25:
1312:
1162:
479:
963:
682:
813:
265:
42:
603:
1213:
1003:
359:
1038:
185:
1249:
554:
155:
502:
839:
708:
1064:
894:
865:
734:
311:
522:
285:
1069:
367:
89:
61:
68:
75:
1353:
899:
57:
1372:
1296:
108:
46:
613:
741:
193:
82:
1377:
559:
1167:
130:
1346:
968:
324:
35:
1010:
160:
1220:
1275:
1339:
122:
535:
136:
1292:
484:
818:
687:
1043:
873:
844:
713:
290:
1157:{\displaystyle {\mathbb {E}}(e^{\lambda (X-{\mathbb {E}}(X))})\leq e^{K^{2}\lambda ^{2}}}
474:{\displaystyle \|X\|_{\psi _{1}}:=\inf \ \{K>0\mid {\mathbb {E}}(e^{|X|/K})\leq 2\},}
1323:
507:
270:
1366:
1252:
529:
1319:
133:
whose tails decay at an exponential rate, or faster: a real-valued distribution
24:
1277:
High-Dimensional
Probability: An Introduction with Applications in Data Science
1311:
607:
Subexponentiality can also be expressed in the following equivalent ways:
1280:, Roman Vershynin, University of California, Irvine, June 9, 2020
958:{\displaystyle {\mathbb {E}}(e^{\lambda |X|})\leq e^{K\lambda }}
18:
541:
172:
142:
1291:, Martin J. Wainwright, Cambridge University Press, 2019,
1327:
1289:
High-Dimensional
Statistics: A Non-Asymptotic Viewpoint
677:{\displaystyle {\mathbb {P}}(|X|\geq x)\leq 2e^{-Kx},}
1223:
1170:
1072:
1046:
1013:
971:
902:
876:
847:
821:
744:
716:
690:
616:
562:
538:
510:
487:
370:
327:
293:
273:
196:
163:
139:
808:{\displaystyle {\mathbb {E}}(|X|^{p})^{1/p}\leq Kp,}
260:{\displaystyle {\mathbb {P}}(|X|\geq x)=O(e^{-Kx})}
157:is called subexponential if, for a random variable
49:. Unsourced material may be challenged and removed.
1243:
1207:
1156:
1058:
1032:
997:
957:
888:
859:
833:
807:
728:
702:
676:
597:
548:
516:
496:
473:
353:
305:
279:
259:
179:
149:
397:
58:"Subexponential distribution" light-tailed
532:. An equivalent condition for a distribution
1347:
598:{\displaystyle \|X\|_{\psi _{1}}<\infty .}
16:Type of light-tailed probability distribution
8:
570:
563:
465:
403:
378:
371:
335:
328:
1354:
1340:
1234:
1226:
1224:
1222:
1208:{\displaystyle -1/K\leq \lambda \leq 1/K}
1197:
1177:
1169:
1146:
1136:
1131:
1102:
1101:
1100:
1087:
1075:
1074:
1073:
1071:
1045:
1016:
1015:
1014:
1012:
987:
970:
946:
929:
921:
917:
905:
904:
903:
901:
875:
846:
820:
783:
779:
769:
764:
755:
747:
746:
745:
743:
715:
689:
659:
635:
627:
619:
618:
617:
615:
578:
573:
561:
540:
539:
537:
509:
486:
446:
441:
433:
432:
420:
419:
418:
386:
381:
369:
343:
338:
326:
292:
272:
242:
215:
207:
199:
198:
197:
195:
171:
170:
162:
141:
140:
138:
109:Learn how and when to remove this message
1265:
998:{\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1/K}
354:{\displaystyle \|\cdot \|_{\psi _{1}}}
361:, of a random variable is defined by
7:
1308:
1306:
47:adding citations to reliable sources
1271:
1269:
589:
556:to be subexponential is then that
491:
14:
481:where the infimum is taken to be
1310:
1033:{\displaystyle {\mathbb {E}}(X)}
180:{\displaystyle X\sim {\cal {D}}}
23:
34:needs additional citations for
1235:
1227:
1121:
1116:
1113:
1107:
1091:
1080:
1027:
1021:
936:
930:
922:
910:
776:
765:
756:
752:
646:
636:
628:
624:
456:
442:
434:
425:
254:
235:
226:
216:
208:
204:
1:
1244:{\displaystyle {\sqrt {|X|}}}
1040:exists and for some constant
1326:. You can help Knowledge by
127:subexponential distribution
1394:
1305:
549:{\displaystyle {\cal {D}}}
150:{\displaystyle {\cal {D}}}
