2484:
2004:
4594:
1043:
2479:{\displaystyle {\begin{cases}{\ddot {x}}_{0}+x_{0}=0\\{\ddot {x}}_{1}+x_{1}+2\omega _{1}{\ddot {x}}_{0}+(x_{0}^{2}-1){\dot {x}}_{0}=0\\{\ddot {x}}_{2}+x_{2}+(\omega _{1}^{2}+2\omega _{2}){\ddot {x}}_{0}+2\omega _{1}{\ddot {x}}_{1}+2x_{0}x_{1}{\dot {x}}_{0}+\omega _{1}(x_{0}^{2}-1){\dot {x}}_{0}+{\dot {x}}_{1}(x_{0}^{2}-1)=0\end{cases}}}
4095:
4418:
1320:
845:
4411:
4271:
3833:
5922:
3362:
2734:
3828:
796:
1769:
1866:
4100:
5564:
5434:
5122:
1960:
3479:
623:
5285:
4589:{\displaystyle {\frac {d}{dT}}{\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&{\frac {1}{2}}({\frac {1}{12}}+b)\\{\frac {1}{2}}({\frac {5}{12}}-b)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}}
2854:
1038:{\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\cos(\tau )\\{\text{and }}x_{1}&={\tfrac {1}{32}}\,\left(\cos(3\tau )-\cos(\tau )\right)+\left(\omega _{1}-{\tfrac {3}{8}}\right)\,\tau \,\sin(\tau ).\end{aligned}}}
4276:
3077:
3584:
1083:
3217:
1620:
465:
1529:
151:
5018:
2992:
850:
2569:
1531:. The coefficients of the super-harmonic terms are solved directly, and the coefficients of the harmonic term are determined by expanding down to order-(n+1), and eliminating its secular term.
5814:
5200:
3209:
5330:
4669:
4090:{\displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}^{2}x_{0}+x_{0}=0\\\partial _{t}^{2}x_{1}+x_{1}=-\cos(t)x_{0}\\\partial _{t}^{2}x_{2}+x_{2}=-bx_{0}-2\partial _{tT}x_{0}-\cos(t)x_{1}\end{cases}}}
3405:
3121:
4833:
1999:
1435:
5629:
2538:
5953:
5494:
4877:
4770:
2772:
5460:
3685:
1365:
254:
4726:
2899:
1676:
558:
3680:
662:
4957:
4917:
4897:
3624:
2919:
1640:
700:
207:
511:
4977:
4937:
2564:
3148:
1777:
5711:
4793:
3644:
3604:
1687:
1073:. Higher orders of accuracy can be obtained by continuing the perturbation analysis along this way. As of now, the approximation—correct up to first order in
2777:
708:
1544:
5502:
5335:
5023:
79:
The article gives several examples. The theory can be found in
Chapter 10 of Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems by Verhulst.
1871:
5775:
5687:
3413:
2921:
increases from zero to a small positive constant, all circular orbits in phase space are destroyed, except the one at radius 2. Now solving
569:
5205:
1315:{\displaystyle x(t)\approx \cos {\Bigl (}\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \right)\,t{\Bigr )}+{\tfrac {1}{32}}\,\varepsilon \,\left.\,}
1330:
We solve the van der Pol oscillator only up to order 2. This method can be continued indefinitely in the same way, where the order-n term
4982:
2997:
3502:
4266:{\displaystyle {\begin{cases}x_{0}=A\cos(t)+B\sin(t)\\x_{1}=-{\frac {A}{2}}+{\frac {A}{6}}\cos(2t)+{\frac {B}{6}}\sin(2t)\end{cases}}}
6059:
5799:
5660:
4835:) of the original oscillator, the oscillation grows unboundedly, like a child swinging on a swing pumping all the way to the moon.
