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Szegő limit theorems

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1502: 2033: 1153: 953: 1276: 1819: 212: 1856: 317: 1006: 794: 1497:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\det T_{n}(w)\right)^{\frac {1}{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\det T_{n}(w)}{\det T_{n-1}(w)}}=\exp \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log w(\theta )\,d\theta \right)} 777: 440: 648: 559: 509: 1702: 1655: 1694: 1206: 1577: 346: 684: 1848: 1266: 2028:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\det T_{n}(w)}{e^{(n+1){\widehat {c}}_{0}}}}=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }k\left|{\widehat {c}}_{k}\right|^{2}\right).} 1544: 96: 104: 218: 1607: 1226: 1148:{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{m=0}^{n-1}\lambda _{m}^{(n)}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }w(\theta )\,d\theta <\infty } 996: 976: 579: 65: 948:{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{m=0}^{n-1}F(\lambda _{m}^{(n)})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }F(w(\theta ))\,d\theta } 2049: 2143: 1610: 692: 351: 2083: 584: 2249: 2118: 2044: 2113: 514: 449: 1814:{\displaystyle {\widehat {c}}_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log(w(\theta ))e^{-ik\theta }\,d\theta } 2259: 2220:
Szegő, G. (1952). "On certain Hermitian forms associated with the Fourier series of a positive function".
2108: 1624: 20: 1660: 1178: 2136:
Szegő's Theorem and Its Descendants: Spectral Theory for L Perturbations of Orthogonal Polynomials
2202: 1549: 325: 2254: 2139: 2079: 653: 36: 1827: 1245: 207:{\displaystyle w(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}e^{ik\theta },\qquad \theta \in ,} 2194: 1523: 443: 312:{\displaystyle c_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }w(\theta )e^{-ik\theta }\,d\theta ,} 2229: 2093: 74: 2225: 2089: 1172: 32: 2183:"Ein Grenzwertsatz über die Toeplitzschen Determinanten einer reellen positiven Funktion" 1592: 1586: 1211: 981: 961: 564: 68: 50: 2243: 2206: 28: 2160: 2198: 2074:
Böttcher, Albrecht; Silbermann, Bernd (1990). "Toeplitz determinants".
2182: 772:{\displaystyle \det T_{n}(w)=\prod _{m=1}^{n-1}\lambda _{m}^{(n)}} 435:{\displaystyle T_{n}(w)=\left(c_{k-l}\right)_{0\leq k,l\leq n-1}} 1236:
The first Szegő theorem states that, if right-hand side of (
788:
Under suitable assumptions the Szegő theorem states that
643:{\displaystyle (\lambda _{m}^{(n)})_{0\leq m\leq n-1}} 1859: 1830: 1824:
The second (or strong) Szegő theorem states that, if
