7379:
2411:
1759:
4947:
6747:
5762:
5530:
5302:
4363:
3397:
2973:
4283:
3146:
5399:
3464:
1116:
4642:
3981:
968:
5587:
6740:
5843:
3296:
4737:
3750:
6214:
4141:
4088:
3694:
3570:
3517:
2884:
5641:
5464:
5347:
5236:
4518:
2732:
2687:
2342:
1342:
3070:
6733:
5895:
2300:
182:
633:
1653:
1600:
4433:
4402:
6093:
2765:
2645:
2608:
2495:
2087:
2054:
2021:
1872:
1835:
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1463:
714:
414:
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4803:
4770:
5673:
559:
527:
7268:
5961:
5049:
4217:
2179:
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1988:
1292:
1142:
1014:
889:
863:
440:
260:
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108:
6165:
6013:
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2368:
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495:
208:
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6065:
6039:
4685:
4591:
2800:
5922:
4008:
3910:
6133:
4476:
4184:
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3189:
3016:
2831:
1962:
6931:
6113:
5981:
5782:
5693:
5422:
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5166:
5146:
5123:
5103:
5083:
5022:
4990:
4970:
4823:
4453:
4161:
3883:
3863:
3843:
3823:
3799:
3779:
3641:
3594:
3316:
3245:
3225:
3166:
2993:
2904:
2575:
2555:
2535:
2515:
2265:
2245:
2222:
2202:
2153:
2133:
1939:
1915:
1895:
1802:
1782:
1503:
1483:
1426:
1406:
1382:
1362:
1262:
1242:
1222:
1202:
1182:
1162:
1034:
988:
834:
814:
794:
774:
754:
734:
677:
657:
468:
381:
361:
333:
313:
74:
54:
1658:
4828:
4288:
3325:
7094:
7221:
7076:
7052:
6870:
29:
5698:
5469:
5241:
894:
6607:
6573:
6539:
6509:
7408:
2913:
4222:
3075:
6944:
5352:
3402:
1043:
7033:
6924:
6696:
6669:
6642:
6475:
4596:
2451:
7303:
6794:
6240:
4996:(a class of spaces introduced by Grothendieck). They are also equal when both spaces are Fréchet with one of them being nuclear.
6948:
3915:
2647:
can always be linearly embedded as a dense vector subspace of some complete locally convex TVS, which is generally denoted by
2421:
6594:(1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [Topological Tensor Products and Nuclear Spaces].
5542:
7099:
6501:
5787:
3250:
7155:
6850:
4698:
3699:
7403:
7382:
7104:
7089:
6917:
6170:
4093:
4040:
3646:
3522:
3469:
2836:
7119:
6855:
5051:
be its continuous dual space. Alexander
Grothendieck characterized the strong dual and bidual for certain situations:
4695:
was interested in when these two topologies were identical. This is equivalent to the problem: Given a bounded subset
7364:
7124:
5595:
5427:
5310:
5199:
4481:
2695:
2650:
2305:
1305:
7318:
7242:
6893:
6789:
6756:
6246:
7359:
3021:
7175:
7109:
7211:
7012:
6819:
6814:
6235:
6226:
1838:
7084:
5858:
2270:
143:
7308:
6898:
6774:
599:
7339:
7283:
7247:
6591:
4692:
3194:
1605:
1552:
4407:
4376:
3319:
1918:
6527:
6070:
2737:
2617:
2580:
2467:
2059:
2026:
1993:
1844:
1807:
1512:
1435:
686:
386:
265:
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4742:
7322:
6840:
5646:
532:
5125:
500:
7288:
7226:
6940:
17:
7313:
7180:
6725:
6493:
5930:
5027:
443:
4189:
2158:
2092:
1967:
1271:
1121:
993:
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842:
419:
239:
213:
117:
87:
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5986:
4013:
2373:
2347:
564:
473:
187:
7293:
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6692:
6675:
6665:
6648:
6638:
6621:
6603:
6579:
6569:
6545:
6535:
6515:
6505:
6481:
6471:
4649:
4523:
7298:
7216:
7185:
7165:
7150:
7145:
7140:
6977:
6865:
6044:
6018:
4655:
4561:
3802:
2770:
2429:
1506:
6617:
5900:
3986:
3888:
7160:
7114:
7062:
7057:
7028:
6909:
6845:
6613:
6118:
5533:
1543:
1429:
6987:
1754:{\displaystyle u_{1}\otimes u_{2}:X_{1}\otimes _{\pi }X_{2}\to Y_{1}\otimes _{\pi }Y_{2}}
