3213:
2400:
1605:
1888:
1764:
2556:
2151:
1389:
1769:
2146:
1384:
566:
1609:
70:
We mention again that the definition presented here is different from that of the "semi-inner product" in standard functional analysis textbooks, where a "semi-inner product" satisfies all the properties of
2404:
476:
1170:
961:
2737:
Haizhang Zhang and Jun Zhang, Frames, Riesz bases, and sampling expansions in Banach spaces via semi-inner products, Applied and
Computational Harmonic Analysis 31 (1) (2011), 1â25.
2031:
1935:
679:
1271:
746:
1209:
1993:
2395:{\displaystyle :={\frac {\int _{\Omega }f(t){\overline {g(t)}}|g(t)|^{p-2}d\mu (t)}{\|g\|_{p}^{p-2}}},\ \ f,g\in L^{p}(\Omega ,d\mu )\setminus \{0\},\ \ 1<p<+\infty ,}
187:
3102:
136:
260:
2629:
1041:
1236:
824:
162:
1600:{\displaystyle :={\frac {\sum _{j=1}^{n}x_{j}{\overline {y_{j}}}|y_{j}|^{p-2}}{\|y\|_{p}^{p-2}}},\quad x,y\in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{0\},\ \ 1<p<+\infty ,}
307:
2036:
1276:
395:
2765:
1955:
1085:
1061:
1008:
985:
889:
111:
866:
219:
2728:
Haizhang Zhang, Yuesheng Xu and Jun Zhang, Reproducing kernel Banach spaces for machine learning, Journal of
Machine Learning Research 10 (2009), 2741â2775.
38:. The first, and more common, is that of an inner product which is not required to be strictly positive. This article will deal with the second, called a
2928:
1883:{\displaystyle \operatorname {sgn} (t):=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {t}{|t|}},&t\in \mathbb {C} \setminus \{0\},\\0,&t=0.\end{array}}\right.}
2701:
D. O. Koehler, A note on some operator theory in certain semi-inner-product spaces, Proceedings of the
American Mathematical Society 30 (1971), 363â366.
3055:
2910:
2710:
E. Torrance, Strictly convex spaces via semi-inner-product space orthogonality, Proceedings of the
American Mathematical Society 26 (1970), 108â110.
2572:
Recently, semi-inner-products have been used as the main tool in establishing the concept of reproducing kernel Banach spaces for machine learning.
3249:
2886:
1090:
488:
2778:
3373:
2867:
2758:
2719:
R. Der and D. Lee, Large-margin classification in Banach spaces, JMLR Workshop and
Conference Proceedings 2: AISTATS (2007), 91â98.
405:
3137:
894:
2782:
2591:
1759:{\displaystyle :=\|y\|_{1}\sum _{j=1}^{n}x_{j}\operatorname {sgn} ({\overline {y_{j}}}),\quad x,y\in \mathbb {C} ^{n},\ \ p=1,}
3321:
2933:
3388:
2989:
2665:
J. R. Giles, Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the
American Mathematical Society 129 (1967), 436â446.
692:
3473:
3326:
3216:
2938:
2923:
2751:
2566:
Following the idea of Lumer, semi-inner-products were widely applied to study bounded linear operators on Banach spaces.
2953:
3242:
2551:{\displaystyle :=\int _{\Omega }f(t)\operatorname {sgn} ({\overline {g(t)}})d\mu (t),\ \ f,g\in L^{1}(\Omega ,d\mu ).}
3198:
2958:
2683:
S. V. Phadke and N. K. Thakare, When an s.i.p. space is a
Hilbert space?, The Mathematics Student 42 (1974), 193â194.
3429:
3342:
3152:
3076:
3193:
3009:
689:
A semi-inner-product is different from inner products in that it is in general not conjugate symmetric, that is,
570:
3449:
2943:
3378:
3045:
2846:
751:
2918:
3142:
265:
3347:
3316:
3235:
3173:
3117:
3081:
1998:
1895:
576:
2569:
In 2007, Der and Lee applied semi-inner-products to develop large margin classification in Banach spaces.
1241:
3398:
3352:
3295:
482:
2692:
S. Dragomir, Semi-inner
Products and Applications, Nova Science Publishers, Hauppauge, New York, 2004.
2575:
Semi-inner-products can also be used to establish the theory of frames, Riesz bases for Banach spaces.
1185:
3156:
1963:
2674:
J. B. Conway. A Course in
Functional Analysis. 2nd Edition, Springer-Verlag, New York, 1990, page 1.
