3044:
22000, 22040, 22310, 24200, 24240, 31130, 31400, 31440, 33020, 33330, 40220, 42110, 42420, 44000, 44040, 44310, 110204, 113300, 132204, 201102, 204204, 220000, 220402, 223102, 242000, 242402, 311300, 314000, 314402, 330204, 333300, 402204, 421102, 424204, 440000, 440402, 443102, 1133000, 1322043, 2011021, 2042040, 2204020, 2420003, 2424024, 3113002, 3140000, 3144021, 4022042, 4211020, 4431024, 11330000, 13220431, 20110211, 20420404, 24200031, 31400004, 31440211, 40220422, 42110202, 44310242, 132204314, 201102110, 242000311, 314000044, 402204220, 443102421, 1322043140, 2011021100, 3140000440, 4022042200
1336:
6123:
6030:
25:
3237:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 102, 105, 108, 120, 123, 126, 129, 141, 144, 147, 162, 165, 168, 180, 183, 186, 189, 201, 204,
3043:
1, 2, 3, 4, 11, 13, 20, 22, 24, 31, 33, 40, 42, 44, 110, 113, 132, 201, 204, 220, 223, 242, 311, 314, 330, 333, 402, 421, 424, 440, 443, 1102, 1133, 1322, 2011, 2042, 2200, 2204, 2231, 2420, 2424, 3113, 3140, 3144, 3302, 3333, 4022, 4211, 4242, 4400, 4404, 4431, 11020, 11330, 13220, 20110, 20420,
1103:
598:
1002:
901:
800:
699:
497:
3283:
9, 98, 987, 9876, 98765, 987654, 9876545, 98765456, 987654564, 9876545640, 98765456405, 987606963096, 9876069630960, 98760696309604, 987606963096045, 9876062430364208, 98485872309636009, 984450645096105672, 9812523240364656789, 96685896604836004260, ... (sequence
3260:
1, 10, 102, 1020, 10200, 102000, 1020005, 10200056, 102000564, 1020005640, 10200056405, 102006162060, 1020061620604, 10200616206046, 102006162060465, 1020061620604656, 10200616206046568, 108054801036000018, 1080548010360000180, 10805480103600001800, ... (sequence
3897:
The solution to the problem is a nine-digit polydivisible number with the additional condition that it contains the digits 1 to 9 exactly once each. There are 2,492 nine-digit polydivisible numbers, but the only one that satisfies the additional condition is
3891:
Arrange the digits 1 to 9 in order so that the first two digits form a multiple of 2, the first three digits form a multiple of 3, the first four digits form a multiple of 4 etc. and finally the entire number is a multiple of
381:
3306:
9, 45, 150, 375, 750, 1200, 1713, 2227, 2492, 2492, 2225, 2041, 1575, 1132, 770, 571, 335, 180, 90, 44, 18, 12, 6, 3, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ... (sequence
1008:
503:
907:
806:
705:
604:
402:
2171:
2093:
2596:
2527:
2458:
2389:
2320:
260:
4132:
1969:
308:
3027:
2855:
3940:
A common, trivial extension of the aforementioned example is to arrange the digits 0 to 9 to make a 10 digit number in the same way, the result is 3816547290. This is a
2258:
2227:
1557:
1429:
1393:
2005:
1730:
1488:
1922:
1816:
1646:
1689:
2629:
2197:
1942:
1896:
1876:
1856:
1836:
1790:
1770:
1750:
1666:
1620:
1600:
1577:
1528:
1508:
1452:
1357:
1173:
1131:
207:
316:
6474:
6066:
4073:
3912:
Finding polydivisible numbers with additional restrictions on the digits - for example, the longest polydivisible number that only uses even digits is
3314:
3291:
3268:
3245:
1196:
1179:
4125:
42:
1898:
becomes larger, the chances of being able to extend a given polydivisible number become smaller. On average, each polydivisible number with
1098:{\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-7}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{1}}\right\rfloor =10801\equiv 0{\pmod {7}}.}
593:{\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-2}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{1024}}\right\rfloor =10\equiv 0{\pmod {2}},}
