268:
2152:
proved that a finite polar space of rank at least three is always isomorphic with one of the three types of classical polar space given above. This leaves open only the problem of classifying the finite generalized quadrangles.
2137:
2164:
1721:
1457:
1254:
1916:
1510:
2077:
1667:
1098:
1301:
1863:
1048:
818:
508:
760:
2006:
1596:
1175:
983:
347:. One recovers the former definition from the latter under the assumptions that lines have more than 2 points, points lie on more than 2 lines, and there exist a line
1798:
1378:
724:
618:
459:
1951:
1756:
1336:
892:
1541:
1127:
935:
858:
838:
686:
666:
638:
580:
560:
528:
479:
413:
389:
365:
345:
321:
297:
2174:
538:
on the underlying vector space. The elements of the finite classical polar space associated with this form are the elements of the
644:
of the form is equal to the largest vector space dimension of the subspace contained in the polar space, and it is called the
204:
It is possible to define and study a slightly bigger class of objects using only the relationship between points and lines: a
2217:
2255:
2083:
1673:
1384:
1181:
1869:
1463:
2250:
2012:
1602:
1054:
1260:
1804:
989:
539:
765:
910:
2229:, QMW Maths Notes, vol. 13, London: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences,
276:
648:
of the polar space. These finite classical polar spaces can be summarised by the following table, where
484:
209:
729:
1960:
1550:
1136:
944:
2170:
641:
531:
2221:
2187:
1765:
1345:
691:
585:
426:
73:
2234:
2210:
2230:
2206:
1927:
1732:
1312:
2205:, A Series of Modern Surveys in Mathematics, part 3, vol. 57, Heidelberg: Springer,
871:
1523:
1109:
917:
1516:
843:
823:
671:
651:
623:
565:
545:
535:
513:
464:
398:
374:
350:
330:
306:
282:
2244:
256:
103:
2200:
2149:
107:
20:
69:
56:, conventionally called the set of points, together with certain subsets of
271:
Generalized quadrangle with three points per line; a polar space of rank 2
2169:, London Mathematical Society Student Texts, Cambridge University Press,
24:
279:; in this case, in the latter definition, the set of points of a line
267:
2189:
Prehistory and
History of Polar Spaces and of Generalized Polygons
266:
562:
is a sesquilinear form) or the totally singular subspaces (when
2202:
Diagram
Geometry: Related to classical groups and buildings
110:
projective geometry.) For each subspace the corresponding
688:
is the rank of the polar space. The number of points in a
668:
is the dimension of the underlying projective space and
193:
There are at least two disjoint subspaces of dimension
117:
The intersection of two subspaces is always a subspace.
2086:
2015:
1963:
1930:
1872:
1807:
1768:
1735:
1676:
1605:
1553:
1526:
1466:
1387:
1348:
1315:
1263:
1184:
1139:
1112:
1057:
992:
947:
920:
874:
846:
826:
768:
732:
694:
674:
654:
626:
588:
568:
548:
516:
487:
467:
429:
401:
377:
353:
333:
309:
285:
2131:
2071:
2000:
1945:
1910:
1857:
1792:
1750:
1715:
1661:
1590:
1535:
1504:
1451:
1372:
1330:
1295:
1248:
1169:
1121:
1092:
1042:
977:
929:
886:
852:
832:
812:
754:
718:
680:
660:
632:
612:
574:
554:
522:
502:
473:
453:
407:
383:
359:
339:
315:
291:
186:that are in a common subspace of dimension 1 with
2132:{\displaystyle \mathrm {P\Gamma O^{-}} (2r+2,q)}
2166:Finite Geometry and Combinatorial Applications
1716:{\displaystyle \mathrm {P\Gamma O^{+}} (2r,q)}
2199:Buekenhout, Francis; Cohen, Arjeh M. (2013),
1452:{\displaystyle (q^{r+1/2}+1)\theta _{r-1}(q)}
1249:{\displaystyle (q^{r-1/2}+1)\theta _{r-1}(q)}
8:
1911:{\displaystyle \mathrm {P\Gamma O} (2r+1,q)}
1505:{\displaystyle \mathrm {P\Gamma U(2r+1,q)} }
2072:{\displaystyle (q^{r+1}+1)\theta _{r-1}(q)}
1662:{\displaystyle (q^{r-1}+1)\theta _{r-1}(q)}
1093:{\displaystyle \mathrm {P\Gamma Sp} (2r,q)}
