5259:
4303:
4646:
5606:
3846:
5254:{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\phi ;c_{1})&=\{\phi _{m}=\phi (\cdot {}-c_{1}m)\mid m\in \mathbb {Z} ^{2}\},\\\Psi (\psi ;c)&=\{\psi _{j,k,m}=2^{3j/4}\psi (S_{k}A_{2^{j}}\cdot {}-M_{c}m)\mid j\geq 0,|k|\leq \lceil 2^{j/2}\rceil ,m\in \mathbb {Z} ^{2}\},\\{\tilde {\Psi }}({\tilde {\psi }};c)&=\{{\tilde {\psi }}_{j,k,m}=2^{3j/4}\psi ({\tilde {S}}_{k}{\tilde {A}}_{2^{j}}\cdot {}-{\tilde {M}}_{c}m)\mid j\geq 0,|k|\leq \lceil 2^{j/2}\rceil ,m\in \mathbb {Z} ^{2}\},\end{aligned}}}
4309:
5270:
2347:
2335:
4298:{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {R}}&=\left\{(\xi _{1},\xi _{2})\in \mathbb {R} ^{2}\mid |\xi _{1}|,|\xi _{2}|\leq 1\right\},\\{\mathcal {C}}_{\mathrm {h} }&=\left\{(\xi _{1},\xi _{2})\in \mathbb {R} ^{2}\mid |\xi _{2}/\xi _{1}|\leq 1,|\xi _{1}|>1\right\},\\{\mathcal {C}}_{\mathrm {v} }&=\left\{(\xi _{1},\xi _{2})\in \mathbb {R} ^{2}\mid |\xi _{1}/\xi _{2}|\leq 1,|\xi _{2}|>1\right\}.\end{aligned}}}
3833:
754:
765:
5601:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\tilde {A}}_{a}={\begin{bmatrix}a^{1/2}&0\\0&a\end{bmatrix}},\;a>0,\quad {\tilde {S}}_{s}={\begin{bmatrix}1&0\\s&1\end{bmatrix}},\;s\in \mathbb {R} ,\quad M_{c}={\begin{bmatrix}c_{1}&0\\0&c_{2}\end{bmatrix}},\quad {\text{and}}\quad {\tilde {M}}_{c}={\begin{bmatrix}c_{2}&0\\0&c_{1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
1585:
2319:
1895:
3422:
1367:
2111:
4635:
1382:
2126:
677:
Shearlets are to date the only directional representation system that provides sparse approximation of anisotropic features while providing a unified treatment of the continuum and digital realm that allows faithful implementation. Extensions of shearlet systems to
2536:
1713:
3241:
3139:
3750:
One drawback of shearlets defined as above is the directional bias of shearlet elements associated with large shearing parameters. This effect is already recognizable in the frequency tiling of classical shearlets (see Figure in
Section
1176:
967:
1930:
877:
6033:, and Demetrio Labate. "Sparse multidimensional representations using anisotropic dilation and shear operators." Wavelets and Splines (Athens, GA, 2005), G. Chen and MJ Lai, eds., Nashboro Press, Nashville, TN (2006): 189–201.
3690:
are compactly supported providing superior spatial localization compared to the classical shearlets, which are bandlimited. Although a compactly supported shearlet system does not generally form a
Parseval frame, any function
520:
1705:
4490:
4390:
2722:
87:, to accommodate the fact that multivariate functions are typically governed by anisotropic features such as edges in images, since wavelets, as isotropic objects, are not capable of capturing such phenomena.
2999:
2937:
1090:
2599:
4483:
1580:{\displaystyle f\mapsto {\mathcal {SH}}_{\psi }f(a,s,t)=\langle f,\psi _{a,s,t}\rangle ,\quad f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2}),\quad (a,s,t)\in \mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}.}
1643:
2314:{\displaystyle f\mapsto {\mathcal {SH}}_{\psi }f(j,k,m)=\langle f,\psi _{j,k,m}\rangle ,\quad f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2}),\quad (j,k,m)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ^{2}.}
6223:
Purnendu
Banerjee and B. B. Chaudhuri, “Video Text Localization using Wavelet and Shearlet Transforms”, In Proc. SPIE 9021, Document Recognition and Retrieval XXI, 2014 (doi:10.1117/12.2036077).