1373:Continuous distributions
528:This is an example of a
497:{\displaystyle +\infty }
131:probability distribution
834:{\displaystyle p\geq 1}
703:{\displaystyle x\geq 0}
1322:-related article is a
1245:
1209:
1158:
1060:
1059:{\displaystyle K>0}
1034:
999:
959:
890:
889:{\displaystyle K>0}
861:
860:{\displaystyle K>0}
835:
809:
730:
729:{\displaystyle K>0}
704:
678:
599:
550:
518:
498:
475:
355:
307:
306:{\displaystyle K>0}
281:
261:
181:
151:
125:, one definition of a
1246:
1210:
1159:
1061:
1035:
1000:
960:
891:
862:
836:
810:
731:
705:
679:
600:
551:
519:
499:
476:
356:
308:
282:
262:
182:
152:
1221:
1168:
1070:
1044:
1011:
969:
900:
874:
845:
819:
742:
714:
688:
614:
560:
536:
508:
485:
368:
325:
291:
271:
194:
161:
137:
43:improve this article
319:subexponential norm
1241:
1205:
1154:
1056:
1030:
995:
955:
886:
870:For some constant
857:
841:and some constant
831:
805:
726:
710:and some constant
700:
674:
595:
546:
514:
494:
471:
351:
303:
287:and some constant
277:
257:
177:
147:
123:probability theory
1378:Mathematics stubs
1335:
1334:
1239:
517:{\displaystyle K}
402:
280:{\displaystyle x}
119:
118:
111:
93:
1385:
1356:
1349:
1342:
1314:
1307:
1281:
1273:
1250:
1248:
1247:
1242:
1240:
1238:
1230:
1225:
1214:
1212:
1211:
1206:
1201:
1181:
1163:
1161:
1160:
1155:
1153:
1152:
1151:
1150:
1141:
1140:
1120:
1119:
1106:
1105:
1079:
1078:
1065:
1063:
1062:
1057:
1039:
1037:
1036:
1031:
1020:
1019:
1004:
1002:
1001:
996:
991:
964:
962:
961:
956:
954:
953:
935:
934:
933:
925:
909:
908:
895:
893:
892:
887:
866:
864:
863:
858:
840:
838:
837:
832:
814:
812:
811:
806:
792:
791:
787:
774:
773:
768:
759:
751:
750:
735:
733:
732:
727:
709:
707:
706:
701:
683:
681:
680:
675:
670:
669:
639:
631:
623:
622:
604:
602:
601:
596:
585:
584:
583:
582:
555:
553:
552:
547:
545:
544:
523:
521:
520:
515:
503:
501:
500:
495:
480:
478:
477:
472:
455:
454:
450:
445:
437:
424:
423:
400:
393:
392:
391:
390:
360:
358:
357:
352:
350:
349:
348:
347:
312:
310:
309:
304:
286:
284:
283:
278:
266:
264:
263:
258:
253:
252:
219:
211:
203:
202:
186:
184:
183:
178:
176:
175:
156:
154:
153:
148:
146:
145:
114:
107:
103:
100:
94:
92:
51:
27:
19:
1393:
1392:
1388:
1387:
1386:
1384:
1383:
1382:
1363:
1362:
1361:
1360:
1303:
1285:
1284:
1274:
1267:
1262:
1219:
1218:
1166:
1165:
1142:
1132:
1127:
1083:
1068:
1067:
1042:
1041:
1009:
1008:
967:
966:
942:
913:
898:
897:
872:
871:
843:
842:
817:
816:
775:
763:
740:
739:
712:
711:
686:
685:
655:
612:
611:
574:
569:
558:
557:
534:
533:
506:
505:
483:
482:
428:
382:
377:
366:
365:
339:
334:
323:
322:
289:
288:
269:
268:
238:
192:
191:
159:
158:
135:
134:
115:
104:
98:
95:
52:
50:
40:
28:
17:
12:
11:
5:
1391:
1389:
1381:
1380:
1375:
1365:
1364:
1359:
1358:
1351:
1344:
1336:
1333:
1332:
1315:
1301:
1300:
1283:
1282:
1264:
1263:
1261:
1258:
1257:
1256:
1237:
1233:
1229:
1216:
1204:
1200:
1196:
1193:
1190:
1187:
1184:
1180:
1176:
1173:
1149:
1145:
1139:
1135:
1130:
1126:
1123:
1118:
1115:
1112:
1109:
1104:
1099:
1096:
1093:
1090:
1086:
1082:
1077:
1055:
1052:
1049:
1029:
1026:
1023:
1018:
1006:
994:
990:
986:
983:
980:
977:
974:
952:
949:
945:
941:
938:
932:
928:
924:
920:
916:
912:
907:
885:
882:
879:
868:
856:
853:
850:
830:
827:
824:
804:
801:
798:
795:
790:
786:
782:
778:
772:
767:
762:
758:
754:
749:
737:
725:
722:
719:
699:
696:
693:
673:
668:
665:
662:
658:
654:
651:
648:
645:
642:
638:
634:
630:
626:
621:
594:
591:
588:
581:
577:
572:
568:
565:
543:
526:
525:
513:
493:
490:
470:
467:
464:
461:
458:
453:
449:
444:
440:
436:
431:
427:
422:
417:
414:
411:
408:
405:
399:
396:
389:
385:
380:
376:
373:
346:
342:
337:
333:
330:
315:
314:
302:
299:
296:
276:
256:
251:
248:
245:
241:
237:
234:
231:
228:
225:
222:
218:
214:
210:
206:
201:
174:
169:
166:
144:
117:
116:
31:
29:
22:
15:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
1390:
1379:
1376:
1374:
1371:
1370:
1368:
1357:
1352:
1350:
1345:
1343:
1338:
1337:
1331:
1329:
1325:
1321:
1316:
1313:
1309:
1304:
1298:
1297:9781108498029
1294:
1290:
1287:
1286:
1279:
1278:
1272:
1270:
1266:
1259:
1254:
1231:
1217:
1202:
1198:
1194:
1191:
1188:
1185:
1182:
1178:
1174:
1171:
1147:
1143:
1137:
1133:
1128:
1124:
1110:
1097:
1094:
1088:
1084:
1053:
1050:
1047:
1024:
1007:
992:
988:
984:
981:
978:
975:
972:
950:
947:
943:
939:
926:
918:
914:
883:
880:
877:
869:
854:
851:
848:
828:
825:
822:
802:
799:
796:
793:
788:
784:
780:
770:
760:
738:
723:
720:
717:
697:
694:
691:
671:
666:
663:
660:
656:
652:
649:
643:
640:
632:
610:
609:
608:
605:
592:
586:
579:
575:
566:
531:
511:
488:
468:
462:
459:
451:
447:
438:
429:
415:
412:
409:
406:
394:
387:
383:
374:
364:
363:
362:
344:
340:
331:
320:
300:
297:
294:
274:
249:
246:
243:
239:
232:
229:
223:
220:
212:
190:
189:
188:
167:
164:
132:
128:
124:
113:
110:
102:
91:
88:
84:
81:
77:
74:
70:
67:
63:
60: –
59:
55:
54:Find sources:
48:
44:
38:
37:
32:This article
30:
26:
21:
20:
1328:expanding it
1317:
1302:
1288:
1276:
1253:sub-Gaussian
606:
527:
318:
316:
267:, for large
126:
120:
105:
96:
86:
79:
72:
65:
53:
41:Please help
36:verification
33:
1320:mathematics
530:Orlicz norm
504:if no such
1367:Categories
1260:References
69:newspapers
1192:≤
1189:λ
1186:≤
1172:−
1144:λ
1125:≤
1098:−
1089:λ
982:≤
979:λ
976:≤
951:λ
940:≤
919:λ
826:≥
794:≤
695:≥
661:−
650:≤
641:≥
590:∞
576:ψ
571:‖
564:‖
492:∞
460:≤
416:∣
384:ψ
379:‖
372:‖
341:ψ
336:‖
332:⋅
329:‖
244:−
221:≥
168:∼
1164:for all
965:for all
815:for all
684:for all
129:is as a
99:May 2024
524:exists.
83:scholar
1295:
401:
85:
78:
71:
64:
56:
1318:This
90:JSTOR
76:books
1324:stub
1293:ISBN
1051:>
881:>
852:>
721:>
587:<
410:>
317:The
298:>
187:,
62:news
1251:is
398:inf
121:In
45:by
1369::
1268:^
1066:,
896:,
395::=
321:,
1355:e
1348:t
1341:v
1330:.
1299:.
1255:.
1236:|
1232:X
1228:|
1215:.
1203:K
1199:/
1195:1
1183:K
1179:/
1175:1
1148:2
1138:2
1134:K
1129:e
1122:)
1117:)
1114:)
1111:X
1108:(
1103:E
1095:X
1092:(
1085:e
1081:(
1076:E
1054:0
1048:K
1028:)
1025:X
1022:(
1017:E
1005:.
993:K
989:/
985:1
973:0
948:K
944:e
937:)
931:|
927:X
923:|
915:e
911:(
906:E
884:0
878:K
867:.
855:0
849:K
829:1
823:p
803:,
800:p
797:K
789:p
785:/
781:1
777:)
771:p
766:|
761:X
757:|
753:(
748:E
736:.
724:0
718:K
698:0
692:x
672:,
667:x
664:K
657:e
653:2
647:)
644:x
637:|
633:X
629:|
625:(
620:P
593:.
580:1
567:X
542:D
512:K
489:+
469:,
466:}
463:2
457:)
452:K
448:/
443:|
439:X
435:|
430:e
426:(
421:E
413:0
407:K
404:{
388:1
375:X
345:1
313:.
301:0
295:K
275:x
255:)
250:x
247:K
240:e
236:(
233:O
230:=
227:)
224:x
217:|
213:X
209:|
205:(
200:P
173:D
165:X
143:D
112:)
106:(
101:)
97:(
87:·
80:·
73:·
66:·
39:.
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