303:
1440:
36:
4406:{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{12}}\left(-12bA+5A-24B'\right)\\{\frac {1}{12}}\left(24A'-12bB-B\right)\end{cases}}}
97:
5917:{\displaystyle \scriptstyle E={\tfrac {1}{2}}\,{\dot {x}}^{2}+{\tfrac {1}{2}}\,x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\,\varepsilon \,x^{4}}
2924:
6088:
3357:{\displaystyle {\ddot {x}}_{2}+x_{2}-(4\omega _{2}+1/4)\cos \tau -{\frac {3}{4}}\cos 3\tau -{\frac {5}{4}}\cos 5\tau =0}
66:
All efforts of geometers in the second half of this century have had as main objective the elimination of secular terms.
5127:
3153:
513:. The Poincaré–Lindstedt method allows for the creation of an approximation that is accurate for all time, as follows.
5293:
4601:
5436:
allows us to take a finite number of terms for the series on the right, and it would converge to a finite value at
3367:
3082:
4798:
1965:
1370:
5569:
2489:
5927:
5465:
4848:
4731:
2739:
2729:{\displaystyle {\ddot {x}}_{1}+x_{1}+(A-A^{3}/4)\sin \tau -2\omega _{1}A\cos \tau -(A^{3}/4)\sin(3\tau )=0}
5439:
1538:
1333:
214:
4674:
2859:
1648:
530:
3649:
6011:"Power Series Expansions for the Frequency and Period of the Limit Cycle of the Van Der Pol Equation"
5679:
Nonlinear dynamics and chaos : with applications to physics, biology, chemistry, and engineering
3490:
4285:
4109:
3842:
2786:
2013:
470:
This approximation grows without bound in time, which is inconsistent with the physical system that
1534:
See chapter 10 of for a derivation up to order 3, and for a computer derivation up to order 164.
260:
44:
20:
5705:
641:
4942:
4902:
4882:
3626:
is small. The equation's solution would have two time-scales, one fast-varying on the order of
3609:
2904:
1625:
667:
173:
6065:
6055:
6030:
5795:
5771:
5725:
5693:
5683:
5656:
5496:, which is exactly the desired asymptotic behavior. This is the idea behind Shohat expansion.
517:
481:
71:
55:
40:
32:
4962:
4922:
2543:
6022:
5763:
3823:{\displaystyle x(t)=x_{0}(t,T)+\epsilon x_{1}(t,T)+\epsilon ^{2}x_{2}(t,T)+O(\epsilon ^{3})}
3497:
471:
88:
59:
3126:
835:) + ... . The following solutions for the zeroth and first order problem in
1764:{\displaystyle \omega =1+\epsilon \omega _{1}+\epsilon ^{2}\omega _{2}+O(\epsilon ^{3})}
5649:
4778:
3629:
3589:
2566:. Then plug it into the second equation to obtain (after some trigonometric identities)
6082:
5757:
629:
4795:) in the parameter is sufficiently close to the angular frequency (in this case,
5924: = constant, as can be seen by multiplying the Duffing equation with
791:{\displaystyle \omega ^{2}\,x''(\tau )+x(\tau )+\varepsilon \,x^{3}(\tau )=0\,}
5767:
5697:
1861:{\displaystyle \omega ^{2}{\ddot {x}}+\omega \epsilon (x^{2}-1){\dot {x}}+x=0}
6034:
6069:
6010:
48:
5677:
5559:{\displaystyle \epsilon \omega \to {\frac {2\pi }{3-2\ln 2}}=3.8936\cdots }
5429:{\displaystyle \epsilon \omega =r+c_{2}r^{2}+c_{3}r^{3}+c_{4}r^{4}+\cdots }
5117:{\displaystyle \epsilon \omega =r+c_{2}r^{2}+c_{3}r^{3}+c_{4}r^{4}+\cdots }
43:—terms growing without bound—arising in the straightforward application of
1955:{\displaystyle x=x_{0}+\epsilon x_{1}+\epsilon ^{2}x_{2}+O(\epsilon ^{3})}
6049:
3474:{\displaystyle \omega =1-{\frac {1}{16}}\epsilon ^{2}+O(\epsilon ^{3})}
5202:, and using the same method of eliminating the secular terms, we find
618:{\displaystyle \omega =\omega _{0}+\varepsilon \omega _{1}+\cdots .\,}
5959:. For the example considered, from its initial conditions, is found:
5280:{\displaystyle c_{2}=1,c_{3}={\frac {15}{16}},c_{4}={\frac {13}{16}}}
4959:
diverges and we would need to keep more and more terms of it to keep
1642:
is a small positive number. Perform substitution to the second order:
74:, Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste, preface to volume I
6026:
2849:{\displaystyle {\begin{cases}A=A^{3}/4\\2\omega _{1}A=0\end{cases}}}
3072:{\displaystyle x_{1}=B\cos(\tau +\phi )-{\frac {1}{4}}\sin(3\tau )}
474:
models. The term responsible for this unbounded growth, called the
297:) + ... is sought. The first two terms of the series are
3579:{\displaystyle {\ddot {x}}+(1+b\epsilon ^{2}+\epsilon \cos(t))x=0}
6051:
Perturbation techniques in mathematics, engineering & physics
5743:
A. Lindstedt, Abh. K. Akad. Wiss. St. Petersburg 31, No. 4 (1882)
5762:. Universitext. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg.