1705: 1663: 1627: 1595: 1552: 1526: 1279: 1248: 1214: 1181: 1009: 984: 964: 797: 695: 656: 587: 567: 517: 452: 354: 328: 221: 107: 77: 53: 2027: 1842: 1813: 1688: 1649: 1601: 1571: 1538: 1496: 1260: 1220: 1200: 1147: 990: 970: 947: 771: 678: 642: 573: 553: 503: 434: 340: 311: 206: 90: 59: 1879: 1861: 1386: 1362: 1344: 1302: 1281: 1011: 799: 696: 8: 2168:Foundations and Trends in Signal Processing 2161:"Toeplitz and Circulant Matrices: A Review" 2129: 2127: 554:{\displaystyle c_{-k}={\overline {c_{k}}}} 2138:. Princeton: Princeton University Press. 2011: 2001: 1990: 1989: 1974: 1963: 1935: 1924: 1923: 1906: 1886: 1876: 1864: 1858: 1829: 1804: 1789: 1752: 1747: 1728: 1719: 1708: 1707: 1704: 1680: 1662: 1641: 1630: 1629: 1626: 1594: 1563: 1551: 1525: 1482: 1455: 1450: 1431: 1393: 1369: 1359: 1347: 1329: 1309: 1284: 1278: 1247: 1213: 1186: 1180: 1132: 1111: 1106: 1087: 1072: 1067: 1051: 1040: 1026: 1014: 1008: 983: 963: 938: 908: 903: 884: 866: 861: 839: 828: 814: 802: 796: 757: 752: 736: 725: 703: 694: 661: 655: 616: 600: 595: 586: 566: 540: 534: 522: 516: 504:{\displaystyle T_{n}(w)=T_{n}(w)^{\ast }} 495: 479: 457: 451: 402: 386: 359: 353: 327: 299: 284: 259: 254: 235: 226: 220: 161: 151: 141: 127: 106: 82: 76: 52: 27:describe the asymptotic behaviour of the 2078:. Berlin: Springer-Verlag. p. 525. 2061: 650:are real-valued and the determinant of 2107:Ehrhardt, T.; Silbermann, B. (2001) , 16:Determinant of large Toeplitz matrices 7: 2069: 2067: 2065: 1611:arithmetic-geometric mean inequality 1270: 1000: 978:that is continuous on the range of 1975: 1871: 1650:{\displaystyle {\widehat {c}}_{k}} 1354: 1291: 1142: 1021: 809: 142: 137: 14: 1689:{\displaystyle \log w\in L^{1}} 176: 2076:Analysis of Toeplitz operators 1919: 1907: 1898: 1892: 1868: 1782: 1779: 1773: 1767: 1657:be the Fourier coefficient of 1479: 1473: 1411: 1405: 1381: 1375: 1351: 1321: 1315: 1288: 1201:{\displaystyle \lambda ^{(n)}} 1193: 1187: 1129: 1123: 1079: 1073: 1018: 935: 932: 926: 920: 878: 873: 867: 854: 806: 764: 758: 715: 709: 673: 667: 613: 607: 601: 588: 492: 485: 469: 463: 371: 365: 277: 271: 198: 183: 117: 111: 1: 1208:converges to the integral of 2222:Comm. Sém. Math. Univ. Lund 2045:Trigonometric moment problem 546: 98:, relating to each other as 35:. They were first proved by 2114:Encyclopedia of Mathematics 1581: 1238: 2276: 1572:{\displaystyle w\in L_{1}} 71:with Fourier coefficients 341:{\displaystyle n\times n} 2159:Gray, Robert M. (2006). 679:{\displaystyle T_{n}(w)} 1843:{\displaystyle w\geq 0} 1261:{\displaystyle w\geq 0} 2109:"Szegö_limit_theorems" 2029: 1979: 1844: 1815: 1690: 1651: 1603: 1573: 1540: 1539:{\displaystyle w>0} 1498: 1262: 1222: 1202: 1149: 1062: 992: 972: 949: 850: 773: 747: 680: 644: 575: 555: 505: 436: 342: 313: 208: 146: 92: 61: 2134:Simon, Barry (2011). 2030: 1959: 1845: 1816: 1691: 1652: 1609:(well-defined by the 1604: 1574: 1541: 1499: 1263: 1223: 1203: 1150: 1036: 993: 973: 950: 824: 774: 721: 681: 645: 576: 556: 506: 437: 343: 314: 209: 123: 93: 91:{\displaystyle c_{k}} 62: 21:mathematical analysis 2250:Theorems in analysis 2050:Verblunsky's theorem 1857: 1828: 1703: 1661: 1625: 1617:Second Szegő theorem 1593: 1550: 1524: 1277: 1246: 1212: 1179: 1007: 982: 962: 795: 693: 654: 585: 565: 515: 450: 352: 326: 219: 105: 75: 51: 25:Szegő limit theorems 1760: 1463: 1232:First Szegő theorem 1119: 1083: 916: 877: 768: 611: 267: 2199:10.1007/BF01458220 2181:Szegő, G. 