25:
2297:
4136:
1122:
1949:
897:
3163:
1368:
3683:
3818:
4531:
2845:
4297:
3454:
3810:
1767:
1201:
498:
2292:{\displaystyle W(y_{1},y_{2})(x)={\begin{vmatrix}y_{1}&xy_{1}\\y_{1}'&y_{1}+xy_{1}'\end{vmatrix}}=y_{1}(y_{1}+xy_{1}')-xy_{1}y_{1}'=y_{1}^{2}+xy_{1}y_{1}'-xy_{1}y_{1}'=y_{1}^{2}=e^{-{\frac {b}{a}}x}\neq 0.}
931:
3317:
2691:
711:
1903:
313:
2424:
573:
The method of reduction of order is used to obtain a second linearly independent solution to this differential equation using our one known solution. To find a second solution we take as a guess
2922:
4360:
568:
4131:{\displaystyle \int \left({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t)\right)\,dt=2\int {\frac {y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}\,dt+\int p(t)\,dt=2\ln(y_{1}(t))+\int p(t)\,dt=\ln(y_{1}^{2}(t))+\int p(t)\,dt,}
3529:
4674:
1414:
641:
2556:
1567:
1507:
2917:
1607:
4601:
4567:
3488:
392:
54:
3524:
3201:
2460:
2335:
1941:
1805:
1472:
1196:
1160:
706:
181:
141:
4326:
2892:
2495:
345:
4355:
2585:
1612:
926:
670:
2867:
1436:
213:
4144:
2696:
3322:
4768:
1810:
397:
3694:
4739:
4707:
2590:
4603:
to find the full solution of the original non-homogeneous second-order equation, exhibiting two constants of integration as it should:
348:
1363:{\displaystyle 2a\left(-{\frac {b}{2a}}e^{-{\frac {b}{2a}}x}\right)+be^{-{\frac {b}{2a}}x}=\left(-b+b\right)e^{-{\frac {b}{2a}}x}=0.}
503:
76:
1117:{\displaystyle \left(ay_{1}\right)v''+\left(2ay_{1}'+by_{1}\right)v'+\left(ay_{1}''+by_{1}'+{\frac {b^{2}}{4a}}y_{1}\right)v=0.}
3206:
1807:
is a scalar multiple of the first solution (and thus linearly dependent) we can drop that term, yielding a final solution of
231:
101:
4606:
4750:
2348:
576:
4731:
2500:
1514:
37:
347:
are real non-zero coefficients. Two linearly independent solutions for this ODE can be straightforwardly found using
47:
41:
33:
1162:
is a solution to the original problem, the coefficient of the last term is equal to zero. Furthermore, substituting
892:{\displaystyle a\left(v''y_{1}+2v'y_{1}'+vy_{1}''\right)+b\left(v'y_{1}+vy_{1}'\right)+{\frac {b^{2}}{4a}}vy_{1}=0.}
1375:
228:
Consider the general, homogeneous, second-order linear constant coefficient ordinary differential equation. (ODE)
58:
4727:
4684:
3158:{\displaystyle y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'+(y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t))\,v=r(t).}
1481:
4526:{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(v'(t)y_{1}^{2}(t)e^{\int p(t)dt}\right)=y_{1}(t)r(t)e^{\int p(t)dt}.}
104:
1475:
144:
3678:{\displaystyle v''+\left({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t)\right)\,v'={\frac {r(t)}{y_{1}(t)}}.}
3688:
1572:
358:
4735:
4703:
3493:
3170:
2429:
2304:
1910:
1774:
1441:
1165:
1129:
675:
150:
110:
4302:
2465:
4572:
4538:
3459:
318:
4331:
2561:
902:
646:
2897:
4292:{\displaystyle \mu (t)=e^{\ln(y_{1}^{2}(t))+\int p(t)\,dt}=y_{1}^{2}(t)e^{\int p(t)dt}.}
2872:
2852:
1943:
found via this method is linearly independent of the first solution by calculating the
1421:
198:
4762:
4721:
4717:
352:
97:
1762:{\displaystyle y_{2}(x)=(c_{1}x+c_{2})y_{1}(x)=c_{1}xy_{1}(x)+c_{2}y_{1}(x).}
1944:
2497:], let us try a solution of the full non-homogeneous equation in the form:
3805:{\displaystyle \mu (t)=e^{\int ({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t))dt}}
2840:{\displaystyle y_{2}''=v''(t)y_{1}(t)+2v'(t)y_{1}'(t)+v(t)y_{1}''(t).}
1609:
are constants of integration. We now can write our second solution as
188:
4569:
is found, containing one constant of integration. Then, integrate
3203:
is a solution of the original homogeneous differential equation,
2337:
is the second linearly independent solution we were looking for.