5275:
4651:
3851:
5685:
3575:
3233:
2874:
2408:
1144:
1890:{\displaystyle \{(2^{j},k,A_{2^{j}}^{-1}S_{k}^{-1}m)\mid j\in \mathbb {Z} ,k\in \mathbb {Z} ,m\in \mathbb {Z} ^{2}\}\subseteq \mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}.}
733:
2420:
5805:
5772:
3740:
212:
81:
3688:
3607:
3461:
3656:
3510:
157:
3417:{\displaystyle {\hat {\psi }}(\xi )={\hat {\psi }}_{1}(\xi _{1}){\hat {\psi }}_{2}\left({\tfrac {\xi _{2}}{\xi _{1}}}\right),\quad \xi =(\xi _{1},\xi _{2})\in \mathbb {R} ^{2},}
3178:
2758:
1033:
6407:
5852:
613:
5638:
3007:
2792:
2819:
672:
3827:
3780:
5967:
588:
1362:{\displaystyle \operatorname {SH} _{\mathrm {cont} }(\psi )=\{\psi _{a,s,t}=a^{3/4}\psi (S_{s}A_{a}(\cdot -t))\mid a>0,s\in \mathbb {R} ,t\in \mathbb {R} ^{2}\},}
5828:
5739:
5712:
1922:
1168:
1001:
362:
335:
308:
2106:{\displaystyle \operatorname {SH} (\psi )=\{\psi _{j,k,m}=2^{3j/4}\psi (S_{k}A_{2^{j}}\cdot {}-m)\mid j\in \mathbb {Z} ,k\in \mathbb {Z} ,m\in \mathbb {Z} ^{2}\},}
281:
891:
6197:, Jakob Lemvig, and Wang-Q Lim. "Optimally sparse approximations of 3D functions by compactly supported shearlet frames." SIAM Journal on Mathematical Analysis
3800:
633:
563:
543:
402:
382:
238:
6225:
Banerjee, Purnendu; Chaudhuri, B. B. (2013). "Video text localization using wavelet and shearlet transforms". In Coüasnon, Bertrand; Ringger, Eric K (eds.).
788:
410:
1652:
4630:{\displaystyle \operatorname {SH} (\phi ,\psi ,{\tilde {\psi }};c)=\Phi (\phi ;c_{1})\cup \Psi (\psi ;c)\cup {\tilde {\Psi }}({\tilde {\psi }};c),}
217:
One of the most important properties of shearlets is their ability to provide optimally sparse approximations (in the sense of optimality in ) for
6077:
Guo, Kanghui, and
Demetrio Labate. "Optimally sparse multidimensional representation using shearlets." SIAM Journal on Mathematical Analysis
4323:
2604:
110:
and allow a unified treatment of the continuum and digital situation leading to faithful implementations. Although they do not constitute an
6432:
6265:
Guo, Kanghui, and
Demetrio Labate. "The construction of smooth Parseval frames of shearlets." Mathematical Modelling of Natural Phenomena
2941:
102:. At fine scales, they are essentially supported within skinny and directional ridges following the parabolic scaling law, which reads
2879:
1038:
2544:
6148:
4402:
1092:
This indeed allows a unified treatment of the continuum and digital realm, thereby guaranteeing a faithful digital implementation.
1598:
6111:
3802:
goes to infinity. This causes serious problems when analyzing a function whose
Fourier transform is concentrated around the
6271:
5904:
3840:
To deal with this problem, the frequency domain is divided into a low-frequency part and two conic regions (see Figure):
5643:
4395:
2531:{\displaystyle \sum _{j\in \mathbb {Z} }|{\hat {\psi }}_{1}(2^{-j}\xi )|^{2}=1,{\text{for a.e. }}\xi \in \mathbb {R} ,}
4320:
consists of three parts, each one corresponding to one of these frequency domains. It is generated by three functions
3529:
3187:
2828:
2362:
1098:
681:
6035:
6437:
5777:
5744:
3694:
166:
35:
6427:
6083:
6051:
Donoho, David Leigh. "Sparse components of images and optimal atomic decompositions." Constructive
Approximation
3661:
3580:
3434:
972:
as a means to change the orientation, and finally on translations to change the positioning. In comparison to
735:
are also available. A comprehensive presentation of the theory and applications of shearlets can be found in.
3616:
3470:
117:
3610:
160:
6058:
95:
25:
6105:, and Wang-Q Lim. "Compactly supported shearlets are optimally sparse." Journal of Approximation Theory
5931:
3523:
3147:
2727:
218:
1010:
5897:
29:
6163:, and Wang-Q Lim. "Construction of compactly supported shearlet frames." Constructive Approximation
6063:
5833:
5915:
3134:{\displaystyle \sum _{k=-1}^{1}|{\hat {\psi }}_{2}(\xi +k)|^{2}=1,{\text{for a.e. }}\xi \in \left.}
99:
5614:
6380:
6335:
6294:
6248:
6230:
6204:
6170:
6005:
91:
2767:
6360:
6315:
2797:
638:
6442:
6144:
5935:
5882:
5867:
3805:
3758:
2761:
111:
5952:
545:
depends only on the maximum curvature of the singularity curve and the maximum magnitudes of
6372:
6327:
6240:
5877:
5863:
976:, shearlets use shearings instead of rotations, the advantage being that the shear operator
962:{\displaystyle S_{s}={\begin{bmatrix}1&s\\0&1\end{bmatrix}},\quad s\in \mathbb {R} }
5813:
5717:
5690:
1907:
1153:
979:
340:
313:
286:
5872:
1004:
247:
4312:
Frequency tiling of the cone-adapted shearlet system generated by the classical shearlet.