1296:{\displaystyle \mathrm {P\Gamma U(2r,q)} }
2098:
2087:
2085:
2048:
2023:
2014:
1968:
1962:
1929:
1873:
1871:
1858:{\displaystyle (q^{r}+1)\theta _{r-1}(q)}
1834:
1815:
1806:
1767:
1734:
1688:
1677:
1675:
1638:
1613:
1604:
1558:
1552:
1525:
1467:
1465:
1428:
1405:
1395:
1386:
1347:
1314:
1264:
1262:
1225:
1202:
1192:
1183:
1138:
1111:
1058:
1056:
1043:{\displaystyle (q^{r}+1)\theta _{r-1}(q)}
1019:
1000:
991:
946:
919:
873:
845:
825:
786:
773:
767:
737:
731:
693:
673:
653:
625:
587:
567:
547:
515:
494:
490:
489:
486:
466:
428:
400:
376:
352:
332:
308:
284:
862:
813:{\displaystyle q^{k}+q^{k-1}+\cdots +1}
461:be the projective space of dimension
255:is a finite set) are also studied as
7:
860:, we get a generalized quadrangle.
395:is collinear to all points of
244:is either a singleton or the whole
2095:
2091:
2088:
1880:
1877:
1874:
1685:
1681:
1678:
1495:
1483:
1474:
1471:
1468:
1286:
1280:
1271:
1268:
1265:
1068:
1065:
1062:
1059:
14:
503:{\displaystyle \mathbb {F} _{q}}
275:A polar space of rank two is a
2126:
2105:
2066:
2060:
2041:
2016:
1995:
1974:
1905:
1884:
1852:
1846:
1827:
1808:
1787:
1772:
1710:
1695:
1656:
1650:
1631:
1606:
1585:
1564:
1498:
1477:
1446:
1440:
1421:
1388:
1367:
1352:
1289:
1274:
1243:
1237:
1218:
1185:
1164:
1143:
1087:
1072:
1037:
1031:
1012:
993:
972:
951:
755:{\displaystyle \theta _{k}(q)}
749:
743:
713:
701:
607:
595:
448:
436:
1:
2001:{\displaystyle Q^{-}(2r+1,q)}
1591:{\displaystyle Q^{+}(2r-1,q)}
419:Finite classical polar spaces
172:-dimensional. The points in
139:, there is a unique subspace
64:, that satisfy these axioms:
2186:Buekenhout, Francis (2000),
2223:Projective and polar spaces
540:totally isotropic subspaces
251:Finite polar spaces (where
2272:
220:), so that for each point
182:are exactly the points of
1170:{\displaystyle H(2r-1,q)}
978:{\displaystyle W(2r-1,q)}
582:is a quadratic form) of
114:is called its dimension.
1793:{\displaystyle Q(2r,q)}
1373:{\displaystyle H(2r,q)}
719:{\displaystyle PG(k,q)}
613:{\displaystyle PG(n,q)}
454:{\displaystyle PG(n,q)}
299:collinear with a point
263:Generalized quadrangles
236:, the set of points of
2133:
2073:
2002:
1947:
1912:
1859:
1794:
1752:
1717:
1663:
1592:
1537:
1506:
1453:
1374:
1332:
1297:
1250:
1171:
1123:
1094:
1044:
979:
931:
888:
854:
834:
814:
756:
720:
682:
662:
634:
614:
576:
556:
524:
504:
481:over the finite field
475:
455:
409:
385:
361:
341:
317:
293:
277:generalized quadrangle
272:
2163:Ball, Simeon (2015),
2134:
2074:
2003:
1948:
1913:
1860:
1795:
1753:
1718:
1664:
1593:
1538:
1507:
1454:
1375:
1333:
1298:
1251:
1172:
1124:
1095:
1045:
980:
932:
889:
855:
835:
815:
757:
721:
683:
663:
635:
615:
577:
557:
525:
505:
476:
456:
410:
386:
362:
342:
318:
294:
270:
257:combinatorial objects
106:. (That is, it is a
2084:
2013:
1961:
1946:{\displaystyle 2r+2}
1928:
1870:
1805:
1766:
1751:{\displaystyle 2r+1}
1733:
1674:
1603:
1551:
1524:
1464:
1385:
1346:
1331:{\displaystyle 2r+1}
1313:
1261:
1182:
1137:
1110:
1055:
990:
945:
918:
872:
844:
824:
766:
730:
692:
672:
652:
624:
586:
566:
546:
514:
485:
465:
427:
399:
375:
351:
331:
307:
283:
210:partial linear space
52:, consists of a set
2256:Projective geometry
905:Collineation group
887:{\displaystyle n+1}
762:and it is equal to
16:Concept in geometry
2129:
2069:
1998:
1943:
1908:
1855:
1790:
1748:
1713:
1659:
1588:
1536:{\displaystyle 2r}
1533:
1502:
1449:
1370:
1328:
1293:
1246:
1167:
1122:{\displaystyle 2r}
1119:
1090:
1040:
975:
930:{\displaystyle 2r}
927:
884:
850:
830:
810:
752:
716:
678:
658:
630:
610:
572:
552:
520:
500:
471:
451:
405:
381:
357:
337:
313:
289:
273:
120:For each subspace
68:Every subspace is
23:, in the field of
2218:Cameron, Peter J.