3277:
3122:
3060:
2774:
1011:
869:
167:
91:
59:
119:
3147:
3014:
1015:
964:
224:
1020:
1214:
141:
3403:
3383:
3356:
3300:
3272:
3127:
271:
3413:
3290:
3132:
3050:
3019:
2999:
2984:
2979:
2974:
2811:
2638:
2652:
3393:
2994:
2948:
2896:
2891:
2862:
2743:
2648:
1180:
2821:
2624:
323:
47:
46:, which is an inner product not required to be conjugate symmetric. It was formulated by
3183:
3035:
2836:
1940:
1070:
1046:
993:
970:
874:
828:
In other words, semi-inner-products are generally nonlinear about its second variable.
96:
75:(including conjugate symmetry) except that it is not required to be strictly positive.
839:
192:
3467:
3286:
3258:
3188:
3112:
2841:
2826:
2816:
2597:
1958:
72:
55:
51:
3178:
2831:
2801:
2585:
317:
114:
17:
3408:
3107:
3097:
3004:
2806:
399:
31:
2141:{\displaystyle \|f\|_{p}:=\left(\int _{\Omega }|f(t)|^{p}d\mu (t)\right)^{1/p}}
1379:{\displaystyle \|x\|_{p}:={\biggl (}\sum _{j=1}^{n}|x_{j}|^{p}{\biggr )}^{1/p}}
3040:
2880:
2876:
2872:
1796:
311:
1043:
then there always exists a (not necessarily unique) semi-inner-product on
561:{\displaystyle ={\overline {s}}\quad {\text{ for all }}s\in \mathbb {C} ,}
2600: â Generalization of the dot product; used to define Hilbert spaces
2643:
27:
Generalization of inner products that applies to all normed spaces
3227:
3231:
2747:
471:{\displaystyle =s\quad {\text{ for all }}s\in \mathbb {C} ,}
1877:
1165:{\displaystyle \|f\|=^{1/2},\ \ {\text{ for all }}f\in V.}
2602:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
62:. Fundamental properties were later explored by Giles.
2407:
2154:
2039:
2001:
1966:
1943:
1898:
1772:
1612:
1392:
1279:
1244:
1217:
1188:
1093:
1073:
1049:
1023:
996:
973:
897:
877:
842:
754:
695:
579:
491:
408:
326:
274:
227:
195:
170:
144:
122:
99:
3422:
3366:
3335:
3309:
3265:
3166:
3090:
3069:
3028:
2967:
2909:
2855:
2790:
3103:Spectral theory of ordinary differential equations
2550:
2394:
2140:
2025:
1987:
1949:
1929:
1882:
1758:
1599:
1378:
1265:
1230:
1203:
1164:
1079:
1055:
1035:
1002:
979:
955:
883:
860:
818:
740:
673:
560:
470:
389:
301:
254:
213:
181:
156:
130:
105:
2630:Transactions of the American Mathematical Society
1357:
1301:
2148:possesses the consistent semi-inner-product:
748:generally. This is equivalent to saying that
3243:
2759:
8:
2359:
2353:
2278:
2271:
2047:
2040:
1846:
1840:
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1631:
1564:
1558:
1504:
1497:
1287:
1280:
1100:
1094:
1030:
1024:
904:
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3250:
3236:
3228:
2794:
2766:
2752:
2744:
956:{\displaystyle \|f\|:=^{1/2},\quad f\in V}
2642:
2521:
2457:
2430:
2406:
2326:
2286:
2281:
2242:
2237:
2219:
2198:
2180:
2173:
2153:
2128:
2124:
2098:
2093:
2075:
2069:
2050:
2038:
2000:
1965:
1942:
1903:
1897:
1833:
1832:
1813:
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1799:
1795:
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1693:
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1651:
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1549:
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1544:
1512:
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1483:
1478:
1471:
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1445:
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1418:
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1391:
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1362:
1356:
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1348:
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1190:
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1022:
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876:
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714:
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658:
654:
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578:
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550:
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460:
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273:
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194:
