1664:
1354:
1369:
1861:
1066:
1055:
228:
666:
1659:{\displaystyle (1+x)(1+qx)\cdots \left(1+q^{m+n-1}x\right)=\left(\sum _{i}q^{\frac {i(i-1)}{2}}{\binom {m}{i}}_{\!\!q}x^{i}\right)\cdot \left(\sum _{i}q^{mi+{\frac {i(i-1)}{2}}}{\binom {n}{i}}_{\!\!q}x^{i}\right).}
449:
1675:
854:
1349:{\displaystyle (1+x)(1+qx)\cdots \left(1+q^{m+n-1}x\right)=\left((1+x)\cdots (1+q^{m-1}x)\right)\left(\left(1+(q^{m}x)\right)\left(1+q(q^{m}x)\right)\cdots \left(1+q^{n-1}(q^{m}x)\right)\right)}
869:
60:
1948:
753:
332:
494:
1884:
510:
340:
2058:
1856:{\displaystyle \sum _{k}\sum _{j}\left(q^{j(m-k+j)+{\frac {k(k-1)}{2}}}{\binom {m}{k-j}}_{\!\!q}{\binom {n}{j}}_{\!\!q}\right)x^{k}.}
2159:
765:
2050:
2042:
1050:{\displaystyle (1+x)(1+qx)\cdots \left(1+q^{m+n-1}x\right)=\sum _{k}q^{\frac {k(k-1)}{2}}{\binom {m+n}{k}}_{\!\!q}x^{k}.}
44:
223:{\displaystyle {\binom {m+n}{k}}_{\!\!q}=\sum _{j}{\binom {m}{k-j}}_{\!\!q}{\binom {n}{j}}_{\!\!q}q^{j(m-k+j)}.}
2149:
1959:
280:-Vandermonde identity can be rewritten in a number of ways. In the conventions common in applications to
48:
1892:
697:
2154:
2126:
2096:
2073:
2007:
685:
295:
2054:
2046:
2038:
2106:
469:
2118:
1869:
2143:
281:
26:
2122:
755:
in two different ways. Following
Stanley, we can tweak this proof to prove the
22:
2110:
2087:
Victor J. W. Guo (2008). "Bijective Proofs of Gould's and Rothe's
Identities".
661:{\displaystyle B_{q}(m+n,k)=q^{nk}\sum _{j}q^{-(m+n)j}B_{q}(m,k-j)B_{q}(n,j).}
37:
2011:
694:
One standard proof of the ChuâVandermonde identity is to expand the product
2064:
Gaurav
Bhatnagar (2011). "In Praise of an Elementary Identity of Euler".
2131:
680:) ChuâVandermonde identity, there are several possible proofs of the
1889:
This argument may also be phrased in terms of expanding the product
1669:
Multiplying this latter product out and combining like terms gives
2101:
2078:
444:{\displaystyle B_{q}(n,k)=q^{-k(n-k)}{\binom {n}{k}}_{\!\!q^{2}}.}
2125:(2003). "Lecture Hall Theorems, q-series and Truncated Objects".
759:-Vandermonde identity, as well. First, observe that the product
241:-binomial coefficients on the right side are nonzero, that is,
2037:, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983,
849:{\displaystyle (1+x)(1+qx)\cdots \left(1+q^{m+n-1}x\right)}
233:
The nonzero contributions to this sum come from values of
1359:
and we may expand both subproducts separately using the
1886:
between the two expressions yields the desired result.
1895:
1872:
1678:
1372:
1069:
872:
768:
700:
684:-Vandermonde identity. The following proof uses the
513:
472:
454:
In particular, it is the unique shift of the "usual"
343:
298:
63:
1942:
1878:
1855:
1658:
1348:
1049:
848:
747:
660:
488:
443:
326:
222:
1829:
1828:
1821:
1808:
1798:
1797:
1790:
1769:
1632:
1631:
1624:
1611:
1525:
1524:
1517:
1504:
1028:
1027:
1020:
999:
504:-Vandermonde identity can be written in the form
425:
424:
417:
404:
180:
179:
172:
159:
149:
148:
141:
120:
97:
96:
89:
68:
292:-binomial coefficient, which we denote here by
16:A q-analogue of the ChuâVandermonde identity.
8:
2035:q-Hypergeometric Functions and Applications
2130:
2100:
2077:
1934:
1912:
1894:
1871:
1844:
1827:
1820:
1807:
1805:
1796:
1789:
1768:
1766:
1736:
1708:
1693:
1683:
1677:
1642:
1630:
1623:
1610:
1608:
1578:
1568:
1558:
1535:
1523:
1516:
1503:
1501:
1472:
1462:
1424:
1371:
1324:
1305:
1270:
1232:
1186:
1121:
1068:
1038:
1026:
1019:
998:
996:
967:
957:
924:
871:
820:
767:
739:
717:
699:
634:
603:
575:
565:
552:
518:
512:
477:
471:
430:
423:
416:
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401:
376:
348:
342:
303:
297:
190:
178:
171:
158:
156:
147:
140:
119:
117:
110:
95:
88:
67:
65:
62:
1962:(for example, a pair of matrices) that "
1983:
1993:, Solution to exercise 1.100, p. 188.