4942:{\displaystyle B_{1}\otimes B_{2}:=\{b_{1}\otimes b_{2}:b_{1}\in B_{1},b_{2}\in B_{2}\}}
4458:
4166:
3599:
3193:
The following fundamental result in the theory of topological tensor products is due to
3171:
2998:
2813:
1944:
7349:
7201:
7002:
6784:
6098:
5966:
5767:
5678:
5407:
5175:
5151:
5131:
5108:
5088:
5068:
5007:
4975:
4955:
4808:
4438:
4146:
3868:
3848:
3828:
3808:
3784:
3764:
3626:
3579:
3301:
3230:
3210:
3151:
2978:
2889:
2560:
2540:
2520:
2500:
2250:
2230:
2207:
2187:
2138:
2118:
1924:
1900:
1880:
1787:
1767:
1488:
1468:
1411:
1391:
1367:
1347:
1247:
1227:
1207:
1187:
1167:
1147:
1019:
973:
819:
799:
779:
759:
739:
719:
662:
642:
453:
366:
346:
318:
298:
111:
59:
39:
33:
7397:
7354:
7278:
7007:
6992:
6982:
6860:
6779:
6760:
3573:
7344:
6997:
6967:
6504:. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer.
2225:
1037:
416:
is the unique locally convex topological vector space with underlying vector space
7273:
7263:
7170:
6972:
6877:
21:
7206:
7046:
7042:
7038:
6806:
6720:
1764:
In general, the projective tensor product does not respect subspaces (e.g. if
6583:
6549:
6519:
383:
be locally convex topological vector spaces. Their projective tensor product
6485:
6706:
6652:
6625:
6566:
The metric theory of tensor products : Grothendieck's résumé revisited
5757:{\displaystyle N_{b}^{\prime }{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y_{b}^{\prime },}
1144:
is generated by the collection of such tensor products of the seminorms on
6679:
5525:{\displaystyle N_{b}^{\prime }{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y_{b}^{\prime }}
5297:{\displaystyle N_{b}^{\prime }{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y_{b}^{\prime }}
5925:
5169:
4993:
3623:
The next theorem shows that it is possible to make the representation of
680:
4358:{\displaystyle z=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}x_{i}\otimes y_{i}.}
140:
a locally convex topological vector space such that the canonical map
3392:{\displaystyle z=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}x_{i}\otimes y_{i}}
1302:
Throughout, all spaces are assumed to be locally convex. The symbol
2968:{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }p\left(x_{i}\right)<\infty }
6249: – Tensor product constructions for topological vector spaces
4278:{\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }\in K_{1}}
6243: – Tensor product space endowed with a special inner product
3141:{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }}
6913:
6729:
6385:
6383:
5394:{\displaystyle N{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y^{\prime \prime }}
3459:{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }|\lambda _{i}|<\infty ,}
1111:{\displaystyle \left\{x\otimes y:p(x)\leq 1,q(y)\leq 1\right\}}
6370:
6368:
4637:{\displaystyle {\mathfrak {B}}_{X}\times {\mathfrak {B}}_{Y},}
2404:
5873:
5816:
5746:
5712:
5660:
5617:
5574:
5556:
5517:
5483:
5386:
5383:
5289:
5255:
5036:
2805:
497:
is the canonical map from the vector space of bilinear maps
4186:
respectively, converging to the origin such that for every
2806:
Grothendieck's representation of elements in the completion
1344:
denotes the completion of the projective tensor product of
1224:
are normed spaces, this definition applied to the norms on
4952:
Grothendieck proved that these topologies are equal when
3976:{\displaystyle U\otimes V:=\{u\otimes v:u\in U,v\in V\}.}
963:{\displaystyle (p\otimes q)(b)=\inf _{r>0,\,b\in rW}r}
36:. Namely, given locally convex topological vector spaces
32:
is a natural topological vector space structure on their
6637:(in French). Providence: American Mathematical Society.
