33:
536:
1439:
2250:
1354:
2569:
335:
2030:
2041:
3180:
774:
1161:
2697:
1434:
the spins need to change an even number of times so that one arrives at the starting point with the same charge, every vertex of the dual lattice is connected to an even number of lines in the configuration, defining a polygon.
2450:
1805:
1578:
2938:
929:
854:
1675:
531:{\displaystyle Z_{N}(K\equiv \beta J,L\equiv \beta J^{*})=\sum _{\{\sigma \}}\exp \left(K\sum _{\langle ij\rangle _{H}}\sigma _{i}\sigma _{j}+L\sum _{\langle ij\rangle _{V}}\sigma _{i}\sigma _{j}\right).}
1014:
278:
1895:
3435:
2442:
2399:
2245:{\displaystyle Z_{N}(K,L)=(\cosh K\cosh L)^{N}\sum _{\{\sigma \}}\prod _{\langle ij\rangle _{H}}(1+v\sigma _{i}\sigma _{j})\prod _{\langle ij\rangle _{V}}(1+w\sigma _{i}\sigma _{j})}
2756:
1348:
3621:
3471:
1903:
3559:
2730:
2839:
1386:
571:
1414:, a polygon is associated to the lattice by drawing a line on the edge of the dual lattice if the spins separated by the edge are unlike. Since by traversing a vertex of
1412:
1276:
1195:
2798:
1850:
2973:
2317:
2285:
618:
1432:
1215:
172:
51:
3216:
1050:
137:
2351:
1084:
610:
1250:
1077:
238:
3588:
2965:
2859:
324:
301:
211:
2580:
1447:
327:
2564:{\displaystyle \sum _{\sigma _{i}=\pm 1}\sigma _{i}^{n}={\begin{cases}0&{\mbox{for }}n{\mbox{ odd}}\\2&{\mbox{for }}n{\mbox{ even}}\end{cases}}}
1683:
1456:
2867:
4101:
3692:
2574:
shows that only configurations with an even number of lines at each vertex (polygons) will contribute to the partition function, giving
1591:
are the number of horizontal and vertical lines in the polygon, with the factor of 2 arising from the inversion of spin configuration.
3960:
3942:
3826:
860:
785:
3977:
69:
1610:
952:
4161:
3989:
4156:
2353:
terms in the expansion. Every term corresponds to a configuration of lines of the lattice, by associating a line connecting
3770:
2804:
574:
243:
3765:
1225:
denote the number of unlike neighbours in the vertical and horizontal directions respectively. Then the summand in
3984:
3835:
Hucht, Alfred (2021). "The square lattice Ising model on the rectangle III: Hankel and
Toeplitz determinants".
3224:
2404:
2364:
4166:
94:
1863:
3709:
Baxter, Rodney J. (2016). "The bulk, surface and corner free energies of the square lattice Ising model".
2735:
2025:{\displaystyle e^{K\sigma \sigma '}=\cosh K+\sinh K(\sigma \sigma ')=\cosh K(1+\tanh K(\sigma \sigma ')).}
1284:
3593:
2944:
83:
3443:
4120:
4050:
3998:
3902:
3854:
3786:
281:
3953:
Statistical field theory, Volume 1: From
Brownian motion to renormalization and lattice gauge theory
2503:
3479:
2712:
102:
3175:{\displaystyle -\beta F={\frac {\log(2)}{2}}+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \leftd\theta }
2818:
1364:
769:{\displaystyle \beta F\left(K^{*},L^{*}\right)=\beta F\left(K,L\right)+{\frac {1}{2}}\log {\big }}
549:
3918:
3878:
3844:
3760:
3744:
3718:
1391:
1255:
1174:
304:
179:
2761:
1813:
2290:
2258:
1156:{\displaystyle {\frac {kT_{\text{c}}}{J}}={\frac {2}{\ln(1+{\sqrt {2}})}}\approx 2.26918531421}
4097:
4014:
3973:
3956:
3938:
3870:
3822:
3802:
3736:
3688:
1417:
1200:
157:
3188:
1022:
116:
4128:
4058:
4041:(1944), "Crystal statistics. I. A two-dimensional model with an order-disorder transition",
4006:
3910:
3862:
3794:
3728:
3653:
2326:
580:
4140:
4070:
4026:
3702:
1228:
1055:
216:
4136:
4066:
4022:
3698:
17:
3679:
3567:
4124:
4054:
4002:
3906:
3858:
3790:
3732:
2950:
2844:
2692:{\displaystyle Z_{N}(K,L)=2^{N}(\cosh K\cosh L)^{N}\sum _{P\subset \Lambda }v^{r}w^{s}}
309:
286:
196:
152:
4150:
3922:
3882:
3675:
98:
4077:
4038:
3814:
3748:
106:
3642:"Crystal Statistics. I. A Two-Dimensional Model with an Order-Disorder Transition"
3641:
3890:
3756:
148:
89:
3985:"Correlations and spontaneous magnetization of the two-dimensional Ising model"
3866:
1800:{\displaystyle Z_{N}(K,L)=2e^{N(K+L)}\sum _{P\subset \Lambda _{D}}e^{-2Lr-2Ks}}
1573:{\displaystyle Z_{N}(K,L)=2e^{N(K+L)}\sum _{P\subset \Lambda _{D}}e^{-2Lr-2Ks}}
4108:
3798:
182:
in both the horizontal and vertical directions, which effectively reduces the
4018:
3874:
3806:
3740:
4132:
4062:
4030:
3657:
4111:(1952), "The spontaneous magnetization of a two-dimensional Ising model",
1438:
2933:{\displaystyle k={\frac {1}{\sinh \left(2K\right)\sinh \left(2L\right)}}}
191:
183:
101:. The model is notable for having nontrivial interactions, yet having an
3218:, from the above expression one finds for the internal energy per site:
1353:
3914:
4010:
3849:
3777:
BRUSH, STEPHEN G. (1967-10-01). "History of the Lenz-Ising Model".
