20:
467:
194:
740:
298:
851:
64:
756:
628:
623:
971:
616:
555:
280:
227:
751:
247:
483:
are non-negative functions. A peculiarity of terminology is that the 'negative part' is neither negative nor a part (like the imaginary part of a
462:{\displaystyle f^{-}(x)=\max(-f(x),0)=-\min(f(x),0)={\begin{cases}-f(x)&{\text{ if }}f(x)<0\\0&{\text{ otherwise}}\end{cases}}}
1084:
1065:
1046:
1120:
927:
189:{\displaystyle f^{+}(x)=\max(f(x),0)={\begin{cases}f(x)&{\text{ if }}f(x)>0\\0&{\text{ otherwise.}}\end{cases}}}
19:
1013:
562:
511:
1001:
918:, being the sum of two measurable functions. The converse, though, does not necessarily hold: for example, taking
54:
1023:
735:{\displaystyle {\begin{aligned}f^{+}&={\frac {|f|+f}{2}}\\f^{-}&={\frac {|f|-f}{2}}.\end{aligned}}}
1018:
856:
58:
395:
125:
896:
199:
996:
for a real-valued function. Analogously to this decomposition of a function, one may decompose a
1080:
1061:
1042:
993:
867:
258:
205:
745:
997:
899:
484:
232:
1114:
879:
863:
1101:
50:
42:
855:
One may define the positive and negative part of any function with values in a
980:
620:
Using these two equations one may express the positive and negative parts as
1105:
846:{\displaystyle {\begin{aligned}f^{+}&=f\\f^{-}&=-f.\end{aligned}}}
992:
The positive part and negative part of a function are used to define the
989:
is not measurable, but its absolute value is, being a constant function.
902:
its positive and negative parts are. Therefore, if such a function
18:
1079:(2nd ed.). Providence, R.I.: American Mathematical Society.
455:
182:
930:
754:
626:
565:
514:
301:
261:
235:
208:
67:
1041:(Rev. ed.). Sudbury, MA: Jones and Bartlett.
965:
845:
734:
610:
549:
461:
274:
241:
221:
188:
1000:into positive and negative parts — see the
360:
324:
90:
1060:. Singapore; River Edge, NJ: World Scientific.
8:
1056:Hunter, John K; Nachtergaele, Bruno (2001).
1077:An introduction to measure and integration
950:
941:
929:
802:
763:
755:
753:
708:
700:
697:
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651:
648:
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625:
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566:
564:
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525:
513:
447:
415:
390:
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300:
266:
260:
234:
213:
207:
174:
142:
120:
72:
66:
908:is measurable, so is its absolute value
1039:Lebesgue integration on Euclidean space
966:{\displaystyle f=1_{V}-{\frac {1}{2}},}
16:Decomposition of real-valued functions
7:
889:, an extended real-valued function
229:is obtained by taking the graph of
744:Another representation, using the
487:is neither imaginary nor a part).
249:, chopping off the part under the
14:
611:{\displaystyle |f|=f^{+}+f^{-}.}
23:Positive and Negative Parts of
830:
818:
788:
776:
709:
701:
660:
652:
575:
567:
550:{\displaystyle f=f^{+}-f^{-}.}
429:
423:
410:
404:
384:
375:
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327:
318:
312:
156:
150:
137:
131:
114:
105:
99:
93:
84:
78:
1:
496:can be expressed in terms of
874:Measure-theoretic properties
866:is the positive part of the
1014:Rectifier (neural networks)
282:take the value zero there.
1137:
1002:Hahn decomposition theorem
61:is defined by the formula
1024:Real and imaginary parts
1121:Elementary mathematics
1075:Rana, Inder K (2002).
1019:Even and odd functions
967:
857:linearly ordered group
847:
736:
612:
551:
463:
276:
243:
223:
190:
38:
1037:Jones, Frank (2001).
968:
848:
737:
613:
552:
464:
277:
275:{\displaystyle f^{+}}
244:
224:
222:{\displaystyle f^{+}}
191:
22:
928:
752:
624:
563:
512:
299:
259:
233:
206:
65:
983:, it is clear that
255:-axis, and letting
963:
843:
841:
732:
730:
608:
547:
459:
454:
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239:
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186:
181:
39:
994:Lebesgue integral
958:
868:identity function
723:
674:
450:
418:
242:{\displaystyle f}
198:Intuitively, the
177:
145:
1128:
1090:
1071:
1058:Applied analysis
1052:
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978:
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193:
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187:
185:
184:
178:
176: otherwise.
175:
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77:
76:
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1135:
1131:
1130:
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1010:
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925:
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903:
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795:
794:
769:
759:
750:
749:
746:Iverson bracket
729:
728:
699:
690:
680:
677:
676:
650:
641:
631:
622:
621:
595:
582:
561:
560:
559:Also note that
534:
521:
510:
509:
503:
497:
491:
478:
472:
471:Note that both
453:
452:
449: otherwise
445:
439:
438:
413:
391:
302:
297:
296:
295:is defined as
290:
285:Similarly, the
262:
257:
256:
250:
231:
230:
209:
204:
203:
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33:
29:
25:
43:mathematics
1030:References
981:Vitali set
897:measurable
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862:The unit
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804:−
714:−
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601:−
540:−
532:−
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358:−
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308:−
1115:Category
1008:See also
878:Given a
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