699:
373:
169:
536:
45:
235:
435:
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512:
462:
192:
62:
824:
829:
694:{\displaystyle \pi (x;q,a)={\frac {{\rm {Li}}(x)}{\varphi (q)}}+O\left(x\exp \left(-{\frac {C_{N}}{2}}(\log x)^{\frac {1}{2}}\right)\right),}
455:
37:
738:
368:{\displaystyle \psi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)}}+O\left(x\exp \left(-C_{N}(\log x)^{\frac {1}{2}}\right)\right),}
203:
759:
17:
392:
195:
726:
41:
757:
Walfisz, Arnold (1936). "Zur additiven
Zahlentheorie. II" [On additive number theory. II].
519:
476:
33:
164:{\displaystyle \psi (x;q,a)=\sum _{n\,\leq \,x \atop n\,\equiv \,a\!{\pmod {\!q}}}\Lambda (n),}
177:
800:
768:
780:
776:
25:
818:
210:
29:
772:
461:
From the theorem we can deduce the following bound regarding the
46:
Dirichlet's theorem on primes in arithmetic progressions
539:
514:
we denote the number of primes less than or equal to
479:
395:
238:
180:
65:
798:[On the class numbers of quadratic fields].
693:
506:
429:
367:
186:
163:
134:
124:
725:and φ are as in the theorem, and Li denotes the
463:prime number theorem for arithmetic progressions
796:"Über die Classenzahl quadratischer Zahlkörper"
8:
667:
640:
634:
571:
570:
567:
538:
478:
458:because Siegel's theorem is ineffective.
418:
394:
341:
319:
266:
237:
179:
125:
120:
116:
107:
103:
97:
64:
749:
209:Then the theorem states that given any
7:
430:{\displaystyle q\leq (\log x)^{N}.}
133:
126:
825:Theorems in analytic number theory
575:
572:
181:
146:
98:
14:
216:there exists a positive constant
40:. It is a refinement both of the
38:primes in arithmetic progressions
664:
651:
600:
594:
586:
580:
561:
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149:
138:
127:
87:
69:
1:
830:Theorems about prime numbers
794:Siegel, Carl Ludwig (1935).
739:Bombieri–Vinogradov theorem
507:{\displaystyle \pi (x;q,a)}
846:
760:Mathematische Zeitschrift
204:Euler's totient function
187:{\displaystyle \Lambda }
28:as an application of a
695:
508:
456:effectively computable
431:
369:
188:
165:
22:Siegel–Walfisz theorem
18:analytic number theory
696:
509:
432:
370:
196:von Mangoldt function
189:
166:
727:logarithmic integral
537:
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178:
63:
42:prime number theorem
773:10.1007/BF01218882
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504:
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365:
225:depending only on
184:
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34:Carl Ludwig Siegel
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801:Acta Arithmetica
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820:
807:
804:(in German).
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778:
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770:
766:
763:(in German).
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194:denotes the
173:
55:
21:
15:
808:(1): 83–86.
465:: If, for (
211:real number
819:Categories
745:References
518:which are
473:) = 1, by
386:) = 1 and
378:whenever (
229:such that
198:, and let
658:
632:−
624:
592:φ
541:π
520:congruent
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400:≤
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273:φ
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147:Λ
118:≡
105:≤
95:∑
67:ψ
52:Statement
733:See also
469:,
382:,
781:1545584
530:, then
454:is not
441:Remarks
202:denote
56:Define
44:and of
30:theorem
779:
704:where
174:where
20:, the
526:mod
769:doi
655:log
621:exp
522:to
406:log
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16:In
821::
777:MR
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716:,
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708:,
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