3723:
1437:
1352:
187:
2444:
is chosen in the product. Summing over the configurations, using
3934:
924:{\displaystyle \sinh \left(2L^{*}\right)\sinh \left(2K\right)=1}
849:{\displaystyle \sinh \left(2K^{*}\right)\sinh \left(2L\right)=1}
3983:
Montroll, Elliott W.; Potts, Renfrey B.; Ward, John C. (1963),
2702:
where the sum is over all polygons in the lattice. Since tanh
26:
1670:{\displaystyle T\rightarrow 0,\ \ e^{-K},e^{-L}\rightarrow 0}
1052:, one finds the famous relation for the critical temperature
1009:{\displaystyle \sinh \left(2K\right)\sinh \left(2L\right)=1}
2557:
946:
plane, the duality relation implies that this is given by:
47:
2548:
2538:
2522:
2512:
247:
109:
for the special case that the external magnetic field
3972:. Harvard University Press, Cambridge Massachusetts,
3596:
3570:
3482:
3446:
3227:
3191:
2976:
2953:
2870:
2847:
2821:
2764:
2738:
2715:
2583:
2453:
2407:
2367:
2329:
2293:
2261:
2044:
1906:
1866:
1816:
1686:
1613:
1583:
summing over all polygons in the dual lattice, where
1459:
1420:
1394:
1367:
1287:
1258:
1231:
1203:
1177:
1087:
1058:
1025:
955:
934:
Assuming that there is only one critical line in the
863:
788:
621:
583:
552:
338:
312:
289:
246:
219:
199:
160:
119:
113:= 0. An analytical solution for the general case for
3893:(1925), "Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus",
2323:
horizontal and vertical edges, there are a total of
1388:
as depicted in the diagram. For every configuration
42:
may be too technical for most readers to understand
3837:Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical
3711:Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical
3615:
3582:
3553:
3465:
3429:
3210:
3174:
2959:
2932:
2853:
2833:
2792:
2750:
2724:
2691:
2563:
2436:
2393:
2345:
2311:
2279:
2244:
2024:
1889:
1844:
1799:
1669:
1572:
1426:
1406:
1380:
1342:
1270:
1244:
1209:
1189:
1155:
1071:
1044:
1008:
923:
848:
768:
604:
565:
530:
318:
295:
272:
232:
205:
166:
131:
273:{\displaystyle \textstyle \beta ={\frac {1}{kT}}}
3951:Itzykson, Claude; Drouffe, Jean-Michel (1989),
3929:Itzykson, Claude; Drouffe, Jean-Michel (1989),
3785:(4). American Physical Society (APS): 883–893.
2758:, this gives the high temperature expansion of
577:relation. Denoting the free energy per site as
3681:Exactly solved models in statistical mechanics
761:
710:
8:
2803:The two expansions can be related using the
2196:
2186:
2135:
2125:
2115:
2109:
1401:
1395:
1265:
1259:
1184:
1178:
489:
479:
437:
427:
403:
397:
3440:and the spontaneous magnetization is, for
2841:is given as follows. Define the parameter
3848:
3722:
3607:
3595:
3569:
3541:
3537:
3505:
3481:
3457:
3445:
3395:
3382:
3348:
3338:
3334:
3329:
3292:
3272:
3226:
3202:
3190:
3126:
3114:
3104:
3040:
3035:
3016:
2989:
2975:
2952:
2877:
2869:
2846:
2820:
2769:
2763:
2737:
2714:
2683:
2673:
2657:
2647:
2616:
2588:
2582:
2547:
2537:
2521:
2511:
2498:
2489:
2484:
2463:
2458:
2452:
2425:
2415:
2406:
2385:
2375:
2366:
2334:
2328:
2292:
2260:
2233:
2223:
2199:
2185:
2172:
2162:
2138:
2124:
2108:
2098:
2049:
2043:
1911:
1905:
1865:
1821:
1815:
1770:
1758:
1747:
1722:
1691:
1685:
1652:
1636:
1612:
1543:
1531:
1520:
1495:
1464:
1458:
1419:
1393:
1372:
1366:
1292:
1286:
1257:
1236:
1230:
1202:
1176:
1134:
1113:
1098:
1088:
1086:
1063:
1057:
1036:
1024:
954:
882:
862:
807:
787:
760:
759:
709:
708:
692:
650:
637:
620:
582:
557:
551:
514:
504:
492:
478:
462:
452:
440:
426:
396:
380:
343:
337:
311:
288:
254:
245:
224:
218:
198:
159:
118:
70:Learn how and when to remove this message
54:, without removing the technical details.
