2426:
1991:
1458:
2002:
1600:
1131:
708:
3729:
2421:{\displaystyle |u|_{k,\alpha ;\Omega }^{(m)}=|u|_{k;\Omega }^{(m)}+_{k,\alpha ;\Omega }^{(m)}=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|d_{x}^{|\beta |+m}D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}d_{x,y}^{m+k+\alpha }{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.}
1986:{\displaystyle |u|_{k,\alpha ;\Omega }^{*}=|u|_{k;\Omega }^{*}+_{k,\alpha ;\Omega }^{*}=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|d_{x}^{|\beta |}D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}d_{x,y}^{k+\alpha }{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}}
1120:
3366:
3147:
1453:{\displaystyle |u|_{k,\alpha ;\Omega }=|u|_{k;\Omega }+_{k,\alpha ;\Omega }=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.}
450:
77:
result, giving the Hölder condition for the solution in the entire domain. The former bound depends only on the spatial dimension, the equation, and the distance to the boundary; the latter depends on the smoothness of the boundary as well.
2707:
464:
878:
3538:
2905:
937:
228:
3203:
2952:
89:
for elliptic PDEs. This result says that when the coefficients of the equation and the nature of the boundary conditions are sufficiently smooth, there is a smooth classical solution to the PDE.
2982:
62:
of the solution can be controlled in terms of the Hölder norms for the coefficient and source terms. Since these estimates assume by hypothesis the existence of a solution, they are called
2498:
1515:
299:
2752:
1589:
141:
755:
3522:
3460:
3427:
3183:
2778:
311:
3907:
3489:
2975:
3394:
2811:
2518:
929:
251:
901:
703:{\displaystyle |f|_{0,\alpha ;\Omega }=|f|_{0;\Omega }+_{0,\alpha ;\Omega }=\sup _{x\in \Omega }|f(x)|+\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.}
3429:
domain (that is to say, about any point on the boundary of the domain the boundary hypersurface can be realized, after an appropriate rotation of coordinates, as a
2526:
3724:{\displaystyle |u|_{2,\alpha ;\Omega }\leq C(n,\alpha ,\lambda ,\Lambda ,\Omega )(|u|_{0,\Omega }+|f|_{0,\alpha ;\Omega }+|\phi |_{2,\alpha ;\partial \Omega }).}
763:
3867:
97:
The
Schauder estimates are given in terms of weighted Hölder norms; the notation will follow that given in the text of D. Gilbarg and
1115:{\displaystyle _{k,\alpha ;\Omega }=\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}}
2819:
3875:
3849:
3765:
3524:. Then subject to analogous conditions on the coefficients as in the case of the interior estimate, the unweighted Hölder norm of
149:
3361:{\displaystyle |u|_{2,\alpha ;\Omega }^{*}\leq C(n,\alpha ,\lambda ,\Lambda )(|u|_{0,\Omega }+|f|_{0,\alpha ;\Omega }^{(2)}).}
3142:{\displaystyle |a_{i,j}|_{0,\alpha ;\Omega },|b_{i}|_{0,\alpha ;\Omega }^{(1)},|c|_{0,\alpha ;\Omega }^{(2)}\leq \Lambda .}
2910:
51:
28:
717:, it is necessary to consider the higher order norms, involving derivatives. The norm in the space of functions with
2455:
1469:
256:
2715:
1526:
55:
3528:
is controlled by the unweighted norms of the source term, the boundary data, and the supremum norm of
904:
111:
82:
73:
result, giving a Hölder condition for the solution in interior domains away from the boundary, and a
724:
3821:(in German), vol. 5, Lwów, Poland: Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny, pp. 34–42
3494:
3432:
3399:
3155:
2757:
302:
59:
24:
445:{\displaystyle _{0,\alpha ;\Omega }=\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.}
3790:
1594:
raised to the appropriate power. The resulting weighted interior norm for a function is given by
3881:
3871:
3845:
3761:
3739:
3465:
2960:
86:
63:
48:
3379:
2783:
2503:
914:
236:
3807:
3782:
3774:
2702:{\displaystyle \sum _{i,j}a_{i,j}(x)D_{i}D_{j}u(x)+\sum _{i}b_{i}(x)D_{i}u(x)+c(x)u(x)=f(x)}
886:
36:
3892:
3801:
3781:(in German), vol. 38, no. 1, Berlin, Germany: Springer-Verlag, pp. 257–282,
3889:
3833:
3798:
873:{\displaystyle |u|_{k;\Omega }=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }u(x)|}
3753:
2437:
2436:
The formulations in this section are taken from the text of D. Gilbarg and
98:
3901:
3837:
3794:
3811:
1463:
For the interior estimates, the norms are weighted by the distance to the boundary
3859:
20:
1520:
raised to the same power as the derivative, and the seminorms are weighted by
1996:
It is occasionally necessary to add "extra" powers of the weight, denoted by
3885:
3777:(1934), "Ăśber lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung",
3812:"Numerische Abschätzungen in elliptischen linearen Differentialgleichungen"
2957:
and the relevant norms coefficients are all bounded by another constant
3786:
3462:
function), with
Dirichlet boundary data that coincides with a function
2900:{\displaystyle \sum a_{i,j}(x)\xi _{i}\xi _{j}\geq \lambda |\xi |^{2}}
3844:, vol. 2 (1st English ed.), New York: Wiley-Interscience,
81:
The
Schauder estimates are a necessary precondition to using the
911:
th order derivatives which are Hölder continuous with exponent
47:) concerning the regularity of solutions to linear, uniformly
2520:
to the elliptic, second order, partial differential equation
54:. The estimates say that when the equation has appropriately
3742:, the first factor on the right hand side can be dropped.
