1201:
2032:
860:
988:
1765:
683:
233:
509:
668:
1196:{\displaystyle \Omega _{i,j}={\begin{cases}{\frac {\left|\{t:t\in T,\,e_{i,j}\in t\}\right\vert }{\left|T\right\vert }},&(i,j)\in E\\{\frac {\left|T'-T\right\vert }{\left|T\right\vert }},&(i,j)\not \in E\end{cases}}}
2027:{\displaystyle \Omega _{i,j}=\Gamma _{i,i}+\Gamma _{j,j}-\Gamma _{i,j}-\Gamma _{j,i}=K_{i}K_{i}^{\textsf {T}}+K_{j}K_{j}^{\textsf {T}}-K_{i}K_{j}^{\textsf {T}}-K_{j}K_{i}^{\textsf {T}}=\left(K_{i}-K_{j}\right)^{2}}
309:
2208:
1708:
688:
930:
1757:
1632:
1274:
2311:
1450:
1346:
2748:
855:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{(i,j)\in E}\Omega _{i,j}&=N-1\\\sum _{i<j\in V}\Omega _{i,j}&=N\sum _{k=1}^{N-1}\lambda _{k}^{-1}\end{aligned}}}
1574:
1554:
1534:
1514:
1494:
1474:
1414:
1394:
1366:
1314:
1294:
2459:
126:
402:
2437:
Babic, D.; Klein, D. J.; Lukovits, I.; Nikolic, S.; Trinajstic, N. (2002). "Resistance-distance matrix: a computational algorithm and its application".
563:
240:
2295:
2127:
1652:
2429:
524:
84:
72:
56:
32:
971:
2549:
Bendito, Enrique; Carmona, Angeles; Encinas, Andres M.; Gesto, Jose M. (2008). "A formula for the
Kirchhoff index".
2474:
315:
886:
1724:
1579:
2753:
963:
60:
44:
28:
2711:
2680:
2587:
2558:
2498:
551:
68:
2646:
Zhou, Bo (2011). "On sum of powers of
Laplacian eigenvalues and Laplacian Estrada Index of graphs".
1016:
2240:
673:
From this generalized sum rule a number of relationships can be derived depending on the choice of
2671:
Zhang, Heping; Yang, Yujun (2007). "Resistance distance and
Kirchhoff index in circulant graphs".
2727:
2655:
2634:
2537:
2383:
2305:
2038:
48:
1241:
2291:
967:
1422:
2719:
2688:
2624:
2616:
2595:
2566:
2529:
2506:
2446:
2425:
2404:
2375:
2341:
2283:
877:
323:
2353:
1319:
2702:
Yang, Yujun; Zhang, Heping (2008). "Some rules on resistance distance with applications".
2395:
Gutman, Ivan; Mohar, Bojan (1996). "The quasi-Wiener and the
Kirchhoff indices coincide".
2349:
2274:
Chandra, Ashok K and
Raghavan, Prabhakar and Ruzzo, Walter L and Smolensky, Roman (1989).
36:
2723:
2533:
2715:
2684:
2591:
2562:
2520:
Placios, Jose Luis (2004). "Foster's formulas via probability and the
Kirchhoff index".
2502:
2260:
1559:
1539:
1519:
1499:
1479:
1459:
1399:
1379:
1351:
1299:
1279:
228:{\displaystyle \Omega _{i,j}:=\Gamma _{i,i}+\Gamma _{j,j}-\Gamma _{i,j}-\Gamma _{j,i},}
2607:
Zhou, Bo; Trinajstic, Nenad (2009). "On resistance-distance and the
Kirchhoff index".
2280:
Proceedings of the twenty-first annual ACM symposium on Theory of computing - STOC '89
504:{\displaystyle \Omega _{i,j}=\Omega _{j,i}=\Gamma _{i,i}+\Gamma _{j,j}-2\Gamma _{i,j}}
2742:
2731:
2638:
2541:
2387:
2578:
Zhou, Bo; Trinajstic, Nenad (2009). "The
Kirchhoff index and the matching number".
2486:
1496:. The commute time is the expected number of steps in a random walk that starts at
20:
663:{\displaystyle \sum _{i,j\in V}(LML)_{i,j}\Omega _{i,j}=-2\operatorname {tr} (ML)}
2275:
1453:
873:
2629:
2620:
2345:
2511:
2416:
Palacios, Jose Luis (2001). "Closed-form formulas for the
Kirchhoff index".