593:
568:
404:
largest coefficients from the shearlet expansion is in fact optimal up to a log-factor:
6288:
6194:
6160:
6136:
6102:
6030:
5922:
5887:
3785:
3464:
1646:
872:{\displaystyle A_{a}={\begin{bmatrix}a&0\\0&a^{1/2}\end{bmatrix}},\quad a>0}
618:
548:
528:
387:
367:
223:
6421:
6384:
6339:
5910:
3520:
3181:
2822:
6252:
773:
Geometric effects of parabolic scaling and shearing with several parameters a and s.
28:
problem classes. Originally, shearlets were introduced in 2006 for the analysis and
6314:
Easley, Glenn R.; Guo, Kanghui; Labate, Demetrio; Pahari, Basanta R. (2020-08-10).
515:{\displaystyle \|f-f_{N}\|_{L^{2}}^{2}\leq CN^{-2}(\log N)^{3},\quad N\to \infty ,}
107:
6361:"Smooth projections and the construction of smooth Parseval frames of shearlets"
5926:
4308:
3513:
6376:
6331:
2346:
1700:{\displaystyle \mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}.}
764:
6291:. "Parabolic molecules." Foundations of Computational Mathematics (to appear)
5995:
5892:
753:
21:
2334:
1707:
There are numerous approaches for this but the most popular one is given by
3755:), where the frequency support of a shearlet increasingly aligns along the
6359:
Bernhard, Bernhard G.; Labate, Demetrio; Pahari, Basanta R. (2019-10-29).
6010:
6000:
5990:
973:
244:
serve as a model for anisotropic features and are compactly supported in
3742:
can be represented by the shearlet expansion due to its frame property.
6244:
5985:
4385:{\displaystyle \phi ,\psi ,{\tilde {\psi }}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}
2717:{\displaystyle \operatorname {supp} {\hat {\psi }}_{1}\subseteq \cup ,}
84:
1595:
A discrete version of shearlet systems can be directly obtained from
3832:
6412:
6316:"Optimally Sparse Representations of Cartoon-Like Cylindrical Data"
6299:
6235:
6209:
6175:
4307:
3831:
3431:. It can be shown that the corresponding discrete shearlet system
2994:{\displaystyle \operatorname {supp} {\hat {\psi }}_{2}\subseteq }
337:
singularity curve with bounded curvature. The decay rate of the
2932:{\displaystyle {\hat {\psi }}_{2}\in C^{\infty }(\mathbb {R} ),}
1085:{\displaystyle S_{s}\mathbb {Z} ^{2}\subseteq \mathbb {Z} ^{2}.}
2594:{\displaystyle {\hat {\psi }}_{1}\in C^{\infty }(\mathbb {R} )}
4478:{\displaystyle c=(c_{1},c_{2})\in (\mathbb {R} _{>0})^{2}:}
20:
are a multiscale framework which allows efficient encoding of
2352:
Frequency tiling of the (discrete) classical shearlet system.
5839:
5784:
5751:
4141:
3984:
3856:
2142:
2139:
1638:{\displaystyle \operatorname {SH} _{\mathrm {cont} }(\psi )}
1398:
1395:
779:
The construction of continuous shearlet systems is based on
6203:
Kutyniok, Gitta; Lemvig, Jakob; Lim, Wang-Q (2011). "PDF".
615:. This approximation rate significantly improves the best
2340:
Trapezoidal frequency support of the classical shearlet.
6098:
6096:
3526:
shearlet systems, where a compactly supported function
5546:
5464:
5396:
5306:
3328:
2697:
2682:
2661:
2643:
913:
810:
5955:
5836:
5816:
5780:
5747:
5720:
5693:
5646:
5617:
5273:
4649:
4493:
4405:
4326:
3849:
3808:
3788:
3761:
3697:
3664:
3619:
3583:
3532:
3473:
3437:
3244:
3190:
3150:
3010:
2944:
2882:
2831:
2800:
2770:
2730:
2607:
2547:
2423:
2365:
2129:
1933:
1910:
1716:
1655:
1601:
1385:
1179:
1156:
1101:
1041:
1013:
982:
894:
791:
684:
641:
621:
596:
571:
551:
531:
413:
390:
370:
343:
316:
289:
250:
226:
169:
120:
38:
6169:
Kittipoom, P.; Kutyniok, G.; Lim, W. (2010). "PDF".
