4703:
2977:
4111:
2385:
4698:{\displaystyle {\begin{array}{c|c}\Omega ={\mathfrak {x}}^{2}+{\mathfrak {y}}^{2}-1=0&\Omega ={\mathfrak {x}}^{2}+{\mathfrak {y}}^{2}+{\mathfrak {z}}^{2}-1=0\\\hline d=\operatorname {arcosh} {\frac {{\mathfrak {x}}_{1}{\mathfrak {x}}_{2}+{\mathfrak {y}}_{1}{\mathfrak {y}}_{2}-1}{{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{1}^{2}+{\mathfrak {y}}_{1}^{2}-1}}{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{2}^{2}+{\mathfrak {y}}_{2}^{2}-1}}}}&d=\operatorname {arcosh} {\frac {{\mathfrak {x}}_{1}{\mathfrak {x}}_{2}+{\mathfrak {y}}_{1}{\mathfrak {y}}_{2}+{\mathfrak {z}}_{1}{\mathfrak {z}}_{2}-1}{{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{1}^{2}+{\mathfrak {y}}_{1}^{2}+{\mathfrak {z}}_{1}^{2}-1}}{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{2}^{2}+{\mathfrak {y}}_{2}^{2}+{\mathfrak {y}}_{1}^{2}-1}}}}\end{array}}}
2972:{\displaystyle {\begin{array}{c|c}\Omega ={\mathfrak {x}}^{2}+{\mathfrak {y}}^{2}+1=0&\Omega ={\mathfrak {x}}^{2}+{\mathfrak {y}}^{2}+{\mathfrak {z}}^{2}+1=0\\\hline d=\arccos {\frac {{\mathfrak {x}}_{1}{\mathfrak {x}}_{2}+{\mathfrak {y}}_{1}{\mathfrak {y}}_{2}+1}{{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{1}^{2}+{\mathfrak {y}}_{1}^{2}+1}}{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{2}^{2}+{\mathfrak {y}}_{2}^{2}+1}}}}&d=\arccos {\frac {{\mathfrak {x}}_{1}{\mathfrak {x}}_{2}+{\mathfrak {y}}_{1}{\mathfrak {y}}_{2}+{\mathfrak {z}}_{1}{\mathfrak {z}}_{2}+1}{{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{1}^{2}+{\mathfrak {y}}_{1}^{2}+{\mathfrak {z}}_{1}^{2}+1}}{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{2}^{2}+{\mathfrak {y}}_{2}^{2}+{\mathfrak {y}}_{1}^{2}+1}}}}\end{array}}}
3943:
2219:
3320:
1596:
84:
74:
53:
3938:{\displaystyle {\begin{array}{c|c}\Omega =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0&\Omega =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0\\\hline d=\operatorname {arcosh} {\frac {x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}-x_{3}y_{3}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}}}{\sqrt {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}}}}}&d=\operatorname {arcosh} {\frac {x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}}}{\sqrt {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}-x_{4}^{2}}}}}\end{array}}}
2214:{\displaystyle {\begin{array}{c|c}\Omega =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0&\Omega =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=0\\\hline d=\arccos {\frac {x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}{\sqrt {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}}}}}&d=\arccos {\frac {x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}}{\sqrt {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+x_{4}^{2}}}}}\end{array}}}
22:
5080:
3311:
5217:
It is stated that: "Additional details about the relation between the Cayley–Klein metric for hyperbolic space and
Minkowski space of special relativity were pointed out by Klein in 1910, as well as in the 1928 edition of his lectures on non-Euclidean geometry." The 1928 reference is provided but the
457:
The article would also benefit from less history and more focus on definitions in the first section following the introduction. History should go at the end. The historical background features specialised jargon like "algebra of throws". As it stands, this doesn't seem like the "Foundations" of the
445:
This article would benefit from an explicit construction of models of elliptic geometry, Euclidean geometry and hyperbolic geometry. In each case, a quadric should be defined, and it should be shown how to go from that to the corresponding non-Euclidean geometry. I can see how this might work for
4859:
3090:
4848:
1511:
577:
can be transformed into normal or canonical forms in terms of sums of squares, while the difference in the number of positive and negative signs doesn't change under a real homogeneous transformation of determinant ≠ 0 by
1407:
575:
3083:
5075:{\displaystyle {\begin{array}{c|c}d=\operatorname {arcosh} \left(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}-x_{3}y_{3}\right)&d=\operatorname {arcosh} \left(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}\right)\end{array}}}
288:
892:
775:
681:
1588:
1074:
984:
140:
424:
1220:
1154:
222:. But surely, then they are the same distance measure. It gets worse because it then tries to give alternative forms for the distance measure d using quantities which it calls
3306:{\displaystyle {\begin{array}{c|c}d=\arccos \left(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}\right)&d=\arccos \left(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4}\right)\end{array}}}
348:
318:
4104:
1279:
2378:
368:
220:
200:
180:
4710:
5246:
130:
1412:
5241:
106:
1326:
515:
2984:
97:
58:
1300:
1307:. Such forms and their transformations can now be applied to several kinds of spaces, which can be unified by using a parameter
225:
805:
688:
594:
33:
4116:
3325:
2390:
1601:
579:
1516:
1005:
915:
1304:
373:
21:
1169:
1103:
582:, with the following classification ("zero-part" means real equation of the quadric, but no real points):
39:
1231:
One plane is finite, the other one infinitely distant, thus not existent from the affine point of view.
83:
5223:
4864:
3095:
482:
459:
427:
105:
on
Knowledge. If you would like to participate, please visit the project page, where you can join
5219:
323:
293:
89:
3950:
1246:
73:
52:
5203:
4851:
486:
463:
431:
2224:
4843:{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots -x_{n}^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\dots -y_{n}^{2}=-1}
5096:
Klein & Rosemann (1928), p. 68; See also the classifications on pp. 70, 72, 74, 85, 92
162:
It starts by saying that "hyperbolic distance" and "Elliptic distance" between two points
3315:
The hyperbolic plane or space is related to the oval surface in homogeneous coordinates:
1593:
The elliptic plane or space is related to zero-part surfaces in homogeneous coordinates:
5227:
5207:
490:
467:
435:
5195:
353:
205:
185:
165:
5235:
5199:
1506:{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+{\tfrac {1}{\varepsilon }}x_{4}^{2}=0}
1296:
158:
Section "Cross ratio and distance" is mathematically incorrect and incomprehensible
796:
102:
1513:. For instance, the absolute for the Euclidean plane can now be represented by
790:
79:
784:
1287:
Double counting infinitely distant plane, not existent in affine geometry.
1402:{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+{\tfrac {1}{\varepsilon }}x_{3}^{2}=0}
996:
477:
I've produced a draft of a new article on this topic. Check it out here:
2380:
by which the absolute becomes the imaginary unit circle or unit sphere:
1323:=−1 for hyperbolic geometry), so that the equation in the plane becomes
570:{\textstyle \Omega =\sum \omega _{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0}
478:
509:
4707:
or expressing the homogeneous coordinates in terms of the condition
3078:{\textstyle x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=y_{1}^{2}+\dots +y_{n}^{2}=1}
2981:
or expressing the homogeneous coordinates in terms of the condition
5186:
Killing (1885), pp. 18, 57, 71 with k=-1 for hyperbolic geometry
990:
778:
512:(or surface of second order) with real coefficients of the form
4106:
by which the absolute becomes the unit circle or unit sphere:
15:
5159:
Killing (1885), pp. 18, 57, 71 with k=1 for elliptic geometry
283:{\displaystyle \{\Omega _{xx},\Omega _{xy},\Omega _{yy}\}}
887:{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0}
770:{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0}
676:{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=0}
450:, but I'm at a loss as to how it can produce a model of
500:
The following details do not serve the general reader.
4066:
4031:
4002:
3085:(Weierstrass coordinates) the distance simplifies to:
2987:
2340:
2305:
2276:
2227:
1471:
1367:
518:
4862:
4713:
4114:
3953:
3323:
3093:
2388:
1599:
1519:
1415:
1329:
1249:
1172:
1106:
1008:
918:
808:
691:
597:
376:
356:
326:
296:
228:
208:
188:
168:
101:, a collaborative effort to improve the coverage of
5074:
4842:
4697:
4098:
3937:
3305:
3077:
2971:
2372:
2213:
1582:
1505:
1401:
1273:
1214:
1148:
1068:
978:
886:
769:
675:
569:
441:Suggestions for how to greatly improve the article
418:
362:
342:
312:
282:
214:
194:
174:
1299:leaving invariant these forms can be related to
1583:{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=0,\ x_{3}=0}
1069:{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0}
979:{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0}
454:. As it stands, the article doesn't show this.