2326:
2276:"The electrical resistance of a graph captures its commute and cover times"
2037:
showing that the square root of the resistance distance corresponds to the
2287:
2379:
2692:
2599:
2570:
2450:
2408:
2660:
304:{\displaystyle \Gamma =\left(L+{\frac {1}{|V|}}\Phi \right)^{+},}
2430:
10.1002/1097-461X(2001)81:2<135::AID-QUA4>3.0.CO;2-G
1717:
is also symmetric and positive semi-definite. Thus, there is a
1576:
edges, the resistance distance and commute time are related as
64:
2366:
Klein, D. J.; Randic, M. J. (1993). "Resistance
Distance".
1189:
2485:
Bapat, Ravindra B.; Gutman, Ivan; Xiao, Wenjun (2003).
939:
Relationship to the number of spanning trees of a graph
2203:{\displaystyle {\frac {F_{2(n-i)+1}F_{2i-1}}{F_{2n}}}}
2130:
1768:
1727:
1703:{\displaystyle \left(L+{\frac {1}{|V|}}\Phi \right),}
1655:
1582:
1562:
1542:
1522:
1502:
1482:
1462:
1425:
1402:
1382:
1354:
1322:
1302:
1282:
1244:
991:
889:
686:
566:
405:
243:
129:
2487:"A simple method for computing resistance distance"
16:
Graph metric of electrical resistance between nodes
2202:
2026:
1751:
1702:
1626:
1568:
1548:
1528:
1508:
1488:
1468:
1444:
1408:
1388:
1360:
1340:
1308:
1288:
1276:, the resistance distance between a pair of nodes
1268:
1195:
924:
854:
662:
503:
303:
227:
1646:is symmetric and positive semi-definite, so is
2060:vertices where there is an edge between vertex
2334:Indian Journal of Pure and Applied Mathematics
8:
2310:: CS1 maint: multiple names: authors list (
1070:
1026:
935:is called the Kirchhoff index of the graph.
1210:is the set of spanning trees for the graph
962:between two vertices may be expressed as a
925:{\displaystyle \sum _{i<j}\Omega _{i,j}}
2659:
2628:
2510:
2189:
2169:
2138:
2131:
2129:
2018:
2007:
1994:
1975:
1974:
1973:
1968:
1958:
1945:
1944:
1943:
1938:
1928:
1915:
1914:
1913:
1908:
1898:
1885:
1884:
1883:
1878:
1868:
1849:
1830:
1811:
1792:
1773:
1767:
1743:
1742:
1741:
1726:
1681:
1673:
1667:
1654:
1612:
1587:
1581:
1561:
1541:
1521:
1501:
1481:
1461:
1430:
1424:
1401:
1381:
1376:The resistance distance between vertices
1353:
1321:
1301:
1281:
1243:
1121:
1052:
1047:
1019:
1011:
996:
990:
910:
894:
888:
839:
834:
818:
807:
781:
759:
723:
695:
687:
685:
621:
605:
571:
565:
489:
467:
448:
429:
410:
404:
292:
276:
268:
262:
242:
210:
191:
172:
153:
134:
128:
2327:"Resistance distance in wheels and fans"
1752:{\displaystyle \Gamma =KK^{\textsf {T}}}
2252:
2103:The resistance distance between vertex
1627:{\displaystyle C_{u,v}=2m\Omega _{u,v}}
2303:
2081:, and there is an edge between vertex
2749:Electrical resistance and conductance
51:, constructed so as to correspond to
7:
47:between two equivalent points on an
2325:Bapat, R. B.; Gupta, Somit (2010).
2534:10.1023/B:MCAP.0000045086.76839.54
1846:
1827:
1808:
1789:
1770:
1728:
1689:
1609:
993:
907:
778:
720:
618:
486:
464:
445:
426:
407:
284:
244:
207:
188:
169:
150:
131:
14:
2049:Connection with Fibonacci numbers
1316:is the probability that the edge
368:Properties of resistance distance
2648:Match Commun. Math. Comput. Chem
1348:is in a random spanning tree of
2460:"Resistance Distance Sum Rules"
1638:As a squared Euclidean distance
2724:10.1088/1751-8113/41/44/445203
2154:
2142:
1682:
1674:
1335:
1323:
1257:
1245:
1238:. In other words, for an edge
1177:
1165:
1108:
1096:
708:
696:
657:
648:
602:
589:
277:
269:
1:
943:For a simple connected graph
340:is the number of vertices in
2522:Method. Comput. Appl. Probab
2473:(2): 633–649. Archived from
1372:Relationship to random walks
2770:
2224:-th Fibonacci number, for
2053:A fan graph is a graph on
1269:{\displaystyle (i,j)\in E}
396:. For an undirected graph
364:matrix containing all 1s.
