791:
4582:
525:
4266:
786:{\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}(T)=\left\{({\mathcal {F}},q):{\begin{matrix}{\mathcal {F}}\in {\text{QCoh}}(X_{T})\\{\mathcal {F}}\ {\text{finitely presented over}}\ X_{T}\\{\text{Supp}}({\mathcal {F}}){\text{ is proper over }}T\\{\mathcal {F}}{\text{ is flat over }}T\\q:{\mathcal {E}}_{T}\to {\mathcal {F}}{\text{ surjective}}\end{matrix}}\right\}/\sim }
1217:
4577:{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Z}(\lambda )&={\binom {2+\lambda }{2}}-{\binom {2-2+\lambda }{2}}\\&={\frac {(\lambda +2)(\lambda +1)}{2}}-{\frac {\lambda (\lambda -1)}{2}}\\&={\frac {\lambda ^{2}+3\lambda +2}{2}}-{\frac {\lambda ^{2}-\lambda }{2}}\\&={\frac {2\lambda +2}{2}}\\&=\lambda +1\end{aligned}}}
2094:
1689:
4722:
2890:
1896:
6243:
1094:
5667:
1907:
189:
3420:
5323:
4901:
4167:
1514:
5751:
4593:
3699:
488:
2736:
5948:
3018:
2290:
1753:
5207:
1280:
1016:
2519:
6132:
1507:
1212:{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {E}}_{T}&{\xrightarrow {q}}&{\mathcal {F}}\\\downarrow {}&&\downarrow \\{\mathcal {E}}_{T}&{\xrightarrow {q'}}&{\mathcal {F}}'\end{matrix}}}
1055:
899:
6143:
3923:
2344:
6605:
3264:
3170:
4769:
6549:
1333:
6052:
4945:
4072:
3746:
4271:
1436:
381:
4806:
4258:
3553:
5838:
5574:
2933:
85:
2089:{\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}(T)=\left\{({\mathcal {F}},q)\in {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}(T):\Phi _{\mathcal {F}}=\Phi \right\}}
6501:
5493:
6292:
3468:
2126:
840:
4210:
3785:
3505:
2553:
2157:
276:
2693:
948:
96:
5865:
5518:
5398:
3947:
3322:
3045:
2638:
2207:
1745:
226:
5566:
2614:
4031:
3864:
3213:
3119:
1717:
5244:
3973:
3314:
1086:
4814:
3831:
1684:{\displaystyle m\mapsto \chi ({\mathcal {F}}_{s}(m))=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\text{dim}}_{\kappa (s)}H^{i}(X,{\mathcal {F}}_{s}\otimes {\mathcal {L}}_{s}^{\otimes m})}
4080:
3588:
2728:
2412:
2183:
1462:
517:
313:
6462:
4005:
1381:
5675:
5971:
4717:{\displaystyle {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{2}/{\text{Spec}}(k)}^{\lambda +1}\cong \mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(2)))\cong \mathbb {P} ^{5}}
5885:
5775:
5438:
5418:
5374:
5354:
5058:
3805:
3287:
3085:
3065:
2658:
2573:
2452:
2432:
2364:
1357:
337:
5236:
3596:
2885:{\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{G(n,k)}^{\oplus (n)}/{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )/{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}^{k,{\mathcal {O}}_{G(n,k)}}}
389:
5754:
5890:
1891:{\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}=\coprod _{\Phi \in \mathbb {Q} }{\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}}
2941:
2220:
5066:
6379:
1225:
2460:
6629:
192:
6063:
1467:
6238:{\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}/{\mathcal {C}}/\mathbb {Z} }^{\Phi _{\mathcal {F}},{\mathcal {L}}}}
953:
845:
3869:
2295:
6554:
3221:
3127:
4730:
6506:
5979:
4909:
4036:
3710:
1021:
1400:
345:
6669:
5662:{\displaystyle H^{0}(C,{\mathcal {F}})\otimes {\mathcal {O}}_{C}\cong {\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}\to {\mathcal {F}}}
4777:
1339:
which has a natural stratification into a disjoint union of subfunctors, each of which is represented by a projective
1285:
6350:
SĂ©minaire
Bourbaki : années 1960/61, exposés 205-222, Séminaire Bourbaki, no. 6 (1961), Talk no. 221, p. 249-276
4215:
3510:
5783:
2903:
51:
239:
It is typically used to construct another scheme parametrizing geometric objects that are of interest such as a
6467:
5446:
5333:
6348:
Techniques de construction et théorèmes d'existence en géométrie algébrique IV : les schémas de
Hilbert.
