784:
29:
625:
2575:
1858:
382:
1607:
779:{\displaystyle {\frac {\eta ^{-1}({\frac {\operatorname {diam} B}{\operatorname {diam} A}})}{2}}\leq {\frac {\operatorname {diam} f(B)}{\operatorname {diam} f(A)}}\leq 2\eta \left({\frac {\operatorname {diam} B}{\operatorname {diam} A}}\right).}
2258:
1037:
1110:, then all weakly quasisymmetric maps are quasisymmetric. The appeal of this result is that proving weak-quasisymmetry is much easier than proving quasisymmetry directly, and in many natural settings the two notions are equivalent.
97:
maps. While bi-Lipschitz maps shrink or expand the diameter of a set by no more than a multiplicative factor, quasisymmetric maps satisfy the weaker geometric property that they preserve the relative sizes of sets: if two sets
1287:
1704:
1323:
These maps are quasisymmetric, although they are a much narrower subclass of quasisymmetric maps. For example, while a general quasisymmetric map in the complex plane could map the real line to a set of
1445:
1715:
513:
201:
1469:
1926:
435:
2570:{\displaystyle {\frac {d_{Y}(f(x),f(z))d_{Y}(f(y),f(t))}{d_{Y}(f(x),f(y))d_{Y}(f(z),f(t))}}\leq \eta \left({\frac {d_{X}(x,z)d_{X}(y,t)}{d_{X}(x,y)d_{X}(z,t)}}\right).}
2119:
2057:
2037:
1901:
1968:
833:
2139:
1988:
865:
2159:
2077:
1104:
1084:
1060:
893:
885:
618:
598:
578:
558:
538:
1612:
Writing it this way, we can attempt to define a map using this same integral, but instead integrate (what is now a vector valued integrand) over ℝ: if
1162:
2763:
2615:
1622:
1366:
1107:
69:
2169:
A related but weaker condition is the notion of quasi-Möbius maps where instead of the ratio only the cross-ratio is considered:
2795:
1853:{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left({\frac {x-y}{|x-y|}}+{\frac {y}{|y|}}\right)\,d\mu (y)}
114:
apart, then the ratio of their sizes changes by no more than a multiplicative constant. These maps are also related to
39:
2586:
1378:
377:{\displaystyle {\frac {d_{Y}(f(x),f(y))}{d_{Y}(f(x),f(z))}}\leq \eta \left({\frac {d_{X}(x,y)}{d_{X}(x,z)}}\right).}
1602:{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left({\frac {x-t}{|x-t|}}+{\frac {t}{|t|}}\right)d\mu (t).}
2800:
440:
2785:
17:
2640:
2645:
1333:
1325:
2736:
2718:
94:
2790:
2759:
2611:
1906:
2086:
2042:
2004:
1886:
2728:
2685:
2650:
1947:
812:
415:
2124:
1973:
838:
1357:
to itself can be characterized in terms of their derivatives. An increasing homeomorphism
1063:
1032:{\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq H|f(x)-f(z)|\;\;\;{\text{ whenever }}\;\;\;|x-y|\leq |x-z|}
2144:
2062:
1941:
1089:
1069:
1045:
870:
603:
583:
563:
543:
523:
115:
2779:
2740:
2218:
1134:
157:
90:
2669:
2204:
1119:
153:
2706:
1282:{\displaystyle \langle f(x)-f(y),x-y\rangle \geq \delta |f(x)-f(y)|\cdot |x-y|.}
83:
2211: : [0, ∞) → [0, ∞) be an increasing function. An
2732:
2758:. EMS Monographs in Mathematics. American Mathematical Society. p. 209.
1354:
2631:
Kovalev, Leonid V. (2007). "Quasiconformal geometry of monotone mappings".
2654:
179: : [0, ∞) → [0, ∞) such that for any triple
2690:
2673:
45:
1361::ℝ → ℝ is quasisymmetric if and only if there is a constant
2723:
1699:{\displaystyle \int _{|x|>1}{\frac {1}{|x|}}\,d\mu (x)<\infty }
1042:
Not all weakly quasisymmetric maps are quasisymmetric. However, if
2709:(2007). "Doubling measures, monotonicity, and quasiconformality".
1300: = 0. Then it implies that the angle between the vector
118:
maps, since in many circumstances they are in fact equivalent.
22:
16:
For quasisymmetric functions in algebraic combinatorics, see
2674:"The boundary correspondence under quasiconformal mappings"
2610:. Universitext. New York: Springer-Verlag. pp. x+140.