3931:Théorie statistique des champs, Volume 1
3430:{\displaystyle U=-J\coth(2\beta J)\left}
2437:{\displaystyle w\sigma _{i}\sigma _{j})}
3968:Barry M. McCoy and Tai Tsun Wu (1973),
3632:
2394:{\displaystyle v\sigma _{i}\sigma _{j}}
1810:defines a low temperature expansion of
2815:The free energy per site in the limit
1890:{\displaystyle \sigma \sigma '=\pm 1}
52:make it understandable to non-experts
7:
2751:{\displaystyle T\rightarrow \infty }
1442:Spin configuration on a dual lattice
3819:Statistical mechanics (2nd edition)
1343:{\displaystyle e^{K(N-2s)+L(N-2r)}}
3616:{\displaystyle T\geq T_{\text{c}}}
2828:
2745:
2664:
1755:
1528:
1421:
1369:
1204:
1171:Consider a configuration of spins
161:
25:
3466:{\displaystyle T<T_{\text{c}}}
3687:, London: Academic Press Inc. ,
31:
3990:Journal of Mathematical Physics
3970:The Two-Dimensional Ising Model
143:Defining the partition function
88:two-dimensional square lattice
3955:, Cambridge University Press,
3843:(37). IOP Publishing: 375201.
3529:
3517:
3410:
3404:
3379:
3366:
3322:
3313:
3301:
3282:
3258:
3246:
3156:
3147:
3004:
2998:
2825:
2787:
2775:
2742:
2716:
2644:
2622:
2606:
2594:
2431:
2239:
2207:
2178:
2146:
2095:
2073:
2067:
2055:
2016:
2013:
1999:
1981:
1966:
1952:
1839:
1827:
1738:
1726:
1709:
1697:
1661:
1617:
1607:approach infinity, so that as
1511:
1499:
1482:
1470:
1335:
1320:
1311:
1296:
1141:
1125:
599:
587:
386:
349:
1:
3733:10.1088/1751-8113/50/1/014001
3717:(1). IOP Publishing: 014001.
3554:{\displaystyle M=\left^{1/8}}
2725:{\displaystyle \rightarrow 0}
4082:Supplemento al Nuovo Cimento
3640:Onsager, Lars (1944-02-01).
2834:{\displaystyle N\to \infty }
1381:{\displaystyle \Lambda _{D}}
566:{\displaystyle T_{\text{c}}}
190:. Generally, the horizontal
3766:Encyclopedia of Mathematics
1407:{\displaystyle \{\sigma \}}
1271:{\displaystyle \{\sigma \}}
1190:{\displaystyle \{\sigma \}}
4183:
3937:), EDP Sciences Editions,
2793:{\displaystyle Z_{N}(K,L)}
1856:High-temperature expansion
1845:{\displaystyle Z_{N}(K,L)}
213:and the vertical coupling
105:. The model was solved by
18:Square-lattice Ising model
4094:Planar Ising Correlations
3799:10.1103/revmodphys.39.883
3779:Reviews of Modern Physics
2312:{\displaystyle w=\tanh L}
2280:{\displaystyle v=\tanh K}
1595:Low-temperature expansion
1361:Construct a dual lattice
573:can be obtained from the
546:The critical temperature
3867:10.1088/1751-8121/ac0983
1427:{\displaystyle \Lambda }
1210:{\displaystyle \Lambda }
167:{\displaystyle \Lambda }
4162:Exactly solvable models
3211:{\displaystyle J=J^{*}}
3185:For the isotropic case
2805:Kramers–Wannier duality
1045:{\displaystyle J=J^{*}}
1019:For the isotropic case
575:Kramers–Wannier duality
132:{\displaystyle H\neq 0}
4133:10.1103/PhysRev.85.808
4096:. Birkhäuser, Boston,
4080:(1949), "Discussion",
4063:10.1103/PhysRev.65.117
3658:10.1103/PhysRev.65.117
3617:
3584:
3555:
3467:
3431:
3212:
3176:
2961:
2934:
2855:
2835:
2794:
2752:
2726:
2693:
2565:
2438:
2395:
2347:
2346:{\displaystyle 2^{2N}}
2313:
2281:
2246:
2026:
1891:
1846:
1801:
1671:
1574:
1443:
1428:
1408:
1382:
1358:
1344:
1272:
1246:
1211:
1197:on the square lattice
1191:
1157:
1073:
1046:
1010:
925:
850:
770:
606:
605:{\displaystyle F(K,L)}
567:
532:
320:
297:
274:
234:
207:
168:
133:
4157:Statistical mechanics
3618:
3585:
3556:
3468:
3432:
3213:
3177:
2962:
2945:Helmholtz free energy
2935:
2856:
2836:
2795:
2753:
2727:
2694:
2566:
2439:
2396:
2348:
2314:
2282:
2247:
2027:
1892:
1847:
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