5141:Klein & Rosemann (1928), p. 149, 151, 233
479:https://en.wikipedia.org/User:Svennik/sandbox
8:
458:subject but merely historical background. --
277:
229:
19:
47:
5168:Klein & Rosemann (1928), pp. 185, 251
5057:
5047:
5034:
5024:
5011:
5001:
4988:
4978:
4944:
4934:
4921:
4911:
4898:
4888:
4863:
4861:
4825:
4820:
4801:
4796:
4783:
4778:
4765:
4760:
4741:
4736:
4723:
4718:
4712:
4674:
4669:
4663:
4662:
4652:
4647:
4641:
4640:
4630:
4625:
4619:
4618:
4615:
4601:
4596:
4590:
4589:
4579:
4574:
4568:
4567:
4557:
4552:
4546:
4545:
4542:
4528:
4522:
4521:
4514:
4508:
4507:
4497:
4491:
4490:
4483:
4477:
4476:
4466:
4460:
4459:
4452:
4446:
4445:
4441:
4410:
4405:
4399:
4398:
4388:
4383:
4377:
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4373:
4359:
4354:
4348:
4347:
4337:
4332:
4326:
4325:
4322:
4308:
4302:
4301:
4294:
4288:
4287:
4277:
4271:
4270:
4263:
4257:
4256:
4252:
4218:
4212:
4211:
4201:
4195:
4194:
4184:
4178:
4177:
4150:
4144:
4143:
4133:
4127:
4126:
4115:
4113:
4082:
4072:
4065:
4047:
4037:
4030:
4018:
4008:
4001:
3970:
3969:
3960:
3959:
3952:
3920:
3915:
3902:
3897:
3884:
3879:
3866:
3861:
3855:
3847:
3842:
3829:
3824:
3811:
3806:
3793:
3788:
3782:
3774:
3764:
3751:
3741:
3728:
3718:
3705:
3695:
3688:
3663:
3658:
3645:
3640:
3627:
3622:
3616:
3608:
3603:
3590:
3585:
3572:
3567:
3561:
3553:
3543:
3530:
3520:
3507:
3497:
3490:
3462:
3457:
3444:
3439:
3426:
3421:
3408:
3403:
3379:
3374:
3361:
3356:
3343:
3338:
3324:
3322:
3288:
3278:
3265:
3255:
3242:
3232:
3219:
3209:
3175:
3165:
3152:
3142:
3129:
3119:
3094:
3092:
3063:
3058:
3039:
3034:
3021:
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2997:
2992:
2986:
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2943:
2937:
2936:
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2904:
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2864:
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2848:
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2831:
2826:
2820:
2819:
2816:
2802:
2796:
2795:
2788:
2782:
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2771:
2765:
2764:
2757:
2751:
2750:
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2720:
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2304:
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2282:
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2226:
2196:
2191:
2178:
2173:
2160:
2155:
2142:
2137:
2131:
2123:
2118:
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2100:
2087:
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2069:
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2058:
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1007:
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923:
917:
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867:
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849:
836:
831:
818:
813:
807:
755:
750:
737:
732:
719:
714:
701:
696:
690:
661:
656:
643:
638:
625:
620:
607:
602:
596:
555:
545:
532:
517:
419:{\displaystyle d=\arccos(\Omega _{xy}/0)}
405:
396:
375:
355:
331:
325:
301:
295:
290:, but it defines two of those quantities
268:
252:
236:
227:
207:
187:
167:
5105:Klein & Rosemann (1928), chapter III
5089:
1159:Mutually intersecting imaginary planes.
49:
5177:Hausdorff (1899), p. 192 for the plane
5132:Klein & Rosemann (1928), pp. 132f
1215:{\displaystyle x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0}
1149:{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=0}
7:
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