1292:
To grasp what this condition means geometrically, suppose
1296:(0) = 0 and consider the above estimate when
51:
1879:
Quasisymmetry and quasiconformality in
Euclidean space
1455:
An analogous result holds in
Euclidean space. Suppose
443:
412:-quasisymmetric map as above, then its inverse map is
2261:
2147:
2127:
2089:
2065:
2045:
2007:
1976:
1950:
1909:
1889:
1718:
1625:
1472:
1459: = 0 and we rewrite the above equation for
1381:
1332:-monotone will always map the real line to a rotated
1165:
1092:
1072:
1048:
896:
873:
841:
815:
628:
606:
586:
566:
546:
526:
418:
204:
517:
Quasisymmetric maps preserve relative sizes of sets
2569:
2153:
2133:
2113:
2071:
2051:
2031:
1982:
1962:
1920:
1895:
1852:
1698:
1601:
1439:
1281:
1098:
1078:
1054:
1031:
879:
859:
827:
778:
612:
592:
572:
552:
532:
507:
429:
376:
2232:is a homeomorphism for which for every quadruple
93:between metric spaces is a map that generalizes
1440:{\displaystyle f(x)=C+\int _{0}^{x}\,d\mu (t).}
8:
1208:
1166:
2754:Buyalo, Sergei; Schroeder, Viktor (2007).
2633:Journal of the London Mathematical Society
987:
986:
985:
979:
978:
977:
2722:
2689:
2644:
2536:
2511:
2484:
2459:
2452:
2400:
2357:
2312:
2269:
2262:
2260:
2146:
2126:
2088:
2064:
2044:
2006:
1975:
1949:
1908:
1888:
1834:
1821:
1813:
1807:
1796:
1782:
1768:
1755:
1751:
1750:
1748:
1734:
1717:
1674:
1666:
1658:
1652:
1639:
1631:
1630:
1624:
1568:
1560:
1554:
1543:
1529:
1515:
1504:
1503:
1502:
1488:
1471:
1418:
1412:
1407:
1380:
1271:
1257:
1249:
1217:
1164:
1091:
1071:
1047:
1024:
1010:
1002:
988:
980:
972:
940:
929:
897:
895:
872:
840:
814:
743:
686:
648:
636:
629:
627:
605:
585:
565:
545:
525:
508:{\textstyle \eta '(t)=1/\eta ^{-1}(1/t).}
491:
476:
467:
442:
417:
343:
316:
309:
257:
212:
205:
203:
70:Learn how and when to remove this message
2598:
835:if for all triples of distinct points
2608:Lectures on Analysis on Metric Spaces
1353:Quasisymmetric homeomorphisms of the
7:
44:In particular, it has problems with
2705:Kovalev, Leonid; Maldonado, Diego;
175:if there is an increasing function
2046:
1911:
1890:
1863:is quasisymmetric (in fact, it is
1693:
1312:) stays between 0 and arccos
14:
1997: : Ω → Ω´ is
1936:-quasisymmetric, then it is also
1932: : Ω → Ω´ is
27:
2756:Elements of Asymptotic Geometry
1616:is a doubling measure on ℝ and
2554:
2542:
2529:
2517:
2502:
2490:
2477:
2465:
2436:
2433:
2427:
2418:
2412:
2406:
2393:
2390:
2384:
2375:
2369:
2363:
2348:
2345:
2339:
2330:
2324:
2318:
2305:
2302:
2296:
2287:
2281:
2275:
2108:
2093:
2026:
2011:
1847:
1841:
1822:
1814:
1797:
1783:
1728:
1722:
1687:
1681:
1667:
1659:
1640:
1632:
1593:
1587:
1569:
1561:
1544:
1530:
1482:
1476:
1431:
1425:
1391:
1385:
1272:
1258:
1250:
1246:
1240:
1231:
1225:
1218:
1193:
1187:
1178:
1172:
1025:
1011:
1003:
989:
973:
969:
963:
954:
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674:
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349:
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290:
284:
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269:
263:
248:
245:
239:
230:
224:
218:
110:and are no more than distance
38:comply with Knowledge (XXG)'s
36:This article needs editing to
1:
1328:strictly greater than one, a
1970:is a constant depending on
1372:on the real line such that
393:Inverses are quasisymmetric
2817:
797:Weakly quasisymmetric maps
15:
2733:10.1007/s00209-007-0132-5
1928:be open subsets of ℝ. If
1871:depending on the measure
1365: > 0 and a
1921:{\displaystyle \Omega '}
1336:of a Lipschitz function
2606:Heinonen, Juha (2001).