4728:, the origin is a saddle point, so the amplitude of oscillation
39:, when regular perturbation approaches fail. The method removes
4979:
bounded. This suggests to us a parametrization that is bounded:
1615:{\displaystyle {\ddot {x}}+\epsilon (x^{2}-1){\dot {x}}+x=0}
4399:
4259:
4083:
2842:
2472:
4775:
In other words, when the angular frequency (in this case,
460:{\displaystyle x(t)=\cos(t)+\varepsilon \left+\cdots .\,}
4273:
The secular term coefficients in the third equation are
4413:
Setting them to zero, we find the equations of motion:
3830:
Now plug into the
Mathieu equation and expand to obtain
1524:{\displaystyle a_{n,2}\cos(2t)+b_{n,2}\cos(2t)+\cdots }
1048:
So the secular term can be removed through the choice:
6048:
Bellman, Richard (2003). "2.5. The Shohat
Expansion".
5931:
5887:
5861:
5826:
5818:
5759:
4565:
4471:
4442:
1271:
1211:
1162:
1127:
992:
912:
411:
349:
5930:
5817:
5572:
5505:
5468:
5442:
5338:
5296:
5208:
5130:
5026:
4985:
4965:
4945:
4925:
4905:
4885:
4851:
4801:
4781:
4734:
4677:
4604:
4421:
4279:
4103:
3836:
3688:
3652:
3632:
3612:
3592:
3505:
3416:
3370:
3220:
3156:
3129:
3085:
3000:
2927:
2907:
2862:
2780:
2742:
2572:
2546:
2492:
2007:
1968:
1874:
1780:
1690:
1651:
1628:
1547:
1443:
1373:
1336:
1086:
848:
711:
670:
644:
572:
533:
484:
306:
217:
176:
146:{\displaystyle {\ddot {x}}+x+\varepsilon \,x^{3}=0\,}
100:
5676:
Strogatz, Steven (2019). "Exercise 7.6.19, 7.6.21".
516:
In addition to expressing the solution itself as an
5013:{\displaystyle r:={\frac {\epsilon }{1+\epsilon }}}
2987:{\displaystyle {\ddot {x}}_{1}+x_{1}=2\sin(3\tau )}
5947:
5916:
5648:
5623:
5558:
5488:
5454:
5428:
5324:
5279:
5194:
5116:
5012:
4971:
4951:
4931:
4911:
4891:
4871:
4827:
4787:
4764:
4720:
4663:
4588:
4405:
4265:
4089:
3822:
3674:
3638:
3618:
3598:
3578:
3473:
3399:
3356:
3203:
3142:
3115:
3071:
2986:
2913:
2893:
2848:
2766:
2728:
2558:
2532:
2478:
1993:
1954:
1860:
1763:
1670:
1634:
1614:
1523:
1429:
1359:
1314:
1037:
790:
694:
656:
617:
552:
505:
459:
248:
201:
145:
5195:{\displaystyle x=x_{0}+rx_{1}+r^{2}x_{2}+\cdots }
3204:{\displaystyle x_{1}=-{\frac {1}{4}}\sin(3\tau )}
1298:
1254:
1238:
1191:
1153:
1110:
5298:
2736:To eliminate the secular term, we must set both
5794:, Second Edition, John Wiley & Sons, 1997.