6292:
6290:
6265:
6263:
5172:. Then, denoting strong dual spaces with a subscripted
2433:
6635:
Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires
6229: – binary operation on topological vector spaces
6173:
6141:
6121:
6101:
6073:
6047:
6021:
5989:
5969:
5933:
5903:
5861:
5790:
5770:
5701:
5681:
5649:
5598:
5582:{\displaystyle N_{b}^{\prime }\times Y_{b}^{\prime }}
5545:
5472:
5430:
5410:
5355:
5313:
5244:
5202:
5178:
5154:
5134:
5111:
5091:
5071:
5030:
5024:
be a locally convex topological vector space and let
5010:
4978:
4958:
4831:
4811:
4778:
4745:
4701:
4658:
4599:
4564:
4526:
4484:
4461:
4441:
4410:
4379:
4291:
4225:
4192:
4169:
4149:
4096:
4043:
4016:
3989:
3918:
3891:
3871:
3851:
3831:
3811:
3787:
3767:
3702:
3649:
3629:
3602:
3582:
3525:
3472:
3405:
3328:
3304:
3253:
3233:
3213:
3174:
3154:
3078:
3024:
3001:
2981:
2916:
2892:
2839:
2816:
2773:
2740:
2698:
2653:
2620:
2583:
2563:
2543:
2523:
2503:
2470:
2376:
2350:
2308:
2273:
2253:
2233:
2210:
2190:
2161:
2141:
2121:
2095:
2062:
2029:
1996:
1970:
1947:
1927:
1903:
1883:
1847:
1810:
1790:
1770:
1661:
1608:
1555:
1515:
1491:
1471:
1438:
1414:
1394:
1370:
1350:
1308:
1274:
1250:
1230:
1210:
1190:
1170:
1150:
1124:
1046:
1022:
996:
976:
897:
871:
845:
822:
802:
782:
762:
742:
722:
689:
665:
645:
602:
567:
535:
503:
476:
456:
422:
389:
369:
349:
321:
301:
268:
242:
216:
190:
146:
120:
90:
62:
42:
6689:
Schwartz spaces, nuclear spaces, and tensor products
6532:
Topological Vector Spaces, Distributions and
Kernels
6331:
6329:
6231:
Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
5838:{\displaystyle L_{b}\left(X_{b}^{\prime },Y\right).}
3291:{\displaystyle z\in X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y.}
7332:
7256:
7235:
7194:
7133:
7075:
7021:
6956:
6886:
6833:
6805:
6767:
6596:
Memoirs of the
American Mathematical Society Series
6015:be the completion of the space of simple functions
4732:{\displaystyle B\subseteq X{\widehat {\otimes }}Y,}
3912:be a compact subset of the convex balanced hull of
3845:) be a balanced open neighborhood of the origin in
3745:{\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }.}
1841:topology than the subspace topology inherited from
236:) is continuous. When equipped with this topology,
7269:Spectral theory of ordinary differential equations
6568:. Providence, R.I: American Mathematical Society.
6209:{\displaystyle L^{1}{\widehat {\otimes }}_{\pi }E}
6208:
6159:
6127:
6107:
6087:
6059:
6033:
6007:
5975:
5955:
5916:
5889:
5837:
5776:
5756:
5687:
5667:
5635:
5581:
5524:
5458:
5416:
5393:
5341:
5296:
5230:
5184:
5160:
5140:
5117:
5097:
5077:
5043:
5016:
4984:
4964:
4941:
4817:
4797:
4764:
4731:
4679:
4636:
4585:
4550:
4512:
4470:
4447:
4427:
4396:
4357:
4277:
4211:
4178:
4155:
4136:{\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
4135:
4083:{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
4082:
4029:
4002:
3975:
3904:
3877:
3857:
3837:
3817:
3793:
3773:
3744:
3689:{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
3688:
3635:
3611:
3588:
3565:{\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
3564:
3512:{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
3511:
3458:
3391:
3310:
3290:
3239:
3219:
3183:
3160:
3140:
3064:
3010:
2987:
2967:
2898:
2879:{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
2878:
2825:
2794:
2759:
2726:
2681:
2639:
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1136:
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728:
716:is induced by seminorms constructed from those on
708:
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132:
102:
68:
48:
5105:be locally convex topological vector spaces with
4478:respectively. Since the continuous dual space of
2767:, namely, the space of continuous bilinear forms
2577:are both infinite-dimensional Banach spaces then
6468:Introduction to tensor products of Banach spaces
2155:are complemented by projections of norm 1, then
926:
450:For any locally convex topological vector space
6067:whose pointwise norms, considered as functions
5695:. Then, its strong dual can be identified with
5636:{\displaystyle L\left(X_{b}^{\prime },Y\right)}
5168:are Fréchet spaces, or else that they are both
4593:the topology of uniform convergence on sets in
5459:{\displaystyle N{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}
5342:{\displaystyle N{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}
5231:{\displaystyle N{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}
4513:{\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}
4435:denote the families of all bounded subsets of
2727:{\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}
2682:{\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}
2344:if and only if every bounded bilinear form on
2337:{\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}
1337:{\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}
6925:
6741:
6602:. Providence: American Mathematical Society.