6141:
Shearlets: Multiscale analysis for multivariate data
635:-term approximation rate of wavelets providing only
384:-term shearlet approximation obtained by taking the
6190:
6188:
6186:
5961:
5846:
5822:
5799:
5766:
5733:
5706:
5680:{\displaystyle {\tilde {\Psi }}({\tilde {\psi }})}
5679:
5632:
5600:
5253:
4629:
4477:
4384:
4297:
3821:
3794:
3774:
3734:
3682:
3650:
3601:
3569:
3504:
3455:
3416:
3227:
3172:
3133:
2993:
2931:
2868:
2813:
2786:
2752:
2716:
2593:
2530:
2402:
2313:
2105:
1916:
1889:
1699:
1637:
1579:
1361:
1162:
1138:
1084:
1027:
995:
961:
871:
727:
666:
627:
607:
582:
557:
537:
514:
396:
376:
356:
329:
302:
275:
232:
206:
163:allowing stable expansions of arbitrary functions
151:
75:
3836:Decomposition of the frequency domain into cones.
3570:{\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}
3228:{\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}
2869:{\displaystyle \psi _{2}\in L^{2}(\mathbb {R} )}
2403:{\displaystyle \psi _{1}\in L^{2}(\mathbb {R} )}
1139:{\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}
106:. Similar to wavelets, shearlets arise from the
6293:Grohs, Philipp; Kutyniok, Gitta (2012). "PDF".
728:{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{d}),d\geq 2}
6132:
6130:
6128:
6126:
6124:
5741:. Thus, they correspond to the conic regions
5800:{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathrm {v} }}
5767:{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathrm {h} }}
8:
5241:
5217:
5196:
5023:
4970:
4946:
4925:
4788:
4753:
4686:
3735:{\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}
2211:
2180:
2097:
1952:
1840:
1717:
1467:
1436:
1353:
1216:
434:
414:
207:{\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}
76:{\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}
5830:is associated with the low-frequency part
5687:basically differ in the reversed roles of
5430:
5355:
3683:{\displaystyle \operatorname {SH} (\psi )}
3602:{\displaystyle \operatorname {SH} (\psi )}
3456:{\displaystyle \operatorname {SH} (\psi )}
6298:
6234:
6208:
6174:
6062:
5954:
5838:
5837:
5835:
5815:
5790:
5789:
5783:
5782:
5779:
5757:
5756:
5750:
5749:
5746:
5725:
5719:
5698:
5692:
5663:
5662:
5648:
5647:
5645:
5616:
5577:
5553:
5541:
5532:
5521:
5520:
5513:
5495:
5471:
5459:
5450:
5438:
5437:
5391:
5382:
5371:
5370:
5317:
5313:
5301:
5292:
5281:
5280:
5274:
5272:
5235:
5231:
5230:
5207:
5203:
5188:
5180:
5153:
5142:
5141:
5135:
5124:
5119:
5108:
5107:
5100:
5089:
5088:
5071:
5064:
5039:
5028:
5027:
4996:
4995:
4981:
4980:
4964:
4960:
4959:
4936:
4932:
4917:
4909:
4882:
4873:
4862:
4857:
4847:
4827:
4820:
4795:
4747:
4743:
4742:
4720:
4711:
4693:
4670:
4650:
4648:
4604:
4603:
4589:
4588:
4555:
4516:
4515:
4492:
4466:
4453:
4449:
4448:
4432:
4419:
4404:
4373:
4369:
4368:
4358:
4340:
4339:
4325:
4272:
4266:
4257:
4243:
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3505:{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}
1904:associated with the shearlet generator
882:as a mean to change the resolution, on
152:{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}
90:Shearlets are constructed by parabolic
6227:Document Recognition and Retrieval XXI
6365:Advances in Computational Mathematics
4318:cone-adapted discrete shearlet system
7:
6229:. Vol. 9021. pp. 90210B.
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83:. They are a natural extension of
16:In applied mathematical analysis,
14:
6320:The Journal of Geometric Analysis
1028:{\displaystyle s\in \mathbb {Z} }
3782:-axis as the shearing parameter
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5942:Generalizations and extensions
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5807:, respectively. Finally, the
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2410:be a function satisfying the
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674:for such class of functions.
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5633:{\displaystyle \Psi (\psi )}
6413:Homepage of Demetrio Labate
2412:discrete Calderón condition
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1376:is given by the map
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159:, they still form a
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36:
30:sparse approximation
6287:Grohs, Philipp and
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6109:(2011): 1564–1589.
5916:Transport equations
2825:. Furthermore, let
2116:and the associated
1784:
1766:
1649:the parameter set
1170:is then defined as
608:{\displaystyle f''}
525:where the constant
454:
6371:(5–6): 3241–3264.
6245:10.1117/12.2036077
6143:. Springer, 2012,
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6001:Bandelet transform
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5909:Resolution of the
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6055:(2001): 353–382.
5986:Wavelet transform
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