5325:{\displaystyle \lim _{\epsilon \to \infty }r=1}
520:, form another series with which to scale time
64:
5730:Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Célèste
4664:{\displaystyle {\frac {1}{4}}(b-5/12)(b+1/12)}
1962:, and we have three equations, for the orders
6009:Andersen, C. M.; Geer, James F. (June 1982).
5811:The Duffing equation has an invariant energy
8:
3400:{\displaystyle \omega _{2}=-{\frac {1}{16}}}
51:problems with finite oscillatory solutions.
3646:, and another slow-varying on the order of
3214:Now plug into the second equation to obtain
3116:{\displaystyle \epsilon B\cos(\tau +\phi )}
31:is a technique for uniformly approximating
5955:and integrating with respect to time
5710:: CS1 maint: location missing publisher (
4828:{\displaystyle {\sqrt {1+b\epsilon ^{2}}}}
5933:
5932:
5929:
5907:
5902:
5898:
5886:
5877:
5872:
5860:
5851:
5840:
5839:
5837:
5825:
5816:
5609:
5596:
5583:
5571:
5515:
5504:
5478:
5467:
5441:
5414:
5404:
5391:
5381:
5368:
5358:
5337:
5301:
5295:
5267:
5258:
5241:
5232:
5213:
5207:
5180:
5170:
5157:
5141:
5129:
5102:
5092:
5079:
5069:
5056:
5046:
5025:
4992:
4984:
4964:
4944:
4924:
4904:
4884:
4861:
4850:
4817:
4802:
4800:
4780:
4754:
4741:
4735:
4733:
4707:
4693:
4676:
4650:
4627:
4605:
4603:
4560:
4528:
4515:
4492:
4479:
4466:
4437:
4422:
4420:
4347:
4288:
4280:
4278:
4228:
4197:
4184:
4172:
4116:
4104:
4102:
4074:
4046:
4033:
4017:
3998:
3985:
3975:
3970:
3956:
3925:
3912:
3902:
3897:
3877:
3864:
3854:
3849:
3837:
3835:
3811:
3777:
3767:
3739:
3708:
3687:
3663:
3651:
3631:
3611:
3591:
3537:
3507:
3506:
3504:
3462:
3443:
3429:
3415:
3387:
3375:
3369:
3326:
3301:
3278:
3266:
3247:
3234:
3223:
3222:
3219:
3173:
3161:
3155:
3134:
3128:
3084:
3041:
3005:
2999:
2954:
2941:
2930:
2929:
2926:
2906:
2879:
2861:
2824:
2805:
2799:
2781:
2779:
2741:
2691:
2685:
2657:
2627:
2621:
2599:
2586:
2575:
2574:
2571:
2545:
2497:
2491:
2448:
2443:
2430:
2419:
2418:
2408:
2397:
2396:
2380:
2375:
2362:
2349:
2338:
2337:
2330:
2320:
2304:
2293:
2292:
2285:
2269:
2258:
2257:
2247:
2231:
2226:
2210:
2197:
2186:
2185:
2168:
2157:
2156:
2140:
2135:
2119:
2108:
2107:
2100:
2084:
2071:
2060:
2059:
2042:
2029:
2018:
2017:
2008:
2006:
1994:{\displaystyle 1,\epsilon ,\epsilon ^{2}}
1985:
1967:
1943:
1924:
1914:
1901:
1885:
1873:
1835:
1834:
1819:
1792:
1791:
1785:
1779:
1752:
1733:
1723:
1710:
1689:
1667:
1650:
1627:
1589:
1588:
1573:
1549:
1548:
1546:
1485:
1448:
1442:
1430:{\displaystyle a_{n}\cos(t)+b_{n}\cos(t)}
1406:
1378:
1372:
1351:
1341:
1335:
1311:
1297:
1296:
1292:
1286:
1282:
1270:
1253:
1252:
1237:
1236:
1232:
1226:
1222:
1210:
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1189:
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1151:
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847:
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175:
160: > 0, with 0 <
142:
130:
125:
102:
101:
99:
5624:{\displaystyle 1+c_{2}+c_{3}+c_{4}=3.75}
4845:For the van der Pol oscillator, we have
2533:{\displaystyle x_{0}=A\cos(\tau +\phi )}
2486:The first equation has general solution
5948:{\displaystyle \scriptstyle {\dot {x}}}
5639:
5566:, which as we can see is approached by
5489:{\displaystyle \omega \sim 1/\epsilon }
4919:becomes large, the serial expansion of
4872:{\displaystyle \omega \sim 1/\epsilon }
5703:
3364:To eliminate the secular term, we set
801:Now search for a solution of the form
6054:. Mineola, N.Y.: Dover Publications.