6449:
6437:
6425:
6401:
6389:
6374:
5539:Every separately continuous bilinear form on
8:
4936:
4858:
4688:
3967:
3931:
3065:{\displaystyle x=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}
295:and called the projective tensor product of
5055:
3755:
3201:
6960:
6932:
6918:
6910:
6748:
6734:
6726:
4520:is the space of continuous bilinear forms
3247:be metrizable locally convex TVSs and let
2181:is complemented by a projection of norm 1.
6197:
6186:
6185:
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5706:
5700:
5680:
5659:
5654:
5648:
5643:be the space of bounded linear maps from
5616:
5611:
5597:
5573:
5568:
5555:
5550:
5544:
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4904:
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4878:
4865:
4849:
4836:
4830:
4825:is a subset of the closed convex hull of
4810:
4783:
4777:
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3360:
3350:
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3303:
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3232:
3212:
3173:
3153:
3132:
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2452:Learn how and when to remove this message
2375:
2370:extends to a continuous bilinear form on
2349:
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1470:
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1369:
1349:
1325:
1314:
1313:
1307:
1294:which generates the projective topology.
1273:
1249:
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1209:
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1169:
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300:
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267:
241:
215:
189:
145:
119:
89:
61:
41:
7222:Group algebra of a locally compact group
2428:Relevant discussion may be found on the
2056:is equivalent to the projective norm on
1655:, their tensor product (as linear maps)
1549:For any two continuous linear operators
30:locally convex topological vector spaces
6259:
5890:{\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}
2295:{\displaystyle E{\widehat {\otimes }}F}
561:, then the image of the restriction of
177:{\displaystyle (x,y)\mapsto x\otimes y}
6413:
6320:
6308:
6296:
6281:
6269:
628:{\displaystyle X\otimes _{\pi }Y\to Z}
6664:. Berlin, New York: Springer-Verlag.
6534:. Mineola, N.Y.: Dover Publications.
1990:is a complemented vector subspace of
7:
6691:. Berlin New York: Springer-Verlag.
6359:
6347:
6335:
4648:. This topology is coarser than the
2810:In a Hausdorff locally convex space
1648:{\displaystyle u_{2}:X_{2}\to Y_{2}}
1595:{\displaystyle u_{1}:X_{1}\to Y_{1}}
6633:Grothendieck, Grothendieck (1966).
6041:, modulo the subspace of functions
4992:are both Banach spaces or both are
4620:
4603:
4428:{\displaystyle {\mathfrak {B}}_{Y}}
4414:
4397:{\displaystyle {\mathfrak {B}}_{X}}
4383:
529:to the vector space of linear maps
4646:topology of bi-bounded convergence
4369:Topology of bi-bounded convergence
4314:
4257:
4128:
4075:
3734:
3681:
3557:
3504:
3450:
3422:
3351:
3133:
3047:
2962:
2933:
2871:
569:
478:
14:
6088:{\displaystyle X\to \mathbb {R} }
2760:{\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}
2640:{\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}
2603:{\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}
2490:{\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}
2432:. Please help Knowledge (XXG) by
2082:{\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}
2049:{\displaystyle E\otimes _{\pi }F}
2016:{\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}
1867:{\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}
1830:{\displaystyle Z\otimes _{\pi }Y}
1535:{\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}
1458:{\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}
709:{\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}
409:{\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}
288:{\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}
7378:
7377:
7304:Topological quantum field theory
6241:Tensor product of Hilbert spaces
4798:{\displaystyle B_{2}\subseteq Y}
4765:{\displaystyle B_{1}\subseteq X}
3072:if the sequence of partial sums
2409:
6167:is isometrically isomorphic to
5668:{\displaystyle X_{b}^{\prime }}
4739:do there exist bounded subsets
2424:of non-free copyrighted sources
554:{\displaystyle X\otimes Y\to Z}
6077:
6051:
6025:
5950:
5944:
5884:
5862:
4674:
4662:
4580:
4568:
4542:
4530:
3983:There exists a compact subset
3443:
3428:
2975:for every continuous seminorm
2789:
2777:
2497:is not complete, even if both
1718:
1632:
1579:
1094:
1088:
1073:
1067:
919:
913:
910:
898:
619:
592:bilinear maps is the space of
545:
522:{\displaystyle X\times Y\to Z}
513:
162:
159:
147:
1:
7100:Uniform boundedness principle
6662:Nuclear locally convex spaces
6470:. London New York: Springer.
