715:
735:
725:
751:
771:
761:
614:
253:
193:
609:{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a^{k}}{(q;q)_{n}}}*q^{k+1 \choose 2}*y_{m}*(q^{k};a;q)*y_{n}*(q^{k};a;q)\right)=(q;q)_{n}*(-aq^{n};q)_{\infty }{\frac {a^{n}*q^{n+1 \choose 2}}{1+aq^{2n}}}\delta _{mn}}
696:
53:
241:
937:
891:
900:
864:
826:
622:
927:
795:
Roelof
Koekoek, Peter Lesky Rene Swarttouw, Hypergeometric Orthogonal Polynomials and their q-Analogues, p526 Springer 2010
44:
818:
714:
188:{\displaystyle y_{n}(x;a;q)=\;{}_{2}\phi _{1}\left({\begin{matrix}q^{-n}&-aq^{n}\\0\end{matrix}};q,qx\right).}
734:
724:
750:
770:
760:
24:
699:
932:
202:
896:
886:
860:
822:
852:
910:
874:
836:
906:
870:
848:
832:
881:
Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010),
921:
28:
817:, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 96 (2nd ed.),
856:
31:. Roelof Koekoek, Peter A. Lesky, and René F. Swarttouw (
889:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.),
769:
759:
749:
733:
723:
713:
843:
Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F. (2010),
691:{\displaystyle (q;q)_{n}{\text{ and }}(-aq^{n};q)_{\infty }}
845:
Hypergeometric orthogonal polynomials and their q-analogues
882:
847:, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York:
117:
35:, 14) give a detailed list of their properties.
625:
256:
205:
56:
32:
690:
608:
235:
187:
199:Also known as alternative q-Charlier polynomials
559:
538:
352:
331:
8:
718:QBessel function abs complex 3D Maple plot
91:
738:QBessel function Re complex 3D Maple plot
728:QBessel function Im complex 3D Maple plot
682:
666:
648:
642:
624:
597:
581:
558:
537:
535:
522:
515:
509:
493:
471:
426:
410:
382:
366:
351:
330:
328:
312:
289:
283:
272:
261:
255:
204:
145:
124:
116:
105:
95:
93:
61:
55:
892:NIST Handbook of Mathematical Functions
788:
754:QBessel function abs density Maple plot
43:The polynomials are given in terms of
813:Gasper, George; Rahman, Mizan (2004),
774:QBessel function Re density Maple plot
764:QBessel function Im density Maple plot
23:are a family of basic hypergeometric
7:
683:
542:
510:
335:
273:
14:
938:Special hypergeometric functions
895:, Cambridge University Press,
679:
653:
639:
626:
506:
480:
468:
455:
444:
419:
400:
375:
309:
296:
227:
209:
85:
67:
45:basic hypergeometric functions
1:
815:Basic hypergeometric series
954:
819:Cambridge University Press
857:10.1007/978-3-642-05014-5
236:{\displaystyle K(x;a;q).}
883:"Orthogonal Polynomials"
928:Orthogonal polynomials
775:
765:
755:
739:
729:
719:
692:
610:
277:
237:
189:
25:orthogonal polynomials
773:
763:
753:
737:
727:
717:
693:
611:
257:
238:
190:
700:q-Pochhammer symbols
623:
254:
203:
54:
16:In mathematics, the
21:-Bessel polynomials
887:Olver, Frank W. J.
776:
766:
756:
740:
730:
720:
688:
606:
233:
185:
160:
902:978-0-521-19225-5
866:978-3-642-05013-8
828:978-0-521-83357-8
780:
779:
744:
743:
651:
591:
557:
350:
319:
945:
913:
877:
839:
805:
802:
796:
793:
746:
745:
710:
709:
697:
695:
694:
689:
687:
686:
671:
670:
652:
649:
647:
646:
615:
613:
612:
607:
605:
604:
592:
590:
589:
588:
566:
565:
564:
563:
562:
553:
541:
527:
526:
516:
514:
513:
498:
497:
476:
475:
451:
447:
431:
430:
415:
414:
387:
386:
371:
370:
358:
357:
356:
355:
346:
334:
320:
318:
317:
316:
294:
293:
284:
276:
271:
242:
240:
239:
234:
194:
192:
191:
186:
181:
177:
161:
150:
149:
132:
131:
110:
109:
100:
99:
94:
66:
65:
953:
952:
948:
947:
946:
944:
943:
942:
918:
917:
903:
880:
867:
849:Springer-Verlag