5732:, vol. II, New York: Dover Publ.
4765:{\displaystyle {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}
2767:{\displaystyle \sin \tau ,\cos \tau }
16:Technique used in perturbation theory
7:
5751:
5749:
5455:{\displaystyle \epsilon \to \infty }
2901:. In particular, we found that when
702:. Then the original problem becomes
6015:SIAM Journal on Applied Mathematics
2774:coefficients to zero, thus we have
1326:Example: the van der Pol oscillator
5449:
5308:
4030:
3967:
3894:
3846:
1360:{\displaystyle \epsilon ^{n}x_{n}}
249:{\displaystyle {\dot {x}}(0)=0.\,}
14:
5499:The exact asymptotic constant is
4721:{\displaystyle b\in (-1/12,5/12)}
2894:{\displaystyle A=2,\omega _{1}=0}
1671:{\displaystyle \tau =\omega t,\,}
1437:, plus some super-harmonic terms
553:{\displaystyle \tau =\omega t,\,}
4097:As before, we have the solutions
3675:{\displaystyle T=\epsilon ^{2}t}
2540:. Pick origin of time such that
37:ordinary differential equations
5655:, Cambridge University Press,
5512:
5446:
5305:
5020:Then, using serial expansions
4715:
4684:
4658:
4638:
4635:
4615:
4544:
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4061:
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3455:
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3256:
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1090:
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316:
310:
236:
230:
186:
180:
1:
638: = 1, because when
83:Example: the Duffing equation
5756:Verhulst, Ferdinand (1996).
5682:(2nd ed.). Boca Raton.
3682:. So expand the solution as
1367:consists of a harmonic term
664:, the equation has solution
167:Consider initial conditions
3150:, so we can WLOG have just
657:{\displaystyle \epsilon =0}
6105:
5462:limit. Then we would have
54:The method is named after
5768:10.1007/978-3-642-61453-8
4952:{\displaystyle \epsilon }
4912:{\displaystyle \epsilon }
4892:{\displaystyle \epsilon }
3619:{\displaystyle \epsilon }
3485:Example: Mathieu equation
2914:{\displaystyle \epsilon }
1774:which yields the equation
1635:{\displaystyle \epsilon }
695:{\displaystyle x=\cos(t)}
202:{\displaystyle x(0)=1,\,}
29:Lindstedt–Poincaré method
25:Poincaré–Lindstedt method
506:{\displaystyle t\sin(t)}
4972:{\displaystyle \omega }
4932:{\displaystyle \omega }
3079:. We can always absorb
2559:{\displaystyle \phi =0}
87:The undamped, unforced
5949:
5918:
5625:
5560:
5490:
5456:
5430:
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3824:
3676:
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3620:
3600:
3580:
3489:This is an example of
3475:
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1765:
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1539:van der Pol oscillator
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658:
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250:
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147:
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5950:
5919:
5647:Drazin, P.G. (1992),
5626:
5561:
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462:
263:solution of the form
251:
204:
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5928:
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5635:References and notes
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174:
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6089:Perturbation theory
5792:Applied Mathematics
4772:grows unboundedly.
4598:Its determinant is
3980:
3907:
3859:
3606:is a constant, and
2453:
2385:
2236:
2145:
261:perturbation-series
45:perturbation theory
21:perturbation theory
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3576:
3471:
3410:Thus we find that
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4337:
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4261:
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4050:
4041:
4040:
4022:
4021:
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