6251:
6401:
3433:
6654:
2102:
233:
799:
4180:
3754:
3473:
2527:
2131:
287:
250:
184:{\displaystyle \operatorname {Quot} _{F}(X)(T)=\operatorname {Mor} _{S}(T,\operatorname {Quot} _{F}(X))}
6364:. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 123. American Mathematical Society. pp. 105–137.
3415:{\displaystyle {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}_{X}/X/S}^{\Phi _{Z}}\cong {\text{Hilb}}_{X/S}^{\Phi _{Z}}}
2663:
904:
5846:
5499:
5379:
3928:
3026:
2619:
2188:
1726:
198:
5527:
5318:{\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {f}}{\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}\to 0}
6365:
6307:
4896:{\displaystyle \in {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{2}/{\text{Spec}}(k)}^{\lambda +1}}
2578:
1720:
17:
5376:
can equivalently be described as locally free sheaves of finite rank. Such locally free sheaves
4162:{\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{n}/{\text{Spec}}(k)}^{\Phi _{Z}}}
4010:
3836:
3178:
3098:
1696:
3952:
3292:
6622:
6420:
6375:
3810:
1392:
316:
88:
25:
5746:{\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}/{\mathcal {C}}/\mathbb {Z} }}
6410:
3558:
2698:
2382:
2162:
1441:
496:
292:
6440:
3978:
1366:
1060:
6649:
6347:
5953:
6317:
5870:
5760:
5423:
5403:
5359:
5339:
4953:
3790:
3694:{\displaystyle \Phi _{Z}(\lambda )={\binom {n+\lambda }{n}}-{\binom {n-d+\lambda }{n}}}
3272:
3070:
3050:
2643:
2558:
2437:
2417:
2349:
1342:
340:
322:
240:
41:
5215:
6663:
6415:
6396:
6312:
2185:. Note the Hilbert polynomial is independent of the choice of very ample line bundle
483:{\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}:(Sch/S)^{op}\to {\text{Sets}}}
6327:
6322:
6295:
5943:{\displaystyle {\mathcal {F}}(m)={\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes m}}
1395:
3095:
The
Hilbert scheme is a special example of the quot scheme. Notice a subscheme
6424:
3013:{\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{1,{\mathcal {O}}_{X}}}
2285:{\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}}
5202:{\displaystyle f=a_{0}x^{2}+a_{1}xy+a_{2}xz+a_{3}y^{2}+a_{4}yz+a_{5}z^{2}}
3925:
gives a natural parameterization of all such sections. There is a sheaf
6655:
https://amathew.wordpress.com/2012/06/02/the-stack-of-coherent-sheaves/
1275:{\displaystyle {\mathcal {E}}_{T}{\xrightarrow {id}}{\mathcal {E}}_{T}}
6370:
1723:
which gives a natural stratification of the quot functor. Again, for
5278:
2514:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{G(n,k)}^{\oplus k}\to {\mathcal {U}}}
1248:
1179:
1123:
6360:
Nitsure, Nitin (2005). "Construction of
Hilbert and Quot Schemes".