997:{\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-6}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{4}}\right\rfloor =2700\equiv 0{\pmod {6}},}
896:{\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-5}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{16}}\right\rfloor =675\equiv 0{\pmod {5}},}
795:{\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-4}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{64}}\right\rfloor =168\equiv 0{\pmod {4}},}
694:{\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-3}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{256}}\right\rfloor =42\equiv 0{\pmod {3}},}
492:{\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-1}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{4096}}\right\rfloor =2\equiv 0{\pmod {1}},}
4932:
4118:
4927:
4942:
4922:
6112:
4052:
4023:
3996:
108:
89:
6309:
6122:
5635:
5215:
2104:
2013:
61:
4937:
46:
5721:
2546:
68:
2477:
2408:
2339:
6059:
3636:
2098:
Summing over all values of n, this estimate suggests that the total number of polydivisible numbers will be approximately
5037:
5387:
4706:
4499:
2277:
6263:
5422:
5392:
5067:
5057:
6479:
5563:
4977:
4711:
4691:
212:
75:
5253:
5417:
6299:
5512:
5135:
4892:
4701:
4683:
4577:
4567:
4557:
5397:
35:
6284:
5640:
5185:
4806:
4592:
4587:
4582:
4572:
4549:
57:
6052:
4625:
3883:
4882:
1335:
6438:
6304:
6228:
5751:
5716:
5502:
5412:
5286:
5261:
5170:
5160:
4772:
4754:
4674:
6289:
6248:
6011:
5281:
5155:
4786:
4562:
4342:
4269:
6218:
6087:
5266:
5120:
5047:
4202:
5975:
5615:
4087:
1838:-digit polydivisible number in this way, and indeed there may be more than one possible extension. If
6294:
5908:
5766:
5507:
5230:
5210:
5027:
4696:
4484:
4456:
1947:
6453:
6448:
6243:
6238:
6223:
6162:
5630:
5494:
5489:
5457:
5220:
5195:
5190:
5165:
5095:
5091:
5022:
4912:
4744:
4540:
4509:
281:
6029:
3012:
2840:
82:
6377:
6372:
6333:
6253:
6233:
6033:
5787:
5782:
5696:
5670:
5568:
5547:
5319:
5200:
5150:
5072:
5042:
4982:
4749:
4729:
4660:
4373:
3925:
4917:
2234:
2203:
1533:
1398:
1362:
6413:
6353:
5927:
5872:
5726:
5701:
5675:
5452:
5130:
5125:
5052:
5032:
5017:
4739:
4721:
4640:
4630:
4615:
4393:
4378:
4048:
4019:
4013:
3992:
1974:
1694:
1457:
4040:
6443:
6418:
6338:
6324:
6258:
6142:
6102:
5963:
5756:
5342:
5314:
5304:
5296:
5180:
5145:
5140:
5107:
4801:
4764:
4655:
4650:
4645:
4635:
4607:
4494:
4446:
4441:
4398:
4337:
3984:
6428:
6423:
6348:
6342:
6279:
6177:
6167:
6097:
5939:
5828:
5761:
5687:
5610:
5584:
5402:
5115:
4972:
4907:
4877:
4867:
4862:
4528:
4436:
4383:
4227:
4167:
142:
1901:
1795:
1625:
3882:
Polydivisible numbers represent a generalization of the following well-known problem in
1671:
6433:
6387:
6213:
6197:
6187:
6157:
5944:
5812:
5797:
5661:
5625:
5600:
5476:
5447:
5432:
5309:
5205:
5175:
4902:
4857:
4734:
4332:
4327:
4322:
4294:
4279:
4192:
4177:
4155:
4142:
2614:
2182:
1927:
1881:
1861:
1841:
1821:
1775:
1755:
1735:
1651:
1605:
1585:
1562:
1513:
1493:
1437:
1342:
1158:
1116:
192:
134:
6044:
6468:
6382:
6182:
6172:
6152:
5867:
5851:
5792:
5746:
5442:
5427:
5337:
5062:
4620:
4489:
4451:
4408:
4289:
4274:
4264:
4222:
4212:
4187:
3963:
3928:
polydivisible numbers - for example, the longest palindromic polydivisible number is
6397:
6314:
6192:
6137:
6107:
5903:
5892:
5807:
5645:
5620:
5537:
5437:
5407:
5382:
5366:
5271:
5238:
4987:
4961:
4872:
4811:
4388:
4284:
4217:
4197:
4172:
3068:
4, 44, 443, 4431, 44310, 443102, 4431024, 44310242, 443102421, 4022042200, none...