462:such that the result is symmetric in
288:-binomial coefficient is used. This
7:
458:-binomial coefficient by a power of
2066:Electronic Journal of Combinatorics
2013:Enumerative Combinatorics, Volume 1
1943:{\displaystyle (A+B)^{m}(A+B)^{n}}
1812:
1773:
1615:
1508:
1003:
748:{\displaystyle (1+x)^{m}(1+x)^{n}}
408:
163:
124:
72:
14:
1966:-commute," that is, that satisfy
1363:-binomial theorem. This yields
47:. Using standard notation for
1931:
1918:
1909:
1896:
1754:
1742:
1730:
1712:
1596:
1584:
1490:
1478:
1403:
1388:
1385:
1373:
1333:
1317:
1279:
1263:
1241:
1225:
1201:
1173:
1167:
1155:
1100:
1085:
1082:
1070:
985:
973:
903:
888:
885:
873:
799:
784:
781:
769:
736:
723:
714:
701:
652:
640:
627:
609:
591:
579:
542:
524:
395:
383:
366:
354:
321:
309:
212:
194:
1:
1950:in two different ways, where
1060:Less obviously, we can write
1866:Finally, equating powers of
500:-binomial coefficient, the
54:, the identity states that
2176:
2111:10.1016/j.disc.2007.04.020
327:{\displaystyle B_{q}(n,k)}
1990:
45:ChuâVandermonde identity
2160:Mathematical identities
859:can be expanded by the
1944:
1880:
1857:
1660:
1350:
1051:
850:
749:
662:
490:
489:{\displaystyle q^{-1}}
445:
328:
224:
52:-binomial coefficients
1945:
1881:
1858:
1661:
1351:
1052:
863:-binomial theorem as
851:
750:
663:
491:
446:
329:
225:
34:-Vandermonde identity
2089:Discrete Mathematics
1893:
1870:
1676:
1370:
1067:
870:
766:
698:
511:
470:
341:
296:
61:
2033:Exton, H. (1983),
2008:Richard P. Stanley
1940:
1876:
1853:
1698:
1688:
1656:
1563:
1467:
1346:
1047:
962:
846:
745:
658:
570:
486:
441:
324:
272:As is typical for
220:
115:
25:, in the field of
1879:{\displaystyle x}
1819:
1788:
1761:
1689:
1679:
1622:
1603:
1554:
1515:
1497:
1458:
1018:
992:
953:
689:-binomial theorem
676:As with the (non-
561:
415:
268:Other conventions
170:
139:
106:
87:
2167:
2136:
2134:
2114:
2104:
2083:
2081:
2028:
2026:
2024:
2018:
1994:
1988:
1949:
1947:
1946:
1941:
1939:
1938:
1917:
1916:
1885:
1883:
1882:
1877:
1862:
1860:
1859:
1854:
1849:
1848:
1839:
1835:
1834:
1833:
1826:
1825:
1824:
1811:
1803:
1802:
1795:
1794:
1793:
1787:
1772:
1764:
1763:
1762:
1757:
1737:
1697:
1687:
1665:
1663:
1662:
1657:
1652:
1648:
1647:
1646:
1637:
1636:
1629:
1628:
1627:
1614:
1606:
1605:
1604:
1599:
1579:
1562:
1545:
1541:
1540:
1539:
1530:
1529:
1522:
1521:
1520:
1507:
1499:
1498:
1493:
1473:
1466:
1449:
1445:
1441:
1440:
1355:
1353:
1352:
1347:
1345:
1341:
1340:
1336:
1329:
1328:
1316:
1315:
1286:
1282:
1275:
1274:
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1237:
1236:
1208:
1204:
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1196:
1146:
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1137:
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1054:
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1032:
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1023:
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993:
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940:
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853:
852:
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845:
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837:
836:
754:
752:
751:
746:
744:
743:
722:
721:
667:
665:
664:
659:
639:
638:
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607:
598:
597:
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522:
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493:
492:
487:
485:
484:
450:
448:
447:
442:
437:
436:
435:
434:
422:
421:
420:
407:
399:
398:
353:
352:
334:, is defined by
333:
331:
330:
325:
308:
307:
276:-analogues, the
264:
229:
227:
226:
221:
216:
215:
185:
184:
177:
176:
175:
162:
154:
153:
146:
145:
144:
138:
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101:
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93:
92:
83:
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2175:
2174:
2170:
2169:
2168:
2166:
2165:
2164:
2140:
2139:
2117:
2086:
2063:
2022:
2020:
2016:
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2003:
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1867:
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1777:
1767:
1765:
1738:
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1703:
1699:
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1367:
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11:
5:
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2157:
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2119:Sylvie Corteel
2115:
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2061:
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2030:
2029:
2002:
1999:
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1786:
1783:
1780:
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1771:
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1756:
1753:
1750:
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1717:
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1711:
1707:
1702:
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1692:
1686:
1682:
1667:
1666:
1655:
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1635:
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1618:
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1602:
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1595:
1592:
1589:
1586:
1583:
1577:
1574:
1571:
1567:
1561:
1557:
1552:
1548:
1544:
1538:
1534:
1528:
1519:
1514:
1511:
1506:
1496:
1492:
1489:
1486:
1483:
1480:
1477:
1471:
1465:
1461:
1456:
1452:
1448:
1444:
1439:
1436:
1433:
1430:
1427:
1423:
1419:
1416:
1412:
1408:
1405:
1402:
1399:
1396:
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