6127:{\displaystyle \Phi _{\mathcal {F}}(\lambda )=n\lambda +d+n(1-g)}
1502:{\displaystyle \Phi _{\mathcal {F}}:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }
3175:
and a flat family of such projections parametrized by a scheme
3807:
was an arbitrary non-zero section, and the vanishing locus of
6137:
Then, the locus of semi-stable vector bundles is contained in
1282:. Alternatively, there is an equivalent condition of holding
6586:
6485:
6362:
Fundamental algebraic geometry: Grothendieck’s FGA explained
6258:
6228:
6217:
6194:
6168:
6159:
6156:
6153:
6150:
6073:
5991:
5926:
5915:
5896:
5852:
5795:
5726:
5700:
5691:
5688:
5685:
5682:
5654:
5630:
5613:
5599:
5505:
5471:
5385:
5298:
5287:
5256:
4926:
4915:
4839:
4793:
4783:
4679:
4606:
4233:
4104:
4096:
4093:
4090:
4087:
4053:
4042:
3934:
3895:
3760:
3727:
3716:
3528:
3336:
3251:
3228:
3151:
3134:
3032:
2997:
2965:
2957:
2954:
2951:
2948:
2917:
2854:
2761:
2752:
2749:
2746:
2743:
2625:
2534:
2506:
2467:
2308:
2275:
2244:
2236:
2233:
2230:
2227:
2194:
2138:
2112:
2069:
2028:
2020:
2017:
2014:
2011:
1991:
1962:
1931:
1923:
1920:
1917:
1914:
1881:
1850:
1842:
1839:
1836:
1833:
1777:
1769:
1766:
1763:
1760:
1732:
1659:
1642:
1533:
1477:
1406:
1261:
1232:
1196:
1161:
1134:
1105:
1038:
1027:
985:
962:
886:
852:
756:
740:
714:
692:
652:
617:
594:
549:
541:
538:
535:
532:
413:
405:
402:
399:
396:
351:
257:
3507:
for an algebraically closed field, then a non-zero section
1011:{\displaystyle ({\mathcal {F}},q)\sim ({\mathcal {F}}',q')}
894:{\displaystyle {\mathcal {E}}_{T}=pr_{X}^{*}{\mathcal {E}}}
3918:{\displaystyle Q=\mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(d)))}
2339:{\displaystyle {\text{Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi }}
6600:{\displaystyle N={\text{dim}}(\Gamma (X,{\mathcal {L}}))}
3259:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X_{T}}\to {\mathcal {F}}}
3165:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{Z}}
4764:{\displaystyle \mathbb {P} ^{5}\times \mathbb {P} ^{2}}
6544:{\displaystyle \mathbb {s} :X\to \mathbb {P} _{S}^{N}}
2900:
As a special case, we can construct the project space
1099:
612:
6557:
6509:
6470:
6443:
6254:
6146:
6066:
5982:
5956:
5893:
5873:
5849:
5786:
5763:
5678:
5577:
5530:
5502:
5449:
5426:
5406:
5382:
5362:
5342:
5247:
5218:
5069:
4956:
4912:
4817:
4780:
4733:
4596:
4269:
4218:
4183:
4083:
4039:
4013:
3981:
3955:
3931:
3872:
3839:
3813:
3793:
3757:
3713:
3599:
3561:
3513:
3476:
3436:
3325:
3295:
3275:
3224:
3181:
3130:
3101:
3073:
3053:
3029:
2944:
2906:
2739:
2701:
2666:
2646:
2622:
2581:
2561:
2530:
2463:
2440:
2420:
2385:
2352:
2298:
2223:
2191:
2165:
2134:
2105:
1910:
1756:
1729:
1699:
1517:
1470:
1444:
1403:
1369:
1345:
1288:
1228:
1097:
1063:
1024:
956:
907:
848:
802:
528:
499:
392:
348:
325:
295:
253:
201:
99:
54:
6047:{\displaystyle \chi ({\mathcal {F}}(m))=mn+d+n(1-g)}
4940:{\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}}
4067:{\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}}
3741:{\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}}
2217:
2640:is locally free and at every point it represents a
6599:
6543:
6495:
6456:
6286:
6237:
6126:
6046:
5965:
5942:
5879:
5859:
5832:
5769:
5745:
5661:
5560:
5512:
5487:
5432:
5412:
5392:
5368:
5348:
5317:
5230:
5201:
5052:
4939:
4895:
4800:
4763:
4716:
4576:
4252:
4204:
4161:
4066:
4025:
3999:
3967:
3941:
3917:
3858:
3825:
3799:
3779:
3740:
3693:
3582:
3547:
3499:
3462:
3414:
3308:
3281:
3269:Since there is a hilbert polynomial associated to
3258:
3207:
3164:
3113:
3079:
3059:
3039:
3012:
2927:
2884:
2722:
2687:
2652:
2632:
2608:
2567:
2547:
2513:
2454:-dimensional vector space has a universal quotient
2446:
2426:
2406:
2358:
2338:
2284:
2201:
2177:
2151:
2120:
2088:
1890:
1739:
1711:
1683:
1501:
1456:
1430:
1375:
1351:
1327:
1274:
1211:
1080:
1050:{\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {F}}''}
1049:
1010:
942:
893:
834:
785:
511:
482:
375:
331:
307:
270:
220:
183:
79:
4363:
4336:
4324:
4303:
3685:
3658:
3646:
3625:
1431:{\displaystyle {\mathcal {L}}\in {\text{Pic}}(X)}
376:{\displaystyle {\mathcal {E}}\in {\text{Coh}}(X)}
6623:"Moduli Problems and Geometric Invariant Theory"
6248:which can be used to construct the moduli space
4801:{\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {U}}}
1328:{\displaystyle {\text{ker}}(q)={\text{ker}}(q')}
32:is a projective scheme over a Noetherian scheme
4253:{\displaystyle s\in \Gamma ({\mathcal {O}}(2))}
4074:. This construction represents the quot functor
3548:{\displaystyle s\in \Gamma ({\mathcal {O}}(d))}
2660:-plane, it has the constant Hilbert polynomial
5833:{\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})=d+n(1-g)}
1747:fixed there is a disjoint union of subfunctors
6395:Altman, Allen B.; Kleiman, Steven L. (1980).
5753:parametrizes all such surjections. Using the
8:
2928:{\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}
2292:are all representable by projective schemes
950:. There is an equivalence relation given by
80:{\displaystyle \operatorname {Quot} _{F}(X)}
6650:Notes on stable maps and quantum cohomology
3866:gives the same vanishing locus, the scheme
6585:
6584:
6564:
6556:
6535:
6530:
6526:
6525:
6511:
6510:
6508:
6496:{\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {L}})}
6484:
6483:
6469:
6448:
6442:
6414:
6369:
6263:
6257:
6256:
6253:
6227:
6226:
6216:
6215:
6210:
6205:
6204:
6199:
6193:
6192:
6187:
6178:
6173:
6167:
6166:
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2033:
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2026:
2025:
2010:
2009:
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262:
256:
255:
252:
209:
200:
191:is the set of isomorphism classes of the
160:
138:
104:
98:
59:
53:
6339:
6287:{\displaystyle {\mathcal {M}}_{C}(n,d)}
24:is a scheme parametrizing sheaves on a
3463:{\displaystyle X=\mathbb {P} _{k}^{n}}
6294:of semistable vector bundles using a
7:
6616:
6614:
6612:
5568:. This implies there is a surjection
5329:Semistable vector bundles on a curve
3316:, there is an isomorphism of schemes
2121:{\displaystyle \Phi _{\mathcal {F}}}
4007:, there is an associated subscheme
1363:associated to a Hilbert polynomial
1057:commuting with the two projections
835:{\displaystyle X_{T}=X\times _{S}T}
6635:from the original on 1 March 2020.