2621:10.1007/s10910-008-9459-3
2397:J. Chem. Inf. Comput. Sci
2346:10.1007/s13226-010-0004-2
2041:in the space spanned by
1713:thus its pseudo-inverse
2704:J. Phys. A: Math. Theor
2512:10.1515/zna-2003-9-1003
1445:{\displaystyle C_{u,v}}
1416:is proportional to the
2204:
2028:
1753:
1704:
1628:
1570:
1550:
1530:
1510:
1490:
1470:
1446:
1410:
1390:
1362:
1342:
1310:
1290:
1270:
1197:
926:
880:. This unordered sum
856:
829:
664:
525:simple connected graph
505:
305:
229:
2458:Klein, D. J. (2002).
2261:"Resistance Distance"
2205:
2029:
1754:
1705:
1629:
1571:
1551:
1531:
1511:
1491:
1471:
1447:
1411:
1391:
1363:
1343:
1341:{\displaystyle (i,j)}
1311:
1291:
1271:
1198:
927:
857:
803:
665:
506:
316:Moore–Penrose inverse
306:
230:
106:between two vertices
2673:Int. J. Quantum Chem
2580:Int. J. Quantum Chem
2551:Int. J. Quantum Chem
2439:Int. J. Quantum Chem
2418:Int. J. Quantum Chem
2282:. pp. 574–685.
2128:
1766:
1725:
1653:
1642:Since the Laplacian
1580:
1560:
1540:
1520:
1500:
1480:
1460:
1423:
1400:
1380:
1352:
1320:
1300:
1280:
1242:
989:
887:
684:
564:
403:
241:
127:
59:being replaced by a
2716:2008JPhA...41R5203Y
2685:2007IJQC..107..330Z
2592:2009IJQC..109.2978Z
2563:2008IJQC..108.1200B
2503:2003ZNatA..58..494B
2467:Croatica Chem. Acta
2288:10.1145/73007.73062
2241:Conductance (graph)
1980:
1950:
1920:
1890:
1556:. For a graph with
960:resistance distance
847:
677:. Two of note are;
92:resistance distance
25:resistance distance
2630:10338.dmlcz/140814
2380:10.1007/BF01164627
2200:
2039:Euclidean distance
2024:
1964:
1934:
1904:
1874:
1759:and we can write:
1749:
1700:
1624:
1566:
1546:
1526:
1506:
1486:
1466:
1442:
1406:
1386:
1358:
1338:
1306:
1286:
1266:
1193:
1188:
922:
905:
852:
850:
830:
776:
718:
660:
588:
501:
314:with denotes the
301:
225:
49:electrical network
43:, is equal to the
2693:10.1002/qua.21068
2600:10.1002/qua.21915
2586:(13): 2978–2981.
2571:10.1002/qua.21588
2497:(9–10): 494–498.
2451:10.1002/qua.10057
2409:10.1021/ci960007t
2198:
1977:
1947:
1917:
1887:
1745:
1687:
1569:{\displaystyle m}
1549:{\displaystyle u}
1536:, and returns to
1529:{\displaystyle v}
1509:{\displaystyle u}
1489:{\displaystyle v}
1469:{\displaystyle u}
1409:{\displaystyle u}
1389:{\displaystyle u}
1361:{\displaystyle G}
1309:{\displaystyle j}
1289:{\displaystyle i}
1158:
1089:
890:
872:are the non-zero
755:
691:
567:
282:
2761:
2735:
2696:
2665:
2663:
2642:
2632:
2603:
2574:
2557:(6): 1200–1206.
2545:
2516:
2514:
2481:
2479:
2464:
2454:
2433:
2412:
2391:
2358:
2357:
2331:
2322:
2316:
2315:
2309:
2301:
2271:
2265:
2264:
2257:
2230:
2223:
2219:
2209:
2207:
2206:
2201:
2199:
2197:
2196:
2184:
2183:
2182:
2164:
2163:
2132:
2120:
2109:
2099:
2094:i = 1, 2, 3, …,
2091:
2084:
2080:
2070:
2063:
2059:
2044:
2033:
2031:
2030:
2025:
2023:
2022:
2017:
2013:
2012:
2011:
1999:
1998:
1979:
1978:
1972:
1963:
1962:
1949:
1948:
1942:
1933:
1932:
1919:
1918:
1912:
1903:
1902:
1889:
1888:
1882:
1873:
1872:
1860:
1859:
1841:
1840:
1822:
1821:
1803:
1802:
1784:
1783:
1758:
1756:
1755:
1750:
1748:
1747:
1746:
1720:
1716:
1709:
1707:
1706:
1701:
1696:
1692:
1688:
1686:
1685:
1677:
1668:
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1631:
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1597:
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1573:
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1567:
1555:
1553:
1552:
1547:
1535:
1533:
1532:
1527:
1515:
1513:
1512:
1507:
1495:
1493:
1492:
1487:
1475:
1473:
1472:
1467:
1451:
1449:
1448:
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1440:
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1413:
1412:
1407:
1395:
1393:
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1293:
1292:
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