223:{\displaystyle |f|_{0;\Omega }=\sup _{x\in \Omega }|f(x)|}
85:
to prove the existence and regularity of solutions to the
233:
For a function which is Hölder continuous with exponent
16:
Collection of results for partial differential equations
3758:
Elliptic
Partial Differential Equations of Second Order
3541:
3497:
3468:
3435:
3402:
3382:
3206:
3158:
2985:
2963:
2947:{\displaystyle x\in \Omega ,\xi \in \mathbb {R} ^{n}}
2913:
2822:
2786:
2760:
2718:
2529:
2506:
2458:
2005:
1603:
1529:
1472:
1134:
940:
917:
889:
766:
727:
467:
314:
259:
239:
152:
114:
58:terms and appropriately smooth solutions, then the
3723:
3516:
3483:
3454:
3421:
3388:
3360:
3177:
3141:
2969:
2946:
2899:
2805:
2772:
2746:
2701:
2512:
2492:
2420:
1985:
1583:
1509:
1452:
1114:
923:
895:
872:
749:
702:
444:
293:
245:
222:
135:
2441:
2243:
2161:
1817:
1741:
1549:
1308:
1257:
973:
823:
605:
564:
347:
183:
102:
455:The sum of the two is the full Hölder norm of
8:
2493:{\displaystyle u\in C^{2,\alpha }(\Omega )}
1510:{\displaystyle d_{x}=d(x,\partial \Omega )}
294:{\displaystyle f\in C^{0,\alpha }(\Omega )}
108:The supremum norm of a continuous function
3868:Courant Institute of Mathematical Sciences
907:of appropriate orders. For functions with
3694:
3689:
3680:
3659:
3654:
3645:
3630:
3625:
3616:
3556:
3551:
3542:
3540:
3502:
3496:
3467:
3440:
3434:
3407:
3401:
3381:
3340:
3323:
3318:
3309:
3294:
3289:
3280:
3238:
3221:
3216:
3207:
3205:
3163:
3157:
3118:
3101:
3096:
3087:
3072:
3055:
3050:
3043:
3034:
3013:
3008:
2995:
2986:
2984:
2962:
2938:
2934:
2933:
2912:
2891:
2886:
2877:
2865:
2855:
2830:
2821:
2791:
2785:
2759:
2747:{\displaystyle f\in C^{\alpha }(\Omega )}
2729:
2717:
2639:
2620:
2610:
2585:
2575:
2550:
2534:
2528:
2505:
2469:
2457:
2406:
2401:
2386:
2379:
2361:
2336:
2327:
2324:
2306:
2295:
2270:
2258:
2250:
2249:
2247:
2246:
2234:
2216:
2199:
2191:
2190:
2185:
2176:
2164:
2147:
2139:
2138:
2119:
2102:
2077:
2066:
2061:
2052:
2037:
2020:
2015:
2006:
2004:
1974:
1969:
1954:
1947:
1929:
1904:
1895:
1892:
1880:
1869:
1844:
1832:
1824:
1823:
1821:
1820:
1808:
1790:
1779:
1771:
1770:
1765:
1756:
1744:
1727:
1719:
1718:
1705:
1688:
1669:
1658:
1653:
1644:
1635:
1618:
1613:
1604:
1602:
1584:{\displaystyle d_{x,y}=\min(d_{x},d_{y})}
1572:
1559:
1534:
1528:
1477:
1471:
1438:
1433:
1418:
1411:
1393:
1368:
1359:
1356:
1335:
1323:
1315:
1314:
1312:
1311:
1299:
1281:
1272:
1260:
1243:
1235:
1234:
1209:
1184:
1179:
1170:
1149:
1144:
1135:
1133:
1103:
1098:
1083:
1076:
1058:
1033:
1024:
1021:
1000:
988:
980:
979:
977:
976:
951:
939:
916:
888:
865:
847:
838:
826:
809:
801:
800:
781:
776:
767:
765:
732:
726:
688:
683:
668:
661:
629:
626:
608:
596:
579:
567:
542:
517:
512:
503:
482:
477:
468:
466:
430:
425:
410:
403:
371:
368:
350:
325:
313:
270:
258:
238:
215:
198:
186:
167:
162:
153:
151:
113:
931:, the appropriate semi-norm is given by
44:
40:
3908:Elliptic partial differential equations
3864:Elliptic Partial Differential Equations
7:
35:are a collection of results due to
3710:
3707:
3672:
3637:
3607:
3601:
3569:
3383:
3336:
3301:
3271:
3234:
3133:
3114:
3068:
3026:
2964:
2920:
2738:
2507:
2484:
2283:
2171:
2115:
2073:
2033:
1857:
1751:
1701:
1665:
1631:
1501:
1498:
1348:
1267:
1222:
1191:
1162:
1013:
964:
833:
788:
741:
621:
574:
555:
524:
495:
363:
338:
285:
193:
174:
127:
14:
3189:is controlled by the supremum of
2712:where the source term satisfies
3842:Methods of Mathematical Physics
136:{\displaystyle f\in C(\Omega )}
3715:
3690:
3681:
3655:
3646:
3626:
3617:
3613:
3610:
3580:
3552:
3543:
3478:
3472:
3352:
3347:
3341:
3319:
3310:
3290:
3281:
3277:
3274:
3250:
3217:
3208:
3125:
3119:
3097:
3088:
3079:
3073:
3051:
3035:
3009:
2987:
2887:
2878:
2848:
2842:
2741:
2735:
2696:
2690:
2681:
2675:
2669:
2663:
2654:
2648:
2632:
2626:
2600:
2594:
2568:
2562:
2487:
2481:
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2387:
2380:
2376:
2370:
2351:
2345:
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2259:
2251:
2235:
2231:
2225:
2200:
2192:
2177:
2148:
2140:
2126:
2120:
2099:
2092:
2084:
2078:
2062:
2053:
2044:
2038:
2016:
2007:
1970:
1955:
1948:
1944:
1938:
1919:
1913:
1896:
1833:
1825:
1809:
1805:
1799:
1780:
1772:
1757:
1728:
1720:
1685:
1678:
1654:
1645:
1614:
1605:
1578:
1552:
1504:
1489:
1434:
1419:
1412:
1408:
1402:
1383:
1377:
1360:
1324:
1316:
1300:
1296:
1290:
1273:
1244:
1236:
1206:
1199:
1180:
1171:
1145:
1136:
1099:
1084:
1077:
1073:
1067:
1048:
1042:
1025:
989:
981:
948:
941:
866:
862:
856:
839:
810:
802:
777:
768:
750:{\displaystyle C^{k}(\Omega )}
744:
738:
684:
669:
662:
658:
652:
643:
637:
630:
597:
593:
587:
580:
539:
532:
513:
504:
478:
469:
426:
411:
404:
400:
394:
385:
379:
372:
322:
315:
288:
282:
216:
212:
206:
199:
163:
154:
130:
124:
52:partial differential equations
1:
3517:{\displaystyle C^{2,\alpha }}
3455:{\displaystyle C^{2,\alpha }}
3422:{\displaystyle C^{2,\alpha }}
3178:{\displaystyle C^{2,\alpha }}
2773:{\displaystyle \lambda >0}
2754:. If there exists a constant
713:For differentiable functions
2452:Consider a bounded solution
1125:which gives a full norm of
3924:
3779:Mathematische Zeitschrift
23:, and more precisely, in
3484:{\displaystyle \phi (x)}
2970:{\displaystyle \Lambda }
721:continuous derivatives,
3491:which is also at least
3389:{\displaystyle \Omega }
3193:and the Hölder norm of
2813:are strictly elliptic,
2806:{\displaystyle a_{i,j}}
2513:{\displaystyle \Omega }
924:{\displaystyle \alpha }
246:{\displaystyle \alpha }
3760:, New York: Springer,
3725:
3518:
3485:
3456:
3423:
3390:
3362:
3179:
3143:
2971:
2948:
2901:
2807:
2774:
2748:
2703:
2514:
2494:
2422:
1987:
1585:
1511:
1454:
1116:
925:
897:
896:{\displaystyle \beta }
874:
751:
704:
446:
295:
247:
224:
137:
3726:
3519:
3486:
3457:
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