2007). "Forced convection with laminar pulsating flow in a channel or tube".
2059:
7432:
4575:
846:
5456:{\displaystyle f(r)={\frac {u(r,t)}{\frac {Q(t)}{A}}}=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}\left\right\}}
683:
713:
7602:
San, Omer; Staples, Anne E (2012). "An improved model for reduced-order physiological fluid flows".
1816:
3335:
3295:
2063:
2038:
754:
7631:
7613:
2580:
6447:
6164:
3639:
1769:
7555:
7498:
5476:
2436:
2045:
520:
461:
446:
401:
384:
32:
3546:
3014:
2418:
47:
is a very good example where pulsatile flow is found, but pulsatile flow is also observed in
7623:
7584:
7488:
7480:
7442:
5984:
4273:
3609:
3579:
3475:
2526:
2472:
2412:
566:
432:
52:
3398:
3371:
2688:
6418:
3329:
2739:
2381:{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}(t)=\sum _{n=0}^{N}P'_{n}e^{in\omega t}\,,}
2010:
1261:
In this case, the function is real, because the pressure and velocity waves are in phase.
552:
475:
415:
7520:
2715:
2556:
2446:
2712:
are the amplitudes of each harmonic of the periodic function, and the steady component (
964:{\displaystyle \lim _{n\to 0}u(r,t)=-{\frac {P'_{0}}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)\,,}
7588:
7493:
7468:
3820:
2506:
2394:
2276:
2006:
585:
454:
70:
40:
20:
5083:
Scaled velocity profiles of pulsatile flow are compared according to
Womersley number.
7649:
7635:
3472:
2584:
737:
506:
429:
387:
5552:{\displaystyle \tau _{w}=\mu \left.{\frac {\partial u}{\partial r}}\right|_{r=R}\,.}
1354:{\displaystyle \lim _{z\to \infty }J_{0}(z\,i)={\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi \,z}}}\,,}
7484:
7447:
7437:
2032:
2028:
4268:
is used for simplification. The velocity profile itself is obtained by taking the
4269:
2275:
respectively. The pressure gradient driving the pulsatile flow is decomposed in
2051:
2002:
458:
1936:{\displaystyle \rho {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\sum _{n=0}^{N}P'_{n}\,.}
606:
The pulsatile flow profile changes its shape depending on the
Womersley number
7627:
2500:
4277:
2017:
581:
7502:
4578:
is obtained by integrating the velocity field on the cross-section. Since,
670:{\displaystyle \alpha =R\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{1/2}\,.}
2832:{\displaystyle U_{0}=-{\frac {P'_{0}}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)\,.}
2440:
450:
56:
44:
36:
740:
between the pressure and velocity waves gets shifted towards the core.
48:
5087:
To compare the shape of the velocity profile, it can be assumed that
3576:
for the derivative of above equation to be valid, as the derivatives
3007:
With the boundary conditions satisfied, the general solution of this
2021:
534:
835:{\displaystyle \lim _{z\to \infty }J_{0}(z)=1-{\frac {z^{2}}{4}}\,,}
7618:
2041:
are: axisymmetry at the centre, and no-slip condition on the wall;
2587:
with the pressure gradient, because the fluid is incompressible,
3817:. Hence, the amplitudes of the velocity profile of the harmonic
706:, viscous forces dominate the flow, and the pulse is considered
3636:
approach infinity. Next, the wall non-slip boundary condition (
2842:
Thus, the Navier-Stokes equation for each harmonic reads as
2675:{\displaystyle u(r,t)=\sum _{n=0}^{N}U_{n}e^{in\omega t}\,,}
1955:
5507:
79:
The pulsatile flow profile is given in a straight pipe by
4261:{\displaystyle \Lambda _{n}=\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}}
3368:
is the Bessel function of second kind and order zero,
7095:
6869:
6565:
6509:
6450:
6421:
6212:
6167:
6020:
5987:
5797:
5571:
5488:
5178:
5096:
4808:
4587:
4289:
4203:
3846:
3823:
3684:
3642:
3612:
3582:
3549:
3484:
3428:
3401:
3374:
3338:
3298:
3046:
3017:
2851:
2750:
2718:
2691:
2596:
2559:
2529:
2509:
2475:
2449:
2421:
2397:
2288:
2265:{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}=0\,,}
2231:
2075:
1952:
1946:
However, close to the walls, in a layer of thickness
1865:
1819:
1772:
1373:
1278:
987:
858:
766:
716:
686:
615:
491:
is the pressure gradient magnitude for the frequency
88:
7551:
Biomechanics – Motion, flow, stress and growth
1813:, but the exponential term becomes negligible once
7415:
7075:
6849:
6548:
6495:
6436:
6404:
6195:
6150:
6003:
5965:
5777:
5551:
5455:
5158:
5063:
4788:
4559:
4260:
4186:
3829:
3809:
3670:
3628:
3598:
3568:
3536:{\displaystyle \partial U_{n}/\partial r|_{r=0}=0}
3535:
3464:{\displaystyle \alpha =R\surd (\omega \rho /\mu )}
3463:
3414:
3387:
3360:
3320:
3281:
3029:
2996:
2831:
2730:
2704:
2674:
2571:
2545:
2515:
2491:
2461:
2427:
2403:
2380:
2264:
2211:
1981:
1935:
1848:
1805:
1755:
1353:
1250:
963:
834:
728:
698:
669:
359:
5159:{\displaystyle u(r,t)=f(r)\,{\frac {Q(t)}{A}}\,,}
7554:. New York (USA): Springer-Verlag. p. 569.
