763:
373:
758:{\displaystyle a_{mn}={\begin{cases}{\frac {1}{m}}&n\leq m\\0&n>m\end{cases}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&\cdots \\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0&0&0&\cdots \\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&0&0&\cdots \\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&0&\cdots \\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{pmatrix}},}
358:
129:
353:{\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{i\to \infty }a_{i,j}=0\quad j\in \mathbb {N} &&{\text{(Every column sequence converges to 0.)}}\\&\lim _{i\to \infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i,j}=1&&{\text{(The row sums converge to 1.)}}\\&\sup _{i}\sum _{j=0}^{\infty }\vert a_{i,j}\vert <\infty &&{\text{(The absolute row sums are bounded.)}}\end{aligned}}}
134:
113:
846:
856:
875:
880:
789:, by Ruder, Brian, Published 1966, Call number LD2668 .R4 1966 R915, Publisher Kansas State University, Internet Archive
885:
58:
826:(1913) "On the definition of the sum of a divergent series." University of Missouri Studies, Math. Series I, 1–96
823:
41:
summability methods that are regular. A regular matrix summability method is a matrix transformation of a
38:
398:
46:
42:
34:
852:
364:
817:
53:
803:
834:
120:
116:
869:
786:
30:
830:
22:
443:
455:
376:
132:
119:-valued entries defines a regular summability method
61:
757:
352:
107:
280:
206:
141:
108:{\displaystyle (a_{i,j})_{i,j\in \mathbb {N} }}
123:it satisfies all of the following properties:
8:
329:
310:
848:Classical and modern methods in summability
697:
685:
673:
661:
649:
625:
613:
601:
589:
560:
548:
536:
502:
490:
450:
401:
393:
381:
375:
341:
317:
304:
293:
283:
267:
246:
236:
225:
209:
193:
186:
185:
160:
144:
133:
131:
99:
98:
85:
69:
60:
805:Über allgemeine lineare Mittelbildungen.
779:
195:(Every column sequence converges to 0.)
851:. New York: Oxford University Press.
7:
343:(The absolute row sums are bounded.)
367:, a matrix summability method with
335:
305:
237:
216:
151:
14:
816:, 113–118 (the original paper in
178:
213:
148:
82:
62:
18:Theorem of summability methods
1:
269:(The row sums converge to 1.)
902:
787:Silverman–Toeplitz theorem
27:Silverman–Toeplitz theorem
839:, Oxford: Clarendon Press
824:Silverman, Louis Lazarus
802:Toeplitz, Otto (1911) "
759:
354:
309:
241:
109:
845:Boos, Johann (2000).
760:
355:
289:
221:
110:
876:Theorems in analysis
374:
130:
59:
45:which preserves the
881:Summability methods
43:convergent sequence
886:Summability theory
755:
746:
442:
350:
348:
288:
220:
155:
105:
35:summability theory
29:, first proved by
705:
693:
681:
669:
657:
633:
621:
609:
597:
568:
556:
544:
510:
498:
409:
344:
279:
270:
205:
196:
140:
33:, is a result in
893:
862:
840:
836:Divergent Series
790:
784:
764:
762:
761:
756:
751:
750:
706:
698:
694:
686:
682:
674:
670:
662:
658:
650:
634:
626:
622:
614:
610:
602:
598:
590:
569:
561:
557:
549:
545:
537:
511:
503:
499:
491:
446:
445:
410:
402:
389:
388:
365:Cesaro summation
359:
357:
356:
351:
349:
345:
342:
339:
328:
327:
308:
303:
287:
275:
271:
268:
265:
257:
256:
240:
235:
219:
201:
197:
194:
191:
189:
171:
170:
154:
136:
114:
112:
111:
106:
104:
103:
102:
80:
79:
901:
900:
896:
895:
894:
892:
891:
890:
866:
865:
859:
844:
829:
810:Prace mat.-fiz.