3643:independent of the sequences
2692:The continuous dual space of
1118:. The projective topology on
6496:; Wolff, Manfred P. (1999).
5983:be a real Banach space. Let
7409:Topological tensor products
6757:Topological tensor products
5956:{\displaystyle L^{1}(\mu )}
5044:{\displaystyle X^{\prime }}
2224:be vector subspaces of the
2089:restricted to the subspace
2023:and the projective norm on
7425:
7243:Invariant subspace problem
6894:Grothendieck trace theorem
6790:Topological tensor product
6660:Pietsch, Albrecht (1972).
6247:Topological tensor product
4212:{\displaystyle z\in K_{0}}
2537:are complete (in fact, if
2174:{\displaystyle E\otimes F}
2108:{\displaystyle E\otimes F}
1983:{\displaystyle E\otimes F}
1287:{\displaystyle X\otimes Y}
1137:{\displaystyle X\otimes Y}
1009:{\displaystyle X\otimes Y}
884:{\displaystyle X\otimes Y}
858:{\displaystyle p\otimes q}
435:{\displaystyle X\otimes Y}
255:{\displaystyle X\otimes Y}
229:{\displaystyle X\otimes Y}
133:{\displaystyle X\otimes Y}
103:{\displaystyle X\otimes Y}
7373:
6963:
6825:Projective tensor product
6498:Topological Vector Spaces
6450:Schaefer & Wolff 1999
6438:Schaefer & Wolff 1999
6426:Schaefer & Wolff 1999
6402:Schaefer & Wolff 1999
6390:Schaefer & Wolff 1999
6375:Schaefer & Wolff 1999
6160:{\displaystyle L_{E}^{1}}
6008:{\displaystyle L_{E}^{1}}
4644:which is also called the
4030:{\displaystyle \ell ^{1}}
2389:{\displaystyle X\times Y}
2363:{\displaystyle E\times F}
1264:gives a norm, called the
581:{\displaystyle \Phi _{Z}}
490:{\displaystyle \Phi _{Z}}
203:{\displaystyle X\times Y}
26:projective tensor product
7212:Spectrum of a C*-algebra
6851:Hilbert–Schmidt operator
6820:Injective tensor product
6815:Inductive tensor product
6721:Nuclear space at ncatlab
6236:Injective tensor product
6227:Inductive tensor product
5784:is reflexive then so is
1784:is a vector subspace of
7309:Noncommutative geometry
6899:Schwartz kernel theorem
6775:Auxiliary normed spaces
6592:Grothendieck, Alexander
5349:can be identified with
5238:can be identified with
4551:{\displaystyle B(X,Y),}
2734:is the same as that of
1040:convex hull of the set
639:When the topologies of
7365:Tomita–Takesaki theory
7340:Approximation property
7284:Calculus of variations
6466:Ryan, Raymond (2002).
6210:
6161:
6129:
6109:
6089:
6061:
6060:{\displaystyle X\to E}
6035:
6034:{\displaystyle X\to E}
6009:
5977:
5957:
5918:
5891:
5839:
5778:
5758:
5689:
5669:
5637:
5583:
5526:
5460:
5418:
5395:
5343:
5298:
5232:
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5162:
5142:
5119:
5099:
5079:
5045:
5018:
5000:Strong dual and bidual
4986:
4966:
4943:
4819:
4799:
4766:
4733:
4693:Alexander Grothendieck
4681:
4680:{\displaystyle B(X,Y)}
4638:
4587:
4586:{\displaystyle B(X,Y)}
4552:
4514:
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4398:
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3977:
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3795:
3775:
3746:
3690:
3637:
3613:
3590:
3566:
3513:
3460:
3426:
3393:
3355:
3312:
3292:
3241:
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3195:Alexander Grothendieck
3185:
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3142:
3105:
3066:
3051:
3012:
2989:
2969:
2937:
2900:
2880:
2827:
2796:
2795:{\displaystyle B(X,Y)}
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6494:Schaefer, Helmut H.
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6416:, pp. 459–460.
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