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Somos' quadratic recurrence constant

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992: 333: 157: 777: 142: 438: 667: 563: 881: 328:{\displaystyle \sigma ={\frac {\sigma ^{2}}{\sigma }}=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {3}{2}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{3}}\right)^{1/8}\left({\frac {5}{4}}\right)^{1/16}\cdots ,} 845: 686: 34: 461: 800: 348: 890: 575: 1033: 584: 476: 953: 1052: 856: 1062: 1057: 945: 1026: 964: 915: 963:, "Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of 960: 772:{\displaystyle \ln \sigma =-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}\!\left(1/2,0,1\right)} 137:{\displaystyle \sigma ={\sqrt {1{\sqrt {2{\sqrt {3\cdots }}}}}}=1^{1/2}\;2^{1/4}\;3^{1/8}\cdots .\,} 464: 148: 809: 1019: 972: 677: 949: 912: 803: 1003: 446: 468: 339: 785: 433:{\displaystyle \sigma =\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{1/2^{k}}.} 1046: 25: 999: 17: 673: 971:
16 (2008), 247–270 (Provides an integral and a series representation).
920: 991: 578:). This sequence can be shown to have asymptotic behaviour as follows: 976: 662:{\displaystyle g_{n}\sim {\frac {\sigma ^{2^{n}}}{n+2+O(1/n)}}.} 558:{\displaystyle g_{0}=1\,;\,g_{n}=ng_{n-1}^{2},\qquad n>1,\,} 568:
with first few terms 1, 1, 2, 12, 576, 1658880, ... (sequence
885: 570: 672:
Guillera and Sondow give a representation in terms of the
1007: 876:{\displaystyle \sigma =1.661687949633594121296\dots \;} 147:
This can be easily rewritten into the far more quickly
859: 812: 788: 689: 587: 479: 449: 351: 160: 37: 875: 839: 794: 771: 661: 557: 455: 432: 327: 136: 735: 1027: 8: 338:which can then be compactly represented in 1034: 1020: 872: 108: 89: 858: 811: 787: 744: 715: 705: 688: 642: 612: 607: 601: 592: 586: 554: 532: 521: 505: 500: 496: 484: 478: 448: 419: 410: 406: 391: 373: 362: 350: 309: 305: 291: 276: 272: 258: 243: 239: 225: 210: 206: 192: 173: 167: 159: 133: 117: 113: 98: 94: 79: 75: 54: 49: 44: 36: 916:"Somos's Quadratic Recurrence Constant" 903: 7: 988: 986: 22:Somos' quadratic recurrence constant 1006:. You can help Knowledge (XXG) by 813: 726: 721: 718: 374: 14: 990: 541: 834: 816: 650: 636: 1: 840:{\displaystyle \Phi (z,s,q)} 847:is the Lerch transcendent. 1079: 985: 946:Cambridge University Press 463:arises when studying the 151:product representation 867:1.661687949633594121296 456:{\displaystyle \sigma } 1053:Mathematical constants 1002:-related article is a 942:Mathematical Constants 877: 841: 796: 773: 663: 559: 457: 434: 378: 329: 138: 878: 842: 797: 774: 664: 560: 458: 435: 358: 330: 139: 965:Lerch's transcendent 857: 810: 795:{\displaystyle \ln } 786: 687: 585: 477: 465:asymptotic behaviour 447: 349: 158: 35: 959:Jesus Guillera and 537: 913:Weisstein, Eric W. 873: 837: 792: 769: 678:Lerch transcendent 659: 555: 517: 453: 430: 325: 134: 1063:Mathematics stubs 1058:Infinite products 1015: 1014: 969:Ramanujan Journal 940:Steven R. Finch, 804:natural logarithm 733: 713: 654: 399: 299: 266: 233: 200: 182: 66: 64: 62: 1070: 1036: 1029: 1022: 994: 987: 927: 926: 925: 908: 888: 882: 880: 879: 874: 846: 844: 843: 838: 801: 799: 798: 793: 778: 776: 775: 770: 768: 764: 748: 734: 732: 724: 716: 714: 706: 668: 666: 665: 660: 655: 653: 646: 619: 618: 617: 616: 602: 597: 596: 573: 564: 562: 561: 556: 536: 531: 510: 509: 489: 488: 462: 460: 459: 454: 439: 437: 436: 431: 426: 425: 424: 423: 414: 405: 401: 400: 392: 377: 372: 340:infinite product 334: 332: 331: 326: 318: 317: 313: 304: 300: 292: 285: 284: 280: 271: 267: 259: 252: 251: 247: 238: 234: 226: 219: 218: 214: 205: 201: 193: 183: 178: 177: 168: 143: 141: 140: 135: 126: 125: 121: 107: 106: 102: 88: 87: 83: 67: 65: 63: 55: 50: 45: 28:, is the number 1078: 1077: 1073: 1072: 1071: 1069: 1068: 1067: 1043: 1042: 1041: 1040: 983: 981: 961:Jonathan Sondow 948:, p. 446. 