1375:
1280:
989:
860:
768:
2579:) is the steady-state pressure gradient, whose
1269:The Bessel function at its upper limit becomes
16:A flow with periodic variations (fluid dyamics)
6444:), the amplitude and phase have the relations
23:, a flow with periodic variations is known as
6549:{\displaystyle \phi _{C}=\phi _{A}+\phi _{B}}
8:
7605:Journal of Mechanics in Medicine and Biology
1982:{\displaystyle {\mathcal {O}}(\alpha ^{-1})}
35:(1907–1958) in his work with blood flow in
7521:"Pulsatile flow in a long straight artery"
7617:
7577:International Journal of Thermal Sciences
7492:
7409:
7383:
7370:
7355:
7342:
7329:
7318:
7314:
7305:
7287:
7283:
7268:
7247:
7234:
7213:
7200:
7193:
7185:
7181:
7177:
7163:
7152:
7151:
7144:
7133:
7106:
7096:
7094:
7069:
7048:
7035:
7020:
7007:
6994:
6983:
6979:
6970:
6945:
6940:
6923:
6918:
6900:
6895:
6871:
6870:
6868:
6826:
6813:
6792:
6779:
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6717:
6687:
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6618:
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6599:
6593:
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6315:
6308:
6297:
6293:
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6274:
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6172:
6166:
6144:
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6114:
6103:
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6095:
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6045:
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6021:
6019:
5992:
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5939:
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5895:
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5875:
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5037:
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4417:
4412:
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4057:
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3993:
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3973:
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31:. The flow profiles was first derived by
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7512:
5078:
69:
7459:
6203:, the full physical expression becomes
5562:The derivative of a Bessel function is
3478:. The axisymmetric boundary condition (
7:
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1026:
978:pulse with parabolic profile when
778:
114:
111:
14:
753:The Bessel function at its lower
699:{\displaystyle \alpha \lesssim 2}
2035:and parallel to the tube's axis;
729:{\displaystyle \alpha \gtrsim 2}
7536:Bio Fluid Mechanics: Lecture 14
7519:Mestel, Jonathan (March 2009).
6935:
6931:
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6708:
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5685:
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4692:
4280:of all harmonics of the pulse,
7485:10.1113/jphysiol.1955.sp005276
7467:Womersley, J.R. (March 1955).
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710:with a parabolic profile. For
555:of first kind and order zero,
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104:
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1:
3422:are arbitrary constants, and
3361:{\displaystyle Y_{0}(\cdot )}
3321:{\displaystyle J_{0}(\cdot )}
849:profile for steady flow for
2054:has no effect on the fluid.
7682:
6496:{\displaystyle |C|=|A||B|}
6196:{\displaystyle J_{0}(0)=1}
3671:{\displaystyle U_{n}(R)=0}
3543:) is applied to show that
3011:for the oscillatory part (
1806:{\displaystyle u(r=R,t)=0}
7661:Cardiovascular physiology
7628:10.1142/S0219519411004666
7526:. Imperial College London
5981:If the pressure gradient
6556:, respectively. Hence,
3569:{\displaystyle B_{n}=0}
3030:{\displaystyle n\geq 1}
2428:{\displaystyle \omega }
2044:Pressure gradient is a
845:which converges to the
7656:Biological engineering
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7149:
7077:
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2572:{\displaystyle n=0}
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2064:continuity equation
2039:Boundary conditions
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1364:which converges to
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4313:
4276:resulted from the
4258:
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2503:of each harmonic
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