1198:
into the second term's coefficient yields (for that coefficient)
4299:
Multiplying the differential equation by the integrating factor
3449:{\displaystyle y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'=r(t)}
2345:
Given the general non-homogeneous linear differential equation
708:
must satisfy the original ODE, we substitute it back in to get
18:
4700:
Elementary
Differential Equations and Boundary Value Problems
16:
Technique for solving linear ordinary differential equations
4751:
Second-Order
Ordinary Differential Equation Second Solution
1898:{\displaystyle y_{2}(x)=xy_{1}(x)=xe^{-{\frac {b}{2a}}x}.}
4702:(8th ed.). Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc.
899:
Rearranging this equation in terms of the derivatives of
493:{\displaystyle ay''(x)+by'(x)+{\frac {b^{2}}{4a}}y(x)=0,}
4141:
this integrating factor can be more neatly expressed as
3312:{\displaystyle y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t)=0}
2002:
4723:
4609:
4575:
4541:
4363:
4334:
4305:
4147:
3821:
3697:
3532:
3496:
3462:
3325:
3209:
3173:
2925:
2900:
2875:
2855:
2699:
2593:
2564:
2503:
2468:
2432:
2351:
2307:
1952:
1913:
1813:
1777:
1615:
1575:
1517:
1484:
1444:
1424:
1378:
1204:
1168:
1132:
934:
905:
714:
678:
649:
579:
506:
400:
361:
321:
234:
201:
153:
113:
219:
Second-order linear ordinary differential equations
4668:
4595:
4561:
4525:
4349:
4320:
4291:
4130:
3804:
3677:
3518:
3482:
3448:
3311:
3195:
3157:
2911:
2886:
2861:
2839:
2686:{\displaystyle y_{2}'=v'(t)y_{1}(t)+v(t)y_{1}'(t)}
2685:
2579:
2550:
2489:
2454:
2418:
2329:
2291:
1935:
1897:
1799:
1761:
1601:
1561:
1501:
1466:
1430:
1408:
1362:
1190:
1154:
1116:
920:
891:
700:
664:
635:
562:
492:
386:
339:
307:
207:
175:
135:
3456:which is a first-order differential equation for
570:can be found using its characteristic equation.
46:but its sources remain unclear because it lacks
4698:Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2005).
1907:Finally, we can prove that the second solution
672:is an unknown function to be determined. Since
563:{\displaystyle y_{1}(x)=e^{-{\frac {b}{2a}}x},}
8:
4648:
4614:
4608:
4574:
4540:
4496:
4465:
4429:
4410:
4405:
4364:
4362:
4333:
4304:
4262:
4243:
4238:
4222:
4186:
4181:
4167:
4146:
4118:
4082:
4077:
4054:
4018:
3992:
3967:
3949:
3925:
3918:
3902:
3864:
3840:
3830:
3820:
3758:
3734:
3724:
3717:
3696:
3654:
3633:
3621:
3583:
3559:
3549:
3531:
3501:
3495:
3461:
3422:
3404:
3367:
3345:
3330:
3324:
3288:
3251:
3214:
3208:
3178:
3172:
3133:
3115:
3078:
3041:
3022:
3004:
2967:
2945:
2930:
2924:
2899:
2874:
2854:
2816:
2779:
2737:
2704:
2698:
2665:
2631:
2598:
2592:
2563:
2533:
2508:
2502:
2467:
2437:
2431:
2350:
2312:
2306:
2268:
2264:
2251:
2246:
2230:
2220:
2201:
2191:
2175:
2170:
2154:
2144:
2122:
2106:
2093:
2069:
2053:
2038:
2024:
2009:
1997:
1976:
1963:
1951:
1918:
1912:
1872:
1868:
1843:
1818:
1812:
1782:
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1731:
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1696:
1674:
1661:
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1593:
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1574:
1553:
1537:
1516:
1483:
1449:
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1423:
1386:
1377:
1334:
1330:
1281:
1277:
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1238:
1219:
1203:
1173:
1167:
1137:
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1094:
1074:
1068:
1056:
1037:
1003:
984:
947:
933:
904:
877:
854:
848:
831:
815:
778:
759:
735:
713:
683:
677:
648:
618:
584:
578:
537:
533:
511:
505:
453:
447:
399:
366:
360:
320:
233:
200:
158:
152:
118:
112:
77:Learn how and when to remove this message
4754:, From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
308:{\displaystyle ay''(x)+by'(x)+cy(x)=0,}
183:is desired. The method also applies to