2142:
2141:
902:Number of points
853:{\displaystyle 2}
833:{\displaystyle r}
681:{\displaystyle r}
661:{\displaystyle n}
633:{\displaystyle f}
575:{\displaystyle f}
555:{\displaystyle f}
532:sesquilinear form
523:{\displaystyle f}
474:{\displaystyle n}
408:{\displaystyle l}
384:{\displaystyle l}
360:{\displaystyle l}
340:{\displaystyle l}
316:{\displaystyle l}
292:{\displaystyle l}
2263:
2251:Families of sets
2237:
2228:
2213:
2195:
2194:
2179:
2138:
2136:
2135:
2130:
2104:
2103:
2102:
2078:
2076:
2075:
2070:
2059:
2058:
2034:
2033:
2007:
2005:
2004:
1999:
1973:
1972:
1952:
1950:
1949:
1944:
1917:
1915:
1914:
1909:
1883:
1864:
1862:
1861:
1856:
1845:
1844:
1820:
1819:
1799:
1797:
1796:
1791:
1757:
1755:
1754:
1749:
1722:
1720:
1719:
1714:
1694:
1693:
1692:
1668:
1666:
1665:
1660:
1649:
1648:
1624:
1623:
1597:
1595:
1594:
1589:
1563:
1562:
1542:
1540:
1539:
1534:
1511:
1509:
1508:
1503:
1501:
1458:
1456:
1455:
1450:
1439:
1438:
1414:
1413:
1409:
1379:
1377:
1376:
1371:
1337:
1335:
1334:
1329:
1302:
1300:
1299:
1294:
1292:
1255:
1253:
1252:
1247:
1236:
1235:
1211:
1210:
1206:
1176:
1174:
1173:
1168:
1128:
1126:
1125:
1120:
1099:
1097:
1096:
1091:
1071:
1049:
1047:
1046:
1041:
1030:
1029:
1005:
1004:
984:
982:
981:
976:
936:
934:
933:
928:
893:
891:
890:
885:
863:
859:
857:
856:
851:
839:
837:
836:
831:
819:
817:
816:
811:
797:
796:
778:
777:
761:
759:
758:
753:
742:
741:
725:
723:
722:
717:
687:
685:
684:
679:
667:
665:
664:
659:
639:
637:
636:
631:
620:with respect to
619:
617:
616:
611:
581:
579:
578:
573:
561:
559:
558:
553:
529:
527:
526:
521:
509:
507:
506:
501:
499:
498:
493:
480:
478:
477:
472:
460:
458:
457:
452:
414:
412:
411:
406:
390:
388:
387:
382:
366:
364:
363:
358:
346:
344:
343:
338:
322:
320:
319:
314:
303:is the whole of
298:
296:
295:
290:
199:
181:
171:
163:
149:
130:
97:
85:
74:projective space
51:
44:projective index
41:
2271:
2270:
2266:
2265:
2264:
2262:
2261:
2260:
2241:
2240:
2226:
2216:
2198:
2192:
2185:
2177:
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