172:
171:
169:
143:
124:
123:
121:
98:
3056:Group algebra of a locally compact group
1386:has the consistent semi-inner-product:
88:semi-inner product in the sense of Lumer
44:semi-inner product in the sense of Lumer
2613:
2350:
1837:
1555:
138:of complex numbers is a function from
2627:(1961), "Semi-inner-product spaces",
832:Semi-inner-products for normed spaces
34:, there are two different notions of
7:
2619:
2617:
2026:{\displaystyle 1\leq p<+\infty ,}
1930:{\displaystyle L^{p}(\Omega ,d\mu )}
674:{\displaystyle ||\leq ^{1/2}^{1/2}.}
1266:{\displaystyle 1\leq p<+\infty }
741:{\displaystyle \neq {\overline {}}}
2530:
2431:
2386:
2335:
2181:
2070:
2017:
1970:
1912:
1591:
1260:
25:
3374:Compact operator on Hilbert space
3212:
3211:
3138:Topological quantum field theory
1204:{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
50:, for the purpose of extending
1988:{\displaystyle (\Omega ,\mu ),}
1710:
1530:
943:
538:
448:
2542:
2527:
2493:
2487:
2478:
2469:
2463:
2454:
2445:
2439:
2420:
2408:
2347:
2332:
2266:
2260:
2238:
2233:
2227:
2220:
2210:
2204:
2195:
2189:
2167:
2155:
2116:
2110:
2094:
2089:
2083:
2076:
1979:
1967:
1924:
1909:
1814:
1806:
1785:
1779:
1704:
1684:
1625:
1613:
1479:
1463:
1405:
1393:
1344:
1328:
1119:
1106:
923:
910:
868:is a semi-inner-product for a
855:
843:
809:
797:
791:
779:
773:
755:
729:
717:
708:
696:
685:Difference from inner products
651:
638:
621:
608:
601:
597:
585:
581:
535:
523:
507:
492:
445:
433:
424:
409:
381:
369:
363:
351:
345:
327:
314:in the 1st argument, meaning:
287:
275:
208:
196:
1:
2934:Uniform boundedness principle
2588: â Z-module homomorphism
182:{\displaystyle \mathbb {C} ,}
2592:Cauchy's functional equation
2473:
2214:
1699:
1457:
733:
518:
131:{\displaystyle \mathbb {C} }
2594: â Functional equation
1957:-integrable functions on a
255:{\displaystyle f,g,h\in V:}
3490:
3343:Hilbert projection theorem
3077:Invariant subspace problem
1036:{\displaystyle \|\cdot \|}
3322:CauchyâSchwarz inequality
3207:
2797:
1231:{\displaystyle \ell ^{p}}
819:{\displaystyle \neq +.\,}
571:Cauchy-Schwarz inequality
157:{\displaystyle V\times V}
3046:Spectrum of a C*-algebra
266:Nonnegative-definiteness
3143:Noncommutative geometry
302:{\displaystyle \geq 0,}
3199:TomitaâTakesaki theory
3174:Approximation property
3118:Calculus of variations
2552:
2396:
2142:
2027:
1989:
1951:
1931:
1892:In general, the space
1884:
1760:
1667:
1601:
1434:
1380:
1326:
1267:
1232:
1205:
1166:
1081:
1057:
1037:
1004:
981:
957:
885:
862:
820:
742:
675:
562:
472:
391:
315:
303:
256:
215:
183:
158:
132:
107:
3353:Polarization identity
3296:Orthogonal complement
3194:BanachâMazur distance
3157:Generalized functions
2553:
2397:
2143:
2028:
1990:
1952:
1932:
1885:
1761:
1647:
1602:
1414:
1381:
1306:
1268:
1233:
1206:
1167:
1082:
1058:
1038:
1005:
982:
958:
886:
863:
821:
743:
676:
563:
485:in the 2nd argument:
483:Conjugate homogeneity
473:
402:in the 1st argument:
392:
320:in the 1st argument:
304:
257:
216:
184:
159:
133:
108:
3327:Riesz representation
3282:L-semi-inner product
2939:Kakutani fixed-point
2924:Riesz representation
2405:
2152:
2037:
1999:
1964:
1941:
1896:
1770:
1610:
1390:
1277:
1242:
1215:
1186:
1091:
1071:
1047:
1021:
994:
971:
895:
875:
840:
752:
693:
577:
489:
406:
324:
272:
225:
221:, such that for all
193:
168:
142:
120:
97:
84:L-semi-inner product
40:L-semi-inner product
3474:Functional analysis
3348:Parseval's identity
3317:Bessel's inequality
3123:Functional calculus
3082:Mahler's conjecture
3061:Von Neumann algebra
2775:Functional analysis
2297:
1523:
1147: for all
1012:normed vector space
870:linear vector space
541: for all
451: for all
390:{\displaystyle =+,}
189:usually denoted by
92:linear vector space
60:functional analysis
3148:Riemann hypothesis
2847:Topological vector
2548:
2392:
2277:
2138:
2023:
1985:
1947:
1927:
1880:
1875:
1756:
1597:
1503:
1376:
1263:
1228:
1201:
1162:
1087:in the sense that
1077:
1053:
1033:
1000:
977:
953:
881:
858:
816:
738:
671:
558:
468:
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