4669:{\displaystyle y_{2}(t)=v(t)y_{1}(t).}
1511:This can be integrated twice to yield
187:-th order equations. In this case the
4535:After integrating the last equation,
2419:{\displaystyle y''+p(t)y'+q(t)y=r(t)}
636:{\displaystyle y_{2}(x)=v(x)y_{1}(x)}
7:
1478:(and thus always non-zero), we have
107:. It is employed when one solution
2919:in the differential equation, then
2551:{\displaystyle y_{2}=v(t)y_{1}(t)}
14:
3490:(reduction of order). Divide by
1562:{\displaystyle v(x)=c_{1}x+c_{2}}
2587:is an arbitrary function. Thus
100:for solving second-order linear
23:
4769:Ordinary differential equations
4660:
4654:
4641:
4635:
4626:
4620:
4590:
4584:
4556:
4550:
4509:
4503:
4489:
4483:
4477:
4471:
4442:
4436:
4422:
4416:
4398:
4392:
4344:
4338:
4315:
4309:
4275:
4269:
4255:
4249:
4219:
4213:
4201:
4198:
4192:
4174:
4157:
4151:
4115:
4109:
4097:
4094:
4088:
4070:
4051:
4045:
4033:
4030:
4024:
4011:
3989:
3983:
3961:
3955:
3940:
3934:
3894:
3888:
3876:
3870:
3855:
3849:
3791:
3788:
3782:
3770:
3764:
3749:
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3397:
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3300:
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3238:
3229:
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3127:
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3108:
3102:
3093:
3087:
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3065:
3056:
3050:
3034:
3019:
3016:
3010:
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2991:
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2976:
2957:
2942:
2936:
2831:
2825:
2809:
2803:
2794:
2788:
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2749:
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2724:
2680:
2674:
2658:
2652:
2643:
2637:
2624:
2618:
2574:
2568:
2545:
2539:
2526:
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2478:
2472:
2449:
2443:
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2407:
2395:
2389:
2372:
2366:
2324:
2318:
2131:
2099:
1991:
1985:
1982:
1956:
1930:
1924:
1855:
1849:
1830:
1824:
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1788:
1753:
1747:
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1686:
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1638:
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1626:
1527:
1521:
1461:
1455:
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1179:
1149:
1143:
915:
909:
695:
689:
659:
653:
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624:
611:
605:
596:
590:
523:
517:
500:from which only one solution,
478:
472:
441:
435:
418:
412:
293:
287:
275:
269:
252:
246:
170:
164:
130:
124:
1:
4732:American Mathematical Society
2849:If these are substituted for
2462:of the homogeneous equation [
351:except for the case when the
1409:{\displaystyle ay_{1}v''=0.}
1372:Therefore, we are left with
1602:{\displaystyle c_{1},c_{2}}
4785:
394:, vanishes. In this case,
195:−1)-th order equation for
1771:Since the second term in
387:{\displaystyle b^{2}-4ac}
3519:{\displaystyle y_{1}(t)}
3196:{\displaystyle y_{1}(t)}
2455:{\displaystyle y_{1}(t)}
2330:{\displaystyle y_{2}(x)}
1936:{\displaystyle y_{2}(x)}
1800:{\displaystyle y_{2}(x)}
1467:{\displaystyle y_{1}(x)}
1438:is assumed non-zero and
1191:{\displaystyle y_{1}(x)}
1155:{\displaystyle y_{1}(x)}
701:{\displaystyle y_{2}(x)}
349:characteristic equations
176:{\displaystyle y_{2}(x)}
136:{\displaystyle y_{1}(x)}
32:This article includes a
4685:Variation of parameters
4321:{\displaystyle \mu (t)}
61:more precise citations.
4670:
4597:
4563:
4527:
4351:
4322:
4293:
4132:
3806:
3679:
3520:
3484:
3450:
3319:, so we can reduce to
3313:
3197:
3159:
2913:
2888:
2863:
2841:
2687:
2581:
2552:
2491:
2490:{\displaystyle r(t)=0}
2456:
2426:and a single solution
2420:
2331:
2293:
1937:
1899:
1801:
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