936: 931: 930: 911: 910: 909: 905: 900: 884: 855: 854: 808: 807: 784: 783: 740: 736: 725: 717: 685: 684: 620: 608: 603: 588: 583: 582: 569: 501: 480: 475: 474: 445: 444: 415: 384: 380: 379: 347: 346: 287: 286: 254: 253: 221: 220: 188: 187: 169: 156: 155: 109: 90: 71: 33: 32: 12: 11: 5: 1076: 1074: 1066: 1065: 1060: 1055: 1045: 1044: 1039: 1038: 1031: 1024: 1016: 1013: 1012: 995: 980: 979: 957: 937: 935: 932: 929: 928: 902: 901: 899: 896: 895: 894: 871: 868: 865: 862: 836: 833: 830: 827: 824: 821: 818: 815: 791: 780: 779: 767: 763: 760: 757: 754: 751: 747: 743: 739: 731: 728: 723: 720: 712: 709: 704: 701: 698: 695: 692: 670: 669: 658: 652: 649: 645: 641: 638: 635: 632: 629: 626: 623: 615: 611: 606: 600: 595: 591: 566: 565: 553: 550: 547: 544: 540: 535: 530: 527: 524: 520: 516: 513: 508: 504: 499: 495: 492: 487: 483: 452: 441: 440: 429: 422: 418: 413: 409: 404: 398: 395: 390: 387: 383: 376: 371: 368: 365: 361: 357: 354: 336: 335: 324: 321: 316: 312: 308: 303: 298: 295: 290: 283: 279: 275: 270: 265: 262: 257: 250: 246: 242: 237: 232: 229: 224: 217: 213: 209: 204: 199: 196: 191: 186: 181: 176: 172: 166: 163: 145: 144: 132: 129: 124: 120: 116: 112: 105: 101: 97: 93: 86: 82: 78: 74: 70: 61: 58: 53: 48: 43: 40: 24:, named after 13: 10: 9: 6: 4: 3: 2: 1075: 1064: 1061: 1059: 1056: 1054: 1051: 1050: 1048: 1037: 1032: 1030: 1025: 1023: 1018: 1017: 1011: 1009: 1005: 1001: 996: 993: 989: 984: 978: 974: 970: 966: 962: 958: 955: 954:0-521-81805-2 951: 947: 943: 939: 938: 933: 923: 922: 917: 914: 907: 904: 897: 892: 887: 869: 866: 863: 860: 853: 852: 851: 848: 831: 828: 825: 822: 819: 805: 789: 765: 761: 758: 755: 752: 749: 745: 741: 737: 729: 710: 707: 702: 699: 696: 693: 690: 683: 682: 681: 679: 675: 656: 647: 643: 639: 633: 630: 627: 624: 621: 613: 609: 604: 598: 593: 589: 581: 580: 579: 577: 572: 551: 548: 545: 542: 538: 533: 528: 525: 522: 518: 514: 511: 506: 502: 497: 493: 490: 485: 481: 473: 472: 471: 470: 466: 450: 443:The constant 427: 420: 416: 411: 407: 402: 396: 393: 388: 385: 381: 369: 366: 363: 359: 355: 352: 345: 344: 343: 341: 322: 319: 314: 310: 306: 301: 296: 293: 288: 281: 277: 273: 268: 263: 260: 255: 248: 244: 240: 235: 230: 227: 222: 215: 211: 207: 202: 197: 194: 189: 184: 179: 174: 170: 164: 161: 154: 153: 152: 150: 130: 127: 122: 118: 114: 110: 103: 99: 95: 91: 84: 80: 76: 72: 68: 59: 56: 51: 46: 41: 38: 31: 30: 29: 27: 26:Michael Somos 23: 19: 1008:expanding it 997: 982: 977:math/0506319 968: 941: 919: 906: 849: 781: 671: 567: 442: 337: 146: 21: 15: 1000:mathematics 18:mathematics 1047:Categories 934:References 883:(sequence 674:derivative 149:converging 921:MathWorld 870:… 861:σ 850:Finally, 814:Φ 727:∂ 722:Φ 719:∂ 703:− 697:σ 694:⁡ 605:σ 599:∼ 526:− 451:σ 375:∞ 360:∏ 353:σ 342:form by: 320:⋯ 180:σ 171:σ 162:σ 128:⋯ 60:⋯ 39:σ 944:(2003), 469:sequence 889:in the 886:A112302 802:is the 676:of the 574:in the 571:A052129 467:of the 952:  782:where 998:This 973:arXiv 898:Notes 1004:stub 950:ISBN 891:OEIS 806:and 576:OEIS 546:> 967:", 680:: 16:In 1049:: 918:. 893:). 790:ln 691:ln 315:16 20:, 1035:e 1028:t 1021:v 1010:. 975:: 956:. 924:. 864:= 835:) 832:q 829:, 826:s 823:, 820:z 817:( 766:) 762:1 759:, 756:0 753:, 750:2 746:/ 742:1 738:( 730:s 711:2 708:1 700:= 657:. 651:) 648:n 644:/ 640:1 637:( 634:O 631:+ 628:2 625:+ 622:n 614:n 610:2 594:n 590:g 552:, 549:1 543:n 539:, 534:2 529:1 523:n 519:g 515:n 512:= 507:n 503:g 498:; 494:1 491:= 486:0 482:g 428:. 421:k 417:2 412:/ 408:1 403:) 397:k 394:1 389:+ 386:1 382:( 370:1 367:= 364:k 356:= 323:, 311:/ 307:1 302:) 297:4 294:5 289:( 282:8 278:/ 274:1 269:) 264:3 261:4 256:( 249:4 245:/ 241:1 236:) 231:2 228:3 223:( 216:2 212:/ 208:1 203:) 198:1 195:2 190:( 185:= 175:2 165:= 131:. 123:8 119:/ 115:1 111:3 104:4 100:/ 96:1 92:2 85:2 81:/ 77:1 73:1 69:= 57:3 52:2 47:1 42:=

Index

mathematics
Michael Somos
converging
infinite product
asymptotic behaviour
sequence
A052129
OEIS
derivative
Lerch transcendent
natural logarithm
A112302
OEIS
Weisstein, Eric W.
"Somos's Quadratic Recurrence Constant"
MathWorld
Cambridge University Press
ISBN
0-521-81805-2
Jonathan Sondow
Lerch's transcendent
arXiv
math/0506319
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mathematics
stub
expanding it
v
t
e

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