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In particular 997: 995: 994: 989: 977: 975: 974: 969: 954: 952: 951: 946: 915: 907: 898: 896: 885: 876: 865: 849: 838: 823: 815: 812: 778: 776: 775: 770: 767: 756: 746: 735: 708: 707: 685: 683: 682: 677: 666: 665: 649: 647: 646: 641: 639: 638: 610: 599: 581:and eigenvalues 580: 578: 577: 572: 560: 558: 557: 552: 550: 545: 544: 535: 530: 529: 510: 508: 507: 502: 500: 499: 484: 483: 462: 461: 441: 439: 438: 433: 431: 430: 401: 397: 396: 364: 363: 347: 345: 344: 339: 318: 316: 315: 310: 298: 297: 266: 258: 249: 247: 236: 231: 230: 213: 211: 210: 205: 172: 171: 156: 155: 145: 140: 97: 95: 94: 89: 87: 86: 66: 64: 63: 58: 2275: 2274: 2270: 2269: 2268: 2266: 2265: 2264: 2240: 2239: 2238: 2237: 2219: 2218: 2214: 2180: 2179: 2175: 2163: 2158: 2157: 2153: 2146: 2133: 2132: 2125: 2106: 2105: 2101: 2086: 2073: 2072: 2063: 2058: 2041: 1988: 1984: 1983: 1958: 1954: 1922: 1902: 1882: 1878: 1855: 1854: 1826: 1825: 1785: 1733: 1706: 1701: 1700: 1676: 1659: 1658: 1628: 1623: 1622: 1619: 1591: 1590: 1559: 1548: 1547: 1522: 1521: 1510: 1436: 1430: 1426: 1389: 1385: 1365: 1361: 1305: 1301: 1297: 1296: 1275: 1274: 1244: 1243: 1234: 1210: 1209: 1182: 1177: 1176: 1173:arithmetic mean 1161: 1092: 1005: 1004: 980: 979: 960: 959: 889: 793: 792: 786: 699: 691: 690: 657: 652: 651: 612: 583: 582: 563: 562: 536: 518: 513: 512: 491: 475: 453: 448: 447: 382: 378: 377: 355: 350: 349: 324: 323: 280: 240: 222: 217: 216: 157: 147: 103: 102: 78: 73: 72: 49: 48: 45: 17: 12: 11: 5: 2273: 2271: 2263: 2262: 2260:Linear algebra 2257: 2252: 2242: 2241: 2236: 2235: 2212: 2193:(4): 490–503. 2173: 2151: 2144: 2123: 2099: 2084: 2060: 2059: 2057: 2054: 2053: 2052: 2047: 2040: 2037: 2036: 2035: 2024: 2020: 2014: 2009: 2004: 1997: 1994: 1987: 1982: 1977: 1972: 1969: 1966: 1962: 1957: 1953: 1950: 1947: 1938: 1931: 1928: 1921: 1918: 1915: 1912: 1909: 1905: 1900: 1897: 1894: 1889: 1885: 1881: 1873: 1870: 1867: 1863: 1839: 1836: 1833: 1822: 1821: 1810: 1807: 1801: 1798: 1795: 1792: 1788: 1784: 1781: 1778: 1775: 1772: 1769: 1766: 1763: 1758: 1755: 1750: 1746: 1739: 1736: 1732: 1727: 1722: 1715: 1712: 1683: 1679: 1675: 1672: 1669: 1666: 1644: 1637: 1634: 1618: 1615: 1598: 1587:geometric mean 1579:. 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Index

mathematical analysis
determinants
Toeplitz matrices
Gábor Szegő
Fourier series
Hermitian
arithmetic mean
1
2
geometric mean
arithmetic-geometric mean inequality
Trigonometric moment problem
Verblunsky's theorem



ISBN
3-540-52147-X
MR
1071374
"Szegö_limit_theorems"
Encyclopedia of Mathematics
EMS Press


ISBN
978-0-691-14704-8
"Toeplitz and Circulant Matrices: A Review"
"Ein Grenzwertsatz über die Toeplitzschen Determinanten einer reellen positiven Funktion"
doi

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