799:
797:Further reading
794:
793:
785:
781:
776:
771:
745:
744:
739:
734:
729:
724:
719:
713:
712:
707:
695:
683:
671:
659:
646:
645:
640:
635:
623:
611:
599:
586:
585:
580:
575:
570:
558:
546:
533:
532:
527:
522:
517:
512:
500:
487:
486:
481:
476:
471:
466:
461:
451:
441:
440:
429:
423:
422:
411:
394:
377:
372:
371:
347:
346:
338:
313:
273:
272:
264:
242:
199:
198:
190:
156:
128:
127:
81:
65:
57:
56:
54:infinite matrix
37:characterizing
19:
12:
11:
5:
899:
897:
889:
888:
883:
878:
868:
867:
864:
863:
857:
842:
827:
821:
798:
795:
792:
791:
778:
777:
775:
772:
770:
767:
766:
765:
754:
749:
743:
740:
738:
735:
733:
730:
728:
725:
723:
720:
718:
715:
714:
711:
708:
704:
701:
696:
692:
689:
684:
680:
677:
672:
668:
665:
660:
656:
653:
648:
647:
644:
641:
639:
636:
632:
629:
624:
620:
617:
612:
608:
605:
600:
596:
593:
588:
587:
584:
581:
579:
576:
574:
571:
567:
564:
559:
555:
552:
547:
543:
540:
535:
534:
531:
528:
526:
523:
521:
518:
516:
513:
509:
506:
501:
497:
494:
489:
488:
485:
482:
480:
477:
475:
472:
470:
467:
465:
462:
460:
457:
456:
454:
449:
444:
439:
436:
433:
430:
428:
425:
424:
421:
418:
415:
412:
408:
405:
400:
399:
397:
392:
387:
384:
380:
363:An example is
361:
360:
340:
337:
334:
331:
326:
323:
320:
316:
312:
307:
302:
299:
296:
292:
286:
282:
278:
276:
274:
266:
263:
260:
255:
252:
249:
245:
239:
234:
231:
228:
224:
218:
215:
212:
208:
204:
202:
200:
192:
188:
184:
181:
177:
174:
169:
166:
163:
159:
153:
150:
147:
143:
139:
137:
135:
121:if and only if
101:
97:
94:
91:
88:
84:
78:
75:
72:
68:
64:
17:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
898:
887:
884:
882:
879:
877:
874:
873:
871:
860:
854:
850:
849:
843:
838:
837:
832:
828:
825:
822:
819:
815:
811:
807:
806:
801:
800:
796:
788:
783:
780:
773:
768:
752:
747:
741:
736:
731:
726:
721:
716:
709:
702:
699:
690:
687:
678:
675:
666:
663:
654:
651:
642:
637:
630:
627:
618:
615:
606:
603:
594:
591:
582:
577:
572:
565:
562:
553:
550:
541:
538:
529:
524:
519:
514:
507:
504:
495:
492:
483:
478:
473:
468:
463:
458:
452:
447:
437:
434:
431:
426:
419:
416:
413:
406:
403:
395:
390:
385:
382:
378:
370:
369:
368:
366:
332:
324:
321:
318:
314:
300:
297:
294:
290:
284:
277:
261:
258:
253:
250:
247:
243:
232:
229:
226:
222:
210:
203:
182:
179:
175:
172:
167:
164:
161:
157:
145:
138:
126:
125:
124:
122:
118:
95:
92:
89:
86:
76:
73:
70:
66:
55:
50:
48:
44:
40:
36:
32:
31:Otto Toeplitz
28:
24:
16:
847:
835:
831:Hardy, G. H.
813:
809:
804:
782:
362:
51:
26:
20:
15:
23:mathematics
870:Categories
858:019850165X
769:References
774:Citations
742:⋱
737:⋮
732:⋮
727:⋮
722:⋮
717:⋮
710:⋯
643:⋯
583:⋯
530:⋯
484:⋯
417:≤
336:∞
306:∞
291:∑
238:∞
223:∑
217:∞
214:→
183:∈
152:∞
149:→
96:∈
841:, 43-48.
833:(1949),
117:complex
855:
818:German
39:matrix
25:, the
115:with
47:limit
853:ISBN
435:>
333:<
281:sup
207:lim
142:lim
52:An
21:In
872::
814:22
812:,
808:"
49:.
861:.
820:)
753:,
748:)
703:5
700:1
691:5
688:1
679:5
676:1
667:5
664:1
655:5
652:1
638:0
631:4
628:1
619:4
616:1
607:4
604:1
595:4
592:1
578:0
573:0
566:3
563:1
554:3
551:1
542:3
539:1
525:0
520:0
515:0
508:2
505:1
496:2
493:1
479:0
474:0
469:0
464:0
459:1
453:(
448:=
438:m
432:n
427:0
420:m
414:n
407:m
404:1
396:{
391:=
386:n
383:m
379:a
330:|
325:j
322:,
319:i
315:a
311:|
301:0
298:=
295:j
285:i
262:1
259:=
254:j
251:,
248:i
244:a
233:0
230:=
227:j
211:i
187:N
180:j
176:0
173:=
168:j
165:,
162:i
158:a
146:i
100:N
93:j
90:,
87:i
83:)
77:j
74:,
71:i
67:a
63:(
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.