3056:
1, 11, 110, 1102, 11020, 110204, 1133000, 11330000, 132204314, 1322043140, none...
376:{\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{b^{k-i}}}\right\rfloor \equiv 0{\pmod {i}}}
1878:, it is not always possible to extend a polydivisible number in this way, and as
5862:
5737:
5542:
5006:
4897:
4852:
4847:
4597:
4504:
4403:
4232:
4207:
4182:
138:
122:
24:
5999:
5980:
5276:
4887:
4105:
3941:
4110:
3238:
207, 222, 225, 228, 243, 246, 249, 261, 264, 267, 282, 285, 288... (sequence
6147:
5605:
5532:
5524:
5329:
5243:
4361:
5706:
6092:
5711:
5370:
2536:
1296:
1281:
1141:
The following table lists maximum polydivisible numbers for some bases
1648:
digits, then it can be extended to create a polydivisible number with
2467:
2398:
2329:
2267:
1263:
1245:
1227:
1209:
393:
6363:
1334:
6048:
5997:
5961:
5925:
5889:
5849:
5474:
5363:
5089:
5004:
4959:
4836:
4526:
4473:
4425:
4359:
4311:
4249:
4153:
4114:
3674:"""Find polydivisible number."""
18:
392:
For example, 10801 is a seven-digit polydivisible number in
4068:
3309:
3286:
3263:
3240:
2166:{\displaystyle \Sigma (b)\approx {\frac {b-1}{b}}(e^{b}-1)}
2088:{\displaystyle F_{b}(n)\approx (b-1){\frac {b^{n-1}}{n!}}.}
1200:
1183:
1133:, there are only a finite number of polydivisible numbers.
4015:
The
Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers
1971:
different ways. This leads to the following estimate for
4106:
YouTube - a pandigital number that is also polydivisible
3908:
Other problems involving polydivisible numbers include:
3635:
The example below searches for polydivisible numbers in
1490:
determines the number of polydivisible numbers that has
2591:{\displaystyle {\frac {9}{10}}(e^{10}-1)\approx 19823}
1924:
digits can be extended to a polydivisible number with
3015:
2843:
2617:
2549:
2522:{\displaystyle {\frac {4}{5}}(e^{5}-1)\approx 117.93}
2480:
2453:{\displaystyle {\frac {3}{4}}(e^{4}-1)\approx 40.199}
2411:
2384:{\displaystyle {\frac {2}{3}}(e^{3}-1)\approx 12.725}
2342:
2280:
2237:
2206:
2185:
2107:
2016:
1977:
1950:
1930:
1904:
1884:
1864:
1844:
1824:
1798:
1778:
1758:
1738:
1697:
1674:
1654:
1628:
1608:
1588:
1565:
1559:
is the total number of polydivisible numbers in base
1536:
1516:
1496:
1460:
1440:
1401:
1365:
1345:
1161:
1119:
1011:
910:
809:
708:
607:
506:
405:
319:
284:
215:
195:
6406:
6362:
6323:
6272:
6206:
6130:
6080:
5821:
5775:
5735:
5686:
5660:
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3048:The smallest base 5 polydivisible numbers with
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4126:
3989:Things to Make and Do in the Fourth Dimension
8:
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7:
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1137:Maximum polydivisible number
5564:Multiplicative digital root
262:be the number of digits in
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4045:A Number for your Thoughts
4041:"How Do These Series End?"
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1388:{\displaystyle F_{10}(n)}
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5254:Euler's totient function
5038:EulerâJacobi pseudoprime
4313:Other polynomial numbers
4028:– via Google Books
4001:– via Google Books
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4943:WedderburnâEtherington
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2670:Polydivisible numbers
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1530:, and the function
1339:Graph of number of
1113:For any given base
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170:is a multiple of 3.
163:is a multiple of 2.
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