2114:{\displaystyle B(x,2r)}
2052:{\displaystyle \Omega }
2032:{\displaystyle B(x,2r)}
1896:{\displaystyle \Omega }
807:H-weakly-quasisymmetric
437:-quasisymmetric, where
18:quasisymmetric function
2587:Douady–Earle extension
2571:
2248:of distinct points in
2155:
2135:
2115:
2073:
2053:
2033:
1984:
1964:
1963:{\displaystyle K>0}
1922:
1897:
1854:
1700:
1603:
1441:
1283:
1100:
1080:
1056:
1033:
881:
861:
829:
828:{\displaystyle H>0}
780:
614:
594:
574:
554:
534:
509:
431:
430:{\displaystyle \eta '}
378:
191:of distinct points in
2796:Mathematical analysis
2572:
2156:
2141:depends only on
2136:
2134:{\displaystyle \eta }
2116:
2074:
2054:
2034:
1985:
1983:{\displaystyle \eta }
1965:
1923:
1898:
1855:
1701:
1604:
1442:
1284:
1101:
1081:
1057:
1034:
882:
862:
860:{\displaystyle x,y,z}
830:
781:
615:
595:
575:
555:
535:
510:
432:
379:
2259:
2145:
2125:
2087:
2063:
2043:
2005:
2001:-quasiconformal and
1974:
1948:
1907:
1887:
1716:
1623:
1470:
1379:
1163:
1090:
1070:
1046:
982: whenever
894:
871:
839:
813:
626:
604:
584:
564:
544:
524:
441:
416:
202:
2655:10.1112/jlms/jdm008
2083:-quasisymmetric on
1867:-monotone for some
1417:
1326:Hausdorff dimension
52:improve the content
2691:10.1007/bf02392360
2567:
2151:
2131:
2111:
2069:
2049:
2029:
1980:
1960:
1918:
1893:
1850:
1696:
1599:
1437:
1403:
1340::ℝ → ℝ.
1279:
1096:
1076:
1052:
1029:
877:
857:
825:
776:
610:
590:
570:
550:
530:
505:
427:
374:
2765:978-3-03719-036-4
2617:978-0-387-95104-1
2558:
2440:
2165:Quasi-Möbius maps
2154:{\displaystyle K}
2072:{\displaystyle f}
1827:
1802:
1742:
1672:
1574:
1549:
1496:
1344:Doubling measures
1099:{\displaystyle Y}
1079:{\displaystyle X}
1055:{\displaystyle X}
983:
880:{\displaystyle X}
767:
728:
681:
672:
613:{\displaystyle B}
593:{\displaystyle A}
573:{\displaystyle X}
553:{\displaystyle B}
533:{\displaystyle A}
408:is an invertible
365:
297:
80:
79:
72:
2808:
2770:
2769:
2751:
2745:
2744:
2726:
2702:
2696:
2695:
2693:
2665:
2659:
2658:
2648:
2628:
2622:
2621:
2603:
2576:
2574:
2573:
2568:
2563:
2559:
2557:
2541:
2540:
2516:
2515:
2505:
2489:
2488:
2464:
2463:
2453:
2441:
2439:
2405:
2404:
2362:
2361:
2351:
2317:
2316:
2274:
2273:
2263:
2160:
2158:
2157:
2152:
2140:
2138:
2137:
2132:
2120:
2118:
2117:
2112:
2078:
2076:
2075:
2070:
2058:
2056:
2055:
2050:
2039:is contained in
2038:
2036:
2035:
2030:
1989:
1987:
1986:
1981:
1969:
1967:
1966:
1961:
1927:
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1924:
1919:
1917:
1902:
1900:
1899:
1894:
1859:
1857:
1856:
1851:
1833:
1829:
1828:
1826:
1825:
1817:
1808:
1803:
1801:
1800:
1786:
1780:
1769:
1762:
1761:
1760:
1759:
1754:
1743:
1735:
1705:
1703:
1702:
1697:
1673:
1671:
1670:
1662:
1653:
1651:
1650:
1643:
1635:
1608:
1606:
1605:
1600:
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1576:
1575:
1573:
1572:
1564:
1555:
1550:
1548:
1547:
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1411:
1367:doubling measure
1316: <
1288:
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1285:
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1253:
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1103:
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