6572:
6471:
6212:
6068:
4671:
4340:
4307:
4275:
4225:
4205:{\displaystyle X=\mathbb {P} ^{2}}
4148:
3887:
3780:{\displaystyle {\mathcal {O}}(-d)}
3662:
3629:
3601:
3520:
3500:{\displaystyle S={\text{Spec}}(k)}
3401:
3366:
3297:
2667:
2548:{\displaystyle {\mathcal {U}}_{x}}
2331:
2267:
2152:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}
2107:
2078:
2064:
1954:
1873:
1808:
1472:
1370:
271:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
14:
6397:"Compactifying the Picard scheme"
5755:Grothendieck–Riemann–Roch theorem
5212:then the universal quotient over
2688:{\displaystyle \Phi (\lambda )=k}
2212:
943:{\displaystyle pr_{X}:X_{T}\to X}
4173:Quadrics in the projective plane
2213:Grothendieck's existence theorem
5520:is generated by global sections
5060:represents the coefficients of
232:. The notion was introduced by
6594:
6591:
6575:
6569:
6521:
6490:
6474:
6281:
6269:
6121:
6109:
6085:
6079:
6041:
6029:
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6002:
5996:
5986:
5907:
5901:
5860:{\displaystyle {\mathcal {L}}}
5827:
5815:
5800:
5790:
5649:
5604:
5588:
5555:
5540:
5513:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
5476:
5460:
5393:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
5309:
5292:
5270:
5261:
5251:
5238:gives the short exact sequence
5225:
5219:
5047:
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4963:
4957:
4920:
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4871:
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4684:
4674:
4668:
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4638:
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4409:
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4284:
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4136:
4047:
3988:
3982:
3942:{\displaystyle {\mathcal {E}}}
3912:
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3884:
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3721:
3616:
3610:
3577:
3571:
3542:
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3523:
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3488:
3246:
3145:
3040:{\displaystyle {\mathcal {E}}}
2922:
2912:
2875:
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2832:
2819:
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2782:
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2717:
2705:
2676:
2670:
2633:{\displaystyle {\mathcal {U}}}
2603:
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2476:
2401:
2389:
2202:{\displaystyle {\mathcal {L}}}
2057:
2051:
2002:
1986:
1975:
1969:
1825:
1819:
1740:{\displaystyle {\mathcal {L}}}
1678:
1630:
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1609:
1590:
1580:
1553:
1550:
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1419:
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1311:
1300:
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1005:
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973:
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751:
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589:
578:
572:
503:
472:
460:
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370:
364:
299:
178:
175:
169:
147:
128:
122:
119:
113:
74:
68:
1:
6057:giving the Hilbert polynomial
4903:gives the projective morphism
4811:where the fiber over a point
3426:Example of a parameterization
2128:is the Hilbert polynomial of
1222:is a commutative diagram for
221:{\displaystyle F\times _{S}T}
6416:10.1016/0001-8708(80)90043-2
5561:{\displaystyle d>n(2g-1)}
4727:The universal quotient over
3121:can be given as a projection
4260:, the Hilbert polynomial is
3704:Then, there is a surjection
2730:represents the quot functor
2609:{\displaystyle x\in G(n,k)}
1018:if there is an isomorphism
6686:
4026:{\displaystyle Z\subset X}
3859:{\displaystyle a\in k^{*}}
3208:{\displaystyle T\in Sch/S}
3114:{\displaystyle Z\subset X}
1712:{\displaystyle m>>0}
1693:which is a polynomial for
702: is proper over
247:to be the structure sheaf
6346:Grothendieck, Alexander.
5950:, shifting the degree by
5334:Semistable vector bundles
3968:{\displaystyle X\times Q}
3309:{\displaystyle \Phi _{Z}}
278:gives a Hilbert scheme.)
48:, then there is a scheme
6464:for the global sections
5843:For a fixed line bundle
3826:{\displaystyle a\cdot s}
721: is flat over
28:. More specifically, if
6402:Advances in Mathematics
3590:with Hilbert polynomial
2099:The Hilbert polynomial
662:finitely presented over
6628:. pp. 68, 74–85.
6601:
6545:
6497:
6458:
6288:
6246:
6239:
6135:
6128:
6055:
6048:
5967:
5944:
5881:
5861:
5841:
5834:
5771:
5747:
5672:Then, the quot scheme
5670:
5663:
5562:
5514:
5489:
5434:
5414:
5394:
5370:
5350:
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5319:
5232:
5210:
5203:
5054:
4948:
4941:
4897:
4809:
4802:
4765:
4725:
4718:
4585:
4578:
4254:
4206:
4170:
4163:
4068:
4027:
4001:
3969:
3943:
3919:
3860:
3827:
3801:
3781:
3749:
3742:
3702:
3695:
3584:
3583:{\displaystyle Z=Z(s)}
3549:
3501:
3464:
3423:
3416:
3310:
3283:
3267:
3260:
3209:
3173:
3166:
3115:
3081:
3061:
3041:
3021:
3014:
2929:
2893:
2886:
2724:
2723:{\displaystyle G(n,k)}
2689:
2654:
2634:
2610:
2575:-plane represented by
2569:
2549:
2522:
2515:
2448:
2428:
2408:
2407:{\displaystyle G(n,k)}
2360:
2340:
2286:
2203:
2179:
2178:{\displaystyle t\in T}
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