842:
829:
812:
809:
808:
803:
799:
794:
790:
785:
708:
678:
662:
650: and
638:
621:
620:
593:
577:
567:
543:
536:
531:
518:
517:
505:
489:
467:
422:
406:
378:
362:
336:
329:
324:
308:
295:
285:
282:
278:
252:
251:
248:
201:
200:
198:
159:
158:
152:
151:
141:
133:
120:
115:
111:
101:
92:
57:
52:
51:
41:
12:
11:
5:
951:
949:
941:
940:
935:
930:
920:
919:
916:
915:
901:
878:
865:
840:
827:
807:
806:
797:
787:
786:
784:
781:
778:
777:
767:
757:
742:
741:
731:
721:
707:
704:
685:
681:
677:
674:
669:
665:
661:
658:
655:
645:
641:
637:
634:
631:
628:
617:
616:
603:
600:
596:
587:
584:
580:
576:
573:
570:
561:
556:
552:
549:
546:
540:
534:
530:
525:
521:
512:
508:
504:
501:
496:
492:
488:
485:
482:
479:
474:
470:
466:
463:
460:
457:
454:
450:
446:
443:
440:
437:
434:
429:
425:
421:
418:
413:
409:
405:
402:
399:
396:
393:
390:
385:
381:
377:
374:
369:
365:
361:
354:
349:
345:
342:
339:
333:
327:
323:
315:
311:
307:
304:
301:
298:
292:
288:
281:
275:
270:
267:
264:
260:
247:
244:
232:
229:
226:
223:
220:
217:
214:
211:
208:
196:
195:
184:
180:
176:
173:
170:
167:
164:
157:
154:
153:
148:
144:
140:
137:
134:
130:
127:
123:
119:
118:
114:
108:
104:
98:
90:
87:
84:
81:
78:
75:
72:
69:
64:
60:
40:
37:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
950:
939:
936:
934:
931:
929:
926:
925:
923:
912:
908:
904:
898:
894:
893:
888:
884:
879:
876:
872:
868:
862:
858:
854:
850:
846:
841:
838:
834:
830:
824:
820:
816:
811:
810:
801:
798:
792:
789:
782:
772:
768:
762:
758:
752:
748:
747:
736:
732:
726:
722:
716:
712:
711:
705:
703:
701:
675:
672:
667:
663:
659:
656:
643:
635:
632:
629:
601:
598:
594:
585:
582:
578:
574:
571:
568:
554:
550:
547:
544:
532:
528:
523:
519:
502:
499:
494:
490:
486:
483:
477:
472:
464:
461:
458:
452:
448:
441:
438:
435:
432:
427:
423:
416:
411:
407:
403:
397:
394:
391:
388:
383:
379:
372:
367:
363:
359:
347:
343:
340:
337:
325:
321:
313:
305:
302:
299:
290:
286:
279:
268:
265:
262:
258:
250:
249:
246:Orthogonality
245:
243:
230:
224:
221:
218:
215:
212:
206:
182:
178:
174:
171:
168:
165:
162:
155:
146:
142:
138:
135:
128:
125:
121:
112:
106:
102:
96:
88:
82:
79:
76:
73:
70:
62:
58:
50:
49:
48:
46:
38:
36:
34:
30:
27:in the basic
26:
22:
20:
890:
844:
814:
804:Roelof p527
800:
791:
618:
197:
42:
29:Askey scheme
18:
17:
15:
922:Categories
783:References
39:Definition
933:Q-analogs
684:∞
657:−
595:δ
529:∗
511:∞
484:−
478:∗
417:∗
404:∗
373:∗
360:∗
322:∗
274:∞
259:∑
136:−
126:−
103:ϕ
911:2723248
875:2656096
837:2128719
706:Gallery
909:
899:
873:
863:
835:
825:
619:where
885:, in
47:by ：
897:ISBN
861:ISBN
823:ISBN
698:are
33:2010
853:doi
924::
907:MR
905:,
871:MR
869:,
859:,
851:,
833:MR
831:,
821:,
702:.
914:.
855::
680:)
676:q
673:;
668:n
664:q
660:a
654:(
644:n
640:)
636:q
633:;
630:q
627:(
602:n
599:m
586:n
583:2
579:q
575:a
572:+
569:1
560:)
555:2
551:1
548:+
545:n
539:(
533:q
524:n
520:a
507:)
503:q
500:;
495:n
491:q
487:a
481:(
473:n
469:)
465:q
462:;
459:q
456:(
453:=
449:)
445:)
442:q
439:;
436:a
433:;
428:k
424:q
420:(
412:n
408:y
401:)
398:q
395:;
392:a
389:;
384:k
380:q
376:(
368:m
364:y
353:)
348:2
344:1
341:+
338:k
332:(
326:q
314:n
310:)
306:q
303:;
300:q
297:(
291:k
287:a
280:(
269:0
266:=
263:k
231:.
228:)
225:q
222:;
219:a
216:;
213:x
210:(
207:K
183:.
179:)
175:x
172:q
169:,
166:q
163:;
156:0
147:n
143:q
139:a
129:n
122:q
113:(
107:1
97:2
89:=
86:)
83:q
80:;
77:a
74:;
71:x
68:(
63:n
59:y
19:q
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
